精品解析：四川省万源市河口中学2025-2026学年八年级下学期第二次阶段自测数学试题

四川省万源市河口中学2025-2026学年八年级下学期第二次阶段自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列代数式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ） A. 两个锐角都大于 B. 两个锐角都小于 C. 两个锐角都不大于 D. 两个锐角都等于 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为（ ） A. 25° B. 20° C. 15° D. 7.5° 6. 关于 的方程的解是正数，那么 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形中，，， 平分 交边于点E，则 等于（    　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知关于x的不等式组的解集是3≤x≤4，则a+b的值为（　　） A. 5 B. 8 C. 11 D. 9 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若一个正多边形的每一个外角都是 ，则这个正多边形的边数为__________． 10. 分式和的最简公分母是__________． 11. “绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵． 12. 如图所示，在四边形中，， ， ，若， ，过点作交于点，则的长是_______． 13. 如图，在中，，，则的长度为___________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解答 （1）因式分解：； （2）解不等式组：并写出它的所有整数解． 15. 解答 （1）解方程： ． （2）先化简，再求值：，其中 ． 16. 如图，的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点为原点建立直角坐标系，回答下列问题： （1）将先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到，画出，并直接写出的坐标______； （2）将绕点顺时针旋转90°得到，画出； （3）观察图形发现，是由绕点______（写出点的坐标）顺时针旋转______度得到的． 17. 如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，， 的面积为14． （1）求证：是 的平分线． （2）若，求线段的长． 18. 【阅读材料】“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下的变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，利用配方法可以将多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值． 例如：． ． 请仿照上例解决以下问题： （1）因式分解：； （2）多项式有最_______（填大或小）值，这个值为________． （3）已知、、 是三边的长，且满足，判断的形状，并说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是______． 20. 如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为______． 21. 小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为_____． 22. 关于x的不等式组，至少有4个整数解，且关于x，y的方程组的解中，x的解为整数，那么满足条件的整数a的值为______． 23. 如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为，当_____s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，在中，垂直平分，交于点，连接，过点作，交延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求 的长度． 25. 为了贯彻落实市委政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列帮扶A、B两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如表： 车型 目的地 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 （1）求这15辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式． （3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 26. 已知：在中，，，点D是上一点，交的延长线于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若交的延长线于点F，连接，求证：； （3）如图3，若是的平分线，交于点H，交于点G，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省万源市河口中学2025-2026学年八年级下学期第二次阶段自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 2. 下列代数式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据最简分式的定义判断即可，最简分式是分子与分母没有公因式，不能再约分的分式，先判断是否为分式，再验证是否可约分得到结果． 【详解】∵ 选项A中分母不含字母，是整式，不是分式，∴排除A； ∵ 选项B中，分子分母有公因式 ，可约分，不是最简分式，∴排除B； ∵ 选项C中分子分母有公因式，可约分，不是最简分式，∴排除C； ∵ 选项D中分子分母没有公因式，无法约分，∴D选项是最简分式． 3. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ） A. 两个锐角都大于 B. 两个锐角都小于 C. 两个锐角都不大于 D. 两个锐角都等于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时， 应先假设两个锐角都大于45°． 故选：A． 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解）、平方差公式（）逐项判断即可得． 【详解】解：A、等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，则此项不符题意； B、是整式的乘法运算，不是因式分解，则此项不符题意； C、等式右边等于，与等式左边不相等，不是因式分解，则此项不符题意； D、等式右边等于，即等式的两边相等，且等式右边是整式积的形式，是因式分解，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义、整式的乘法运算，熟记因式分解的定义是解题关键． 5. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为（ ） A. 25° B. 20° C. 15° D. 7.5° 【答案】C 【解析】 【分析】根据DF=DE，CG=CD，可得∠E=∠EFD，∠GDC=∠DGC，∠GDC是△EFD的外角，∠ACB是△DGC的外角，根据外角的性质及等边三角形的每个内角都是60°，即可得到答案． 【详解】解：∵DF=DE，CG=CD， ∴∠E=∠EFD，∠GDC=∠DGC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60° ∵∠ACB=∠GDC+∠DGC=60°， ∴∠GDC=30°． 又∵∠GDC=∠E+∠EFD， ∴∠E=15°． 故选C 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及等边三角形的性质，灵活应用外角的性质是解题的关键． 6. 关于 的方程的解是正数，那么 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程得x＝4−3m，由方程的解为正数得出关于m的不等式，解之可得． 【详解】解方程2x＋3(3m−1)＝1＋x，得：x＝4−3m， ∵方程的解为正数， ∴4−3m＞0， 解得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式和一元一次方程的能力． 7. 如图，平行四边形中，，，平分 交边于点E，则 等于（    　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、 的值，求出 的值． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ， ， 平分 ， ， ， ， ． 8. 已知关于x的不等式组的解集是3≤x≤4，则a+b的值为（　　） A. 5 B. 8 C. 11 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组的解集求出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：解不等式x-a≥1，得：x≥a+1， 解不等式x+5≤b，得：x≤b-5， ∵不等式组的解集为3≤x≤4， ∴a+1=3，b-5=4， ∴a=2，b=9， 则a+b=2+9=11， 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若一个正多边形的每一个外角都是 ，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为 ，正多边形的每个外角相等，利用外角和除以单个外角的度数，即可求出该正多边形的边数． 【详解】解：任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等， 该正多边形的边数为， 则这个正多边形的边数是． 10. 分式和的最简公分母是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简公分母系数等于各分母系数的最小公倍数，字母指数的最高次幂乘积即为最简公分母． 本题考查了最简公分母计算，熟练掌握最简公分母的构成是解题的关键． 【详解】解：和的最简公分母是， 故答案为：． 11. “绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵． 【答案】500 【解析】 【分析】设原计划每天植树 棵，则实际每天植树，根据工作时间 工作总量 工作效率，结合实际比原计划提前3天完成，准确列出关于 的分式方程进行求解即可． 【详解】解：设原计划每天植树 棵，则实际每天植树， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴实际每天植树棵， 故答案是：500． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，准确列出分式方程． 12. 如图所示，在四边形中，， ， ，若， ，过点作交于点，则的长是_______． 【答案】7 【解析】 【分析】首先证明四边形 是平行四边形，可得 ，求出 ，根据平行线的性质可得 ，根据三角形的内角和定理求得 ，再根据等角对等边得 ． 【详解】解：∵，， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 13. 如图，在中，，，则的长度为___________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解答本题的关键．首先由勾股定理求得，然后根据等腰三角形的性质和判断方法进行计算即可． 【详解】解：如图，在△ 中， ，， ， 由勾股定理得：， 在△中， ，， ，， ， 又，， ， ， ． 故答案为：11． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解答 （1）因式分解：； （2）解不等式组：并写出它的所有整数解． 【答案】（1） （2）不等式组的解集为 ，所有整数解为 【解析】 【分析】（1）先进行多项式的混合运算，然后用提公因式法因式分解； （2）求出每个不等式的解集然后取公共部分即不等式组的解集，最后取其中整数解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解①得 ， 解②得 ， ∴不等式组的解集为 ， 所有整数解为． 15. 解答 （1）解方程： ． （2）先化简，再求值：，其中 ． 【答案】（1） （2）化简结果为 ，值为 【解析】 【分析】（1）方程两边同乘以最简公分母，求出方程的解检验是否为增根； （2）计算分式的混合运算，然后代入求值． 【小问1详解】 解： 两边同乘以得： 经检验，是原方程的解； 【小问2详解】 解： ； 当时， 原式． 16. 如图，的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点为原点建立直角坐标系，回答下列问题： （1）将先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到，画出，并直接写出的坐标______； （2）将绕点顺时针旋转90°得到，画出； （3）观察图形发现，是由绕点______（写出点的坐标）顺时针旋转______度得到的． 【答案】（1）（1）见解析； （2）见解析 （3）；90 【解析】 【分析】本题主要考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图以及旋转的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标； （2）根据网格结构找出点、、绕点顺时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （3）作对应点A与、B与的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，再根据图形确定出旋转角度数即可． 【小问1详解】 解：如图所示，； 【小问2详解】 如图所示， 【小问3详解】 由题意知是由绕点顺时针旋转90度得到的， 故答案为：，． 17. 如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，， 的面积为14． （1）求证：是 的平分线． （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）延长，过点C作于点F，根据 的面积为14，，求出，得出，根据角平分线的判定，得出结论即可； （2）在上取点G，使，根据勾股定理求出，证明，得出． 【小问1详解】 证明：延长，过点C作于点F，如图所示： ∵ 的面积为14，， ∴， ∴， ∵，， ∴是 的平分线． 【小问2详解】 解：在上取点G，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是 的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 18. 【阅读材料】“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下的变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，利用配方法可以将多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值． 例如：． ． 请仿照上例解决以下问题： （1）因式分解：； （2）多项式有最_______（填大或小）值，这个值为________． （3）已知、、 是三边的长，且满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）大，10 （3）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，勾股定理得逆定理，正确理解题意是解题关键； （1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先根据完全平方公式配方，再利用完全平方公式的非负性解答即可求解； （3）将等式配方后，利用非负数的性质求出a，b，c的值，然后利用勾股定理逆定理判定三角形即可； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． ∵， ∴， ∴． ∴当 时，多项式有最大值，这个值为10． 故答案为：大，10 【小问3详解】 ，b，c为的三条边，， 即， ， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是______． 【答案】等腰三角形或直角三角形##直角三角形或等腰三角形 【解析】 【分析】对已知等式移项分组后进行因式分解，得到 ，根据多个因式乘积为零则至少一个因式为零，可得 或，结合三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ 或 ∴ 或 又∵a，b，c是的三条边， 是等腰三角形或直角三角形． 20. 如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质，得到，进而推出 为等边三角形，得到，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∵， ∴ 为等边三角形， ∴， ∵点B的对应点D恰好落在边上， ∴； 故答案为：7． 21. 小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式除法运算．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键．利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， ∴被污染的代数式为， 故答案为：． 22. 关于x的不等式组，至少有4个整数解，且关于x，y的方程组的解中，x的解为整数，那么满足条件的整数a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组，根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组至少有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， 关于的方程组的解为整数， ，解得：， 当时，，符合题意； 所有满足条件的整数的值为 ． 故答案为： ． 23. 如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为，当_____s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或6 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． 分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，当 时，以为顶点的四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案 【详解】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：，， 则， ∵， ∴当 是，四边形 是平行四边形， 即， 解得：； ②当点F在C的右侧时，根据题意得： ，， 则， ∵， ∴当 是，四边形 是平行四边形 即， 解得：； 综上所述：当或 时，以为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：2或6． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，在中，垂直平分，交于点，连接，过点作，交延长线于点，连接． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，根据垂直平分线的性质可得，进而证明可得，再结合即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据中点的定义可得、 ，再说明是直角三角形，运用勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 证明：， ， 垂直平分， ， 在和 中， ． 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解： 是直角三角形 ． 25. 为了贯彻落实市委政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列帮扶A、B两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如表： 车型 目的地 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 （1）求这15辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式． （3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 【答案】（1）大货车用8辆，小货车用7辆； （2）y=100x+9400． （3） 使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元． 【解析】 【分析】（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，列方程组求解； （2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（8-x）辆，前往A村的小货车为（10-x）辆，前往B村的小货车为[7-（10-x）]辆，根据表格所给运费，求出y与x的函数关系式； （3）结合已知条件，求x的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案． 【详解】（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得： 解得：．∴大货车用8辆，小货车用7辆． （2）y=800x+900（8-x）+400（10-x）+600[7-（10-x）]=100x+9400．（3≤x≤8，且x为整数）． （3）由题意得：12x+8（10-x）≥100，解得：x≥5，又∵3≤x≤8，∴5≤x≤8且为整数， ∵y=100x+9400，k=100＞0，y随x的增大而增大，∴当x=5时，y最小， 最小值为y=100×5+9400=9900（元）． 答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元． 26. 已知：在中，，，点D是上一点，交的延长线于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若交的延长线于点F，连接，求证：； （3）如图3，若是的平分线，交于点H，交于点G，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）2 【解析】 【分析】本题考查主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等角的余角相等即可证明结论； （2）如图，过点C作 于N，交于M，证明得到，再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点C作于N，交于M，，证明得到，根据等腰三角形的性质得到，即，然后再代入计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，过点C作 于N，交于M，         ∵， ， ∴． ∵， ∴． ∴． 在 和中， ， ∴， ∴． 在 和中， ， ∴， ∴，即． 【小问3详解】 解：如图：过点C作于N，交于M，，         ∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $