期末复习：单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦数列最值求解，通过单调性法与不等式法双模块设计，精选多地区期中/模拟典例，构建“通项-求和-最值”逻辑链条，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性法求数列最值|3例+3变式|涉及分群数列、恒成立求参数，需判断数列增减性|从通项公式推导切入，通过作差/作商分析单调性，结合前n项和实现最值求解| |不等式法求数列最值|3例+3变式|包含集合关系证明、存在性问题，需构建不等式关系|基于数列性质建立不等式模型，通过放缩或恒成立条件推导最值范围，体现数学语言精确表达|

期末复习：单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 期末复习：单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 考点目录 单调性法求数列最值 不等式法求数列最值 考点一 单调性法求数列最值 例1．（25-26高二下·山东日照·期中）已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群，，，. (1)求的通项公式； (2)设第个群中所有项的和为，求； (3)在（2）的条件下，设数列满足，时，，若，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由递推式取倒数构造等差数列,结合,求出首项与公差,进而得出通项公式. （2）先找准分群规律,确定第群的项数、首项和末项的下标,再利用等差数列求和公式,代入通项化简得到群和. （3）由递推累乘求出表达式,分离参数构造数列,作商判断单调性,求出最小值,进而得到的取值范围. 【详解】（1）由，两边取倒数得. 由，得.又，故. 所以是以为首项，为公差的等差数列. 故. （2）分群规律：第个群项，第个群项，，第个群有项. 前群共有项数：. 所以第群首项为，末项为. , 项数为，则 . （3）时，， . 时也满足，故. 由，得. 令.. 又，. 时，时. 故最小值为. 所以，实数取值范围为. 例2．（25-26高二下·浙江·期中）已知等差数列的公差为，且，数列的前项和为． (1)求数列、的通项公式； (2)设为数列的前项和，若对任意的都成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据已知条件求出的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；由可得出数列的通项公式； （2）求得，由，可得，设，分析数列的单调性，求出该数列的最大项的值，即可得出实数的最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 由可得，即，解得， 所以， 当时，， 因为，满足通项公式，所以． （2）由（1）可知， 由，可得，不妨设， 则， 易知数列为单调递增数列， 且当时，， 当时，， 当时，． 因此时，取最小值，所以，则的最大值为． 例3．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群：，，，，…. (1)求的通项公式； (2)设第n个群中所有项的和为，求； (3)在（2）的条件下，设数列满足，时，，若，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，根据等差数列通项公式求法计算即可求解； （2）根据等差数列前项和公式计算求解； （3）根据题意由累乘法可得，令，判断数列的单调性，根据单调性即可求解. 【详解】（1）已知，两边同时取倒数可得. 因为，所以，则. 又，所以. 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 所以； （2）由题意可知，第个群中有项，第个群中的第一项是，最后一项是. 根据等差数列求和公式（其中为首项，为末项），可得：. 因为，所以，. 则； （3）当时，. 所以（）. 当时，，上式也成立，所以. 已知，即. 则. 令， 则. 因为， 因为， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以数列满足， 所以数列的最小值为. 所以，即实数的取值范围是. 变式1．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知数列满足，令且数列的前项和为， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据退位作差即可求得的通项公式； （2）由（1）求得，利用裂项相消法求得； （3）由（2）将不等式转化为对恒成立，令，判断的单调性，求出的最小值，得解. 【详解】（1）因为，① 所以，，② ①②得，整理得，， 又当时，， 所以. （2）由（1），，，， ， . （3）由（2），， 所以不等式，即对恒成立， 令，则，， 所以当时，，即， 当时，， 当时，，即， 所以， 所以的最小值为，所以，即的取值范围为. 变式2．（2025·广东江门·模拟预测）已知数列的前项和为． (1)证明：是等比数列． (2)求数列的前项和． (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)因， 则 即，从而是等比数列； (2) (3) 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）由（1）可得，，利用作差法可判断单调性，据此可得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）是以为首项，公比为的等比数列. 则，从而 ，两式相减可得： 则； （3）由（2）， ，又，则. ，当时，易得， 当时，，. 即，当时，，则为递增数列，则. 即. 变式3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，. (1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和，并证明. 【答案】(1)证明见解析， (2)，证明见解析 【分析】（1）设，需证为等差数列，即证常数，结合已知递推关系式化简证明即可，利用等差数列通项公式求解，从而得数列的通项公式； （2）由化简，结合裂项相消法求解数列的前项和，利用数列单调性证明结论即可. 【详解】（1）设，需证为等差数列，即证常数， 已知（），代入：， 化简分母：， 故：， 因此（常数）， 即是公差为1的等差数列， 由是等差数列，首项，公差， 故：， 即，解得：； （2）由，且，则：， 故：， 化简： ， 因此： ， 前项和， ， 由于又数列为递增数列，数列为递减数列，所以为递增数列， 当时，； 当时，，故（）； 综上，. 考点二 不等式法求数列最值 例1．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知数列对任意正整数满足. (1)求的通项公式； (2)记为的前项和. （i）的所有项构成了集合的所有项构成了集合，证明：； （ii）当时，证明：. 【答案】(1) (2)（i）证明见详解；（ii）证明见详解 【分析】（1）由递推关系推出数列为等差数列，求得通项； （2）（i）由前项和公式得，利用与的奇偶性证明； （ii）对不等式通项进行裂项处理并求和，利用放缩完成证明. 【详解】（1）由，令： ， 再令：， 故是首项为、公差为的等差数列： （2）（i）， ， 对任意，与必一奇一偶， 故为偶数，即，因此， （ii）当：, , 于是： 计算部分和：， ， 相减得： 代入得：，得证. 例2．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知数列的前项和为. (1)求和的通项公式； (2)对给定的，设数列为等差数列，其中首项为，公差为. （i）求数列的前10项和； （ii）记，若对任意的，求实数的取值范围. 【答案】(1)；； (2)（i）55；（ii） 【分析】（1）赋值法计算得出，由题意结合得出等比数列，然后结合等比数列的通项公式可得数列的通项公式； （2）（i）应用等差数列求和公式计算求解；（ii）应用错位相减法得出，再分奇偶应用恒成立得出且，最后计算求解. 【详解】（1）由，令得：，得出 令得：得：， 由得： ()， 两式相减得：() ，即 即()， ∴为等比数列 ， 故. （2）（i）由（1）知，，则数列的首项为，公差， 则数列的首项为，公差， 所以数列的前10项之和为. （ii）， 设,则， ， ， 两式作差得 所以，， 所以， 当为偶数时：原不等式等价为恒成立， 记， ， 所以单调递增，则， 为奇数时：原不等式等价为恒成立， 记， ， 所以单调递增，则，则， 综上所述取值范围是. 例3．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知正项数列满足：. (1)设，试证明为等比数列； (2)设，试证明； (3)设，是否存在使得为整数？如果存在，则求出应满足的条件；若不存在，请给出理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据递推公式可得，即，从而可求解. （2）由（2）可得利用放缩可得，从而可求解. （3）由（1）可得，然后分情况讨论，，时是否能使为整数，从而求解. 【详解】（1）由题可知，， 则，即， 则数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）， ，（当且仅当时取等）， 当时，； 当时，. （3） ， 当时，不是整数； 当时，不是整数 当时，必定为整数， 故只需要考虑是否为整数即可. 又因为 故只需要为整数即可，则. 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：（2）问中合理利用放缩从而可求解；（3）问中根据（1）先求出，分情况对讨论，特别是当时，只需考虑是否为整数即可，等价于对进行二项式展开得为整数，从而可求解. 变式1．（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）记为数列的前项和，为数列的前项和，若，且 (1)证明：数列是等比数列； (2)若成立，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解； （2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用分组求和法及等比数列的前项和公式，结合指数不等式的解法即可求解. 【详解】（1）由，即，而 所以是以3为首项，3为公比的等比数列 （2）由（1）知，即 ， 由可得，整理可得，解得， 因为， 所以的最小值为5． 变式2．（2025·宁夏·一模）已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【详解】（1）因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 变式3．（24-25高三下·广东梅州·阶段检测）已知数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前n项和为，求使得的n的最小值． 【答案】(1)； (2)4． 【分析】（1）运用关系式计算即可； （2）根据，得到数列的前n项和关于n单调递增，然后求值，求得得的n的最小值为4． 【详解】（1）由数列的前n项和可得： 当时，， 当时，， 即得：， 因此得． （2）因为， 所以数列的前n项和关于n单调递增， 而， ， 因此，使得的n的最小值为4． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 期末复习：单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 考点目录 单调性法求数列最值 不等式法求数列最值 1 bn=- 2s25单號最情即数列，满起，2如1，设a.将数列的项物 如下规律分群 6,4）(6,bb)(,b,6,b）.… (1)求 b} 的通项公式： S S. (2)设第n个群中所有项的和为”，求”； CaSn-1 3)在(2)的条件下，设数列cn满足9=l,n≥2时，cn广，若n∈N,bb…b.≤c,求实数元的取 值范围 例2.(25-26高二下浙江期中)已知等差数列 的公差为2，且24，+a=a,数列， 的前n项和为 )求数列a,、仙，的通项公式： (2)设s为数列{a,}的前n项和，若，≤T,+2对任意的n∈N都成立，求实数1的最大值. 期末复习：单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 an 1 bn= 例3，(2526高二下江西南昌阶段枪测)已知数列包，}满足4=-1,2+1，设2，。，将数列么，的项 按照如下提律分群：（么），么么)，6，A）,(么4，A,A）, … (1)求 ,的通项公式， ②设第n个释中所有项的和为，求5， S 9=S (3)在(2)的条件下，设数列{c}满足9=b,n≥2时，cn,若neN,6·b,b…b.b1≤c,求实数元 的取值范围。 变式1,2526商=下辽宁沈阳开学考试)已知数列a,}满足4+3a,++3a=1-2引3”+1eN）,令 4n2 bn= -nEN' an+'an+ 且数列{b}的前n项和为Sn, 1)求数列a.。 通项公式： (2)求数列 ，}的前n项和为5 .2”<n （n+1-S。 (3)若对Vn∈N,不等式 2n+1 )恒成立，求实数2的取值范围. 期末复习：单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 1 变式2.(2025：广东江门模拟预测)已知数列{a,}的前n项和为，4=21-m)5,=2ma. s. (1)证明： (n是等比数列. ②求数列 的前n项和Tn. 6)考2≤a,求2的取值范周。 442).4=0 变式3.2526商三上黑龙江哈尔滨阶段检测)已知数列包}满足”，4-Q 2) (1)求证：数列2-an是等差数列，并求出数列{an}的通项公式； 4 bn =antl+ (2)设 a1,求数列bn}的前n项和Sn,并证明5≤Sn<4n+2. 期末复习：单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 考点二 不等式法求数列最值 例1.(25-26高三上河北衡水期末)已知数列 ,对任意正整数m,满足0。，=a,+a,4=4. ①求a,的通项公式 2记5为a}的前n项和 ①a,的所有项构成了集合45，的所有项构成了东合B,证明：B∈4， 1 1 1 十十 (i)当n≥2时，证明：(a2-2)S2'(a-2)S,(a.-2)S,8. S,:28,=4a-1 例2.(25-26高二上福建泉州期末)已知数列an的前n项和为 (1求，4和a,的通项公式 ②对给定的eN,设数列R}为等差数列，其中首要风为4，公差为24，-1 )求数列}的前10顶和， （记，=R+R++”,若对任意的”eN,7+(1(+2)>0,求实数2的取值范围 期末复习：单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 例3.（2526高三下重庆阶段检测)已知正项数列a,情足：4aa,-50Q+4a,-5a=0neN,4=2 1 bn=an+- (1)设 ，试证明bn为等比数列： 50 ②没安-4，试证明9+6++6，< 9; 4=d+d++a,B-十店+…+云，是否存在n傥得32(1，+B,)为整数？如果存在，则求出m应满足 111 (3)设 的条件；若不存在，请给出理由 变式1.(2526高二上福建谦州阶段检测)记S为数列a,的前n项和，T,为数列，}的前n项和，若4=2， 且5=3双+2 四证明：数列，+ 是等比数列； n>120-n (2)若 成立，求n的最小值 期末复习：单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 变式2.(2025宁夏·一模)已知数列 4满足4=2,01=2an+3-21 ()证明：数列2”为等差数列： (2)设6=n+10g 3n-2，记数列{6，}的前n项和为S 0求3 VneN',S <m.3 (i)若 成立，求的取值范围. an 变式3.(2425高三下广东梅州阶段检测)已知数列3了的前n项和为Tn,满足T,=m,n∈N. (1)求数列 a} 的通项公式： (2已知数列a,的前m项和为5，求使得5>500 n的最小值. 6