精品解析：上海市青浦高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

上海市青浦高级中学2023学年第二学期期末考试 高一数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一､填空题（本大题满分36分）本大题共有12题. 1. 若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为________. 【答案】 【解析】 【分析】由扇形弧长公式直接计算即可. 【详解】由扇形弧长公式得扇形的弧长为. 故答案为：. 2. 等比数列中，且，则公比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求出，再求出公比作答. 【详解】在等比数列中，因，则，所以公比． 故答案为： 3. 已知向量，，若，则实数________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积与向量垂直的关系，结合坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， ， 所以，解得. 故答案为：1. 4. 已知等差数列前项和为，若则________ 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的性质结合等差数列的求和公式可得答案. 【详解】由等差数列的性质可得：， 所以， 故答案为：8. 5. 函数的最小正周期为π，则ω的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦型函数的周期公式计算即得. 【详解】函数的最小正周期，所以. 故答案为：1 6. 已知A(2，0)，B(0，2)，若＝，则点C的坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据向量的坐标表示列出方程组解出即可得结果. 【详解】设，则，， 所以，得，解得，即点C的坐标是， 故答案为：. 7. 已知角的终边经过点，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义和诱导公式即可求解结果． 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以，则， 故答案为：. 8. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则=_____ 【答案】 【解析】 【分析】由方程复数根为共轭复数可得方程两根，由根与系数关系可求得结果. 【详解】若是方程的一个复数根，则另一个复数根为 故答案为 【点睛】本题考查方程复数根的特点的应用，需明确两根为共轭复数，属于基础题. 9. 已知向量，，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用向量平行得到，然后利用齐次化法将所求式子化成含有的式子即可运算求解. 【详解】因为，，且， 所以，所以， 从而. 故答案为：. 10. 如图，已知函数（）图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由图象可知且，根据求出，将点代入解析式求出，进而求出的解析式，即可求解. 【详解】由题意知，函数图象在y轴的右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为， 则，且，得， 又，所以， 所以，又函数图象过点， 所以，由解得， 故， 所以. 故答案为： 11. 已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用无穷等比数列的前项和公式及性质即可得解. 【详解】因为为无穷等比数列，， 所以，则，则， 因为，所以是以为公比的等比数列，且， 此时，所以， 当时，； 当时，， 因为，所以，故，则； 综上：，即，故的取值范围为. 故答案为：. 12. 在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由“两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大”结合可知正六边形结构特征求出的最大值；由数量积概念可知对于，当与达到最大时与此时方向相反，故此时达到最小值. 【详解】根据向量加法平行四边形法则以及几何意义可知： 当两个向量夹角为锐角时，两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大. 所以由正六边形结构特征可知的最大值为， 连接正六边形交于点， 则由正六边形结构特征可知为正三角形，为其边上的中线， 且由正六边形结构特征，，， 所以由题意以及余弦定理得： ， 即， 所以，，， 所以， 故由向量加法法则； 所以当时，最大， 同理时，最大， 与此时方向相反， 故此时达到最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于明确的最大值为和的最大值为. 二､选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案. 13. 用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（ ） A. 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B. 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C. 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D. 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立， 即当（为正整数）时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D 14. 若复数为纯虚数，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，根据是纯虚数求得. 【详解】由题意，，因为是纯虚数， 所以，解得. 故选：A 15. 如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形中线的向量表示计算即可. 【详解】设中点为A， 则， 所以. 故选：D 16. 已知数列为无穷数列．若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列为无穷数列且（为正整数），则数列是“阶弱减数列”的充要条件是；②数列为无穷数列且（为正整数），若存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．那么（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①､②都是真命题 D. ①､②都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】对于①：根据“阶弱减数列”的定义结合充分必要条件分析判断；对于②：分析可得对一切正整数恒成立，分、和三种情况，分析求解. 【详解】对于①：因为， 若该数列为“弱减数列”， 因为，则， 可得，即， 同理可得，所以； 当时，， 所以该数列为“弱减数列”； 综上所述：数列是“阶弱减数列”的充要条件是，故①是真命题； 对于②：因为，显然， 若存在使得数列为“2阶弱减数列”， 则，即，整理得， 所以对一切正整数恒成立， 若，当时，当，则； 当为奇数，； 可知不合题意，所以， 则， 当时， 则， 可得，不合题意； 若，取，则，符合题意； 若，则，则， 取，则，符合题意； 综上所述：存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．故②是真命题. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题时，可以通过举例或转化法理解新定义，进而根据新定义分析求解. 三､解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知复数，，. （1）若复数在复平面内的对应点落在第四象限，求实数的取值范围； （2）若复数，求. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由已知可得，计算即可； （2）由，可得，可求，进而可求的值. 【小问1详解】 因为在复平面内的对应点落在第四象限，所以， 解得，因此实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为，所以，解得或. 当时，，此时； 当时，，此时. 综上所述：或. 18. 在中，角的对边分别为. （1）若，求角的大小； （2）若边上的高等于，求的最大值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合特殊角的三角函数值即可得解； （2）利用三角形面积公式与余弦定理得到，从而将转化为关于角的表达式，进而得解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 又，则，所以， 因为，所以或. 【小问2详解】 由三角形面积公式得，即， 又由余弦定理，得， 从而有， 所以. 当，即时，有最大值， 即的最大值为. 19. 已知向量，，． （1）若，求值； （2）若向量在方向上的投影向量为，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，得到方程，解方程即可求出结果； （2）通过投影向量的计算方法，得到方程，解方程即可求出结果. 【小问1详解】 由已知则，， 则有，又， 由，解得． 【小问2详解】 由已知， 设向量与得夹角为，则在方向上投影向量为 从而有，解得或. 20. 甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍． （1）分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元） （2）设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由． 【答案】（1）甲的基础工资收入总量元；乙的基础工资收入总量元 （2）单调性见解析；从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资；理由见解析 【解析】 【分析】（1）易得甲的工资满足等差数列，乙的工资满足等比数列，再根据等差等比数列的求和公式求解即可 （2）根据题意可得，再求解分析的单调性，并计算时的取值范围即可 【小问1详解】 甲的基础工资收入总量 元 乙的基础工资收入总量 元 【小问2详解】 ， ，， 设，即，解得 所以当时，递增，当时，递减 又当，即，解得，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资． ． 21. 若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为. （1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离； （2）记A为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为A中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求m的最大值； （3）记S是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16. 【答案】（1）7 （2）3469 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）由数列距离的定义直接求出所给两个数列的距离； （2）由题意分析可知 A中数列项的周期性，可得结合周期性求得m的最大值； （3）假设T中的元素个数大于等于17个，设出，最终求得和中必有一个成立，与已知矛盾即可得解. 【小问1详解】 由题意可知：数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为. 【小问2详解】 设，其中，且， 因为，则，，，， 则有A中数列的项呈周期性重复，且间隔4项重复一次， 在数列中，； 在数列中，； 因为，可知， 即项数m越大，数列和的距离越大， 由得：， 可知：若时，； 又因为， 可知：若时，； 综上所述：所以m的最大值为3469. 【小问3详解】 假设T中的元素个数大于等于17个，在数列中，， 则仅由数列前三项组成的数组有且仅有8个： ， 那么这17个元素(即数列)之中必有三个具有相同的， 设这个数列分别为； ； ， 其中， 因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，则在和中，中至少有三个成立， 不妨设，由题意，中一个等于0，而另一个等于1， 又因或1，于是得和中必有一个成立， 同理可得：和中必有一个成立，和中必有一个成立， 即“中至少有两个成立”或“中至少有两个成立”中必有一个成立， 从而得和中必有一个成立，与T中任何两个元素的距离大于或等于3矛盾，即假设不成立， 所以T中的元素个数小于或等于16. 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并合理地运用计算、分析、推理等方法综合解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市青浦高级中学2023学年第二学期期末考试 高一数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一､填空题（本大题满分36分）本大题共有12题. 1. 若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为________. 2. 等比数列中，且，则公比为______． 3. 已知向量，，若，则实数________ 4. 已知等差数列的前项和为，若则________ 5. 函数的最小正周期为π，则ω的值为______． 6. 已知A(2，0)，B(0，2)，若＝，则点C的坐标是________. 7. 已知角的终边经过点，则的值为__________. 8. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则=_____ 9 已知向量，，且，则______． 10. 如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则____________． 11. 已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为________． 12. 在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为___________. 二､选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案. 13. 用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（ ） A. 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B. 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C. 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D. 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 14. 若复数为纯虚数，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 15. 如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（ ） A. B. C. D. 16. 已知数列为无穷数列．若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列为无穷数列且（为正整数），则数列是“阶弱减数列”的充要条件是；②数列为无穷数列且（为正整数），若存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．那么（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①､②都是真命题 D. ①､②都是假命题 三､解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知复数，，. （1）若复数在复平面内对应点落在第四象限，求实数的取值范围； （2）若复数，求. 18. 在中，角对边分别为. （1）若，求角的大小； （2）若边上的高等于，求的最大值. 19 已知向量，，． （1）若，求值； （2）若向量在方向上的投影向量为，求的值． 20. 甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍． （1）分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元） （2）设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由． 21. 若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为. （1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离； （2）记A为满足递推关系所有数列的集合，数列和为A中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求m的最大值； （3）记S是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$