精品解析：北京一零一中学2025-2026学年九年级下学期 中考前模拟数学试题

初三数学模拟练习 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 如图，数轴上的点 表示的数分别是．如果，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，由数轴可知，进而由可得 异号，即得，，再根据有理数的运算法则逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴ ，故错误； ∵， ∴ 异号， ∴，， ∵与的绝对值大小无法确定， ∴的符号无法确定， 与 的大小无法判断，故错误； ∵， ∴， ∴，故正确； 故选：． 3. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后解关于m的不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得，， 故选：A． 4. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和与外角和公式的应用是解题关键． 根据多边形的内角和公式为列出方程，求出边数，再根据外角和定理求出这个多边形的一个外角． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意列方程： 解得， ， 故选：A． 5. 口袋里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中两枚是白色的，一枚是黑色的，从中随机摸出一枚记下颜色，不放回，再从剩余的两枚棋子中随机摸出一枚记下颜色，摸出的两枚棋子颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图（或列表）展示所有等可能的结果，找出两枚棋子颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果，其中两枚棋子颜色相同的结果数为2， 所以随机摸出一枚记下颜色，摸出的两枚棋子颜色相同的概率． 故选：A． 【点睛】本题考查树状图或列表法求等可能事件的概率，正确画出树状图（或列表）是解题的关键． 6. 如图，在正方形中，点E、F分别在边上，满足 ，连接，点G在边上，连接 交 于点H，使得，连接，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明得到，进而证明得到，再证明得到，，进一步证明，推出，则． 【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接，设交于O， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选；A． 7. 如图，在中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：① ；② ；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由作图方法可知， 垂直平分，平分 ，则 ， ，再由等边对等角可推出 ，由角平分线的性质得到点E到的距离等于点E到的距离，结合三角形的面积公式可得，若成立，可得到，推出，但题目中并未给出这个条件，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知， 垂直平分，平分 ， ∴ ，，故①正确； ∴， ∴ ，故②正确； ∵平分 ， ∴点E到的距离等于点E到的距离， 设点E到的距离为h，则，故④正确； 若成立，那么， 又，， ∴， ∴，但题目中并未给出这个条件，故③错误； ∴正确的有①②④，共3个． 8. 京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形．点，，分别是图形与坐标轴的交点，已知点的坐标为为半圆的直径，且 ，半圆圆心的坐标为．关于图形给出下列四个结论： ①点是抛物线上的一个动点，过点作直线轴交半圆于点，则线段长的最大值为6 ②图形围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ③点是图形上的一点，则以为顶点的等腰直角三角形有两个： ④若直线与图形有两个公共点，则 的取值范围为． 其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出抛物线和半圆的解析式，然后分别对四个结论进行判断，①设 交 轴于点 ，求出PG的范围，再表示出的长度，利用二次函数性质求最值；②根据的整数值，确定 的取值范围，数出整点个数；③根据等腰直角三角形的性质，分类讨论点的位置；④结合图形，分析直线与图形有两个交点时 的临界情况． 【详解】解：由题意可知，半圆圆心，半径， ，． 半圆的解析式为． 设抛物线解析式为， 抛物线过点， ， 解得． 抛物线解析式为， 对于①，设 交 轴于点 ，如图： 直径 轴 即 设 的坐标为 当 时， 最大，最大值为 此时， 与 重合， 达到最大值。 即 当 时， 最大，最大值为 ， 故①正确； 对于②，  ， 把 ，代入 ，得 在线段 上（不包括端点）有 4个整点 设直线 与半圆交于 ，与抛物线交于 ，如图： 则 ， 把 代入 ，得 在线段 上（不包括端点）有 5个整点， 由于整个图形关于直线 对称， 图形 围成区域内一共有 故②错误； 对于③，为等腰直角三角形． 若，则在 轴上， ， ． 或， 则，在图形上，不在图形上， 若，则在直线上，只有点构不成三角形， 若，则在的垂直平分线上，设的垂直平分线交轴于点，且，如下图： 在的中垂线上，且到轴距离为1.5．即或． 当的坐标为时，，， ∴不在半圆上 抛物线， 不存在这样的点． 综上，只有点满足条件，共1个．故③错误； 对于④，直线与图形有两个公共点． 当直线与半圆相切时，设直线与x轴，y轴分别交于点，点，切点记为点， 如图： 则的坐标为，的坐标为，， ， ， ， ， ， 当直线与抛物线相切时，， 即， ， 解得． 此时直线与抛物线有1个公共点，与半圆无公共点． 结合图形可知， 当时， 直线与图形有两个公共点，故④正确； 综上所述， 正确的是①④． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 某种病毒的直径约为120纳米，已知1纳米 毫米，120纳米用科学记数法表示为____________毫米． 【答案】 【解析】 【分析】先将120纳米写成 毫米，再表示成的形式，其中 ，由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数决定． 【详解】解：∵1纳米 毫米， ∴ 纳米 毫米 毫米毫米． 10. 要使分式有意义，则应满足的条件是___________． 【答案】且##且 【解析】 【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义；根式中，被开方数是非负数． 【详解】解：根据题意，得： ， 解得，且． 故答案为：，且． 【点睛】本题主要考查了二次根式及分式有意义的条件．关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 11. 将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若 ，，则的度数为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵ ， ∴． 12. 某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图．全校共有3200名学生，估计该学校选择羽毛球的学生有________名． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图、用样本估计整体等知识点，掌握用样本估计整体成为解题的关键． 先求出羽毛球所占的百分比，然后再乘以全校的学生数即可解答． 【详解】解：羽毛球所占的百分比为， 所以该学校选择羽毛球的学生有名． 故答案为：． 13. 若与是反比例函数图像上的两个点，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据A（2m，3）与B（1，m-5）是反比例函数图象上的两个点，可知2k+1=2m•3=1×（m-5），故可得出m的值，进而得出k的值． 【详解】解：∵A（2m，3）与B（1，m-5）是反比例函数图象上的两个点， ∴2k+1=2m•3=1×（m-5）， 解得m=-1， ∴2k+1=-2×3=-6， ∴k=- 故答案为：-． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键． 14. 埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”． 他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，点A和点B所在位置是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约1600km，在A处有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在B处竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为 ，据此可以估算地球的周长约为________km． 【答案】40000 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算．根据所给条件得到的值是解决本题的关键．易得的长度为，所对的圆心角为 ，根据弧长公式可得的值，进而可求得地球的周长． 【详解】解：如图， 由题意得：， ，的长度为， ∴ 设地球的半径为， ∴ 解得：， ∴地球的周长为， 故答案为：40000． 15. 如图，已知中，，为的中点，于，交于，连接，若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交 的延长线于，可得 是等腰直角三角形，设，则有，根据三角形中位线定理可得，，于是有，进而由勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，有，进而求出，然后根据和相似，进而求出最后的结果． 【详解】过点作，交 的延长线于， ∵，， ∴ 是等腰直角三角形， 设， ∴， ∴， ∵，，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟记这些图形的性质与判定，并学会灵活运用是解本题的关键． 16. 某快递员负责为五个小区送货，每送一件文件类货物可收益1元，每送一件包裹类货物可收益3元．某天各个小区需要送的货物如下表所示： 小区 需文件类货物数量（件） 需包裹类货物数量（件） 12 7 10 5 9 8 11 9 13 5 （1）如果快递员一个上午最多前往三个小区，且要求他最少送文件类货物30件，最少送包裹类货物22件，写出一种满足条件的送货方案_____．（写小区编号） （2）在（1）的条件下，如果快递员想在上午达到最大的收益，写出他最优的送货方案_____．（写小区编号） 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算，有理数比较大小，解题的关键在于正确理解题意并进行分析计算． （1）根据三个小区需送文件类货物总数量，需送包裹类货物总数量，求解即可； （2）根据（1）中方案分别计算出其各自收益，并比较判断，即可解题． 【详解】解：（1）要求他最少送文件类货物30件，最少送包裹类货物22件， 又， 任意三个小区需送文件类货物总数量都， ， 满足送包裹类货物总数量的三个小区有，或或； 满足条件的送货方案为（答案不唯一）； （2）解：由（1）知，送货方案可以为或或，其各自收益如下： ①：（元）； ②：（元）； ③：（元）； ， 他最优的送货方案为：； 故答案为：（答案不唯一）；． 三、解答题（共68分，第17-19题，每小题5分；第20题6分；第21题5分；第22题6分；第23题5分；第24题6分；第25题5分；第26题6分；第27-28题，每小题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算， ， ，，再进行合并即可． 【详解】原式 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴该不等式组的解集为． 19. 已知：，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据，再得出，然后根据分式混合运算法则，将化简为，整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，中，，点D为边中点，过D点作的垂线交于点E，在直线上截取 ，使，连结 、 、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若， ，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点为边中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论； （2）过点作于点，由菱形的性质得，再证明四边形是矩形，得，进而解直角三角形求出，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ∵点为边中点， ． 21. 在平面直角坐标系中，已知直线与直线． （1）若直线与直线交于点，求k，m的值； （2）过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D．当时，在点B运动的过程中，线段的长恒大于1，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将交点代入直线，计算得出m，进而得出点A坐标；再将点A代入，进行计算即可； （2）根据题意可得、，进而可求出，再根据题意分和两种情况，进行求解即可． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入直线， 得：， 点的坐标为， 将点的坐标代入直线， 得： 解得：； 【小问2详解】 解：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为． 线段的长为 ， 当时，线段的长恒大于1， 在时恒成立， ∴当时（即），在时恒成立， 令， 当时， 随n的增大而增大，最小值在 ， 则当 时， 解得， ∴； 当时，，恒成立， 当时， 随n的增大而减小，最小值在 ， 则当时， 解得 ， ∴， ∴k的取值范围为； 当时（即），在时恒成立， 令， 当时， 随n的增大而增大，最大值在， 则当时， 解得，无解； 当时，，不成立，无解； 当时， 随n的增大而减小，最大值在 ， 则当 时， 解得，无解； 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题核心是交点坐标的性质与绝对值不等式的区间恒成立，第1问利用交点满足两直线解析式求解；第2问将线段长转化为绝对值式，分类讨论一次函数增减性，关键是恒成立的最值分析． 22. 赛龙舟是中国端午节的传统习俗，也是国家级非物质文化遗产．某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图所示），该模型由“龙头”、“船身”、“龙尾”三部分整体排成一条直线组成．已知龙头的长度与龙尾的长度之比是 ，船身的长度比龙尾长度的4倍还多．为了还原真实感，模型还配备了一根主桅杆和若干船桨．已知单根船桨的长度比龙尾的2倍少．在拼装时同学们发现，这艘龙舟模型的总长（龙头、船身与龙尾的长度之和．恰好比单根船桨长度的4倍多．则该龙舟模型的总长度是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设龙尾的长度为 ，则龙头的长度为，船身的长度为，船桨的长度为，列出方程求解x的值，再代入x的值到原方程即可求得龙舟模型的总长度． 【详解】解：设龙尾的长度为 ，则龙头的长度为，船身的长度为，船桨的长度为， 根据题意，可列出方程：， 解得 ， 将 代入可得：， ∴该龙舟模型的总长度是． 23. 某气象站对四月份30天的气温（单位： ）进行了监测，数据分为上旬（4月1日—10日）、中旬（4月11日—20日）和下旬（4月21日—30日）三部分． a．上旬10天的日平均气温如下： 21 23 24 25 26 26 26 27 27 28 b．中下旬20天的日平均气温频数分布直方图如下（数据分为5组：第1组 ，第2组，第3组，第4组，第5组）； c．上旬、中旬、下旬日平均气温的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 上旬 25.3 26 中旬 24.6 26 24.5 下旬 27.5 26 27 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为_____； （2）4月份30天的日平均气温的平均数是_____，气温为 及以上的天数为_____天； （3）根据《气候季节划分》的规定，立夏之后，若连续五天日平均气温不低于，则视为入夏．立夏之后，某地连续五天的日平均气温的数据满足如下条件，则一定能断定这个地区人夏的是_____． A．平均数为25，中位数为22　B．平均数为23，众数为25 C．中位数为23，众数为25　D．平均数为25，方差 【答案】（1）26； （2）25.8；20； （3）D． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，平均数，众数，方差等相关知识． （1）根据中位数的定义求解即可． （2）根据平均数的定义求解即可，分别加上4月上旬气温为 及以上的天数以及中下旬20天的日平均气温频数分布直方图中 及以上的天数即可． （3）根据中位数，众数，平均数的，方差的定义做决策即可． 【小问1详解】 解：根据排序后的数据可得： 【小问2详解】 解：4月份30天的日平均气温的平均数是， 气温为 及以上的天数为(天) 【小问3详解】 解：A、平均数为25，中位数为22， 这组数据为，中位数， 平均数， ∴， 即， ∴， ∴有可能或，不满足连续五天日平均气温不低于，不能判定入夏，故A选项不符合题意． B．平均数为23，众数为25 设这组数据为，众数是25，则至少有2个25 平均数， ∴， 假设 ， 即， ∴有可能，，不满足连续五天日平均气温不低于，不能判定入夏，故B选项不符合题意． C．中位数为23，众数为25 设这组数据为，中位数 ，众数是25，则至少有2个25， 有可能，，不满足连续五天日平均气温不低于，不能判定入夏，故C选项不符合题意． D．平均数为25，方差 设这组数据为， 平均数， ∴ 即， 假设， 则， ∴与 矛盾， ∴这组数据中每个数据都不低于，可以判定入夏，故D选项符合题意． 故选：D 24. 如图， 是 的直径，点，在 上， 平分 ．延长 交 于点 ，连接 交于点 ，在的延长线上找一点 ，使得 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若，，求 的长． 【答案】（1）证明：如图：连接 交 于G， ∵ ， 平分 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ 是 的切线． （2）3 【解析】 【分析】（1）如图：连接 交 于G，利用圆的基本性质、等边对等角、三角形外角的性质、等腰三角形三线合一的性质可得 、 ，再结合 可得 ，再根据切线的性质即可证明结论； （2）如图：连接 交 于G，证明 可得，即 ；设 的半径为r，则 ，利用正弦的定义可得，即 ；利用勾股定理可得，即，进而求得 的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接 交 于G， 由（1）可得： ， ∵ 是 的直径， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴，即 ， 设 的半径为r，则 ， 在 中，， 由（1）可知： ， 在 中，， ∴，解得： ， ∵在 中，， ∴，即，解得： . 25. 如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F． 小明对线段， 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段， 的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 在， 的长度这两个量中，确定_________的长度是自变量，_________的长度是这个自变量的函数； （2）①确定表格中m的值约为_________（结果精确到） ②在平面直角坐标系中，画出（1）中确定的函数的图象； ③结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，________（结果精确到）． 【答案】（1）； （2）①；②见解析；③ 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）①根据矩形的性质，结合，易证明，进而得到，即，据此解答即可；②根据表格信息，在坐标系中描点，画出图象即可；③将代入，解方程即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，在、 的长度这两个量中，确定的长度是自变量， 的长度是这个自变量的函数； 【小问2详解】 解：①四边形是矩形， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， 即； ②函数图像如下： ③由①知，， 当时，， 解得或（舍去）， ． 26. 在平面直角坐标系中，已知点，的半径为1，过外一点作两条射线，一条是的切线，另一条经过点，若这两条射线的夹角大于或等于，则称点为的“伴随点”． （1）当时， ①在，，，中，的“伴随点”是______． ②若直线上有且只有一个的“伴随点”，求 的值； （2）已知正方形的对角线的交点，点，若正方形上存在的“伴随点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①设射线与相切于点M，连接，根据题目中的定义得出，分别求出四个点与间的距离，然后进行判断即可； ②根据直线上有且只有一个的“伴随点”，得出直线与以为圆心，为半径的圆相切，设直线与x轴，y轴分别交于点A、B，与以为圆心，为半径的圆相切于点C，连接，求出，得出，即可求出结果； （2）分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，列出不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：①如图1，设射线与相切于点M，连接， ∴， 当 时， 为等腰直角三角形， ∴， ， ∴当点P在外，时，， 当时，点， ∵，，，， ∴在，，，中，的“伴随点”是，； 故答案为：， ②∵当点P在外，时，， ∴点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外， 如图2： ∵直线上有且只有一个的“伴随点”， ∴直线与以为圆心，为半径的圆相切， ∴， 设直线与x轴，y轴分别交于点A、B，与以为圆心，为半径的圆相切于点C，连接， ∴， 令 ，，令 ，， ∴，， ∴，， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵正方形的对角线的交点，点， ∴点，，， 当时，如图所示： 此时正方形上的点到圆心T的最大距离为，最小距离为， ∵正方形上存在的“伴随点”，且点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外， ∴，， ∵， ， ∴， 解得：； 当时，如图所示： 此时正方形上的点到圆心T的最大距离为，最小距离为， ∵正方形上存在的“伴随点”，且点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外， ∴，， ∵， ， ∴， 解得：； 综上分析可知：的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，两点间距离公式，等腰直角三角形的性质，解不等式组，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为． （1）用含的式子表示 ： （2）将抛物线向左平移个单位，得到抛物线，过抛物线上一点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点． 若，求的面积； 当时，至少存在三个不同位置的点使得的面积相等，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）的面积为；的取值范围是且． 【解析】 【分析】（ ）根据二次函数的性质即可求解； （）由题意得出抛物线的解析式为，抛物线的解析式为，当，时，代入得，，从而求出，，，然后通过面积公式即可求解； 设，则，，则，所以的面积，然后根据题意画出图形即可求解． 【小问1详解】 解：由抛物线可得对称轴为直线， ∵对称轴为， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（ ）得， ∴抛物线的解析式为， ∵将向左平移个单位， ∴根据左加右减的平移规律，得抛物线的解析式为， 当，时，，， 由题意得 的横坐标为，代入得点纵坐标为，即； 代入得点纵坐标为，即， ∴， ∴的面积为； 设，则，， ∴， ∴的面积， ∵至少存在三个不同位置的点使得的面积相等， ∴如图， ∴， 解得：； 如图， ∴， 解得：； 综上可得：至少存在三个不同位置的点使得的面积相等，的取值范围是且． 28. 如图，在中，， ，N是中点，P为 上一点，连接，D为内一点，且 ，点D关于直线的对称点为点E，与交于点M，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接MN，若，用等式表示线段与 的数量关系，并证明． 【答案】（1） 依题意补全图形如下： （2） 证明：连接 ． ∵点D关于直线的对称点为E， ， ， ． ． ， ． ． ， ． ． （3） 解：用等式表示线段与 的数量关系是： ． 证明：连接并延长到F，使得 ，连接 ． ∴点N是 中点． ∵点D关于直线的对称点为E，与交于点M， ∴点M是中点． ∴ 为 的中位线． ． ∵点N是中点， ． ， ， ． ， ． 又， ． ， ． ． ． ． ，， ． ． 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线的性质等知识，准确作图、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）按照题意补全图形即可； （2）连接 ．证明，即可得到结论； （3）连接并延长到F，使得 ，连接 ．证明 为 的中位线．则．证明 ．由 ．得到．则 ．证明 ，，由即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学模拟练习 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数轴上的点 表示的数分别是．如果，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 口袋里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中两枚是白色的，一枚是黑色的，从中随机摸出一枚记下颜色，不放回，再从剩余的两枚棋子中随机摸出一枚记下颜色，摸出的两枚棋子颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，点E、F分别在边上，满足 ，连接，点G在边上，连接 交 于点H，使得，连接，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：① ；② ；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形．点，，分别是图形与坐标轴的交点，已知点的坐标为为半圆的直径，且 ，半圆圆心的坐标为．关于图形给出下列四个结论： ①点是抛物线上的一个动点，过点作直线轴交半圆于点，则线段长的最大值为6 ②图形围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ③点是图形上的一点，则以为顶点的等腰直角三角形有两个： ④若直线与图形有两个公共点，则 的取值范围为． 其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 某种病毒的直径约为120纳米，已知1纳米 毫米，120纳米用科学记数法表示为____________毫米． 10. 要使分式有意义，则应满足的条件是___________． 11. 将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若 ，，则的度数为______． 12. 某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图．全校共有3200名学生，估计该学校选择羽毛球的学生有________名． 13. 若与是反比例函数图像上的两个点，则k的值为______． 14. 埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”． 他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，点A和点B所在位置是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约1600km，在A处有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在B处竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为 ，据此可以估算地球的周长约为________km． 15. 如图，已知中，，为的中点，于，交于，连接，若，则的值为__________． 16. 某快递员负责为五个小区送货，每送一件文件类货物可收益1元，每送一件包裹类货物可收益3元．某天各个小区需要送的货物如下表所示： 小区 需文件类货物数量（件） 需包裹类货物数量（件） 12 7 10 5 9 8 11 9 13 5 （1）如果快递员一个上午最多前往三个小区，且要求他最少送文件类货物30件，最少送包裹类货物22件，写出一种满足条件的送货方案_____．（写小区编号） （2）在（1）的条件下，如果快递员想在上午达到最大的收益，写出他最优的送货方案_____．（写小区编号） 三、解答题（共68分，第17-19题，每小题5分；第20题6分；第21题5分；第22题6分；第23题5分；第24题6分；第25题5分；第26题6分；第27-28题，每小题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知：，求代数式的值． 20. 如图，中，，点D为边中点，过D点作的垂线交于点E，在直线上截取 ，使，连结 、 、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若， ，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，已知直线与直线． （1）若直线与直线交于点，求k，m的值； （2）过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D．当时，在点B运动的过程中，线段的长恒大于1，直接写出k的取值范围． 22. 赛龙舟是中国端午节的传统习俗，也是国家级非物质文化遗产．某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图所示），该模型由“龙头”、“船身”、“龙尾”三部分整体排成一条直线组成．已知龙头的长度与龙尾的长度之比是 ，船身的长度比龙尾长度的4倍还多．为了还原真实感，模型还配备了一根主桅杆和若干船桨．已知单根船桨的长度比龙尾的2倍少．在拼装时同学们发现，这艘龙舟模型的总长（龙头、船身与龙尾的长度之和．恰好比单根船桨长度的4倍多．则该龙舟模型的总长度是多少？ 23. 某气象站对四月份30天的气温（单位： ）进行了监测，数据分为上旬（4月1日—10日）、中旬（4月11日—20日）和下旬（4月21日—30日）三部分． a．上旬10天的日平均气温如下： 21 23 24 25 26 26 26 27 27 28 b．中下旬20天的日平均气温频数分布直方图如下（数据分为5组：第1组 ，第2组，第3组，第4组，第5组）； c．上旬、中旬、下旬日平均气温的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 上旬 25.3 26 中旬 24.6 26 24.5 下旬 27.5 26 27 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为_____； （2）4月份30天的日平均气温的平均数是_____，气温为 及以上的天数为_____天； （3）根据《气候季节划分》的规定，立夏之后，若连续五天日平均气温不低于，则视为入夏．立夏之后，某地连续五天的日平均气温的数据满足如下条件，则一定能断定这个地区人夏的是_____． A．平均数为25，中位数为22　B．平均数为23，众数为25 C．中位数为23，众数为25　D．平均数为25，方差 24. 如图， 是 的直径，点，在 上， 平分 ．延长 交 于点 ，连接 交于点 ，在的延长线上找一点 ，使得 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若，，求 的长． 25. 如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F． 小明对线段， 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段， 的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 在， 的长度这两个量中，确定_________的长度是自变量，_________的长度是这个自变量的函数； （2）①确定表格中m的值约为_________（结果精确到） ②在平面直角坐标系中，画出（1）中确定的函数的图象； ③结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，________（结果精确到）． 26. 在平面直角坐标系中，已知点，的半径为1，过外一点作两条射线，一条是的切线，另一条经过点，若这两条射线的夹角大于或等于，则称点为的“伴随点”． （1）当时， ①在，，，中，的“伴随点”是______． ②若直线上有且只有一个的“伴随点”，求 的值； （2）已知正方形的对角线的交点，点，若正方形上存在的“伴随点”，直接写出的取值范围． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为． （1）用含的式子表示 ： （2）将抛物线向左平移个单位，得到抛物线，过抛物线上一点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点． 若，求的面积； 当时，至少存在三个不同位置的点使得的面积相等，求的取值范围． 28. 如图，在中，， ，N是中点，P为 上一点，连接，D为内一点，且 ，点D关于直线的对称点为点E，与交于点M，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接MN，若，用等式表示线段与 的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $