2026年捷克-斯洛伐克数学奥林匹克竞赛试题

2026年捷克-斯洛伐克数学奥林匹克 第一天 1.设x,,z均为正实数，且满足x2+2+2=75.已知x+y,y+之，之+x这三个和中至少有 两个大于或等于10，求剩余那个和的最小值与最大值. 2.设T为锐角△ABC的重心，P为△ABC外接圆的劣弧BC上一点，P为点P向线段BC 所作垂线的垂足.设X为直线PT与过点A且平行于BC的直线的交点，S为线段PX的中点， 求证：∠BAP=∠SAC 3.称一个人群为“三元连通群”，当且仅当： (1)群中每个人都恰好认识群中的另外3个人： (②)该群无法被划分为两个非空子集，使得每个人的所有熟人都在自己的子集内（即该社交网络是 连通的) 其中认识关系是相互的. 求最大的整数k≥3，使得存在正整数n,满足：从任意一个人数不少于n的三元连通群中，都 可以选出至少k个人，将他们安排在一张圆桌旁就座，使得任意两个相邻的人都互相认识， 第二天 4.设a,b为互不相同的正整数，且a2+1与ab+1有相同的素因子集合，求证：a2+b2+2可被 某个素数的平方整除， 5.设P=(a1,a2,,a2026)是1,2，，2026的任意一个排列.称下标i∈{1,2，·，2026}为“好 下标”当且仅当以下所有数均非负： ais a:-ai+1, a4-a1+1+a1+2 ai-ai+1+ai+2-ai+3, a-a+1十·-a+2023+ai+2024 01-ai+1+·-a+2023+0+2024-a1+2025, 其中下标按模2026理解，即对任意整数j,有a5+2026=a·记n(P)为排列P中好下标的个数， 求n(P)的最小可能值与最大可能值， 6.设六边形ABCDEF内接于⊙O,且其每一组对边互相平行.直线AB、CD、EF围成三角形 △1，直线BC、DE、FA围成三角形△2·求证：△1与△2的外心关于点O对称. 1