专题07平行四边形期末复习讲义（20个核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

专题07平行四边形期末复习讲义 期末复习◆重点 牢记平行四边形、等腰梯形定义、性质与判定定理，理清四边形从属关系，区分易混淆判定条件； 掌握两类图形边长、角度、周长、面积公式计算； 吃透三角形中位线定理，区分中位线与中线核心差异，熟记基础结论； 掌握几何证明、线段求值、角度计算、梯形辅助线、基础综合题型； 核心题型◆归纳 题型1.利用平行四边形的性质求解 题型2.利用平行四边形的性质证明 题型3.平行四边形性质的其他应用 题型4.（等腰）梯形的定义 题型5.等腰梯形的性质定理 题型6.数图形中平行四边形的个数 题型7.判断能否构成平行四边形 题型8.添一个条件成为平行四边形 题型9.求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型10.证明四边形是平行四边形 题型11.利用平行四边形的的判定与性质求解 题型12.利用平行四边形性质和判定证明 题型13.平行四边形性质和判定的应用 题型14.与三角形中位线有关的求解问题 题型15.与三角形中位线有关的证明 题型16.三角形中位线的实际应用 题型17.平行四边形与坐标系的应用 题型18.平行四边形的动点问题 题型19.平行四边形的折叠问题 题型20.平行四边形的最值问题 重点知识◆梳理 【知识点一、平行四边形】 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作▱ABCD。 2.平行四边形的性质 边：对边平行且相等；AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角：对角相等，邻角互补；∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180° 对角线：对角线互相平分；OA=OC，OB=OD 对称性：中心对称图形，对角线交点为对称中心，无对称轴 面积：底×高 S=ah 性质类别 具体性质 几何语言 图示 边 两组对边分别平行且相等 AB∥CD，AD∥ BC；AB=CD，AD=BC 角 两组对角相等，邻角互补 对角相等：∠A=∠C，∠B=∠D；邻角互补：∠A+∠B=180^°（其余邻角同理） 对角线 互相平分，分为四个等面积小三角形 设AC与BD交于点O，则OA=OC，OB=OD；AOB=BOC=COD=DOA 对称性 中心对称图形，非轴对称图形（特殊除外） 对称中心为对角线交点O；一般不是轴对称图形（矩形、菱形等特殊情况除外） 3.平行四边形的判定定理 易错提醒：仅一组对边平行、另一组相等不能判定平行四边形（可能是等腰梯形）； 证明题优先用“一组对边平行且相等”，步骤最简、不易扣分。 【知识点二、等腰梯形】 1.基础定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 符号标注：平行两边为上底、下底，不平行两边为腰。 2.等腰梯形性质 分类 文字性质 几何语言 边 上下底互相平行，两条腰长度相等 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD 角 同一底上的两个内角相等；对角互补 ∠A=∠D，∠B=∠C；∠A+∠B=180° 对角线 两条对角线长度相等 AC=BD 对称性 轴对称图形，1条对称轴（上下底中点连线），无中心对称性 上下底中点连线为对称轴 面积 （上底+下底）×高 ÷2 S=(a+b)h 3.等腰梯形判定定理 定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形； 角判定：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形； 对角线判定：对角线相等的梯形是等腰梯形。 4.高频易错+解题要点 ① 判定前提：必须先证明是梯形（一组对边平行，一组对边不平行），再套用判定定理； ② 易错坑：对角线相等的四边形≠等腰梯形，必须是梯形才成立； ③ 辅助线套路（必考）：作双高、平移一腰、平移对角线、延长两腰，转化为平行四边形+三角形解题； ④ 等腰梯形对角线相交，形成两组等腰三角形。 【知识点三、三角形中位线】 1.三角形中位线的定义 连接三角形任意两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 在△ABC 中，点D为AB中点，点E为AC中点，线段DE ABC的中位线。 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 3.用符号语言表示：∵AE=EB,AD=DC。∴DE∥BC,DE=BC 3.概念区分 三角形中位线：连接三角形两边中点，不含顶点； 三角形中线：连接三角形顶点与对边中点，二者概念不可混淆。 4.中位线常用重要结论 (1)任意三角形共有三条中位线； (2)三角形三条中位线首尾顺次连接，可构成一个新的小三角形； (3)中位线围成的三角形，周长为原三角形周长的，面积为原三角形面积的； (4)中位线定理常用于证明线段平行关系、求解线段长度、推导几何数量关系。 方形。 易错总结：中点连线为中位线；顶点连中点为中线，无平行、倍分关系！ 题型解析◆精准备考 题型1.利用平行四边形的性质求解 1．如图，在中，的平分线交于点，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义，根据四边形是平行四边形，则有，根据两直线平行，内错角相等可得，利用角平分线的定义可知，即可求出，，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 2．在平行四边形中，，，则__________． 【答案】/150度 【分析】根据平行四边形对角相等的性质列方程求出，得到的度数，再利用平行四边形邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ， 又 ， ， ， 解得， 即， 平行四边形对边平行，同旁内角互补， ， ． 3．如图，在中，平分，交边于点，是边上的高，垂足为，交于点．已知． (1)求的度数． (2)若，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义，直角三角形的性质结合对顶角相等即可求解； （2）利用直角三角形的性质求得，再利用平行四边形的性质推出，求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型2.利用平行四边形的性质证明 1．如图，在中，点为边中点，连接并延长交延长线于点，若，则长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，利用证明，得到，从而求出结果． 【详解】解：四边形为平行四边形， 点为边中点， 又， ， ， 故选：B． 2．如图，过对角线的交点，交于点，交于点．则：①；②若，，则；③；④．其中正确的结论有______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，牢记平行四边形的性质和全等三角形的判定定理是解题关键． 根据平行四边形的性质可得到，可判断①正确；根据三角形三边关系可得到，进而求得的取值范围，可判断②正确；根据平行四边形的性质可知为中点，则，进而求得与的数量关系，可判断③正确；根据，利用，可判断④正确． 【详解】①∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴，． 在和中， ， ∴． ∴． 故①正确． ②∵四边形为平行四边形， ∴，． 又， ∴． ∴． 故②正确． ③∵为的中点， ∴． ∴． 故③错误． ④∵， ∴． ∴． 故④正确． 故答案为：①②④． 3．如图，已知中，于点E，于点H，平分，分别交于点F、G、M，且． (1)求证：． (2)猜想与之间有何数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∴， ∴； (2)， 证明：如图，延长至点，使得，连接， 由（1）知 ∴ ∵ ∴ ∴，， ∵，， ∴ ∴ ∵平行四边形中， ∴ 即． 【分析】（1）先根据平行线和角平分线证明，再由证明即可； （2）延长至点，使得，连接，证明，再证明，最后通过等量代换和线段和差证明即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型3.平行四边形性质的其他应用 1．如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 【答案】C 【分析】根据，计算出的面积，再根据的面积是的面积的4 倍计算出最后的答案． 【详解】 过点O做EF垂直于BC，交BC于点F，交AD于点E ∵在中，AO=OC， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关知识． 2．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是________． 【答案】120°和60° 【分析】根据平行四边形的性质可以得到，，，即可得到，再根据，求解即可． 【详解】解：如图所示，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°，120°，60°，120°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，边上的 D 也是一个格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图， 每个任务的画线不得超过四条． (1)在图①中，先画点F 使四边形是平行四边形，设与相交于点 G ，再在上画出点 P ，使． (2)在图②中，在边上画出点 E ，使． (3)在图②中，在边点画点 H ，使值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、等腰直角三角形、平行四边形的判定与性质、轴对称-最短路线问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合平行四边形的判定与性质，在点B的上方取点F，使且，则点F即为所求．过点D作的平行线，交于点P，则点P即为所求． （2）在的右侧作，使且，连接交于点E，则点E即为所求． （3）在点C的下方取点G，使，过点G作的平行线，再过点D作的垂线，交于点N，连接交于点H，则点H即为所求． 【详解】（1）解：如图①，在点B的上方取点F，使且， 则四边形是平行四边形， 则点F即为所求． 过点D作的平行线，交于点P， 则点P即为所求． （2）解：如图②，在的右侧作，使且，连接交于点E， 此时为等腰直角三角形， 则， 即， 则点E即为所求． （3）解：如图②，在点C的下方取点G，使，过点G作的平行线，再过点D作的垂线，交于点N，连接交于点H，连接， 此时点D与点N关于对称， ∴，为最小值， 则点H即为所求． 题型4.（等腰）梯形的定义 1．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 2．如图，在正六边形中连接三条对角线，则该图中梯形的个数是______． 【答案】6 【分析】根据梯形定义，需要寻找一组对边平行而另一组对边不平行的四边形的个数． 首先找到图内有几组平行线，再根据平行线找关于这组平行线的截线，看构成的四边形是否满足梯形的定义． 【详解】如图，图内有一组平行线且该平行线上有两个截线的共有以下几组： ，，． 在的平行线里，可以组成梯形的四边形是，，； 在的平行线里，可以组成梯形的四边形是，，； 在的平行线里，只有一组截线和，该截线无法构成梯形． 所以图中梯形的个数是． 3．如图，是一个梯形，厘米，厘米，的面积是面积的，求的长 【答案】31.4厘米 【分析】本题主要考查梯形面积，分别求出梯形的面积和梯形的面积，根据的面积是面积的列式求解即可 【详解】解：设梯形和梯形的高为， 所以，梯形的面积， 梯形的面积, 又的面积是面积的， ∴, 解得，， ∵ ∴， 解得，（厘米） 题型5.等腰梯形的性质定理 1．等腰梯形两底之差为12，高为，则等腰梯形的腰长是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图形，然后过点A作，过点D作，确定四边形为矩形，再由全等三角形的判定和性质得出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示：过点A作，过点D作， ∵等腰梯形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵等腰梯形两底之差为12，高为， ∴， ∴， ∴腰长为：． 2．等腰梯形的上下底边长分别为2和6，其两条对角线互相垂直，则这个等腰梯形的面积为______． 【答案】 【分析】本题需要先画图，考查了等腰梯形的轴对称性，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先画图，过点作梯形对称轴，交于，交于，，，然后求得，，，然后即可求解； 【详解】解：过点作梯形对称轴，交于，交于，，，如图： 根据等腰梯形的对称性可知，，， 又∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴，，， ∴． 故答案为：． 3．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动：点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，若运动时，求运动时间的值？ 【答案】的值为或 【分析】本题考查平行四边形和等腰梯形的性质，当，存在两种情况：（1）四边形是平行四边形；（2）四边形是等腰梯形． 【详解】解：由题意可知：，，， 若，分两种情况： ①当四边形是平行四边形时， ， ， 解得：， ②当四边形是等腰梯形时， 过点作于， , , 解得：, 综上所述，当的值为或时，． 题型6.数图形中平行四边形的个数 1．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选B． 2．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第100个图中平行四边形的个数___． 【答案】 【分析】找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是． 3．已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】(1)图见解析； (2)，，，，，． 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可； （2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 【点睛】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四边形的判定定理是解答此题的关键． 题型7.判断能否构成平行四边形 1．如图，在四边形中，已知．添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，结合已知条件，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A选项，，，一组对边平行，另一组对边相等，该四边形可能是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； B选项，，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不符合题意； C选项，，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故不符合题意； D选项，，，，，，四边形是平行四边形，故不符合题意． 2． 若四边形两组对边长度分别对应相等，则该四边形一定是__________． 【答案】平行四边形 【分析】根据题干给出的四边形边的条件，结合平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 可知两组对边长度分别对应相等的四边形一定是平行四边形． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)将先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，画出； (2)将绕点B逆时针旋转得到，画出； (3)从（1）中的两个三角形的六个顶点中任意选择四个顶点顺次连接可以得到______个平行四边形，写出其中一个平行四边形的面积______． 【答案】(1)解：如图，即为所求： (2)解：如图，即为所求： (3)4；7或14 【分析】（1）将三个顶点分别先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将三个顶点分别绕点B逆时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可得； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得从（1）中的两个三角形的六个顶点中任意选择四个顶点顺次连接可以得到4个平行四边形，分别为，，，， ； ； ； ． 题型8.添一个条件成为平行四边形 1．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，符合题意． 2．在四边形中，若，，，要使该四边形为平行四边形，则的长为____________． 【答案】4 【分析】根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可求解． 【详解】解：，， ， 要使该四边形为平行四边形，只需满足即可， ， ． 3．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加适当的条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． 【答案】解：可以添加条件：，理由如下： ∵的对角线与相交于点O， ∴， 又∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形．（答案不唯一） 【分析】从对角线的角度添加条件即可；利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可说明理由． 【详解】略 题型9.求与已知三点组成平行四边形的点的个数 1．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格特点，利用平移的性质即可求解． 【详解】解：点B与点M，N，P，Q共线， ， 的长等于三个单位长度， 的对边长也应为三个单位长度， 由图可知，点M，N，P，Q中，只有的长等于三个单位长度， 能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是点N． 2．点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【答案】 【分析】连接、、，分别以、、为对角线，作出以、、、为顶点的平行四边形，可知符合条件的点有个，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接、、， 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出， 符合条件的点有个． 3．A、B、C三点在单位长度为1的直角坐标系内位置如图． (1)在平面直角坐标系中以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，在图中画出所有情况并写出D点坐标； (2)求出你作出的其中一个平行四边形的面积． 【答案】(1)如图，四边形，四边形，四边形为满足条件平行四边形， 点； (2)10 【分析】（1）由A，B，C各点坐标，利用平行四边形对角线互相平分和中点坐标公式，分别求D坐标，画图即可； （2）由每个平行四边形的面积都是二倍，求出面积即可求出平行四边形面积． 【详解】（1）图略， 由已知，A，B，C坐标分别为，当四边形为平行四边形时，设点坐标为，由中点坐标公式可知，，， 解得，，故坐标为； 同理可得，坐标为，坐标为； （2） 由平行四边形性质可知，平行四边形面积为． 题型10.证明四边形是平行四边形 1．如图，四边形的对角线相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A选项：，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”能判定四边形是平行四边形，则此项不符合题意； B选项：不能判定四边形是平行四边形，则此项符合题意； C选项：，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”能判定四边形是平行四边形，则此项不符合题意； D选项：，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”能判定四边形是平行四边形，则此项不符合题意． 2．如图，四边形的对角线，交于点，，．当_____时，四边形是平行四边形． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知对角线互相平分，根据平行四边形判定定理，需对角线也互相平分，从而计算的长度． 【详解】解：∵已知 ，即对角线被点平分． ∴要使四边形是平行四边形，对角线也必须被点平分，即 ∵，且 ∴ 当时，四边形是平行四边形． 故答案为：． 3．如图，和都是等边三角形，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：连接，如图， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【分析】连接，根据等边三角形性质可得，，，再证明，所以，，证明为等边三角形，则有，，从而可得 ，因此得，即，又，最后通过平行四边形的判定方法即可求证． 【详解】略． 题型11.利用平行四边形的的判定与性质求解 1．如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得，，再由平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，得出，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ． ∴，即， 平分交于点， ． 2．如图，剪两张对边平行且等宽的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，若点的坐标为，则四边形面积为______． 【答案】 【分析】设交轴于点，作于点，容易证明四边形是平行四边形，由点的坐标可得，，由勾股定理可得，根据纸条等宽可得，最后利用平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，设交轴于点，作于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵点的坐标为， ∴，， 由勾股定理可得，， ∵两张纸条等宽， ∴， ∴． 3．如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得出，再证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，从而得出，根据，，得出，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． 题型12.利用平行四边形性质和判定证明 1．如图，直线，为直线上两点，为直线上两点，与交于点，则图中面积不一定相等的一组三角形是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】由平行线间的平行线段相等，结合三角形面积公式，由同底等高判断即可确定AD，由即可判断D，从而确定答案． 【详解】解：A、过点作，过点作，如图所示： ， 直线， 四边形是平行四边形， 则， ， ，该选项中两个三角形面积相等； B、由A选项知， ， ，该选项中两个三角形面积相等； C、无法确定与的面积是否相等； D、过点作，过点作，如图所示： ， 直线， 四边形是平行四边形， 则， ， ，该选项中两个三角形面积相等． 2．如图，，分别在的边和的延长线上，，，若，，则的长是__________． 【答案】 【分析】由平行四边形得，可证四边形是平行四边形，于是．中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：平行四边形，． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ，即， ， ， 在中，，， ∴． ∴． 3．如图，在四边形中，，对角线、交于点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，过点作交的延长线于点． （ⅰ）求证：为的中点． （ⅱ）连接交于点，过点作于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ，； 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形； (2)（ⅰ）证明：， ． ， 四边形是平行四边形， ． 四边形是平行四边形， ， ，即为的中点； （ⅱ）． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得，结合题中给出的条件求出，根据全等三角形的性质得出，即可求证四边形是平行四边形； （2）（ⅰ）根据平行四边形的判定求出四边形是平行四边形，则有，根据平行四边形的性质可知，即可求证； （ⅱ）根据一个角是直角的平行四边形是矩形可判定四边形是矩形，则有，根据求出是等腰直角三角形，根据设，即可求解． 【详解】（1）略； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 设，则，， ． ， ， ， ， ． 题型13.平行四边形性质和判定的应用 1．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 2．如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【答案】20 【分析】本题考查了平行线间的距离、三角形面积公式及梯形面积公式的应用，解题的关键是通过三角形面积求出平行线间的距离，进而计算四边形的面积． 由点B、C、E的排列顺序及已知长度求出的长；利用的面积和的长度求出与之间的距离（高）；根据与平行，确定四边形为梯形，结合梯形面积公式计算其面积． 【详解】∵点B、C、E在同一直线上且顺次排列，，， ∴． 设与之间的距离为（即的高）， ∵的面积为6，由三角形面积公式得：， 即，解得． ∵，在上， ∴，又, 四边形是平行四边形，其中，，高为． 由平行四边形面积公式得：四边形的面积． 故答案为：． 3．如图，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树在池塘边不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要求的平行四边形；若不能，请说明理由． 【答案】解：能，设计如下： 【分析】连接，过点分别作的平行线，过分别作的平行线，四条直线分别交于四个点，则四边形即为所求. 【详解】略 题型14.与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，在中，D，E分别是、的中点，若，则的长度为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：∵D、E分别是、的中点， ∴． 2．如图，在中，，点在边上，且，平分，，垂足为点，为的中点，那么的长为________． 【答案】 【分析】先通过角平分线和垂直证明三角形全等，得到和，再利用三角形中位线定理，直接求出的长度． 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 为的中点， ． 3．如图，点、分别是的边、的中点，连接，过点作，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】 【分析】由题意易得，，然后可得四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵点、分别是的边、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 题型15.与三角形中位线有关的证明 1．如图，在中，，点，，分别是边，，的中点，连接，，，，设交于点，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中位线定理可得，，，进而判定四边形是平行四边形，结合即可求解． 【详解】点，，分别是边，，的中点， 、、为的中位线， ，，， 故A正确，不符合题意； ， ， 故B正确，不符合题意； ，是边的中点， 不是的平分线，即， 故C错误，符合题意； ，， 四边形是平行四边形， ， 故D正确，不符合题意． 2．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是________． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质，根据已知条件证明是解题关键． 根据题中所给的中点关系，由中位线定理可得，，进而可得，即是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】点是对角线的中点，点分别是的中点， 是的中位线，即， 同理，， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：． 3．如图，在平行四边形中，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（用铅笔，保留作图过程与痕迹）． (1)如图1，在对角线上找一点，连接，使得． (2)如图2，作出边的中点． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）连接交于点F，连接即可； （2）连接交于点F，连接交于点G，连接并延长交于点P即可． 【详解】（1）解：作图略； ∵四边形是平行四边形， ∴点F是的中点， ∵点E是的中点， ∴； （2）解：作图略； ∵四边形是平行四边形， ∴点F是的中点，即是的边上的中线， ∵点E是的中点，即是的边上的中线， ∴是的边上的中线， ∴点是边的中点． 题型16.三角形中位线的实际应用 1．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段的同侧取一点 C，连接和，D、E分别是的中点，若，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： D、E分别是的中点，， 是的中位线， ． 2．如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N并步测出的长约为40米，由此可知，A，B间的距离约为________米． 【答案】80 【分析】根据三角形中位线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵M、N分别为、的中点， ∴， ∵米， ∴米． 3．如图，在中，点E为的中点．仅用无刻度直尺在给定图形中画图． (1)在图1中，画的中点M； (2)在图2中，点P为边上一点，在上找点N，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点O，连接，延长交于点M，点M即为所求； （2）连接交于点O，连接，交于点J，连接，延长交于点N，点N即为所求． 【详解】（1）解：如图中，点M即为所求； 理由：在中，，点是的中点， ∴是和的中位线， ∴， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴ 又点E为的中点． ∴， ∴，即点M是的中点； （2）解：如图，点N即为所求． 理由：由（1）得是的中位线，则是的中位线， ∴ ∴． 题型17.平行四边形与坐标系的应用 1．平行四边形的三个顶点坐标依次为、、，则第四个顶点的坐标不可能为（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式，分三种情况讨论得到第四个顶点所有可能的坐标，即可判断出不可能的选项． 【详解】解：设三个已知顶点为，，，第四个顶点为，平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论： 若对角线为和 ，∵ 中点坐标为，即，平行四边形对角线中点重合，中点坐标与中点坐标相等， ∴ ，，解得，，即，故选项C是可能的； 若对角线为和，∵ 中点坐标为，平行四边形对角线中点重合，中点坐标与中点坐标相等， ∴ ，，解得，，即，故选项A是可能的； 若对角线为和，∵ 中点坐标为，平行四边形对角线中点重合，中点坐标与中点坐标相等， ∴ ，，解得，，即，故选项B是可能的； 因此第四个顶点的坐标不可能为选项D． 2．在平面直角坐标系中，直线平行于轴，且交一次函数的图像于点，交轴于点，且在轴上存在点，点若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则点A的坐标为____． 【答案】或 【分析】根据题意可得平行于轴，在轴上，故，结合平行四边形对边平行且相等的性质，得到，计算长度后列方程求解点的横坐标，代入一次函数得到点的纵坐标． 【详解】解：设点的横坐标为， 平行于轴，点在轴上， ， 将代入得， ∴， ，， ，在轴上， ∴， ∵以为顶点的四边形为平行四边形， 则， ， ， 解得或， 当时，，得． 当时，，得． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向右平移个单位，再向上平移个单位，得到，请画出，若上有一点，则平移后的对应点的坐标为______； (2)画出关于轴对称的，若存在点，使得以、、、四点构成的四边形为平行四边形，请直接写出所有可能的点坐标：______． 【答案】(1) 解：如图，的坐标为， (2) 解：如图，点坐标为或或 【分析】（1）根据平移的性质画出，根据平移方式得出的坐标为； （2）根据轴对称的性质画出，进而根据平行四边形的性质，结合坐标系，找到点的坐标，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，以、、、四点构成的四边形为平行四边形， 将点沿方向平移,使得，得到坐标为, 将点沿方向平移,使得，得到坐标为, 将点沿方向平移,使得，得到坐标为． 题型18.平行四边形的动点问题 1．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（     ）秒． A．2或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒），， ∴， ∵，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动， 到达的时间为（秒）， ∴当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点为顶点的四边形是平行四边形时， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 2．如图，在平面直角坐标系平行四边形中，点坐标为，点在轴上，，．动点从点出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点从点出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点到达点时，点也随之停止运动． （1）的长为___________； （2）若在轴上有一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为___________． 【答案】 8 或 【分析】(1)过C作于E， 根据含角的直角三角形的性质，结合点C坐标求出，从而求出的长，最后求出的长； (2)首先， 设运动时间为秒，则，接着， 求得， ，，然后，设，再分为平行四边形对角线，为平行四边形对角线两种情况，结合平行四边形的性质求解． 【详解】解：（1）如图1，过C作于E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）：设运动时间为秒，则． 在中，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图1，过P作于F，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D在y轴上， ∴设， 如图2，当为平行四边形对角线时， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴； 如图3，当为平行四边形对角线时， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 综上，点D的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点，，，满足，点E，F分别为，上的动点． (1)直接写出a＝______，b＝______； (2)如图1，若点E从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向点B运动；同时点F从点C出发，以5个单位长度/秒的速度向点O运动，规定其中一个点到达端点时，另一个点也随之停止运动．若，求运动时间t的值； (3)如图2，在点E，F运动过程中，若四边形为矩形，将矩形绕点O逆时针旋转到矩形，使得点G落在边上，连接，交于点N，连接N与的中点M，求的长． 【答案】(1)4，8 (2) (3) 【分析】（1）由非负数的性质即可得解； （2）分两种情况∶当四边形为平行四边形时，易得，当四边形不为平行四边形时，分别过E、B作的垂线段，垂足分别为M、N，易得，再建立方程求解即可； （3）如图过点R作x轴的平行线交于点Q，证为中位线即可得解． 【详解】（1）解：根据非负数的性质可得，． ． ，解得． （2）解∶由题意可知：， ，， ． 当四边形为平行四边形时，． 可列方程，解得； 当四边形不为平行四边形时，分别过E、B作的垂线段，垂足分别为M、N， 则． ， ． ． ，， ，解得；(舍去) 综上所述∶． （3）解：如图过点R作x轴的平行线交于点Q． ， ． 由旋转可知，， ， ． ， ． ， ． ． 在中，点N为中点，点M为中点， 为的中位线， ． 题型19.平行四边形的折叠问题 1．如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，掌握翻折前和翻折后对应角相等是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，再由，可得，再由折叠的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴． 故选：A． 2．如图，在中，，点是边上一动点，将沿直线折叠，得到，设与交于点，当与的一边垂直时，的长为__________． 【答案】1或2 【分析】分和两种情况，根据折叠的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：如图，当时， ， 将沿翻折，得到， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 即 解得， ∴， 平行四边形，， ； 如图，当时，故， 将沿翻折，得到， ，，， ∴，， ∴， ∴三点共线，此时与点重合， ，， ∴， ， ． 综上所述，的长为1或2． 3．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以平行四边形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知平行四边形纸片，，，． (1)操作证明：如图1，小聪先从特殊情形入手，折叠平行四边形纸片，使点与点重合，折痕分别交，边于点，，点的对应点为点．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； (2)拓展延伸：如图2，小慧沿过点的直线折叠该平行四边形纸片，使点的对应点落在对角线的延长线上，折痕交线段于点，交于点，点的对应点为点． ①请判断图1，2两种折法中线段与的位置关系，补全示意图并写出证明过程． ②直接写出线段的长． 【答案】(1)解：，理由如下：如图所示， ∵四边形平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 由折叠可得，， ∴． (2)①，如图， 证明：由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； ② 【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠的性质即可得出； （2）①根据折叠的性质得出，，，根据等边对等角以及角度的和差关系得出，进而可得； ②根据等面积法求得，进而勾股定理求得，，即可得出，结合①的结论证明四边形是平行四边形，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：如图，连接 ∵四边形平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得， 垂直平分 于点 ， ∴， ∵ ∴ 在中， ∴， ∴． 由折叠可得 ∴ 由①可得 ∴四边形是平行四边形， ∴， 题型20.平行四边形的最值问题 1．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，设与交于点，则为中点，，当时，最小，即最小，然后通过勾股定理即可求解 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为边上一动点， ∴当时，的值最小，此时的值最小，如图 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 2．在平面直角坐标系中，已知点，过点E作轴，点C为轴正半轴上的动点，点D为射线上的动点，始终满足轴，则的最小值是_____________ 【答案】 【分析】将点B向上平移4个单位到点P，连接，证明四边形为平行四边形，得出，从而证明，根据两点之间线段最短，得出当A、C、P三点共线时，最小，即最小，根据两点间距离公式求出结果即可． 【详解】解：将点B向上平移4个单位到点P，连接，如图所示： 根据平移可得点P的坐标为，轴，， ∵， ∴轴， ∴轴， ∴， ∵点C在x轴上，点D在射线上， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当A、C、P三点共线时，最小，即最小，最小值为的长度， ∵， ∴， ∴的最小值为． 3．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②、过点C、M分别作的平行线，并交于点P．作射线． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明：； (2)的大小为_______度，线段长度的最小值为_______ (3)如图③，长方形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值． 【答案】(1)证明：∵过点C、M分别作的平行线，并交于点P， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴. (2)； (3)10 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，结合已知条件即可得证； （2）根据平行线的性质，结合三角形的外角的性质，等边对等角，求出，根据垂线段最短得到当时，最短，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可； （3）过点作，交于点，延长至点，使，连接，则即为的最小值，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）证明：略. （2）解：∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，最短，此时的值最小， ∵， ∴当时，， ∴线段长度的最小值为； （3）解：过点作，交于点，延长至点，使，连接， ∵长方形，，G是的中点， ∴，，，，， ∴四边形是平行四边形，垂直平分， ∴，，， ∴，， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07平行四边形期末复习讲义 期末复习◆重点 牢记平行四边形、等腰梯形定义、性质与判定定理，理清四边形从属关系，区分易混淆判定条件； 掌握两类图形边长、角度、周长、面积公式计算； 吃透三角形中位线定理，区分中位线与中线核心差异，熟记基础结论； 掌握几何证明、线段求值、角度计算、梯形辅助线、基础综合题型； 核心题型◆归纳 题型1.利用平行四边形的性质求解 题型2.利用平行四边形的性质证明 题型3.平行四边形性质的其他应用 题型4.（等腰）梯形的定义 题型5.等腰梯形的性质定理 题型6.数图形中平行四边形的个数 题型7.判断能否构成平行四边形 题型8.添一个条件成为平行四边形 题型9.求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型10.证明四边形是平行四边形 题型11.利用平行四边形的的判定与性质求解 题型12.利用平行四边形性质和判定证明 题型13.平行四边形性质和判定的应用 题型14.与三角形中位线有关的求解问题 题型15.与三角形中位线有关的证明 题型16.三角形中位线的实际应用 题型17.平行四边形与坐标系的应用 题型18.平行四边形的动点问题 题型19.平行四边形的折叠问题 题型20.平行四边形的最值问题 重点知识◆梳理 【知识点一、平行四边形】 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作▱ABCD。 2.平行四边形的性质 边：对边平行且相等；AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角：对角相等，邻角互补；∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180° 对角线：对角线互相平分；OA=OC，OB=OD 对称性：中心对称图形，对角线交点为对称中心，无对称轴 面积：底×高 S=ah 性质类别 具体性质 几何语言 图示 边 两组对边分别平行且相等 AB∥CD，AD∥ BC；AB=CD，AD=BC 角 两组对角相等，邻角互补 对角相等：∠A=∠C，∠B=∠D；邻角互补：∠A+∠B=180^°（其余邻角同理） 对角线 互相平分，分为四个等面积小三角形 设AC与BD交于点O，则OA=OC，OB=OD；AOB=BOC=COD=DOA 对称性 中心对称图形，非轴对称图形（特殊除外） 对称中心为对角线交点O；一般不是轴对称图形（矩形、菱形等特殊情况除外） 3.平行四边形的判定定理 易错提醒：仅一组对边平行、另一组相等不能判定平行四边形（可能是等腰梯形）； 证明题优先用“一组对边平行且相等”，步骤最简、不易扣分。 【知识点二、等腰梯形】 1.基础定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 符号标注：平行两边为上底、下底，不平行两边为腰。 2.等腰梯形性质 分类 文字性质 几何语言 边 上下底互相平行，两条腰长度相等 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD 角 同一底上的两个内角相等；对角互补 ∠A=∠D，∠B=∠C；∠A+∠B=180° 对角线 两条对角线长度相等 AC=BD 对称性 轴对称图形，1条对称轴（上下底中点连线），无中心对称性 上下底中点连线为对称轴 面积 （上底+下底）×高 ÷2 S=(a+b)h 3.等腰梯形判定定理 定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形； 角判定：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形； 对角线判定：对角线相等的梯形是等腰梯形。 4.高频易错+解题要点 ① 判定前提：必须先证明是梯形（一组对边平行，一组对边不平行），再套用判定定理； ② 易错坑：对角线相等的四边形≠等腰梯形，必须是梯形才成立； ③ 辅助线套路（必考）：作双高、平移一腰、平移对角线、延长两腰，转化为平行四边形+三角形解题； ④ 等腰梯形对角线相交，形成两组等腰三角形。 【知识点三、三角形中位线】 1.三角形中位线的定义 连接三角形任意两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 在△ABC 中，点D为AB中点，点E为AC中点，线段DE ABC的中位线。 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 3.用符号语言表示：∵AE=EB,AD=DC。∴DE∥BC,DE=BC 3.概念区分 三角形中位线：连接三角形两边中点，不含顶点； 三角形中线：连接三角形顶点与对边中点，二者概念不可混淆。 4.中位线常用重要结论 (1)任意三角形共有三条中位线； (2)三角形三条中位线首尾顺次连接，可构成一个新的小三角形； (3)中位线围成的三角形，周长为原三角形周长的，面积为原三角形面积的； (4)中位线定理常用于证明线段平行关系、求解线段长度、推导几何数量关系。 方形。 易错总结：中点连线为中位线；顶点连中点为中线，无平行、倍分关系！ 题型解析◆精准备考 题型1.利用平行四边形的性质求解 1．如图，在中，的平分线交于点，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，，，则__________． 3．如图，在中，平分，交边于点，是边上的高，垂足为，交于点．已知． (1)求的度数． (2)若，，求的长度． 题型2.利用平行四边形的性质证明 1．如图，在中，点为边中点，连接并延长交延长线于点，若，则长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，过对角线的交点，交于点，交于点．则：①；②若，，则；③；④．其中正确的结论有______． 3．如图，已知中，于点E，于点H，平分，分别交于点F、G、M，且． (1)求证：． (2)猜想与之间有何数量关系，并证明你的猜想． 题型3.平行四边形性质的其他应用 1．如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 2．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是________． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，边上的 D 也是一个格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图， 每个任务的画线不得超过四条． (1)在图①中，先画点F 使四边形是平行四边形，设与相交于点 G ，再在上画出点 P ，使． (2)在图②中，在边上画出点 E ，使． (3)在图②中，在边点画点 H ，使值最小． 题型4.（等腰）梯形的定义 1．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 2．如图，在正六边形中连接三条对角线，则该图中梯形的个数是______． 3．如图，是一个梯形，厘米，厘米，的面积是面积的，求的长 题型5.等腰梯形的性质定理 1．等腰梯形两底之差为12，高为，则等腰梯形的腰长是（     ） A．12 B．6 C． D． 2．等腰梯形的上下底边长分别为2和6，其两条对角线互相垂直，则这个等腰梯形的面积为______． 3．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动：点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，若运动时，求运动时间的值？ 题型6.数图形中平行四边形的个数 1．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第100个图中平行四边形的个数___． 3．已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 题型7.判断能否构成平行四边形 1．如图，在四边形中，已知．添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2． 若四边形两组对边长度分别对应相等，则该四边形一定是__________． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)将先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，画出； (2)将绕点B逆时针旋转得到，画出； (3)从（1）中的两个三角形的六个顶点中任意选择四个顶点顺次连接可以得到______个平行四边形，写出其中一个平行四边形的面积______． 题型8.添一个条件成为平行四边形 1．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D．， 2．在四边形中，若，，，要使该四边形为平行四边形，则的长为____________． 3．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加适当的条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． 题型9.求与已知三点组成平行四边形的点的个数 1．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 2．点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 3．A、B、C三点在单位长度为1的直角坐标系内位置如图． (1)在平面直角坐标系中以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，在图中画出所有情况并写出D点坐标； (2)求出你作出的其中一个平行四边形的面积． 题型10.证明四边形是平行四边形 1．如图，四边形的对角线相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，四边形的对角线，交于点，，．当_____时，四边形是平行四边形． 3．如图，和都是等边三角形，．求证：四边形是平行四边形． 题型11.利用平行四边形的的判定与性质求解 1．如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，剪两张对边平行且等宽的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，若点的坐标为，则四边形面积为______． 3．如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 题型12.利用平行四边形性质和判定证明 1．如图，直线，为直线上两点，为直线上两点，与交于点，则图中面积不一定相等的一组三角形是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．如图，，分别在的边和的延长线上，，，若，，则的长是__________． 3．如图，在四边形中，，对角线、交于点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，过点作交的延长线于点． （ⅰ）求证：为的中点． （ⅱ）连接交于点，过点作于点，若，，求的长． 题型13.平行四边形性质和判定的应用 1．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 2．如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 3．如图，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树在池塘边不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要求的平行四边形；若不能，请说明理由． 题型14.与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，在中，D，E分别是、的中点，若，则的长度为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，在中，，点在边上，且，平分，，垂足为点，为的中点，那么的长为________． 3．如图，点、分别是的边、的中点，连接，过点作，交的延长线于点．若，求的长． 题型15.与三角形中位线有关的证明 1．如图，在中，，点，，分别是边，，的中点，连接，，，，设交于点，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是________． 3．如图，在平行四边形中，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（用铅笔，保留作图过程与痕迹）． (1)如图1，在对角线上找一点，连接，使得． (2)如图2，作出边的中点． 题型16.三角形中位线的实际应用 1．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段的同侧取一点 C，连接和，D、E分别是的中点，若，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 2．如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N并步测出的长约为40米，由此可知，A，B间的距离约为________米． 3．如图，在中，点E为的中点．仅用无刻度直尺在给定图形中画图． (1)在图1中，画的中点M； (2)在图2中，点P为边上一点，在上找点N，使得． 题型17.平行四边形与坐标系的应用 1．平行四边形的三个顶点坐标依次为、、，则第四个顶点的坐标不可能为（     ） A．B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，直线平行于轴，且交一次函数的图像于点，交轴于点，且在轴上存在点，点若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则点A的坐标为____． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向右平移个单位，再向上平移个单位，得到，请画出，若上有一点，则平移后的对应点的坐标为______； (2)画出关于轴对称的，若存在点，使得以、、、四点构成的四边形为平行四边形，请直接写出所有可能的点坐标：______． 题型18.平行四边形的动点问题 1．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（     ）秒． A．2或 B． C．或 D． 2．如图，在平面直角坐标系平行四边形中，点坐标为，点在轴上，，．动点从点出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点从点出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点到达点时，点也随之停止运动． （1）的长为___________； （2）若在轴上有一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为___________． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点，，，满足，点E，F分别为，上的动点． (1)直接写出a＝______，b＝______； (2)如图1，若点E从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向点B运动；同时点F从点C出发，以5个单位长度/秒的速度向点O运动，规定其中一个点到达端点时，另一个点也随之停止运动．若，求运动时间t的值； (3)如图2，在点E，F运动过程中，若四边形为矩形，将矩形绕点O逆时针旋转到矩形，使得点G落在边上，连接，交于点N，连接N与的中点M，求的长． 题型19.平行四边形的折叠问题 1．如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点是边上一动点，将沿直线折叠，得到，设与交于点，当与的一边垂直时，的长为__________． 3．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以平行四边形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知平行四边形纸片，，，． (1)操作证明：如图1，小聪先从特殊情形入手，折叠平行四边形纸片，使点与点重合，折痕分别交，边于点，，点的对应点为点．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； (2)拓展延伸：如图2，小慧沿过点的直线折叠该平行四边形纸片，使点的对应点落在对角线的延长线上，折痕交线段于点，交于点，点的对应点为点． ①请判断图1，2两种折法中线段与的位置关系，补全示意图并写出证明过程． ②直接写出线段的长． 题型20.平行四边形的最值问题 1．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，过点E作轴，点C为轴正半轴上的动点，点D为射线上的动点，始终满足轴，则的最小值是_____________ 3．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②、过点C、M分别作的平行线，并交于点P．作射线． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明：； (2)的大小为_______度，线段长度的最小值为_______ (3)如图③，长方形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $