2025-2026学年高二下学期数学期末限时小卷（十九）（人教B版选择性必修第三册全部内容）

**基本信息** 聚焦人教B版选择性必修三，以数列与导数为核心，通过限时训练整合概念应用与逻辑推理，体现数学眼光与思维的综合考查。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|5题（单选1,2/多选5/填空7/解答9）|等差基本量计算、等比实际应用（十二平均律）、新定义转化、证明与通项求解|从定义（等差、梦想数列）到性质（单调性、等比中项）再到应用的推导链条| |导数|5题（单选3,4/多选6/填空8/解答10）|函数图像识别、单调性与极值判断、切线方程求解|构建“导数符号-函数单调性-极值/图像特征”的逻辑关系，体现数学思维的严谨性|

2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十九） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是等差数列，，，则(    ) A. B. C. D. 2.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为(    ) A. B. C. D. 3.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 4.已知函数的定义域为，，，则的解集为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是(    ) A. B. 为递减数列 C. 是和的等比中项 D. 的最小值为 6.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且则          ． 8.若函数无极值点，则实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知数列，满足，． 证明：数列为等差数列； 求数列的通项公式． 10.本小题分 已知函数，求： 函数的图象在点处的切线方程 的单调递减区间． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十九） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是等差数列，，，则(    ) A. B. C. D. 2.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为(    ) A. B. C. D. 3.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 4.已知函数的定义域为，，，则的解集为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是(    ) A. B. 为递减数列 C. 是和的等比中项 D. 的最小值为 6.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且则          ． 8.若函数无极值点，则实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知数列，满足，． 证明：数列为等差数列； 求数列的通项公式． 10.本小题分 已知函数，求： 函数的图象在点处的切线方程 的单调递减区间． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十九） 全解全析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是等差数列，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：根据等差数列的通项可得， 因为， 所以． 故选A． 2.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查等比数列的应用，考查计算能力，属于基础题． 根据等比数列的通项公式进行求解即可． 【解答】 解：由题意，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于． 若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为：． 故选：． 3.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查函数图象的确定、函数奇偶性的判断及利用导数研究函数的单调性，属于基础题． 由函数为偶函数，可排除选项B；利用导数研究可知当时，，且单调递增，可排除选项C、，由此得出正确选项． 【解答】 解：，且定义域为，为偶函数，故排除选项B； ，设 ，则恒成立，在上单调递增，当时，， 当时，，且单调递增，故排除选项C、． 故选：． 4.已知函数的定义域为，，，则的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查利用导数判断函数的单调性，利用单调性解抽象不等式，属于基础题． 构造函数，将不等式转化为，利用单调性解不等式． 【解答】 解：不等式等价于，构造函数， 又，不等式等价于． 因为，所以在上单调递增，所以不等式的解为． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是(    ) A. B. 为递减数列 C. 是和的等比中项 D. 的最小值为 【答案】AD  【解析】【分析】 本题主要考查的是等差数列的通项公式以及性质，以及前项和的求解，属于基础题． 先由题干中条件得到公差，从而求出通项公式，判断出选项的正误；计算出，，发现，故判断选项的正误；选项为递增数列，且，，从而得到最小，计算出结果即可判断． 【解答】 解：设的公差为，由题意得：，因为，所以， 所以通项公式为：，故A选项正确； 由于，所以为递增数列，故B选项错误； 通过计算可得：，，，其中，所以不是和的等比中项，故C选项错误； 因为为递增数列，且，，故在时取得最小值，，选项正确， 故选AD． 6.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】AD  【解析】解：由函数的导函数的图象可知， 当时，， 所以在上单调递增，故 B错误； 当时，， 所以在上单调递减，故 A正确； 所以函数在处取得极大值，故 D正确； 因为导函数在两侧函数值不变号， 所以不是极小值点，故 C错误． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查数列的递推关系、等比数列的概念、等比数列的性质等，属于基础题． 由新定义得到数列为等比数列，由已知结合等比数列的性质得到． 【解答】 解：由可得， 故是公比为的等比数列， 故是公比为的等比数列， 则是公比为的等比数列， 所以． 故答案为． 8.若函数无极值点，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，属于基础题． 求出函数的导数，问题转化为最多个实数根，根据二次函数的性质求出的范围即可． 【解答】 解：， ， 若函数在上无极值点， 即最多个实数根， 故，解得：， 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知数列，满足，． 证明：数列为等差数列； 求数列的通项公式． 【答案】证明：，， 由递推公式及易知，故两边取倒数可得， ， 即数列是首项为，公差为的等差数列； 由上述可知， ．  【解析】本题主要考查了等差数列的判定与证明，数列的递推关系，数列的通项公式的应用，属于基础题． 根据递推关系，可知，得证； 先求出的通项公式，进而可得． 10.本小题分 已知函数，求： 函数的图象在点处的切线方程 的单调递减区间． 【答案】解：， ， ． 又， 函数的图象在点处的切线方程为， 即． 由得， 令，解得或， 的单调递减区间为，   【解析】本题考查导数几何意义及利用导数研究函数单调性，属于基础题． 利用导数几何意义求切线方程； 求原函数的导函数，解不等式，得单调减区间． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $