精品解析：上海市竹园中学（五四制）2024-2025学年七年级下学期期中数学试题

七年级数学期中考试 一、选择题（本大题共6题） 1. 已知，则下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果关于的不等式的解集是，那么数应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列条件中，不能判定直线的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到直线的距离 B. 已知、 是两个数，如果，那么 C. 已知、、是同一平面内三条直线，如果、，那么 D. 两条直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直 5. 如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，若 ，则角 ，，的关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题） 7. 数的5倍减去 的差是一个非负数，用不等式表示为______． 8. 直线、相交于点O， ，则直线、的夹角是________度． 9. 如图，和________是直线与直线被直线所截得到的同位角． 10. 在同一平面内，如果 ，，那么可得________，其依据是________________． 11. 如图，已知 ，点 、 、在同一条直线上，如果，那么 的度数是________． 12. 如图，直线、 分别与、 相交，已知，，，那么_________． 13. “如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是：___________________________，该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． 14. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，其中一个角为50度，那么另一个角为_______度． 15. [传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知 ，，则的度数是______． 16. 如图，已知：直线、 被直线 所截，与 不平行．求证： ．在证明该结论时，可以用反证法先假设______________，则由“同旁内角互补，两直线平行”，可得________．这与____________矛盾，说明假设不成立，由此得到 ． 17. 下图①是长方形纸带，将纸带沿折叠成图②，再沿 折叠成图③．图①中，则图③中用含有 的式子表示为______． 18. 如图，直线有两点A、C，分别引两条射线 ．，与在直线异侧．若 ，射线 分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为_____________时，与平行． 三、简答题（本大题共3题） 19. 解不等式组：把它的解集在数轴上表示出来并求整数解． 20. 如图，已知点M在的内部，点N在边上．按要求画出图形并填空． （1）过点M画，垂足为E； （2）过点M画，垂足为F； （3）M、N两点间的距离是线段________的长度，线段的长度表示________到________的距离； （4）点M到直线 的距离是线段________的长度； （5）点N到直线的距离是________． 21. 阅读并填空：如图， ， ，垂足分别为D、F，，请说明的理由． 解：因为 ， （已知）， 所以________， 所以（________）． 所以 （________） 又因为（已知）， 所以（________）． 所以________________（________）． 所以（________）． 四、解答题（本大题共4题） 22. 如图， 和 的平分线交于点 ，延长交于点，．求证： （1） ； （2）已知，求的度数． 23. 如图，已知， ，求证： ． 24. 求证：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 25. 如图，对于两条直线被第三条直线l3所截的同旁内角满足，则称 是的关联角． （1）已知 是的关联角． ①当时， ； ②当时，直线的位置关系为 ； （2）如图 ，已知是的关联角，点 是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点 的直线 分别交直线于点，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期中考试 一、选择题（本大题共6题） 1. 已知，则下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质逐一判断选项，通过举反例可得到不正确的选项． 【详解】解：对于A选项，举反例：若 ， ，满足 ，此时 ， ， ，即 ，故A不正确，符合题意； 对于B选项，根据不等式性质：不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变，∵， ，∴ ，故B正确，不符合题意； 对于C选项，根据不等式性质：不等式两边加同一个数，不等号方向不变，∴ ，故C正确，不符合题意； 对于D选项，∵ ，不等式两边同乘 ，不等号方向改变，得 ，不等式两边同加，得 ，故D正确，不符合题意． 2. 如果关于 的不等式的解集是，那么数应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解可得，由此即可得出答案． 【详解】解：关于 的不等式的解集是， ， 解得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 3. 如图，下列条件中，不能判定直线的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别分析即可得出答案，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴直线，故此选项不合题意； 、∵， ∴直线，故此选项不合题意； 、 ，不能得出直线，故此选项符合题意； 、∵， ∴直线，故此选项不合题意； 故选：． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到直线的距离 B. 已知、 是两个数，如果，那么 C. 已知、、是同一平面内三条直线，如果、，那么 D. 两条直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】结合初中数学基础概念和性质，逐一分析每个选项即可． 【详解】解：对于选项A，∵点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，∴A是假命题； 对于选项B，∵，对等式两边平方得，即，∴B是真命题； 对于选项C，∵同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，∴若、，则，∴C是假命题； 对于选项D，∵只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角互补，此时同旁内角的平分线才互相垂直，任意两条直线被截时结论不成立，∴D是假命题． 5. 如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法进行解答即可． 【详解】解：∵时，， ∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是． 故选：C． 6. 如图，若 ，则角 ，，的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先过点 作 ，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角 ，，的关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点 作 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 二、填空题（本大题共12题） 7. 数的5倍减去 的差是一个非负数，用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意直接列不等式即可． 【详解】根据题意有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列不等式的知识，理解非负数即是大于或等于0的数，是解答本题的关键． 8. 直线、相交于点O， ，则直线、的夹角是________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据邻补角互补可求出邻角的度数，结合两条直线夹角的定义（夹角为不大于 的角），即可得到结果． 【详解】解：∵ ，与 互为邻补角， ∴ ， ∵两条直线的夹角是不大于 的角， ， ∴直线，的夹角是． 9. 如图，和________是直线与直线被直线所截得到的同位角． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用同位角的定义求解即可． 【详解】解：∵直线与直线被直线所截， ∴和是同位角． 10. 在同一平面内，如果 ，，那么可得________，其依据是________________． 【答案】 ①. ②. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 【解析】 【分析】两条直线都平行于同一条直线，据此推出两条直线的位置关系，再写出对应理论依据即可． 【详解】解：∵ ，， ∴，其依据是：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 11. 如图，已知 ，点 、 、在同一条直线上，如果，那么 的度数是________． 【答案】 ##45度 【解析】 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵点 、 、在同一条直线上， ∴． 12. 如图，直线、 分别与、 相交，已知，，，那么_________． 【答案】 ##100度 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，由对顶角相等可得，根据可得 ，由平行线的性质可得． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故答案为： ． 13. “如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是：___________________________，该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． 【答案】 ①. 如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 ②. 假 【解析】 【分析】根据逆命题定义将原命题的题设和结论互换得到逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”中，题设为“两个角是同一个角的余角”，结论为“这两个角相等”．将题设与结论互换，得到逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 判断真假：两个相等的角，不一定是同一个角的余角，例如：，，是 的余角，是另一个 的余角，两角相等但不一定是同一个角的余角，因此逆命题不成立，是假命题． 14. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，其中一个角为50度，那么另一个角为_______度． 【答案】50或130 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角，根据题意，画出图形，结合平行线的性质以及邻补角的定义计算即可得出答案． 【详解】解：如图， ， 设，则和，和两对角符合条件， 根据平行线的性质得到， 结合邻补角的定义得出， 故， 故另一个角为50或130度， 故答案为：50或130． 15. [传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知 ，，则的度数是______． 【答案】 ##23度 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，作，得到，再结合 ，得到 ，求出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图所示：作， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 故答案为： ． 16. 如图，已知：直线、 被直线 所截，与 不平行．求证： ．在证明该结论时，可以用反证法先假设______________，则由“同旁内角互补，两直线平行”，可得________．这与____________矛盾，说明假设不成立，由此得到 ． 【答案】 ①. ②. ③. 与 不平行 【解析】 【详解】解：在证明该结论时，可以用反证法先假设 ， 则由“同旁内角互补，两直线平行”，可得 ，这与与 不平行矛盾， 说明假设不成立，由此得到 ． 17. 下图①是长方形纸带，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③．图①中，则图③中用含有 的式子表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、几何图中角度的计算，由平行线的性质得出，求出，从而得出，由折叠的性质得出在图③中，，最后由，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解： ，， ， 在四边形中，， ， ， 再沿折叠成图③， 在图③中，， ， 故答案为：． 18. 如图，直线有两点A、C，分别引两条射线 ．，与在直线异侧．若 ，射线 分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为_____________时，与平行． 【答案】4或40秒 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．分情况讨论：①与在的两侧，分别表示出与 ，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与 ，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得： 如图①，与在的两侧时， ， ， ，， 要使 ，则， 即， 解得： ； 此时， ； ②旋转到与都在的右侧时， ，， 要使 ，则， 即， 解得：， 综上所述，当时间 的值为4秒或40秒时，与平行． 故答案为：4或40秒 三、简答题（本大题共3题） 19. 解不等式组：把它的解集在数轴上表示出来并求整数解． 【答案】不等式组的解是，整数解是 、 、0，数轴表示如下： 【解析】 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为，整数解是 、 、0， 数轴表示略． 20. 如图，已知点M在 的内部，点N在边上．按要求画出图形并填空． （1）过点M画，垂足为E； （2）过点M画，垂足为F； （3）M、N两点间的距离是线段________的长度，线段的长度表示________到________的距离； （4）点M到直线 的距离是线段________的长度； （5）点N到直线的距离是________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3） ，A， （4） （5）0 【解析】 【分析】（1）根据垂线的定义作图； （2）根据垂线的定义作图； （3）根据两点之间的距离求解和点到直线的距离求解； （4）根据点到直线的距离求解； （5）根据点到直线的距离求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：M、N两点间的距离是线段 的长度，线段的长度表示A到的距离； 【小问4详解】 解：点M到直线 的距离是线段的长度； 【小问5详解】 解：点N到直线的距离是0． 21. 阅读并填空：如图， ， ，垂足分别为D、F，，请说明的理由． 解：因为 ， （已知）， 所以________， 所以（________）． 所以 （________） 又因为（已知）， 所以（________）． 所以________________（________）． 所以（________）． 【答案】90；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】根据垂直的定义、平行线的判定与性质、同角的补角相等逐步分析即可解答． 【详解】解：因为 ， （已知）， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以 （两直线平行，同旁内角互补） 又因为（已知）， 所以（同角的补角相等）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 四、解答题（本大题共4题） 22. 如图， 和 的平分线交于点 ，延长交于点，．求证： （1） ； （2）已知，求的度数． 【答案】（1）证明：平分 ， 平分 ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义得到，，然后结合得到，即可证明 ； （2）首先利用求出，然后结合平行线和角平分线的定义求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 平分 ． 23. 如图，已知， ，求证： ． 【答案】证明： ，（对顶角相等），， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， ， ， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 【解析】 【分析】根据对顶角相等可知，，由已知可知，等量代换可得，根据内错角相等，两直线平行可得：，再根据两直线平行，同位角相等，可得：，由已知可得，等量代换可得：，根据内错角相等，两直线平行，可证，根据两直线平行，内错角相等可证结论成立． 【详解】略 24. 求证：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 【答案】见解析 【解析】 【分析】先将文字转化为几何语言并画出图形，再利用平行线的判定证明. 【详解】已知：如图，同一平面内，，，求证：. 证明：，（已知）， ∴，（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）. 【点睛】此题可以从同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方面来判定两直线平行．此结论也可以当作定理来用． 25. 如图 ，对于两条直线被第三条直线l3所截的同旁内角满足，则称 是的关联角． （1）已知 是的关联角． ①当时， ； ②当时，直线的位置关系为 ； （2）如图 ，已知是的关联角，点 是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点 的直线 分别交直线于点，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为 ． 【答案】（1）① ；②平行 （2）①见解析；②或或 【解析】 【分析】（ ）①根据定义解答即可； ②解与构成的方程组，根据和 的关系来确定直线的位置关系即可； （ ）①由与、与的互补关系，求出与之间的大小关系，进而根据定义即可求证；②根据直线 过点 可分种情况，每种情况均有 个角与互为同旁内角，因此共有种情况，分别解出的度数即 可； 本题考查了角度的和差计算，平行线的判定，三角形外角性质，理解新定义，运用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：（ ）①∵ 是的关联角，， ∴， 故答案为： ； ②由题，解得， ∴， ∴， 故答案为：平行； 【小问2详解】 ①证明：∵是的关联角， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是的关联角； ②当直线 位于如图所示位置时， ∵是的关联角，， ∴， 若是的关联角， 则； 若是的关联角， 则， ∴； 当直线 位于如图所示位置时， ∵，， ∴， 若是的关联角， 则， ∵， ∴不合，舍去； 若是的关联角， 则， ∴； 综上，的度数为或或． 故本题答案为：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $