精品解析：上海市杨浦双语学校2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年上海市杨浦双语学校七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，共28分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，应用不等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：， ， 选项A不符合题意； ， ， 选项B不符合题意； ，当时，， ，不一定成立， 选项C不符合题意； ， ， ， 选项D符合题意． 2. 图中，与是同位角的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形，根据同位角的意义，结合图形进行判断即可． 【详解】解：A、是内错角，不是同位角，故此选项不符合题意； B、不是同位角，故此选项不符合题意； C、是同位角，故此选项符合题意； D、不是同位角，故此选项不符合题意． 故选C． 3. 下列说法中正确的个数为（ ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ④两条直线被第三条直线所截，同位角相等． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的定义，垂线，点到直线的距离，平行线的性质进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，①错误，故不符合要求； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②正确，故符合要求； 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，③错误，故不符合要求； 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，④错误，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的定义，垂线，点到直线的距离，平行线的性质等知识．熟练掌握平行线的定义，垂线，点到直线的距离，平行线的性质是解题的关键． 4. 下列三条线段能组成三角形的是（ ） A. 23，10，8； B. 15，23，8； C. 18，10，23； D. 18，10，8. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，针对每一个选项进行计算即可． 【详解】A选项：∵10+8＜23，∴以23，10，8为边长不能组成三角形，故本选项错误； B选项：∵15+8=23，∴以15，23，8为边长不能组成三角形，故本选项错误； C选项：∵18+10＞23，∴以18，10，23为边长能组成三角形，故本选项正确； D选项：∵10+8=18，∴以18，10，8为边长不能组成三角形，故本选项错误． 故选C． 【点睛】考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 5. 如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知， ，其原理如图2所示，若，则的度数为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平角的定义求出，由平行线的性质求出，即可得到，最后根据 即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6. 如图a，已知长方形纸带，将纸带沿 折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，则，根据三角形内角和定理得到，则． 【详解】解：∵长方形中，， ， ∴， ∵纸带沿 折叠后，点C、D分别落在H、G的位置， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 7. 若是某不等式的解，则该不等式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题将代入各选项不等式，判断不等式是否成立即可得到正确答案． 【详解】解：选项A：不等式为 ，不成立，故A错误； 选项B：不等式为，成立，故B正确； 选项C：不等式为，不成立，故C错误； 选项D：不等式为，不成立，故D错误． 8. x和y是有理数，满足和那么下列哪个结论是错误的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定x的范围：由，排除，得，进一步推出 ；确定y的范围：由，得，进一步推出；然后依次判断即可 【详解】解：根据题意得：，， 若，则， 此时 ， ∴， 即， 解得：， 但此时与矛盾， ∴， 当时，， 不等式变为， 由得， 即，结合，成立； 由得， 即， 解得： ， ∵， 由 得，即； 由得 ，即，结合， 解得， ∴， A选项，∵ ，， ∴，选项正确； B选项，x是大于的负数，y是小于的负数，两个负数相加结果仍为负数，即，选项正确； C选项，∵， ∴，选项错误； D选项，x和y均为负数，负数相乘结果为正数，即，选项正确． 二、填空题：本题共16小题，共56分． 9. 根据要求写出不等式“x的一半与y的3倍的和是非负数”：______  ． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，得． 10. 若是关于的一元一次不等式，则 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可得，且，据此即可解答． 【详解】解：由题意得：，且， 解得． 11. 不等式组的解集是______  ． 【答案】 【解析】 【分析】根据判断不等式组解集的口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”，对各个不等式组进行解答即可． 【详解】解：因为，根据“同小取小”原则， 所以不等式组的解集是． 12. 谷雨，春雨渐多，气温回升，寒潮褪去，空气湿润，降雨频繁，正是雨生百谷的时节．今年谷雨这一天上海市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温 满足的不等关系为______  ． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据题意表示出t的取值范围即可． 【详解】解：由题意可得，当天我市气温 满足的不等关系为： 13. 在读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们，如果每人分5本，那么剩余12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，勤奋小组一共有______人． 【答案】或 【解析】 【分析】设勤奋小组一共有x人，根据“如果每人分5本，那么剩余12本”可得这些图书的总数为：，根据“如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本”，即可列出不等式组，进一步可得解. 【详解】解：设勤奋小组一共有x人， ∵如果每人分5本，那么剩余 12本， ∴这些图书的总数为：， ∵如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本， ∴，即, 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵为正整数， ∴ 或 ， ∴勤奋小组一共有人或人． 14. 将含 角的三角板如图放置，已知，，则的度数为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线的性质得出，再根据角的和差即可求出的度数． 【详解】解：如图， ， ， ， ． 15. 共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为______  ． 【答案】##100度 【解析】 【分析】过点C作，将复杂图形转化为熟悉的平行线模型．通过作平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别求出相关角度，再计算目标角的度数． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵ 同理可得：， ∵， ， ． 16. 已知 中， ，如果按角分类，那么 是______  三角形． 【答案】钝角 【解析】 【分析】由题意得 ， ，由三角形内角和定理得，则，可知 是钝角三角形． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ， ， 是钝角三角形． 17. 如图，一张直角三角形纸片，，，，将纸片沿 折叠，使点 落在点处，则的度数为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】由，得，由折叠得，，可证明 、 、三点在同一条直线上，根据三角形外角和定理即可解答． 【详解】解：，， ， 将 沿 折叠，点 落在点处， ，， ， 、 、三点在同一条直线上， ． 18. 如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】由翻折的性质得，再根据长方形的性质得出，由平行线的性质得出，，结合已知求出的度数，再根据邻补角互补即可求出 的度数，即可求出的度数． 【详解】解：由翻折得， 四边形是长方形， ， ，， ， ，， ， ． 19. 2026年春晚机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若 ，则______  度． 【答案】 【解析】 【分析】过点 作，结合平行线的性质得，，代入数值得，，再运算角的和差以及根据列式计算即可解答． 【详解】解：过点 作，如图2所示： ，， ， ， ，， ，， ， ， ． 20. 如图，在 中，D、E分别是边 和 上的点，将这个 纸片沿 折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么______  度． 【答案】50 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出 的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，再由求出的度数，根据三角形内角和定理即可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵，， 由翻折而成， ，． ， 度， ． 21. 已知关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为______  ． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，然后根据题意确定是哪几个整数解，最后确定m的取值范围即可解答． 【详解】解：解第一个不等式得， 不等式组的解集为， 关于x的不等式组的所有整数解的和为， 整数解为大于且小于的整数，和为， 或， 它的整数解为： ，或 ，，，，， ， ， 当整数解为： ，时，， 解得， 当整数解为： ，，，，， ， 时，， 解得， 故答案为：或． 22. 已知：如图，直线 分别交 ，于点，的角平分线与的角平分线交于点作的角平分线 与的角平分线 交于点 ，则______  ． 【答案】## 度 【解析】 【分析】先求的度数，然后过M作，得到，由平行线的性质推得 ，同理，由角平分线定义得到 ，即可求出 【详解】解：， ， 平分，FG平分， ， ， ， ， 如图，过 作， ， ， ， ， ， ， 同理：， 平分， 平分， ， ， ， 又 ， 23. 如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，恰好经过点G，且，，，则______  ． 【答案】##度 【解析】 【分析】延长交于点M，根据平行线的性质和三角形外角的性质，得到，再根据已知条件得到，即可得解． 【详解】解：如图，延长交于点M， ，， ， ， ， ， ， ， ． 24. 如图，E在线段 的延长线上，，，，连接 交于G，的余角比大，K为线段 上一点，连接 ，使则下列结论：①；②；③平分；④其中正确结论为______  ． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；根据平行线的判定定理得到，故②正确；由平行线的性质得到 ，等量代换得到 ，求得平分；故③正确；根据题意列方程得到，故④正确． 【详解】解： ，， ， ∴；故①正确，符合题意； ， ∴，故②正确，符合题意； ， ， ， 平分； 故③正确，符合题意； 的余角比大， ， ， ， ，故④正确，符合题意． 三、计算题：本大题共4小题，共32分． 25. 解不等式组：，并写出所有负整数解． 【答案】，负整数解为，， 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的的所有负整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得： ， ， ， 解不等式②得： ， ， ， ， ， 则不等式组的解集为， 故不等式组的负整数解为，，． 26. 已知在 中，，，求三角形周长的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】设，，结合三角形的三边关系列出不等式，进而求出周长的取值范围即可解答． 【详解】解：， 设，， 这个三角形的周长， 由三角形三边关系定理得到：， ， ， ， ， ． 27. 在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“2系数补角”是______； 【初步认识】 （2）在平面内，，点E为直线 上一点，点F为直线上一点．如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“3系数补角”，求的大小； 【问题解决】 （3）连接点M、N为直线 与直线间的动点点M、N不在直线EF上 ，，，是的“2系数补角”，此时的度数？ 【答案】（1） （2） （3）的度数为 或 【解析】 【分析】（1）设的“2系数补角”是a，由“t系数补角”定义列方程即可得出； （2）过G作，利用平行线的内错角相等得出，设，，则①，由“3系数补角”定义得②，联立方程求解即可； （3）设，，则，，根据M、N的位置异侧/同侧 ，结合平行线性质，用x、y表示和，代入“2系数补角”的关系，求解，即可得的度数． 【小问1详解】 解：设的“2系数补角”是a， ，即， 解得， 的“2系数补角”是； 【小问2详解】 解：如图，过G作， 由条件可知， ，， ， 设，， ①， 由条件可知，即②， 联立①②得， 解得， ； 【小问3详解】 解：由“2系数补角”定义可知 设，，则，， 当点M、N在直线 异侧时， 此时 ， ， 同（2）中方法可得， ， ， 解得， ； 当点M、N在线段 同侧时， 同理可知， ， ， 解得， ， 综上，的度数为 或 ． 28. 将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，． （1）若三角板如图1摆放时，则______，______； （2）现固定 位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点H，求的度数； （3）将（2）中的固定，在 绕点A以每秒的速度顺时针旋转至与直线 首次重合的过程中，当 的边与的一条边平行时，所需的时长为t秒，请求出符合条件t的值． 【答案】（1）， （2） （3）6或18或24 【解析】 【分析】（1）过点作射线，则，先求出的度数，则可得的度数，再根据平行线的性质可得的度数；根据邻补角的定义可得的度数； （2）过点 作，分别求出，的度数即可； （3）分三种情况：① ，② ，③，分别求出旋转角的度数，再除以旋转速度即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点作射线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图2，过点 作， ∵， ∴，， 平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①如图3，当 时，设与 交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（秒）； ②如图4，当 时， ∴， ∴（秒）； ③如图5，当时，延长交 于点，延长交于点 ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（秒）； 综上， 的值为6或18或24． 四、解答题：本题共5小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 29. 解下列不等式 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：， ， ， ， ， 30. 如图，在四边形中，、分别是、 延长线上的点，连接分别交、 于点 、 ．若，证明：． 【答案】证明：， ， ， ， ， ， ， 【解析】 【分析】先根据同位角相等，两直线平行，判定，进而得到，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到 【详解】略 31. 如图， 中，， ，点是线段上一点，按要求完成问题． （1）过点作交于点，连接； （2）点到的距离是______的长度； （3） ______ ，如果设 ，那么 ______ ．（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2） （3）56， 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作图方法进行作图即可； （2）根据点到直线的距离的定义可得答案； （3）由平行线的性质得 ，由题意得 ，则可得 ． 【小问1详解】 解：如图，在的下方作 ，交于点，连接， 则即为所求，作图略； 【小问2详解】 由题意得，点到的距离是的长度； 【小问3详解】 ， ， ， ， ， ． 32. 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线 ，连接，点 是射线 上的一个动点（与点 不重合），分别平分和，且分别交射线 于点 ． （1）【探索发现】当时，求：的度数； （2）“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； （3）【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和 的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点 在射线 上运动时，无论点 在 上的什么位置，与 之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】（1） ； （2）① ；②； （3）结论：；理由见详解． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解此题的关键． （1）由 ，得到，由分别平分和，可得，代入的度数即可求解； （2）①根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； ②根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； （3）由 ，得到，，由平分，可得，进而推出和 的数量关系． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， 分别平分和， ，， ； 【小问2详解】 解：① 当时： ， ， ， ， 分别平分和， ，， ； ② 当时： ， ， ， ， 分别平分和，， ，， ； 故答案为：① ；②； 【小问3详解】 解：结论：； 理由如下： ， ， 平分， ， ， 又， ， ． 33. 在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，A，B，C，E为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） （1）过点E画直线 ； （2）在线段 上找一点P，使得点P与点E距离最短，在图中作出点P，此时最短蕴含的数学道理是______； （3）点Q为图中的格点，点Q与点E不重合，满足的点Q有______个．请在图中标注出来． 【答案】（1）见解析 （2）见解析；垂线段最短 （3）4，见解析 【解析】 【分析】（1）先确定的方向（从 到 是向右 3 格、向上 3 格），再从点出发，按相同方向（向右 3 格、向上 3 格）找到格点，连接直线 即可； （2）过点作的垂线，此时最短，依据是：垂线段最短； （3）要使，则点 必须在与平行且到的距离等于点到的距离的两条直线上，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示， 即为所求， 【小问2详解】 解：点P是过E作 的垂线的垂足，此时最短， 依据是：垂线段最短； 【小问3详解】 解：要使，则点 必须在与平行且到的距离等于点到的距离的两条直线上，在图中，这样的格点 （不与重合）共有,,,共4个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市杨浦双语学校七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，共28分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 图中，与是同位角的有（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的个数为（ ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ④两条直线被第三条直线所截，同位角相等． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 下列三条线段能组成三角形的是（ ） A. 23，10，8； B. 15，23，8； C. 18，10，23； D. 18，10，8. 5. 如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知， ，其原理如图2所示，若，则的度数为（） A. B. C. D. 6. 如图a，已知长方形纸带，将纸带沿 折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若是某不等式的解，则该不等式可以是（ ） A. B. C. D. 8. x和y是有理数，满足和那么下列哪个结论是错误的（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共16小题，共56分． 9. 根据要求写出不等式“x的一半与y的3倍的和是非负数”：______  ． 10. 若是关于 的一元一次不等式，则 ______ ． 11. 不等式组的解集是______  ． 12. 谷雨，春雨渐多，气温回升，寒潮褪去，空气湿润，降雨频繁，正是雨生百谷的时节．今年谷雨这一天上海市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温 满足的不等关系为______  ． 13. 在读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们，如果每人分5本，那么剩余12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，勤奋小组一共有______人． 14. 将含 角的三角板如图放置，已知，，则的度数为______ ． 15. 共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为______  ． 16. 已知中， ，如果按角分类，那么是______  三角形． 17. 如图，一张直角三角形纸片，，，，将纸片沿 折叠，使点落在点处，则的度数为______ ． 18. 如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为______ ． 19. 2026年春晚机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若 ，则______  度． 20. 如图，在中，D、E分别是边和上的点，将这个纸片沿 折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么______  度． 21. 已知关于 的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为______  ． 22. 已知：如图，直线 分别交，于点，的角平分线与的角平分线交于点作的角平分线 与的角平分线 交于点 ，则______  ． 23. 如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，恰好经过点G，且，，，则______  ． 24. 如图，E在线段 的延长线上，，，，连接 交于G，的余角比大，K为线段 上一点，连接 ，使则下列结论：①；②；③平分；④其中正确结论为______  ． 三、计算题：本大题共4小题，共32分． 25. 解不等式组：，并写出所有负整数解． 26. 已知在中，，，求三角形周长的取值范围． 27. 在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“2系数补角”是______； 【初步认识】 （2）在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点．如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“3系数补角”，求的大小； 【问题解决】 （3）连接点M、N为直线与直线间的动点点M、N不在直线EF上 ，，，是的“2系数补角”，此时的度数？ 28. 将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，． （1）若三角板如图1摆放时，则______，______； （2）现固定位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点H，求的度数； （3）将（2）中的固定，在绕点A以每秒的速度顺时针旋转至与直线 首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为t秒，请求出符合条件t的值． 四、解答题：本题共5小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 29. 解下列不等式 30. 如图，在四边形中，、分别是、延长线上的点，连接分别交、 于点 、 ．若，证明：． 31. 如图，中，， ，点是线段上一点，按要求完成问题． （1）过点作交于点，连接； （2）点到的距离是______的长度； （3） ______ ，如果设 ，那么 ______ ．（用含的代数式表示） 32. 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线 ，连接，点 是射线 上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线 于点 ． （1）【探索发现】当时，求：的度数； （2）“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含 的代数式表示）； （3）【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和 的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点 在射线 上运动时，无论点 在 上的什么位置，与 之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 33. 在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，A，B，C，E为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） （1）过点E画直线 ； （2）在线段上找一点P，使得点P与点E距离最短，在图中作出点P，此时最短蕴含的数学道理是______； （3）点Q为图中的格点，点Q与点E不重合，满足的点Q有______个．请在图中标注出来． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $