专题01三角形内角和定理期末复习讲义（19大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题01三角形内角和定理期末复习讲义 期末复习◆重点 熟记三角形内角和核心定理：任意三角形不论形状、大小如何变化，三个内角的度数和恒为180°。 熟练掌握由定理推导得出的相关性质，能够灵活运用直角三角形两锐角互余的结论解题，并借助三角形外角等于两个不相邻内角和的规律，完成几何图形中的角度转化、推理与运算。 系统理解并熟练运用多边形的相关几何公式与性质。掌握n边形内角和(n-2)×180°的计算公式，明确多边形内角和随边数增减产生的变化规律牢记任意多边形外角和恒为360°的恒定性质，辨析易错知识点。 熟练掌握多边形对角线的相关结论，清楚n边形单顶点对角线条数及可分割三角形的数量规律，能够结合定理与公式，规范解答各类基础几何题型。 核心题型◆归纳 题型1.三角形内角和定理的证明 题型2.与平行线有关的三角形内角和问题 题型3.与角平分线有关的三角形内角和问题 题型4.三角形内角和定理的应用 题型5.三角形折叠中的角度问题 题型6.三角形的外角的定义及性质 题型7.多边形的概念与分类 题型8.多边形截角后的边数问题 题型9.多边形的周长 题型10.多边形对角线的条数问题 题型11.对角线分成的三角形个数问题 题型12.多边形内角和问题 题型13.正多边形的内角问题 题型14.多（少）算一个角问题 题型15.多边形截角后的内角和问题 题型16.正多边形的外角问题 题型17.多边形外角和的实际应用 题型18.多边形内角和与外角和综合 题型19.平面镶嵌 重点知识◆梳理 【知识点一、三角形内角和定理】 定理内容：任意三角形的三个内角的和等于180°。 几何语言：在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180°。 关键结论：无论三角形是锐角、直角、钝角三角形，无论大小形状，内角和恒为180°，固定不变。 证明方法： 已知：△ABC，求证：∠ACB+∠BAC+∠CBA=180° 定理重要推论 推论1（直角三角形性质）：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 推论2（直角三角形判定）：有两个角互余的三角形是直角三角形。 推论3（三角形角度限制）：一个三角形中，最多有1个直角、最多有1个钝角，至少有2个锐角。 【知识点二、三角形外角定义及性质】 定义：如上图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD,像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角. 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。∠ACD=∠A+∠B 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 三角形的一个外角与它相邻的内角互补. 三角形外角和恒为360°。如下图：∠1+∠2+∠3=360° 【知识点三、多边形核心知识点】 多边形基础概念：由同一平面内，若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。三角形是最简单的多边形（3边形）。 正多边形：各边相等、各内角相等的多边形.如下图，几种常见的正多边形。 多边形对角线相关公式 设多边形边数为n，且n为整数，从一个顶点可引出对角线条数：n-3（自身+相邻2个顶点无法连对角线）. n边形对角线条数：(n≥3,n为整数) 从n边形一个顶点出发作对角线，可将多边形分成n-2个三角形 多边形内角和公式 核心公式：n边形内角和 =（n-2)×180° 关键性质：内角和随边数n增大而增大，每增加1条边，内角和增加180°。 正n边形单个内角度数： 多边形外角和定理 核心定理：任意多边形的外角和恒为360°，与边数多少无关！ 正n边形单个外角度数： 重要结论：多边形的一个内角与它相邻的外角互为补角（和为180°）。 题型解析◆精准备考 题型1.三角形内角和定理的证明 1．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意， ②∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②符合题意， ③∵， ∴， ∵， ∴，故③符合题意， ④， ， 不能证明“三角形的内角和等于”故④不符合题意， 故选：A． 2．如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________． 【答案】三角形内角和等于180° 【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答． 【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向， ∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数， ∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C， ∵笔尖方向变为点B到点A的方向， ∴旋转角度之和为180°， ∴这种变化说明三角形内角和等于180°． 故答案为：三角形内角和等于180°． 【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键． 3．小亮同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 解：在边上任取一点E，作交于点D， 作交于点 ，， ______，， ，______ ；______ ______等量代换 ，平角的定义 ______． 【答案】 ；两直线平行，同位角相等 ；两直线平行，内错角相等 ；； 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想解决问题．利用平行线的性质，平角的定义即可解决问题． 【详解】解：在边BC上任取一点E，作交于点D，作交于点， ，， ，， ，两直线平行，同位角相等 ；两直线平行，内错角相等， （等量代换）， ，平角的定义， ． 题型2.与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，已知直线，直线分别与直线、交于点、，交直线于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线,三角形的内角和定理等知识点，由垂直的定义得，可得，由平行线的性质推出，熟练掌握平行线的性质，垂线,三角形的内角和的综合应用是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 2．如图，点D，E，F分别在的边上，且．将沿翻折，使得点A落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则______． 【答案】/72度 【分析】本题主要考查了与三角形内角和有关的折叠问题，平行线的性质，由折叠的性质可得，设，则，进而可得，由平角的定义可得，再由平行线的性质得到，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，直线，的直角顶点C在直线上，顶点B在直线上，交于点D，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理，利用平行线的性质及三角形内角和定理，求出的度数是解题的关键． 由，利用“两直线平行，内错角相等”可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，， ， 在中，， ． 题型3.与角平分线有关的三角形内角和问题 1．如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． 2．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 【答案】 【分析】因为是的平分线，且，所以可求出的度数．因为是的平分线，且，所以可求出的度数，进而得到的度数和的度数，即可计算． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，． ∵是的平分线，， ∴，． 对，， ∴． 对，， ∴． ∴ ． 3．请将下列证明过程补充完整． 如图，已知，平分，平分，． 求证：． 证明：（已知）， _____（_____）． 平分，平分（已知）， ，_____（角平分线的定义）． _____（等式的性质）． _____（_____）． （已知）， _____． ， （_____）． 【答案】见解析 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． 平分，平分（已知）， ，（角平分线的定义）． （等式的性质）． （三角形内角和定理）． （已知）， ． ． （内错角相等，两直线平行）． 题型4.三角形内角和定理的应用 1．的三边长分别为，，，下列条件：①，，；②，，；③，；④，．能判断是直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐个判断每个条件，即可得到直角三角形的个数． 【详解】解：①∵ , , ∴ ∴ 是直角三角形； ②∵ , , ∴ , , ∴ 不是直角三角形； ③∵ , , 三角形内角和为 ∴ ∴ 是直角三角形； ④∵ , , 三角形内角和为 ∴ 解得 , ∴ 是直角三角形； 综上，能判断是直角三角形的共3个． 2．如图，将四边形纸片沿折痕折叠，点D落在点处，恰好满足，．若，，则的度数为_______． 【答案】 【分析】，，由折叠的性质可得，，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵，． ∴，， 由折叠的性质可得，， ∴． 3．如图，在中，，于点，求的面积和斜边上的高． 【答案】面积为，高为 【分析】利用勾股定理求出，，进而求出的面积，根据面积的两种表示方法相等求出斜边上的高即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的高为， 则. 题型5.三角形折叠中的角度问题 1．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图： ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ． 2．如图，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，的度数为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平角的定义可推出，由三角形内角和定理可得的度数，据此结合角平分线的定义求出的度数，进而由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与相交于点． (1)填空：________； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的特点得出，再根据三角形一个外角等于它不相邻两个内角之和，即可得出答案； （2）根据已知求出的值，再根据沿折叠得到，得出，最后根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：沿折叠得到， ， ， ； （2）解：，， ∴． 沿折叠得到， ， ∴， ∴． 题型6.三角形的外角的定义及性质 1．下列命题是真命题的是（     ） A．三角形的外角等于任意两内角之和 B．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C．同位角相等 D．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】D 【分析】利用三角形外角性质、全等三角形判定、平行线性质、三角形三边关系，逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：A，∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，并非任意两内角之和， ∴是假命题，不符合题意； B，∵两边及其中一边的对角对应相等不能判定两个三角形全等， ∴是假命题，不符合题意； C，∵只有两直线平行时，同位角才相等，题目未给出两直线平行的前提， ∴是假命题，不符合题意； D，∵三角形的三边关系为任意两边之和大于第三边， ∴是真命题，符合题意． 2．如图在中点DE分别在边AB和AC上点是BC延长线上的一点若，则_______°． 【答案】 【分析】根据平行线的性质求出 的度数再利用三角形外角的性质求出 的度数． 【详解】解：， ， 是 的外角， ， ， ． 3．如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再结合三角形内角和定理可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，再由三角形外角的性质可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． （2）解：∵平分，平分外角， ∴，． ∵，， ∴． 题型7.多边形的概念与分类 1．下列说法中，正确的有（   ） （1）三角形三条高的交点，叫做三角形的重心； （2）从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线； （3）n边形有n条边、n个顶点、n个内角和个外角； （4）n边形的外角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的重心，多边形的对角线，多边形的内角和外角，根据相关知识逐个判断即可． 【详解】（1）三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，故（1）错误； （2）从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线，故（2）错误； （3）n边形有n条边、n个顶点、n个内角和个外角，故（3）正确； （4）n边形的外角和为，故（4）正确， 综上所述：正确的有2个， 故选：B． 2．在平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）_____________而成的图形叫做多边形． 边数为4的多边形叫_____________．四边形的内角和等于_____________，外角和等于_____________．n边形的内角和为_____________，外角和为_____________． 【答案】 首尾顺次连接 四边形 /360度 /360度 /360度 【分析】根据多边形的定义、多边形的内角和、外角和直接解答即可根据多边形的定义解答即可． 【详解】解：在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段(线段的条数不小于3)首尾顺次相接形成的图形叫做多边形．边数为4的多边形叫四边形．四边形的内角和等于，外角和等于．n边形的内角和为，外角和为． 故答案为：首尾顺次连接；四边形；；；；. 【点睛】本题主要考查了多边形的定义，多边形的内角和，外角和相关概念，理解这些概念的意义是解答本题的关键． 3．如图，M，N分别是正五边形的边，上的点，且，交于点P．    (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用证明即可得出结论； （2）求出，由全等形的性质可得，然后根据三角形外角的性质即可求解； 【详解】（1）证明：多边形是正五边形， ，， 在和中，， ， ； （2）解：多边形是正五边形， ， ， ， 是的外角， ． 【点睛】本题考查了正五边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键． 题型8.多边形截角后的边数问题 1．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】根据截线经过的位置不同分三种情况讨论，即可得到剩下多边形的形状。 【详解】解：分三种情况讨论： ∵当截线经过四边形的两个不相邻顶点，即沿对角线截去一个角时，剩余多边形为三角形； 当截线经过四边形的一个顶点和不与该顶点相邻的边上的一点时，剩余多边形为四边形； 当截线经过四边形相邻两条边上非顶点的两点时，剩余多边形为五边形； ∴剩下的多边形是三角形或四边形或五边形． 2．一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是______边形． 【答案】六或七或八 【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。 【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得：， 如图，剪切有下列三种情况： ①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形； ②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形； ③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。 故答案为：六或七或八。 【点睛】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键． 3．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 题型9.多边形的周长 1．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于_________． 【答案】5 【分析】本题考查了正多边形的性质．由正六边形的周长和性质即可得出结果． 【详解】解：∵一个正六边形的周长是， ∴正六边形的边长； 故答案为：5． 2．如图，小明从A点出发，前进6m到点B处后向右转，再前进6m到点C处后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 _____m． 【答案】 【分析】根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出正多边形的周长即可． 【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 由于正多边形的外角和是，且每一个外角为， ， 所以它是一个正十八边形， 因此所走的路程为（m）， 故答案为：． 【点睛】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理以及正多边形的判定是解决问题的前提． 3．如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【答案】(1)14 (2)21 【分析】（1） 根据图②的构成，确定三个正多边形的边数，计算外轮廓周长时需减去重叠的边，从而得到总周长． （2） 设，推导以为内角的正多边形的边数表达式，写出周长的代数表达式；根据边数为正整数确定的取值，代入计算找到最大周长． 【详解】（1）解：图②中，，因此：  以 为内角的正多边形是正方形， 以为内角的正多边形是正八边形， 两个正八边形各贡献条边，共， 正方形贡献条边， 总周长：． （2）解：设， 以为内角的正多边形的边数为， 以，为内角的正多边形的边数均为， 会标的外轮廓周长是． 根据题意可知与均为整数， 的值只能为，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，当时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是21． 【点睛】本题考查了正多边形的内角与边数的关系、代数表达式推导与整数解分析，掌握正多边形边数与内角的换算公式，以及通过代数表达式求最值的方法是解题的关键． 题型10.多边形对角线的条数问题 1．若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形的对角线条数为（     ） A．36 B．18 C．12 D．9 【答案】D 【分析】先利用多边形外角和为定值的性质，结合题目条件求出内角和，再根据内角和公式求出多边形边数，最后代入对角线条数公式计算得到结果． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形内角和是外角和的倍， ∴该多边形内角和为 ， 设该多边形边数为，由多边形内角和公式可得， 解得，即该多边形为六边形， ∵从边形的一个顶点出发，可以作条对角线，共有条对角线， 这样所有的对角线重复计算一次， ∴边形对角线条数公式为， 将代入得： 即该多边形对角线条数为． 2．若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形共有______条对角线． 【答案】 【分析】根据任意多边形的外角和为，可求出该多边形的边数，再利用多边形对角线条数公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都为， ∴该多边形的边数， 将代入多边形对角线条数公式得：． 3．已知一个多边形的边数为n，若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多． (1)求这个多边形的边数； (2)多边形对角线的总条数． 【答案】(1)12 (2)54 【分析】本题考查了求多边形内角和与外角和的综合，求多边形对角线的总条数，掌握多边形对角线的总条数计算公式是解题的关键． （1）根据题意，求出每个外角的度数，再用外角和除以外角的度数得到边数； （2）将边数代入多边形对角线的总条数计算公式求解即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，依题意得， ， 解得， ∴， ∴这个多边形的边数是12； （2）解：∵这个多边形的边数是12 ∴这个多边形对角线的总条数， 答：这个多边形对角线的总条数为． 题型11.对角线分成的三角形个数问题 1．要使一个多边形具有稳定性，从该多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，设多边形的边数为n，根据n边形从一个顶点出发画对角线，可分成个三角形进行计算． 【详解】解：设多边形的边数为n，则： ， 解得． 故选：C． 2．从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 【答案】 3 4 【详解】解：对于边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为． 本题中六边形，因此可以作对角线条数为． 从一个顶点引出条对角线后，可将边形分成个三角形，因此六边形分成三角形的个数为． 3．综合与实践 阅读材料：与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形．小聪同学想，三角形的内角和是，那么四边形、五边形、n边形的内角和会是多少度呢？小聪同学再想一下，能不能把多边形转化为三角形，从而得到多边形的内角和呢？ (1)于是他从四边形开始．如图1，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形，则四边形的内角和是 ． (2)如图2，五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形，则五边形的内角和是 ． (3)如图3，六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形，则六边形的内角和是 ． (4)如图4，如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到 个三角形，则n边形的内角和是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查了对角线分成的三角形个数问题，多边形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （2）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （3）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （4）理解题意，根据前面三小问，进行分析总结，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形， 则四边形的内角和是； （2）解：∵五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形， 则五边形的内角和是； （3）解：∵六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形， 则六边形的内角和是； （4） 解：如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到个三角形，则n边形的内角和是 题型12.多边形内角和问题 1．七边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可直接利用多边形内角和公式计算，边形的内角和为，将七边形的边数代入公式即可得到结果． 【详解】解：∵边形的内角和公式为，七边形的边数， ∴七边形的内角和为． 2．如图，直线与正五边形的边、分别交于点M、N，则的度数为____． 【答案】 【分析】根据正五边形的每个内角的大小和四边形的内角和解题． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵四边形的内角和为， 正五边形的每个内角为， ∴， ， 即． 3．四边形中，，，比大，求的度数． 【答案】 【分析】设的度数为，则的度数为，根据四边形内角和为列出方程，求解即可获得答案． 【详解】解：设的度数为，则的度数为， 根据题意可得 ， 解得， 即的度数为． 题型13.正多边形的内角问题 1．如图，足球的表面是由12块正五边形黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和问题，求出正五边形和正六边形每个内角的度数，即可求解． 【详解】解：正五边形内角和为：，每个内角为：， 正六边形内角和为：，每个内角为：， 因此． 2．如图，在每个内角都相等且每条边都相等的五边形中，点、在边、上，且，则_______度． 【答案】 【分析】根据正五边形的性质可知每个内角的度数是，可证，根据全等三角形的性质可得，根据三角形内角和定理可知，根据对顶角相等可得． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ． 3．已知一个多边形的内角和是其外角和的4倍． (1)求这个多边形的边数； (2)若这个多边形是正多边形，求该正多边形的一个内角的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）设这个多边形的边数是，根据多边形内角和公式计算即可； （2）根据正多边形内角公式计算即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意，得， 解得， 故这个多边形的边数是10； （2）解：由（1）可知，， 则正十边形的一个内角的度数为：． 题型14.多（少）算一个角问题 1．一个凸多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．90 B．104 C．119 D．135 【答案】C 【分析】由多边形内角和定理与多边形的对角线的条数的公式，即可解决问题． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，除去的那个内角是x， 由题意得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个多边形对角线的条数是． 故选C． 【点睛】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，解决本题的关键是掌握多边形的内角和计算公式． 2．在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是_____________． 【答案】/度 【分析】n边形的内角和是，即为180度的倍数，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度相除，得到的余数的度数的补角即是少算的内角的度数． 【详解】解：∵， ∴少加的内角是：． 故答案为：． 【点睛】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 3．请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【答案】(1)，13； (2)内角和是，对角线有65条 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和以及多边形的对角线问题． （1）根据多边形的内角和公式可得内角和一定是180的倍数，用2024除以180，得到的余数即为多加的外角，再根据多边形的内角和公式可得边数； （2）用2024减去多加的外角即可得到内角和；根据n边形的对角线条数为求解即可． 【详解】（1）解：∵n边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是180的倍数， ∵， ∴多加的外角是， 这个凸多边形的边数是； （2）这个多边形的内角和为， 对角线条数为（条）， 答：这个多边形的内角和是，对角线有65条． 题型15.多边形截角后的内角和问题 1．若一个多边形的内角和为，则将该多边形截去一个角后，剩下的多边形的内角和不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据多边形内角和公式求出原多边形的边数，再分析截去一个角后新多边形的三种边数情况，分别计算内角和即可得到不可能的结果． 【详解】解：设原多边形的边数为， 根据多边形内角和公式可得， 解得， 即原多边形为六边形． 截去一个角后，新多边形的边数有三种情况： 1．截线不经过原多边形的顶点，新多边形边数为，内角和为； 2．截线经过原多边形的一个顶点，新多边形边数仍为，内角和为； 3．截线经过原多边形的两个顶点，新多边形边数为，内角和为． 因此剩下多边形的内角和不可能为． 2．一个多边形剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是____． 【答案】或或 【分析】先利用多边形内角和公式求出新多边形的边数，再根据剪去一个角的不同情况推导原多边形的边数即可． 【详解】解：设所得新多边形的边数为， ∵所得多边形的内角和为， ∴， 解得，即所得新多边形为六边形， 当剪切线不经过原多边形的顶点时，剪后多边形边数比原多边形多，可得原多边形边数为； 当剪切线经过原多边形一个顶点时，剪后多边形边数与原多边形相等，可得原多边形边数为； 当剪切线经过原多边形两个顶点，剪后多边形边数比原多边形少，可得原多边形边数为， 综上所述：原多边形的边数是或或 3．将一个多边形截去一个角，截后形成的多边形内角和为，求原多边形的边数． 【答案】6或7或8 【分析】此题考查了多边形的内角和公式．设新的多边形的边数为n，由多边形内角和公式，可得方程，即可求得新的多边形的边数，继而求得答案． 【详解】解：设新的多边形的边数为n， ∵新的多边形的内角和是， ∴， 解得：， ∴一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是七边形， ∴原多边形的边数可能是6或7或8． 题型16.正多边形的外角问题 1．如图，是正五边形的一个外角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形的外角和是，即可求解． 【详解】解：正五边形的一个外角， 故选：B． 2．一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数_____． 【答案】 8 【分析】任意多边形的外角和恒为，利用外角和除以单个外角的度数，即可得到多边形的边数． 【详解】解：根据多边形外角和定理可得，该多边形外角和为， 已知该多边形每一个外角都是，因此边数． 3．如图，小明从点出发，前进后向左转，再前进后又向左转，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点时，他所走的路径刚好构成一个正多边形． (1)求小明第一次回到出发点时走过的路程； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）第一次回到出发点时，所经过的路线正好构成一个外角是度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：所经过的路线正好构成一个外角是度的正多边形， ， ； （2） 解：根据题意可得：． 题型17.多边形外角和的实际应用 1．如图是甘肃平凉延恩寺塔，又名大明宝塔，始建于多年前的明弘治年间．从上面看该塔，得到的平面图形是八边形，该八边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵多边形的外角和等于， ∴该八边形的外角和为． 2．如图，小明从A点出发，沿直线前进3米后向左转，再沿直线前进3米，又向左转，……，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为______米． 【答案】24 【分析】由已知条件得走的图形是正多边形，且每个外角为，由外角和求出边数，即可求解． 【详解】解：第一次回到出发点A时， 走的图形是正多边形，且每个外角为， ， 解得， 共走路程为（米）． 3．规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 【答案】(1)正九边形； (2)18； (3)． 【分析】本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键． （1）该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用除以，即可求得正多边形的边数； （2）求出多边形的周长，利用周长除以速度即可求得所需时间； （3）求出n次的路径长减去4即可． 【详解】（1）解：由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形， 多边形的边数为：， 所以，该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是正九边形， 故答案为：正九边形； （2）解：该机器人所走的路程是：， 则所用时间是：． 故答案为：18； （3）解：已知机器人n次回到原点的路程为：， 还差，即：． 故答案为：． 题型18.多边形内角和与外角和综合 1．一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的4倍，则这个多边形的边数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用内角和相邻外角互补的关系求出外角度数，再根据多边形外角和为计算边数． 【详解】解：设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为， ∵内角与相邻外角互补， ∴， 解得， ∵任意多边形的外角和为， ∴这个多边形的边数为． 2．若一个多边形的内角和与外角和之差为，则这个多边形的边数______． 【答案】 【分析】任意多边形的外角和恒为，根据已知条件先求出该多边形的内角和，再利用多边形内角和公式列方程求解边数即可． 【详解】解：设该多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 整理得： ， 解得． 3．已知边形的内角和为：． (1)五边形的内角和为____________； (2)已知一个边形的内角和是它的外角和的2倍，求的值； (3)一个边形的内角和可以是吗？如果可以，求出的值；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)540 (2) (3)不可以，理由见解析 【分析】（1）代入到边形的内角和公式即可求解； （2）根据边形的内角和以及外角和公式列出方程，即可求出的值； （3）设一个边形的内角和是，根据边形的内角和公式列出方程，求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：五边形的内角和为； （2）解：∵一个边形的内角和是它的外角和的2倍， ∴， 解得； （3）解：设一个边形的内角和是， 则， 解得， ∵是整数， ∴不符合题意，舍去， ∴一个边形的内角和不可以是． 题型19.平面镶嵌 1．如图所示，一个正方形水池的四周恰好被4个正边形地板砖铺满，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值即可． 【详解】解：正n边形的一个内角为： ， 则， 解得：． 2．如图（1），图形的密铺指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如图（2），若要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料（两种材料都要用到）密铺地面，则必须满足：有公共顶点的个正三角形的内角与个正六边形的内角的和等于， 则__________ 【答案】或 【分析】先计算出正三角形和正六边形的内角，再根据题意列出方程，求解即可． 【详解】解：正三角形每个内角为，正六边形每个内角为， 根据题意可列方程：， 化简，得， ∵、都是正整数， ∴或， ∴或． 3．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫作多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． (1)【探究发现】填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 ________ ________ ________ … ________ (2)若只用一种正多边形镶嵌，则能镶嵌成一个平面图案的正多边形有________．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． (3)【拓展应用】如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，则的值为________． 【答案】(1)；；； (2)①③ (3)或 【分析】（1）根据n边形内角和定理“n边形内角和等于求出内角和”，再除以n得到正n边形每个内角的度数； （2）根据除以n边形的每一个内角的度数是整数即可解答； （3）由题意得，x、y是满足的正整数解，即可求的值． 【详解】（1）解：正三角形每个内角的度数为； 正方形每个内角的度数为； 正五边形每个内角的度数为； 正六边形每个内角的度数为； …… 正n边形每个内角的度数为； 故答案为：；；；． （2）解：由（1）的方法可求出： 正三角形的每一个内角的度数是； 正五边形的每一个内角的度数是； 正六边形的每一个内角的度数是； 正七边形的每一个内角的度数是； 正八边形的每一个内角的度数是； 又，， 只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形、正六边形， 故答案为：①③． （3）解：由题意得，x、y为满足方程的正整数解， 二元一次方程的正整数解为或， 则的值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形内角和定理期末复习讲义 期末复习◆重点 熟记三角形内角和核心定理：任意三角形不论形状、大小如何变化，三个内角的度数和恒为180°。 熟练掌握由定理推导得出的相关性质，能够灵活运用直角三角形两锐角互余的结论解题，并借助三角形外角等于两个不相邻内角和的规律，完成几何图形中的角度转化、推理与运算。 系统理解并熟练运用多边形的相关几何公式与性质。掌握n边形内角和(n-2)×180°的计算公式，明确多边形内角和随边数增减产生的变化规律牢记任意多边形外角和恒为360°的恒定性质，辨析易错知识点。 熟练掌握多边形对角线的相关结论，清楚n边形单顶点对角线条数及可分割三角形的数量规律，能够结合定理与公式，规范解答各类基础几何题型。 核心题型◆归纳 题型1.三角形内角和定理的证明 题型2.与平行线有关的三角形内角和问题 题型3.与角平分线有关的三角形内角和问题 题型4.三角形内角和定理的应用 题型5.三角形折叠中的角度问题 题型6.三角形的外角的定义及性质 题型7.多边形的概念与分类 题型8.多边形截角后的边数问题 题型9.多边形的周长 题型10.多边形对角线的条数问题 题型11.对角线分成的三角形个数问题 题型12.多边形内角和问题 题型13.正多边形的内角问题 题型14.多（少）算一个角问题 题型15.多边形截角后的内角和问题 题型16.正多边形的外角问题 题型17.多边形外角和的实际应用 题型18.多边形内角和与外角和综合 题型19.平面镶嵌 重点知识◆梳理 【知识点一、三角形内角和定理】 定理内容：任意三角形的三个内角的和等于180°。 几何语言：在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180°。 关键结论：无论三角形是锐角、直角、钝角三角形，无论大小形状，内角和恒为180°，固定不变。 证明方法： 已知：△ABC，求证：∠ACB+∠BAC+∠CBA=180° 定理重要推论 推论1（直角三角形性质）：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 推论2（直角三角形判定）：有两个角互余的三角形是直角三角形。 推论3（三角形角度限制）：一个三角形中，最多有1个直角、最多有1个钝角，至少有2个锐角。 【知识点二、三角形外角定义及性质】 定义：如上图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD,像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角. 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。∠ACD=∠A+∠B 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 三角形的一个外角与它相邻的内角互补. 三角形外角和恒为360°。如下图：∠1+∠2+∠3=360° 【知识点三、多边形核心知识点】 多边形基础概念：由同一平面内，若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。三角形是最简单的多边形（3边形）。 正多边形：各边相等、各内角相等的多边形.如下图，几种常见的正多边形。 多边形对角线相关公式 设多边形边数为n，且n为整数，从一个顶点可引出对角线条数：n-3（自身+相邻2个顶点无法连对角线）. n边形对角线条数：(n≥3,n为整数) 从n边形一个顶点出发作对角线，可将多边形分成n-2个三角形 多边形内角和公式 核心公式：n边形内角和 =（n-2)×180° 关键性质：内角和随边数n增大而增大，每增加1条边，内角和增加180°。 正n边形单个内角度数： 多边形外角和定理 核心定理：任意多边形的外角和恒为360°，与边数多少无关！ 正n边形单个外角度数： 重要结论：多边形的一个内角与它相邻的外角互为补角（和为180°）。 题型解析◆精准备考 题型1.三角形内角和定理的证明 1．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________． 3．小亮同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 解：在边上任取一点E，作交于点D， 作交于点 ，， ______，， ，______ ；______ ______等量代换 ，平角的定义 ______． 题型2.与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，已知直线，直线分别与直线、交于点、，交直线于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点D，E，F分别在的边上，且．将沿翻折，使得点A落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则______． 3．如图，直线，的直角顶点C在直线上，顶点B在直线上，交于点D，，，求的度数． 题型3.与角平分线有关的三角形内角和问题 1．如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 3．请将下列证明过程补充完整． 如图，已知，平分，平分，． 求证：． 证明：（已知）， _____（_____）． 平分，平分（已知）， ，_____（角平分线的定义）． _____（等式的性质）． _____（_____）． （已知）， _____． ， （_____）． 题型4.三角形内角和定理的应用 1．的三边长分别为，，，下列条件：①，，；②，，；③，；④，．能判断是直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，将四边形纸片沿折痕折叠，点D落在点处，恰好满足，．若，，则的度数为_______． 3．如图，在中，，于点，求的面积和斜边上的高． 题型5.三角形折叠中的角度问题 1．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，的度数为______． 3．如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与相交于点． (1)填空：________； (2)求的度数． 题型6.三角形的外角的定义及性质 1．下列命题是真命题的是（     ） A．三角形的外角等于任意两内角之和 B．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C．同位角相等 D．三角形任意两边之和大于第三边 2．如图在中点DE分别在边AB和AC上点是BC延长线上的一点若，则_______°． 3．如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 题型7.多边形的概念与分类 1．下列说法中，正确的有（   ） （1）三角形三条高的交点，叫做三角形的重心； （2）从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线； （3）n边形有n条边、n个顶点、n个内角和个外角； （4）n边形的外角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）_____________而成的图形叫做多边形． 边数为4的多边形叫_____________．四边形的内角和等于_____________，外角和等于_____________．n边形的内角和为_____________，外角和为_____________． 3．如图，M，N分别是正五边形的边，上的点，且，交于点P．    (1)求证：． (2)求的度数． 题型8.多边形截角后的边数问题 1．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 2．一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是______边形． 3．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 题型9.多边形的周长 1．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于_________． 2．如图，小明从A点出发，前进6m到点B处后向右转，再前进6m到点C处后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 _____m． 3．如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 题型10.多边形对角线的条数问题 1．若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形的对角线条数为（     ） A．36 B．18 C．12 D．9 2．若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形共有______条对角线． 3．已知一个多边形的边数为n，若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多． (1)求这个多边形的边数； (2)多边形对角线的总条数． 题型11.对角线分成的三角形个数问题 1．要使一个多边形具有稳定性，从该多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 3．综合与实践 阅读材料：与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形．小聪同学想，三角形的内角和是，那么四边形、五边形、n边形的内角和会是多少度呢？小聪同学再想一下，能不能把多边形转化为三角形，从而得到多边形的内角和呢？ (1)于是他从四边形开始．如图1，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形，则四边形的内角和是 ． (2)如图2，五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形，则五边形的内角和是 ． (3)如图3，六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形，则六边形的内角和是 ． (4)如图4，如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到 个三角形，则n边形的内角和是 ． 题型12.多边形内角和问题 1．七边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线与正五边形的边、分别交于点M、N，则的度数为____． 3．四边形中，，，比大，求的度数． 题型13.正多边形的内角问题 1．如图，足球的表面是由12块正五边形黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在每个内角都相等且每条边都相等的五边形中，点、在边、上，且，则_______度． 3．已知一个多边形的内角和是其外角和的4倍． (1)求这个多边形的边数； (2)若这个多边形是正多边形，求该正多边形的一个内角的度数． 题型14.多（少）算一个角问题 1．一个凸多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．90 B．104 C．119 D．135 2．在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是_____________． 3．请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 题型15.多边形截角后的内角和问题 1．若一个多边形的内角和为，则将该多边形截去一个角后，剩下的多边形的内角和不可能为（    ） A． B． C． D． 2．一个多边形剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是____． 3．将一个多边形截去一个角，截后形成的多边形内角和为，求原多边形的边数． 题型16.正多边形的外角问题 1．如图，是正五边形的一个外角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数_____． 3．如图，小明从点出发，前进后向左转，再前进后又向左转，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点时，他所走的路径刚好构成一个正多边形． (1)求小明第一次回到出发点时走过的路程； (2)求这个正多边形的内角和． 题型17.多边形外角和的实际应用 1．如图是甘肃平凉延恩寺塔，又名大明宝塔，始建于多年前的明弘治年间．从上面看该塔，得到的平面图形是八边形，该八边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 2．如图，小明从A点出发，沿直线前进3米后向左转，再沿直线前进3米，又向左转，……，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为______米． 3．规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 题型18.多边形内角和与外角和综合 1．一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的4倍，则这个多边形的边数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．若一个多边形的内角和与外角和之差为，则这个多边形的边数______． 3．已知边形的内角和为：． (1)五边形的内角和为____________； (2)已知一个边形的内角和是它的外角和的2倍，求的值； (3)一个边形的内角和可以是吗？如果可以，求出的值；如果不可以，请说明理由． 题型19.平面镶嵌 1．如图所示，一个正方形水池的四周恰好被4个正边形地板砖铺满，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图（1），图形的密铺指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如图（2），若要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料（两种材料都要用到）密铺地面，则必须满足：有公共顶点的个正三角形的内角与个正六边形的内角的和等于， 则__________ 3．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫作多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． (1)【探究发现】填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 ________ ________ ________ … ________ (2)若只用一种正多边形镶嵌，则能镶嵌成一个平面图案的正多边形有________．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． (3)【拓展应用】如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，则的值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $