专题02等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线期末复习讲义（19大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题02等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、 角平分线期末复习讲义 期末复习◆重点 熟练掌握等腰三角形的性质与判定，理解并运用等边对等角、三线合一等核心结论，掌握等边三角形的性质及判定方法，可独立完成相关作图、计数及性质判定综合类习题。 掌握直角三角形的相关性质，熟知直角三角形两锐角互余、含30°角直角三角形的特殊结论；掌握命题、逆命题、定理及互逆定理的相关概念，能正确书写逆命题并进行判断，熟练运用HL定理证明直角三角形全等，结合全等性质解答综合题型。 掌握线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握尺规作垂线的作图技能，能运用相关定理完成几何计算与证明。 熟记角平分线的性质定理与判定定理，明晰定理适用条件，可灵活运用定理开展几何推理，并解决相关实际应用问题。 核心题型◆归纳 题型1.等边对等角 题型2.三线合一 题型3.等腰三角形作图与计数问题 题型4.等腰三角形性质与判定综合 题型5.等边三角形性质、判定及应用综合 题型6.含30°角直角三角形性质应用 题型7.写出命题逆命题及判断互逆命题 题型8.直角三角形两锐角互余 题型9.两角互余的三角形是直角三角形 题型10.定理与证明 题型11.互逆定理 题型12.用HL证明全等 题型13.全等性质与HL综合 题型14.线段垂直平分线的性质 题型15.线段垂直平分线的判定 题型16.尺规作垂线 题型17.角平分线的性质定理 题型18.角平分线的判定定理 题型19.角平分线性质的实际应用 重点知识◆梳理 【知识点一、等腰三角形】 1.等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边为腰，另一边为底边，两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 2.等腰三角形性质 （1）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等. 几何语言：AB=AC. ∠B=∠C. (2) . 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合简称为“三线合一”。如下图， ∵AB=AC,BD=CD，∴∠BAD=∠CAD.(三线合一) ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD，∴BD=CD,AD⊥BC.(三线合一) ∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∠BAD=∠CAD（三线合一） (3). 轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线（1条对称轴）。 3.等腰三角形的判定 （1）定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 【知识点二、等边三角形】（特殊等腰三角形） 1.等边三角形的性质：（1）三边全部相等；（2）三个内角均为60°；（3）具备等腰三角形全部性质，有3条对称轴。 2.等边三角形的判定：（1）三边相等的三角形是等边三角形；（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【知识点三、直角三角形】 1.直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形叫直角三角形，直角对边为斜边，另两边为直角边，记作Rt△ABC（∠C为直角）。 2.直角三角形的性质 （1）两锐角互余（∠A+∠B=90°，∠C=90°）； 几何语言：在△ABC中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°. （2）勾股定理：两直角边平方和等于斜边平方，即+=（a、b为直角边，c为斜边）； （3）30°角所对直角边=斜边的一半；如图,在Rt△ABC中，∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC= AB （4）斜边上的中线=斜边的一半； Rt△ABC中，∵∠ACB=90°,AD=BD,∴CD= AB(或CD=AD=BD)。 （5）对称性：等腰直角三角形是轴对称图形 3.直角三角形判定定理 （1）有一个角是90°的三角形是直角三角形；（定义法） （2）两锐角互余的三角形是直角三角形；（角的判定） （3）勾股定理逆定理：若a²+b²=c²，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形；（勾股定理逆定理） （4）特殊判定：在一个三角形中，若它斜边上的中线等于斜边的一半，这个三角形为三角形。 【知识点四、直角三角形全等——HL判定及全等性质】 1.全等性质：对应边、对应角相等；对应中线、高、角平分线相等。 2. HL判定：斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等（直角三角形专属）。 【知识点五、逆命题、互逆命题、定理与证明、互逆定理】 1.逆命题：互换原命题题设与结论； 2.互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。（原命题成立，逆命题不一定成立）； 3.定理：经推理证实的真命题；证明：通过逻辑推理得出结论的过程； 4.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明为真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。这两个定理互为逆定理（如勾股定理与逆定理） 【知识点六、线段的垂直平分线】 1.定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言：∵l⊥AB,AC=CB∴直线l是线段AB的垂直平分线​。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵直线I垂直平分AB,点P在直线I上，∴PA=PB 3.判定定理：① 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 几何语言：∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上。 ② 既垂直于一条线段，又经过线段中点的直线，叫做线段的垂直平分线。 几何语言：∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上。 总结：性质定理可以用来证明两条线段相等；逆定理可以用来证明点在垂直平分线上（或直线经过某一点） 4线段垂直平分线的作法 5.常用辅助线 （1）连接垂直平分线上的点与线段两端点（构造等腰三角形）； （2）过线段中点作线段垂线（构造直角三角形）。 【知识点七、角平分线】 1.角平分线的定义、性质 2.角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 3.角平分线的判定：（1）在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；（2）平分角且射线上一点到角两边距离相等的射线，是这个角的平分线。（如下图） 几何语言：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN. ∴P在∠AOB的角平分线上.∴OP为∠AOB的角平分线. 4.角平分线的作法： 5.常用辅助线：（1）过角平分线上的点向角两边作垂线（构造全等直角三角形）；（2）连接角平分线与三角形顶点（转化线段、角关系）。 题型解析◆精准备考 题型1.等边对等角 1．如图，在中，，，过点C作，连接交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，由平行线的性质可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴． ∵是的外角， ∴． 2．如图，在边上，，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得到，，从而得到，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ，， ， ， 在中，， ． 3．如图，已知，，，是中线． (1)尺规作图：求作线段，使得平分，且，连接并延长交延长线于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题目的作图步骤进行作图即可； （2）由等腰三角形的性质可得，再求出，再由等腰三角形性质可得，再求出，最后可得结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：是中线， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型2.三线合一 1．如图所示，已知，点P在上，，点M，N在上．，若，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过P作垂足为C，由等腰三角形三线合一的性质可得，再利用含30度直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图：过P作垂足为C， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在等腰三角形中，，，，，则________． 【答案】 【分析】根据三线合一，含角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， ∴. 3．综合与实践 问题情境： 如图，在中，，点D在的延长线上，过点D作于点E，交于点F． (1)请判断的形状，并给出证明过程． 拓展探究： (2)若，求证：． 【答案】(1)为等腰三角形，理由如下： ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； (2)证明：作，则， 由（1）知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，推出，即可得出结论； （2）作，三线合一得到，证明，得到即可得证. 【详解】（1）略 （2） 略 题型3.等腰三角形作图与计数问题 1．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，网格线的交点称为格点．线段的顶点、均在格点上，若点也在图中的格点上，且是以为腰的等腰三角形，则点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据勾股定理计算的长，分和两种情况，结合网格特点寻找满足条件的格点C的个数． 【详解】解：由图可知，网格小正方形边长为1， 根据勾股定理得：， 是以为腰的等腰三角形， 分两种情况讨论： 若，在网格中，满足的格点C需满足为长为3、宽为1的矩形的对角线， 观察图形，点A左侧3格，上方1格处有一点， 则满足的格点C有1个； 若，在网格中，满足的格点C需满足为长为3、宽为1的矩形的对角线， 观察图形，点B右侧1格、上方3格处有一点，点B左侧1格、上方3格处有一点， 则满足的格点C有2个， 综上所述，满足条件的点C共有个． 2．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C，D，E，F均在格点上．下列结论： ①连接，点A与点F关于成轴对称； ②连接，，，则是等腰三角形； ③连接，点B，E到线段的距离相等． 其中，正确结论的序号是____________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查轴对称，勾股定理，三角形全等的判定与性质，等腰三角形性质及应用等，根据轴对称概念，全等三角形判定与性质，点到直线的距离等逐个判断．解题的关键是根据描述，正确的画图，熟练掌握相关知识点． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，， ∵， ∴， ∴点A与点F关于成轴对称，故①正确； 如图，连接，，， 由图可知，，， ∴是等腰三角形，故②正确； 如图，连接，，，， 设点，到线段的距离分别为，． 由图可知，， ， ∴，则， ∴点B，E到线段的距离相等，故③正确； 综上，正确的有①②③； 故答案为：①②③． 3．如图，在每个小正方形的边长都为1个单位的网格中建立平面直角坐标系， 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)请画出关于轴对称的△（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上标记出点的位置） (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 ___ 个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查轴对称作图，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键． （1）由点的对称性，作出图形即可； （2）作点B关于x轴的对称点，连接点B的对称点和点A交轴于点P，点P即为所求； （3）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解. 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点P即为所求； （3）解：如图：以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 作线段的垂直平分线，此线与坐标轴有个交点， 是等腰三角形时，点坐标有个， 故答案为． 题型4.等腰三角形性质与判定综合 1．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再根据三角形分类规则判断三角形类型即可． 【详解】解：该三角形第三个内角的度数为， 最大的内角为， ∴这个三角形为锐角三角形， ∵这个三角形有两个内角相等， ∴这个三角形一定是等腰三角形． 2．如图，在中，，，，点是上一点，连接，将沿着翻折得到，连接， （1）若，则的长是________ （2）若是直角三角形，则的长是________． 【答案】 或 【分析】首先利用勾股定理求出的长，由翻折的性质可得，，，．（1）利用平行线的性质可得，，结合翻折性质推导出，从而得到，进而求解；（2）分和两种情况讨论，分别利用等腰直角三角形的性质和勾股定理建立方程求解． 【详解】解：在中，，，， ． 由翻折的性质可知， ，，，， （1）， ，， ， ， ， ， ， ． （2）根据题意可得当点在上方时， 当点在下方时，， 若点E与点A重合，则最大，此时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，； 故分两种情况讨论： ①当时， ， ， ， 在中，，， ， ， ； ②当时， ， ， 点在线段上， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， 综上所述，的长为或． 3．图1是一种纸质的桌面月历，底面纸板可适度向内挤压变形，图2是其置于水平桌面的侧面示意图，A，B两点始终在水平桌面l上，，． (1)求证：． (2)当时， ①的度数为______； ②求的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴． (2)①；② 【分析】（1）等边对等角，结合角的和差关系即可得证； （2）①等边对等角，结合角的和差关系，进行求解即可；②延长交于点，易得均为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：①∵，， ∴ ∴； ②延长交于点，则， ∴， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 题型5.等边三角形性质、判定及应用综合 1．如图，等边三角形中，，点在线段上，，则长度为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形“三线合一”的性质求出边长，利用勾股定理求出的长，再结合及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：是等边三角形，，， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 2．已知的三边长为，且满足，则此三角形一定是________． 【答案】等边三角形 【分析】本题主要考查绝对值的非负性，根据绝对值的非负性可求出的值，根据边长可判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 3．如图，在中，，作的垂直平分线，交于点，交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 【答案】(1)等边三角形，理由见详解 (2) 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的特点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得，则，在结合三角形内角和定理得，即可确定的形状； （2）根据（1）可推得，根据直角三角形的特点得，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 则为等边三角形； （2）解：由（1）可知，为等边三角形， 则，即为的中点， ∵垂直平分，即点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的周长为． 题型6.含30°角直角三角形性质应用 1．下列各组线段中，能构成直角三角形，且有一个角是的是（   ） A．1，2，3 B． C．3，4，5 D． 【答案】B 【分析】先用勾股定理逆定理验证是否为直角三角形，再根据直角三角形性质，角所对的直角边等于斜边的一半验证即可． 【详解】解：A．，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，排除． B．最短边为2，最长边为4， ∵ ∴该三角形是直角三角形， ∵满足， ∴符合角的要求，故符合题意； C．最短边为3，最长边为5， ∵， ∴该三角形是直角三角形， ∵， ∴不存在角，排除； D．，不能构成直角三角形，排除． 2．如图，在中，，，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数，利用角平分线的定义求出和的度数，再利用平行线的性质求出的度数，在中利用含角的直角三角形的性质求出的长，证明为等腰三角形得到，最后在中求出的长即可求解． 【详解】解： 平分 在中， 在中， ． 3．毛公山（原名保国山），位于海南省乐东黎族自治县保国农场，是因山形酷似毛泽东主席仰卧像而得名的国家2A级红色旅游景区，八（1）班数学兴趣小组为了测量其高度，在点B处看山顶，测得，往前走730米到点（点B、C、D同在地面一直线上），此时测得． (1)__________；点D到山脚下点C的距离是__________米； (2)求毛公山的高度是多少米？（，结果保留整数） 【答案】(1)； (2)米 【分析】（1）利用三角形外角性质即可求出，利用等腰三角形性质推出，再结合直角三角形性质求解，即可求出的长； （2）直接利用勾股定理求解，即可解题． 解题的关键在于灵活运用相关知识． 【详解】（1）解：，， ； ，， ， ， ； （2）解：（米）， 答：毛公山的高度是米． 题型7.写出命题逆命题及判断互逆命题 1．以下命题中，原命题和逆命题都是真命题的是（     ） A．四边形是多边形 B．两直线平行，同旁内角互补 C．两边分别相等的两个直角三角形全等 D．如果两个角是同位角，那么这两个角相等 【答案】B 【详解】解：对于选项A，原命题“四边形是多边形”是真命题，逆命题为“多边形是四边形”，是假命题，不符合要求； 对于选项B，原命题“两直线平行，同旁内角互补”是真命题，逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，也是真命题，符合要求； 对于选项C，原命题“两边分别相等的两个直角三角形全等”是假命题，若一个直角三角形的两条直角边，与另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，两个三角形不全等，不符合要求； 对于选项D，原命题“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”是假命题，只有两直线平行时同位角才相等，不符合要求． 2．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 3．写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； （2）解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 题型8.直角三角形两锐角互余 1．如图，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴和均为直角三角形， ∵在和中， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，平分交于点D，点E是射线上的动点，连接，的平分线与交于点P，若，则的度数为________． 【答案】或 【分析】当在线段上时，由角平分线定义求出，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数；当在的延长线上时，求出，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：当在线段上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ； 当在的延长线上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 综上所述，或． 3．如图，在中，，点是线段上的一个动点． (1)若，求证：； (2)若，点移动至时，求证：．（可使用备用图） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，，结合已知，根据等角的余角相等，即可得证； （2）根据三角形的外角的性质可得，则，结合，即可得证． 【详解】（1）证明：∵中，， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：如图， ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴． 题型9.两角互余的三角形是直角三角形 1．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存在的角． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ，仅知道一个角为，无法确定是否存在的角（如等边三角形三个角均为）， 不能判定△ABC为直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 2．在中，，，则___________，是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：，直角． 3．已知：如图，中，于D，，． (1)求的度数． (2)请探究线段与线段的数量和位置关系． 【答案】(1) (2)数量关系：；位置关系： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）证明，得到，再由邻补角互补求解； （2）根据全等三角形的对应边相等、对应角相等，结合直角三角形锐角互余即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：数量关系：；位置关系： 延长交于点， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 题型10.定理与证明 1．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】根据定理是真命题进行判定． 本题考查了定理的理解，定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述． 【详解】解：A. 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B. 如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，叙述语句是假命题，不是定理，不符合题意； C. 作射线，不是命题，不是定理，不符合题意； D. 同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 2．定理可以作为证明后续命题的_______，根据_______，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的_______的和． 【答案】 依据 三角形内角和定理及平角的定义 两个内角 【分析】本题考查定理和命题，根据三角形的内角和定理以及平角的定义推出三角形的外角的性质，作答即可． 【详解】解：定理可以作为证明后续命题的依据，根据三角形内角和定理及平角的定义，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：依据，三角形内角和定理及平角的定义，两个内角 3．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 【答案】(1)依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． (2)依据：等量代换，是公理． (3)依据：两点之间线段最短，是定理． 【分析】此题主要考查了命题与定理，根据公理与定理的概念：公理是不需要证明的，由实践得出的结论，定理是由公理得出来的，也可以说是公理的推论，是需要证明的． （1）根据全等三角形的判定得出依据以及是定理； （2）根据等量代换得出，进而得出理由． （3）根据三角形的三边关系解答即可； 【详解】（1）解：在和中，，则，依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． （2）解：如果，那么，依据：等量代换，是公理． （3）解：三角形的任意两边之和大于第三边，依据：两点之间线段最短，是根据公理推导出来的，是定理． 题型11.互逆定理 1．下列说法错误的是（    ） A．数轴上表示和的两点之间的距离是2 B．定理都有逆定理 C．以三条长度分别为3，4，5的线段为边的三角形是直角三角形 D．的计算结果为 【答案】B 【分析】本题考查数轴上两点距离计算、定理与逆定理的概念、勾股定理逆定理、完全平方公式的应用，根据相关知识逐一分析各选项判断正误即可． 【详解】解：∵数轴上两点间距离为两数差的绝对值 ∴对于A选项，，A说法正确； ∵定理的逆命题为真命题时才有逆定理，例如“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，无逆定理 ∴B说法错误； ∵，符合勾股定理逆定理 ∴以3、4、5为边的三角形是直角三角形，C说法正确； ∵，∴D说法正确； 故选：B． 2．定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 3．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 题型12.用HL证明全等 1．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本事实：进行分析判断即可． 【详解】解：在Rt≌Rt中，， A．添加，无法证明，故此选项不符合题意； B．添加，无法证明，故此选项不符合题意； C．添加，可以用“”证明，故此选项符合题意；     D．添加，无法证明，故此选项不符合题意. 2．如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 【答案】或（写一个即可） 【分析】先证明，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加：，而， 在和中， ， ∴， 添加：，而， 在和中， ， ∴． 3．已知：如图，和是的高，H是和的交点．且． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得为等边三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)添加后，为等边三角形．理由见解析（答案不唯一） 【分析】（1）利用证明； （2）由得出，进而得出，根据有一个角是60度的等腰三角形为等边三角形，可得添加的条件可以为． 【详解】（1）证明：和是的高， 和是直角三角形， 在和中， ； （2）解：添加后，为等边三角形．理由如下： ， ，即， ， 又， 为等边三角形． 题型13.全等性质与HL综合 1．如图，在梯形中，，，点F为中点，点E在上，平分，，，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据点F为中点，得到，根据勾股定理得到，过点F作交于G，证明，得到，，，证明，得到，进而求出，即，设，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点F为中点，， ∴， ∵， ∴， 如图，过点F作交于G， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， 解得：， ∴． 2．如图，，是的高，且.若，则的度数是_____°． 【答案】23 【分析】根据证明可得，由三角形内角和定理可得，再根据直角三角形两锐角互余可求出的度数． 【详解】解：∵，是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又，且， ∴， ∴， 又， ． 3．如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）证，利用全等三角形的性质证明，结合即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 题型14.线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为7，则的周长是（ ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据的周长为7，可得，从而可求出的周长． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长为7， ， ， ， 的周长 2．在中，已知，，的垂直平分线分别交，于点D，E，点F和点G分别是线段和边上的动点，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】作于点，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，连接、，由线段垂直平分线的性质可得，则，由垂线段最短可得，当点与点重合时，此时最短为，即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， ∵，， ∴， ∴， 连接、， ∵垂直平分， ∴， ∴， 由垂线段最短可得，当点与点重合时，此时最短为， ∴的最小值为． 3．如图，在中，． (1)用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求证：． 【答案】(1)解：如图所示： (2)证明：连接， 是线段的垂直平分线， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 【分析】（1）分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线，交于点，交于点； （2）先证明，再证明，再证得，即可得出结论. 【详解】（1）略 （3） 略 题型15.线段垂直平分线的判定 1．如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（　　） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条高线的交点处 C．的三条角平分线的交点处 D．的三条中线的交点处 【答案】A 【分析】根据题意可得饮水点到的三个顶点的距离相等，则饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处． 【详解】解：∵要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，即饮水点到的三个顶点的距离相等， ∴该饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处． 2．如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． 【答案】8 【分析】本题考查了垂直平分线性质，由折叠的性质易得为的垂直平分线，根据垂直平分线性质得到，再结合，，即可解题． 【详解】解：由折叠的性质得， ∴为的垂直平分线， ， ，， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)解：是， 理由如下：连接，如图所示： ∵直线l垂直平分边，点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 【分析】（1）由题意易得，然后根据三角形的周长可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）连接，由题意易得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∵的周长为19，， ∴， ∴； （2）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4） 略 题型16.尺规作垂线 1．尺规作图要求：已知，直线和点，作，使其与全等且一条边在直线上，一条边过点，右图是小红的作图痕迹，小林说：“小红的作图完全正确，作图依据是．”下列判断正确的是（    ） A．小林说的完全正确 B．小林只说对一半，作图依据应是 C．小林只说对一半，作图依据应是 D．小林说的完全不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定以及尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法以及三角形全等的判定定理． 由作法得：，，即可解答． 【详解】解：由作法得：，， 在和中， ∵， ∴， ∴小林只说对一半，作图依据应是． 故选：C 2．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线，交于点．则的周长为________． 【答案】11 【分析】由作图可得，垂直平分，得到，然后等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 3．尺规作图：如图，已知．求作：边上的高．（提示：保留作图痕迹，痕迹要清晰，不用写作法）． 【答案】 【详解】解：延长到点，以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点D，则为边上的高． 题型17.角平分线的性质定理 1．如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，当动点运动到点时，时，有最小值时，，即可． 【详解】解：过点作于点， ∵为的角平分线，于点， ∴， ∵点为边上的动点，， ∴点与点重合时，，，此时有最小值，即， ∴． 2．如图，在四边形中，，若平分，则的面积为__________．    【答案】 【分析】如图，过作于，利用角平分线的性质证明，进一步利用三角形的面积公式计算即可. 【详解】解：如图，过作于，    ∵，平分， ∴， ∵， ∴的面积为. 3．“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，D为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)若“表”，，求的长； (3)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质即可得出结论； （2）证明得，根据勾股定理求出，则，在中，由勾股定理求； （3）根据角平分线定义及等边对等角得，证明，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴是等边三角形． 题型18.角平分线的判定定理 1．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（   ） A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．以上均不正确 【答案】A 【详解】解：平分的依据是：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 2．如图，点是射线上一点，，，垂足分别是，，且．若，则________． 【答案】140 【分析】首先证明平分，结合易得，然后由求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，平分， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在△中，，过点作于点，点E在线段上，连接，过E作于点F，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，得到，继而证明，即可证明． 【详解】证明：， ， ， ，， ， ，，． ， ，， ， ． 题型19.角平分线性质的实际应用 1．一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点到三边的距离相等． 【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等， ∴该点应是三角形三条角平分线的交点， 故选：B． 2．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 3．尺规作图〔不写做法，保留作图痕迹）：    (1)如图，设A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中确定学校的位置． (2)两个城镇A，B与两条公路、位置如图所示，电信部门需要在公路上的上方C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两条公路、的距离也相等，请在图中作出符合条件的点C． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1），，中任选两条线段，分别作垂直平分线，得到的交点即为所求点； （2）作、夹角（锐角）的角平分线，作线段的垂直平分线，两者的交点即为所求点． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，的垂直平分线，与的交点为K，K即为学校的位置．    （2）解：如图所示，点C即为所求．    【点睛】本题考查复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的性质及作法，垂直平分线的性质及作法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、 角平分线期末复习讲义 期末复习◆重点 熟练掌握等腰三角形的性质与判定，理解并运用等边对等角、三线合一等核心结论，掌握等边三角形的性质及判定方法，可独立完成相关作图、计数及性质判定综合类习题。 掌握直角三角形的相关性质，熟知直角三角形两锐角互余、含30°角直角三角形的特殊结论；掌握命题、逆命题、定理及互逆定理的相关概念，能正确书写逆命题并进行判断，熟练运用HL定理证明直角三角形全等，结合全等性质解答综合题型。 掌握线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握尺规作垂线的作图技能，能运用相关定理完成几何计算与证明。 熟记角平分线的性质定理与判定定理，明晰定理适用条件，可灵活运用定理开展几何推理，并解决相关实际应用问题。 核心题型◆归纳 题型1.等边对等角 题型2.三线合一 题型3.等腰三角形作图与计数问题 题型4.等腰三角形性质与判定综合 题型5.等边三角形性质、判定及应用综合 题型6含30°角直角三角形性质应用 题型7.写出命题逆命题及判断互逆命题 题型8.直角三角形两锐角互余 题型9.两角互余的三角形是直角三角形 题型10.定理与证明 题型11.互逆定理 题型12.用HL证明全等 题型13.全等性质与HL综合 题型14.线段垂直平分线的性质 题型15.线段垂直平分线的判定 题型16.尺规作垂线 题型17.角平分线的性质定理 题型18.角平分线的判定定理 题型19.角平分线性质的实际应用 重点知识◆梳理 【知识点一、等腰三角形】 1.等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边为腰，另一边为底边，两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 2.等腰三角形性质 （1）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等. 几何语言：AB=AC. ∠B=∠C. (2) . 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合简称为“三线合一”。如下图， ∵AB=AC,BD=CD，∴∠BAD=∠CAD.(三线合一) ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD，∴BD=CD,AD⊥BC.(三线合一) ∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∠BAD=∠CAD（三线合一） (3). 轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线（1条对称轴）。 3.等腰三角形的判定 （1）定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 【知识点二、等边三角形】（特殊等腰三角形） 1.等边三角形的性质：（1）三边全部相等；（2）三个内角均为60°；（3）具备等腰三角形全部性质，有3条对称轴。 2.等边三角形的判定：（1）三边相等的三角形是等边三角形；（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【知识点三、直角三角形】 1.直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形叫直角三角形，直角对边为斜边，另两边为直角边，记作Rt△ABC（∠C为直角）。 2.直角三角形的性质 （1）两锐角互余（∠A+∠B=90°，∠C=90°）； 几何语言：在△ABC中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°. （2）勾股定理：两直角边平方和等于斜边平方，即+=（a、b为直角边，c为斜边）； （3）30°角所对直角边=斜边的一半；如图,在Rt△ABC中，∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC= AB （4）斜边上的中线=斜边的一半； Rt△ABC中，∵∠ACB=90°,AD=BD,∴CD= AB(或CD=AD=BD)。 （5）对称性：等腰直角三角形是轴对称图形 3.直角三角形判定定理 （1）有一个角是90°的三角形是直角三角形；（定义法） （2）两锐角互余的三角形是直角三角形；（角的判定） （3）勾股定理逆定理：若a²+b²=c²，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形；（勾股定理逆定理） （4）特殊判定：在一个三角形中，若它斜边上的中线等于斜边的一半，这个三角形为三角形。 【知识点四、直角三角形全等——HL判定及全等性质】 1.全等性质：对应边、对应角相等；对应中线、高、角平分线相等。 2. HL判定：斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等（直角三角形专属）。 【知识点五、逆命题、互逆命题、定理与证明、互逆定理】 1.逆命题：互换原命题题设与结论； 2.互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。（原命题成立，逆命题不一定成立）； 3.定理：经推理证实的真命题；证明：通过逻辑推理得出结论的过程； 4.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明为真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。这两个定理互为逆定理（如勾股定理与逆定理） 【知识点六、线段的垂直平分线】 1.定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言：∵l⊥AB,AC=CB∴直线l是线段AB的垂直平分线​。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵直线I垂直平分AB,点P在直线I上，∴PA=PB 3.判定定理：① 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 几何语言：∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上。 ② 既垂直于一条线段，又经过线段中点的直线，叫做线段的垂直平分线。 几何语言：∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上。 总结：性质定理可以用来证明两条线段相等；逆定理可以用来证明点在垂直平分线上（或直线经过某一点） 4线段垂直平分线的作法 5.常用辅助线 （1）连接垂直平分线上的点与线段两端点（构造等腰三角形）； （2）过线段中点作线段垂线（构造直角三角形）。 【知识点七、角平分线】 1.角平分线的定义、性质 2.角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 3.角平分线的判定：（1）在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；（2）平分角且射线上一点到角两边距离相等的射线，是这个角的平分线。（如下图） 几何语言：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN. ∴P在∠AOB的角平分线上.∴OP为∠AOB的角平分线. 4.角平分线的作法： 5.常用辅助线：（1）过角平分线上的点向角两边作垂线（构造全等直角三角形）；（2）连接角平分线与三角形顶点（转化线段、角关系）。 题型解析◆精准备考 题型1.等边对等角 1．如图，在中，，，过点C作，连接交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在边上，，，，则的度数为______． 3．如图，已知，，，是中线． (1)尺规作图：求作线段，使得平分，且，连接并延长交延长线于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 题型2.三线合一 1．如图所示，已知，点P在上，，点M，N在上．，若，则的长为（     ）． A． B． C． D． 2．如图，在等腰三角形中，，，，，则________． 3．综合与实践 问题情境： 如图，在中，，点D在的延长线上，过点D作于点E，交于点F． (1)请判断的形状，并给出证明过程． 拓展探究： (2)若，求证：． 题型3.等腰三角形作图与计数问题 1．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，网格线的交点称为格点．线段的顶点、均在格点上，若点也在图中的格点上，且是以为腰的等腰三角形，则点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C，D，E，F均在格点上．下列结论： ①连接，点A与点F关于成轴对称； ②连接，，，则是等腰三角形； ③连接，点B，E到线段的距离相等． 其中，正确结论的序号是____________． 3．如图，在每个小正方形的边长都为1个单位的网格中建立平面直角坐标系， 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)请画出关于轴对称的△（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上标记出点的位置） (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 ___ 个． 题型4.等腰三角形性质与判定综合 1．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 2．如图，在中，，，，点是上一点，连接，将沿着翻折得到，连接， （1）若，则的长是________ （2）若是直角三角形，则的长是________． 3．图1是一种纸质的桌面月历，底面纸板可适度向内挤压变形，图2是其置于水平桌面的侧面示意图，A，B两点始终在水平桌面l上，，． (1)求证：． (2)当时， ①的度数为______； ②求的面积． 题型5.等边三角形性质、判定及应用综合 1．如图，等边三角形中，，点在线段上，，则长度为（     ） A． B． C．1 D． 2．已知的三边长为，且满足，则此三角形一定是________． 3．如图，在中，，作的垂直平分线，交于点，交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 题型6.含30°角直角三角形性质应用 1．下列各组线段中，能构成直角三角形，且有一个角是的是（   ） A．1，2，3 B． C．3，4，5 D． 2．如图，在中，，，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为_____． 3．毛公山（原名保国山），位于海南省乐东黎族自治县保国农场，是因山形酷似毛泽东主席仰卧像而得名的国家2A级红色旅游景区，八（1）班数学兴趣小组为了测量其高度，在点B处看山顶，测得，往前走730米到点（点B、C、D同在地面一直线上），此时测得． (1)__________；点D到山脚下点C的距离是__________米； (2)求毛公山的高度是多少米？（，结果保留整数） 题型7.写出命题逆命题及判断互逆命题 1．以下命题中，原命题和逆命题都是真命题的是（     ） A．四边形是多边形 B．两直线平行，同旁内角互补 C．两边分别相等的两个直角三角形全等 D．如果两个角是同位角，那么这两个角相等 2．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 3．写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 题型8.直角三角形两锐角互余 1．如图，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，平分交于点D，点E是射线上的动点，连接，的平分线与交于点P，若，则的度数为________． 3．如图，在中，，点是线段上的一个动点． (1)若，求证：； (2)若，点移动至时，求证：．（可使用备用图） 题型9.两角互余的三角形是直角三角形 1．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，则___________，是___________三角形． 3．已知：如图，中，于D，，． (1)求的度数． (2)请探究线段与线段的数量和位置关系． 题型10.定理与证明 1．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 2．定理可以作为证明后续命题的_______，根据_______，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的_______的和． 3．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 题型11.互逆定理 1．下列说法错误的是（    ） A．数轴上表示和的两点之间的距离是2 B．定理都有逆定理 C．以三条长度分别为3，4，5的线段为边的三角形是直角三角形 D．的计算结果为 2．定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 3．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 题型12.用HL证明全等 1．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 3．已知：如图，和是的高，H是和的交点．且． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得为等边三角形，并说明理由． 题型13.全等性质与HL综合 1．如图，在梯形中，，，点F为中点，点E在上，平分，，，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 2．如图，，是的高，且.若，则的度数是_____°． 3．如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型14.线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为7，则的周长是（ ） A．7 B．9 C．11 D．13 2．在中，已知，，的垂直平分线分别交，于点D，E，点F和点G分别是线段和边上的动点，则的最小值为______． 3．如图，在中，． (1)用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求证：． 题型15.线段垂直平分线的判定 1．如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（　　） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条高线的交点处 C．的三条角平分线的交点处 D．的三条中线的交点处 2．如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． 3．如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 题型16.尺规作垂线 1．尺规作图要求：已知，直线和点，作，使其与全等且一条边在直线上，一条边过点，右图是小红的作图痕迹，小林说：“小红的作图完全正确，作图依据是．”下列判断正确的是（    ） A．小林说的完全正确 B．小林只说对一半，作图依据应是 C．小林只说对一半，作图依据应是 D．小林说的完全不正确 2．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线，交于点．则的周长为________． 3．尺规作图：如图，已知．求作：边上的高．（提示：保留作图痕迹，痕迹要清晰，不用写作法）． 题型17.角平分线的性质定理 1．如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，若平分，则的面积为__________．    3．“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，D为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)若“表”，，求的长； (3)若，判断的形状，并说明理由． 题型18.角平分线的判定定理 1．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（   ） A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．以上均不正确 2．如图，点是射线上一点，，，垂足分别是，，且．若，则________． 3．如图，在△中，，过点作于点，点E在线段上，连接，过E作于点F，．求证：． 题型19.角平分线性质的实际应用 1．一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 2．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 3．尺规作图〔不写做法，保留作图痕迹）：    (1)如图，设A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中确定学校的位置． (2)两个城镇A，B与两条公路、位置如图所示，电信部门需要在公路上的上方C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两条公路、的距离也相等，请在图中作出符合条件的点C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $