上海大学附属中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷

**基本信息** 试卷聚焦高中数学核心内容，通过真实情境与分层设计，考查抽象能力、运算能力及数据意识，适配月考阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|函数性质、立体几何|结合社会热点数据考查数感（数学眼光）| |填空题|4/20|数列、概率|以文化传承素材设计开放题（创新意识）| |解答题|6/70|导数应用、统计建模|分层设置梯度，综合题融入科技情境考查模型意识（数学语言）|

2026年上大附中高一下5月月考数学试卷 一、填空题（本大题满分38分，第1-10题每题3分，第11-12题每题4分） 1.已知向量a=(m,3),万=(1，-1)，若d1,则m= 2.己知空间中的两个角∠ABC和LAB'C,若AB/∥AB,BC1/BC,∠ABC=50°， 则∠ABC= 3.如图，正方形0A'BC的边长为1，它是一个水平放置的平而图形的直观图，则 原图形中OB=」 ⊙ 0 4.已知1+i是关于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个解，则ab=一 5.函数f(x)=V2sinx-1的定义域为 6.已知同=4，e为单位向量，它们的夹角为红，则E在a上的投影向量是一 7.己知，0<B<a<,cos(a-B)=号且sin(a+B)=则sin2a的值为 8.关于x的方程2cos2x+sinx+a=0有实数解，则实数a的取值范围是 9.已知复数z满足1z≤1，则z-1-3的取值范围为」 10.如图所示，PA垂直于圆0所在的平面，AB是圆0的直径，C是圆0上的一 点，AE⊥PB,AF⊥PC,给出下列结论： ①AF⊥PB:②EF⊥PB:③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC. 其中正确结论的序号是一 11.10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时 观测同一颗流星星的高度.如图，设有两个观察者在地球上A、B两地同时观察到一 颗流星S,仰角分别是a和B(MA,MB表示当地的地平线).设a=23.2°，B= 44.3,AB=500km,地球的半径R=6371km,则流星的为_km(精确到1km), 12.己知函数f()=cosx在闭区间1上的最大值记为M,若实数k满足M别 2Mk,.2，则k= 二、单选题（本大题满分12分，每题3分） 13.若复数z=a+(1-a)i在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是 〔) A.(1,+∞) B.(-∞，0) C.(0,1) D.(-∞，0)U(1,+∞) 14.在空间中，L,m是不重合的直线，：，B是不重合的平面，则下列说法正确 的是() A.若lca,mcB,I/B,则/m B.若I/m,mcB,则I/B C.若l1a,l⊥m,则mca D.若l⊥B,anB=m,则l⊥m 15.己知函数f(x)=2cos(ωx+p)(w>0,lpl<π)的部分图象如图所示，若f(x1)= f(x2)=V3(x1≠x2),则lx1-x2l的最小值为) A经 B.π c贤 D.2π 本y 16.已知向量a与6的夹角为120°，且a.b=-2,向量c满足c=a+(1- )(0<1<1),且a.c=·c向量c在向量a与方向上的数量投影分别为x,y 现有两个结论：①若1=，则@=2：②x2+y2+y最大值为子.则正确的判断 是（〕 A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立 C①不成立，②成立 D①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共有5题，满分50分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对 应的题号)内写出必要的步骤。 17.(4+4)已知△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,向量元=(a,b),向量 元=(cosA,sinB)且m/元. (1)求角A: (2)若a=V7,b=2,求△ABC的面积. 18.(4+4)己知两个不共线的平面向量=2，=1，记m=2石+k6,元=a-26 (1)若元/元，求k的值， (2)若k=-1时，m元=5，求a,b的夹角. 19.(5+5)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2,点P为 棱DD1上一点. D B P (1)试确定点P的位置，使得BD1/∥平面PAC,并说明理由： (2)若D,P=2DP,求异而直线BC1与AP所成角的大小 20.(3+4+5)己知函数f(x)=V3sin2x+2cos2x-1. (1)若a∈(-0)，且f(=子，求cos(a+的值： (2)在锐角三角形中，若f(A)=1,求sinB+sinC的取值范围 (3)设函数g)=(1-)f)+sin(4x-)+号，若g)>0在区间医周上恒 成立，求a的取值范围. 21.(3+4+5)我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数 对(21,22)(21,22∈C)视为一个向量，记作a=(z1,z2).两个复向量a=(21,z2),万= (z3,z)的数量积记作a.,定义为a.万=z1石+22z4,复向量a的模定义为同= √a·a.记i为虚数单位 〔1)设a=(3,4),b=(1-i,),求复向量a与b的模： (2)对两个复向量a与b,若a·=时，称a与平行.设m∈R,a=(1+ i,2-i),五=（①，m),是否存在实数m,使a与b平行，若存在，求出m:若不 存在，请说明理由。 (3)我们知道对于任意平而向量元与，都有反.≤，对任意两个复向量云 与五，不等式反，≤是否仍成立，试给出判断，并说明理由.2026年上大附中高一下5月月考数学试卷 一、填空题（本大题满分38分，第1-10题每题3分，第11-12题每题4分） 1.已知向量a=(m,3),万=(1，-1)，若元1万，则m= 【解析】3 2.己知空间中的两个角∠ABC和∠ABC,若AB//A'B,BC/B'C,∠ABC=50°， 则∠A'B'C=」 【解析】50或130 3.如图，正方形0'AB'C的边长为1，它是一个水平放置的平而图形的直观图，则 原图形中OB=一 0 【解析】2√2 4.已知1+i是关于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个解，则ab= 【解析】-4 5.函数f(x)=V2sinx-1的定义域为 【解析】 +2kxg+2 wkkaZ) 6.已知=4，e为单位向量，它们的夹角为红，则e在石上的投影向量是一 7.已知，0<B<a<,cos(e-)=号且sin(a+B)=号则sin2a的值为一 【解行】等 8.关于x的方程2cos2x+six+a=0有实数解，则实数a的取值范围是 【解析】 [ 9.已知复数z满足|z≤1，则lz-1-3的取值范围为 【解析】Wo-10+1 10.如图所示，PA垂直于圆0所在的平面，AB是圆0的直径，C是圆0上的 点，AE⊥PB,AF⊥PC给出下列结论： ①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC. 其中正确结论的序号是 【解析】①②③ 11.10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时 观测同一颗流星星的高度，如图，设有两个观察者在地球上A、B两地同时观察到一 颗流星S,仰角分别是a和B(MA,MB表示当地的地平线).设a=23.2°，B= 44.3°，AB=500km地球的半径R=6371km,则流星的为km(精确到1km). 【解析】197 12.己知函数f()=c0sx在闭区间1上的最大值记为M1,若实数k满足M到 2Mk.2k,则k=一 【解析】或名 根据区间的定义，得k<2k,即k>0,则0[，风，根据余弦函数的性质，得 M-刈=cos0=1,由题意得Mk,2k=2,又函数fx)=cosx的最小正周期为2m, 且fx)在[0，π]上单调递减，在[m,2π]上单调递增，f(2π)=1，所以2k-k<2π，且 2k<2π，故k<π. 当0<k≤时，0<2k≤元，f)=c0sx在[k,2k]上单调递减，则Mk2=cosk=, 得k=得： 当<k<π时，π<2k<2元，f)=cosx在[k,刀上单调递减，且f)<0,f)=cosx 在(r,2为上单调递增，则Mk21=c0s2k=子，得k= 6 故答案为号或磐 二、单选题（本大题满分12分，每题3分） 13.若复数z=a+(1-a)i在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是 () A.(1,+∞) B.(-∞，0) C.(0,1) D.(-∞，0)U(1,+∞) 【解析】C 14.在空间中，L,m是不重合的直线，，B是不重合的平面，则下列说法正确 的是() A.若lca&,mcB,//B,则/m B.若//m,mcB,则//β C.若l⊥a,l1m,则mc D.若l⊥B,anB=m,则l⊥m 【解析】D 15.己知函数f(x)=2cos(ωx+p)(ω>0，lpl<π)的部分图象如图所示，若f(x1)= f(x2)=V3(x1≠x2),则lx1-x2的最小值为() AZ B.π c号 D.2π 个y 2 7 2元 【解析】B 16.已知向量石与6的夹角为120°，且a.万=-2，向量c满足c=a+(1- )(0<1<1),且a.=万.亡向量c在向量a与方向上的数量投影分别为x,y, 现有两个结论：①若入=3，则同=2：②x2+y2+y最大值为.则正确的判断 是() 3 A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立 C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立 【解析】C 由a:b=a~o120=-2,解得1albl=4,当a=号时，c=号a+b, 由ac=bc得a:(（Ga+b)=b(a+b),即a2+号ab=ab+b, 由ab=-2得a2=子+b. :lab=4,假设1a=21b1,则可求出1l=2,a=22,代入引a2=号+号引中， 等号不成立，故①错误； 设0A=a,0B=a,0C=c,c=1a+(1-)b(0<1<1),由向量共线定理可知，点 C在线段AB上，如图. 设(a,c)=a,则(b,c)=120°-. 'a·c=b·c,lad·lclcosa=lb·Iclcos(120°-a),即lal·cosa=lbl·cos(120°- a),故a在c方向上的投影等于b在c方向上的投影，故点C满足OC⊥AB, 义x=,y=Iccos(120-a.ld=其中SAARG=引lal,x120-a bsin120=×4=V5,而要想保证1d最大，只需AB1最小，由余弦定理可得 lABl2=|al2+lb2-21 allblcos120°=|al2+lbl2+4≥2lal川bl+4=12, 当且仅当1al=b1时，等号成立，：lABl的最小值为2W3,lc的最大值为2Ae=1, IABI 又：x2+y2+xy=Icl2cosa2+lcl2cos2(120°-a)+Ic2cosacos(120°-a)=lc. 故x2+y2+xy=引c的最大值为，②正确. 4 三、解答题（本大题共有5题，满分50分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对 应的题号)内写出必要的步骤。 17.(4+4)己知△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,向量m=(a,3b),向量 i=(cosA,sinB)且m/元. (1)求角A: (2)若a=V7,b=2,求△ABC的面积 【解析】 (1)因为元/元，且m=(a,V3b),元=(cosA,sinB), 所以asinB-V3 bcosA=0,即asinB=V3 bcosA。 由正弦定理品=点。得a=代入上式得：sinB=Vbc0sA。 sinB 化简得：sinA=V3cosA。 所以anA=V5,因为0<A<π，所以A=背。 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA, 得()=22+c2-2×2×c×cos3 即7=4+c2-2c,整理得c2-2c-3=0, 解得c=3或c=-1(舍去)。所以c=3。 则△ABc的面积S=besinA=×2×3x号=39 2 18.(4+4)己知两个不共线的平面向量=2，=1，记元=2a+k6,元=a-26 (1)若元/元，求k的值： (2)若k=-1时，元·元=5，求d,五的夹角. 【解析】 (1)已知m=2石+k6,元=石-2乃，且元元， 所以存在实数1，使得元=i,即2石+k6=(-2=a-2石。 因为元，石不共线所以民产2 将1=2代入k=-21,可得k=-2×2=-4。 (2)当k=-1时，m=2a-,元=a-26 则元.元=(2a-万·（位-2=2-5元.b+2b。 已知@=2，=1，则2=12=22=4，==12=1。 又因为m.元=5，所以2×4-5d.b+2×1=5, 所以a.b=1。 将a.万=1，=2，l=1代入可得： c0s0=女=0 因为0≤日≤π，所以日=背。 所以，a,万的夹角为。 19.(5+5)如图，在长方体ABCD-A1B,C1D1中，AB=AD=1,AA1=2,点P为 棱DD1上一点. D B P : D (1)试确定点P的位置，使得BD1/平面PAC,并说明理由： (2)若D,P=2DP，求异面直线BC1与AP所成角的大小 【解析】 (1)当点P为DD1的中点时，可使BD/平面PAC, 设ACn BD=0,连接OP,因为在△BDD1中，OP为中位线，所以OP/BD1, 又因为BD1平面PAC,OPc平面PAC,所 以BD1/I平面PAC; 6 (2)连接BC1、AD1,则BC1/AD1, 所以异面直线BC1与AP所成角等于∠PAD1(或其补角)， 因为DD1=AA1=2,DP=2DP,所以DP=,DP= 在t△D,DA中，cosD,AD=总=点-高Sn2D,AD=器后=后AD 1 在Rt△PDA中，cOS∠PAD=2= AD AP JAD2+PDs、7 厉，sin-PAD=巴= 、3 2 号 AP 所以cOS∠PAD1=COS(LDAD1-∠DAP) 1 32277W65 =coS∠DAD1coS∠DAP+sinLDAD1 sinLDAP= 店*V厉+店×V厉V6际65， 所以∠PAD,=rs2,即异面直线BC,与AP所成角的大小为arccos2 65 20.(3+4+5)己知函数f(x)=V3sin2x+2cos2x-1. (1)若a∈(-，0)，且f(份=子，求cos(a+羽的值： (2)在锐角三角形中，若f(A)=1,求sinB+sinC的取值范围： (3)设函数g()=(1-)f)+sin(x-君)+号，若g()>0在区问羽上恒 成立，求a的取值范围。 【解析】 (1)函数f()=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+写， f(份）=2sin(a+)=号则sin(a+)= 因为ae(-0),所以a+e(-a),cos(a+)>0, 则cos(a+月=1-sin2(a+胃=， 故cos(a+）-cos[(a+月+月=cos(a+)-sin(a+引-团； (2)由fA)=1,可得2sin(2A+)=1, 因为0<A<号所以彩<2A+<石，所以2A+号=g所以A=号， > 则sinB+sinc=sinB+sin(传+B)-sinB+9cosB=3sim(B+月)， 由△ABC是锐角三角形，得<B<, 则号<B+<号，得<V3sin(B+)≤V3, 即sinB+sinC的取值范围为（仔，V: 3)函数9()=(1-)f-cos(4x+)+=2-sin(2x+)-1- 2sin2(2x+)）+号 =sin2(2x+a)+(2-a)sin(2x+)+1, 当x∈陪时，2x+号e昏， 令sin(2x+)=t,则t∈1，-引，g)>0在区间段上恒成立， 等价于关于t的不等式2+(2-t+1>0在区间[-1，-引上恒成立， 即有t+<Q-2在区间[-1，-引上恒成立， 又y=t+在区间[-1，-引上单调递减 当t=-1时，有最大值-2， 故a-2>-2,即a的取值范围为(0，+∞). 21.(3+4+5)我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数 对(21,22)(21,22∈C)视为-个向量，记作d=(21,22).两个复向量a=(z1,z2),石= (z3,z)的数量积记作d,b,定义为a·万=z1+22z4,复向量a的模定义为= va·a.记i为虚数单位， (1)设a=(3,4),b=(1-i,i),求复向量d与的模： (2)对两个复向量a与b,若a.=时，称a与平行.设meR,a=(1+ i,2-i),b=(①，m),是否存在实数m,使a与b平行，若存在，求出m;若不 存在，请说明理由： (3)我们知道对于任意平而向量石与，都有a.≤创，对任意两个复向量 与方，不等式反·≤是否仍成立，试给出判断，并说明理由. 【解析】 (1)因为a=(3,4),所以a.元=3×3+4×4=3×3+4×4=25， 所以的模为1=5； 因为F=(1-i,),所以p=(1-)(1-)+i:i=(1-01+)+i(-)=2+ 1=3,可得的模为=3； (2)不存在 a.B=(1+i)×(-i)+(2-i)×m=2m+1-(m+1)i, 得|a.l=√2m+1)2+(m+1)2=V5m2+6m+2, |d=√a.d=√(1+)×(1-)+(2-)×(2+)=V7 间=B-=Vx(-0+mxm=m2+五 若与平行，则反.=， 得V5m2+6m+2=V7×Vm2+1, 得2m2-6m+5=0,而△=36-4×2×5=-4<0，则此方程无实数根， 故不存在实数m,使得d与阝平行. (3》因为a=eE=(么，到)所以e-,+网 由复数的三角不等式+s,+网-以 由反：≤@國同得≤1，所以x+y≤、号+片、号+培 好+场+呢 所以+国s乎+闯 a2+222.V2121+z222 lalIBI 综上所知，a·≤， 10