精品解析：上海市竹园中学（五四制）2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

八年级数学练习 一、单项选择题 1. 一次函数在 轴上的截距是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数截距的定义直接求解即可. 【详解】解：对于一次函数的一般形式 ，其在y轴上的截距为常数项 . 题目中一次函数为 ，对应的常数项 . 该一次函数的截距为 . 2. 古诗“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（ ） A. 必然事件 B. 确定事件 C. 随机事件 D. 不可能事件 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件是一定条件下一定发生的事件，不可能事件是一定条件下一定不发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件，确定事件包含必然事件和不可能事件，根据定义求解即可. 【详解】解：∵“小荷才露尖尖角”时，蜻蜓可能立在上头，也可能不立在上头，事件发生具有不确定性， ∴该描述对应的事件是随机事件. 3. 在平行四边形 中，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形 ， ∴， ∵， ∴； 故选A． 4. 小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 【答案】B 【解析】 【详解】设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+2）本， 根据题意得：， 即：． 故选B． 5. 小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：∵只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选：B． 6. 如图，四边形 的对角线 、 交于点 ，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形 为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到四边形 是平行四边形，再根据菱形的判定方法求解即可． 【详解】解：∵四边形 的对角线 、 交于点 ，且互相平分， ∴四边形 是平行四边形， 添加：，由邻边相等的平行四边形是菱形得到四边形 为菱形，故A选项不符合题意； 添加：，不能证明四边形 为菱形，故B选项符合题意； 添加：，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到四边形 为菱形，故C选项不符合题意； 添加：， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴由邻边相等的平行四边形是菱形得到四边形 为菱形，故D选项不符合题意． 二、填空题 7. 方程的根是________． 【答案】 【解析】 【分析】等式两边同时除以 ，将未知数的系数化为1，再根据乘方的计算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或（舍去）， ∴ ． 8. 方程 的根是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定 的取值范围，再根据乘积为 的性质求解方程，最后舍去不符合取值范围的根，得到方程的根. 【详解】解：由二次根式有意义的条件可得， 解不等式组得 . 原方程为 ， 若乘积为 ，则 或 ， 解得 或 . 不满足 ，因此舍去， 原方程的根为 . 9. 已知，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式即可求解，看懂函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10. 已知点和点是一次函数 图象上的点，则与的大小关系是________．（用“>”“<”“=”填空） 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，进而得到与的大小关系. 【详解】解：对于一次函数 ，其一次项系数 ， 根据一次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小. ∵点的横坐标为，点的横坐标为 ， 可得，因此. 11. 若直线 经过点与直线平行，则其表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，以及求一次函数的解析式．根据直线 经过点与直线平行，得出，再把代入，即可求解． 【详解】解：∵直线 经过点与直线平行， ∴， 即， ∴再把代入， 得出， 解得， ∴， ∴其表达式为， 故答案为：． 12. 一个公园有东、南、西三个入口，小明和小红分别随机从一个入口进入该公园游玩，那么他们从同一入口进入该公园游玩的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率，画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一入口进入该公园游玩的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】把公园的东、南、西三个入口分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一入口进入该公园游玩的结果有3种， ∴他们从同一入口进入该公园游玩的概率是， 故答案为：． 13. 一个多边形的内角和为，则这个多边形有________条边． 【答案】7 【解析】 【分析】设多边形边数为 ，再代入已知内角和，即可解出结果. 【详解】解：设这个多边形的边数为 ，根据多边形内角和公式可得 ， 解得 . 14. 如图，矩形的对角线 与 相交于点O，， ，则 的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形．根据矩形的性质，推出 ，进而根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形 ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，若四边形 为平行四边形，则点 的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线中点坐标相同列式求解即可． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形，，设， ∴，， 解得，，， ∴． 16. 如图，的对角线 、 相交于点 ，的平分线与边相交于点 ， 是 中点，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到，根据中位线的判定和性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形，对角线 、 相交于点 ， ∴点O是线段的中点，，， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ 是 中点， ∴ ． 17. 用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图1），经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段．先用普通充电器充电ah后，再改为快速充电器充满电，若一共用时4h，则a的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．根据一共用时4h，列方程求出 的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得 ． 故答案为：3． 18. 如图，矩形 中，，，是对角线 上的两个动点，分别从同时出发，相向而行，速度均为 ，运动时间为秒，若分别是的中点，且，当为顶点的四边形为矩形时， 的值为 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】如图所示，连接，当为顶点的四边形为矩形时，则四边形的对角线相等，结合分类讨论即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵矩形 中，，，分别是的中点， ∴， ∵是 上的动点，速度均为 ，运动时间为秒， ∴， 当为顶点的四边形为矩形时，则， ∴①，解得，； ②，解得，； 综上所述，当 为或时，为顶点的四边形为矩形， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 三、简答题 19. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】将原式变形为，两边平方后解一元二次方程，再根据二次根式有意义的条件判定即可． 【详解】解：∵， ∴， 两边平方，得：， 整理得，， ∴， 解得：，， 经检验： 是原方程的增根，舍去；是原方程的根， ∴原方程的解为． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．先方程两边同乘以可得，再利用因式分解法解一元二次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 所以或， 解得 或， 经检验， 不是分式方程的解；是分式方程的解， 所以方程的解为． 21. 解方程： ． 【答案】，． 【解析】 【分析】先把方程组化成两个二元一次方程组，再解这两个二元一次方程组即可． 【详解】解：∵，∴或，解得，． 【点睛】此题主要考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键． 22. 已知：如图，平行四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD上的点，且AE=CG，BF=DH． （1）写出与相反的向量； （2）写出与平行的向量； （3）在图中求作﹣．（不要求写出作法，只需写出结论即可．） 【答案】（1）、；（2）、、；（3）作图见解析． 【解析】 【分析】（1）根据相反的向量的定义即可判断； （2）根据的平行的向量的定义即可判断； （3）利用三角形法则，即为所求． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC ∴与相反的向量为、； （2）∵AE=CG，BF=DH，AE∥CG，BF∥DH， ∴AD－DH=BC－BF， ∴AH=FC ∴ ∴ ∴与平行的向量有、、； （3）连接HF，图中向量即为所求． 【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题． 23. 如图，已知在梯形 中， ，，，，求证： ． 【答案】证明：过 作 ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴ ． 【解析】 【分析】过 作，证明四边形 是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得，进一步可得结论. 【详解】略 24. 在平行四边形 中，过点 作于点 ，点 在 上且，连接， ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，平分，求 的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 的长为 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，则四边形是平行四边形，再由，可推四边形是矩形； （2）由，，，根据勾股定理可求得，则，再利用角平分线证明，根据等角对等边求出 ． 【小问1详解】 证明： 四边形 是平行四边形， ， 于点 ，点 在 上， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长为5． 25. 综合与探究 【模型建立】 （1）如图1，等腰 中， ，，直线ED经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，则根据______可证明； 【模型应用】 （2）如图2，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转 至直线，求直线的函数表达式； （3）在直线上是否存在一点C，使 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）直线的函数表达式为；（3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）由，得，又，，即可得； （2）利用一线三垂直，证明，求出点 的坐标，待定系数法求出直线的函数表达式； （3）分两种情况讨论，①当 时；②当 时，分别求解即可． 【详解】解：（1）， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：； （2）如图2，作交直线于点 ，作轴于点 ， ， ， 由旋转得， ， ， ， 直线，当时，则， 解得； 当时，， ，， ，， ， ， 设直线的函数表达式为 ， 把，代入 ， 得， 解得， 直线的函数表达式为； （3）在直线上存在一点 ，使 为等腰直角三角形， ①当 时，作轴于点 ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，， ，， ， ； ②当 时， ，， ， ，， ， 综上所述，点 的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、等腰直角三角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 26. 如图，正方形 边长为4，点 在边上（点 与点 、 不重合），过点 作，垂足为，与边 相交于点 ． （1）求证：； （2）若 的面积为，求的长； （3）在（2）的条件下，取 ，的中点 ， ，连接 ，求 的长． 【答案】（1） 证明：，， ， 在与中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）5或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，本题的关键是知道两线段之间的垂直关系． （1）先证得，很容易证明与全等，由此得出，又由互余可得出，进而可得结论； （2）根据三角形的面积求得 ，再根据勾股定理求得 ，根据（1）中即刻得出结论； （3）连接并延长交 于点 ，连接，可证明，所以，或1，又 是的中位线，求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 的面积 ， ， 解得，， ， 或， 或． 【小问3详解】 解：如图，连接并延长交 于点 ，连接， 点 是 的中点， ， ， ，， ， ，或1， 当时，， ， ， ； 当时，， ， ， ； 综上， 的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学练习 一、单项选择题 1. 一次函数在 轴上的截距是（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 古诗“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（ ） A. 必然事件 B. 确定事件 C. 随机事件 D. 不可能事件 3. 在平行四边形 中，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 4. 小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 5. 小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ 6. 如图，四边形 的对角线 、 交于点 ，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形 为菱形的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 方程的根是________． 8. 方程 的根是________． 9. 已知，那么______． 10. 已知点和点是一次函数 图象上的点，则与的大小关系是________．（用“>”“<”“=”填空） 11. 若直线 经过点与直线平行，则其表达式为______． 12. 一个公园有东、南、西三个入口，小明和小红分别随机从一个入口进入该公园游玩，那么他们从同一入口进入该公园游玩的概率是_____． 13. 一个多边形的内角和为，则这个多边形有________条边． 14. 如图，矩形的对角线 与 相交于点O，， ，则 的长是______． 15. 如图，若四边形 为平行四边形，则点 的坐标为________． 16. 如图，的对角线 、 相交于点 ，的平分线与边 相交于点 ， 是 中点，若，，则的长为________． 17. 用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图1），经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段．先用普通充电器充电ah后，再改为快速充电器充满电，若一共用时4h，则a的值为______． 18. 如图，矩形 中，，，是对角线 上的两个动点，分别从同时出发，相向而行，速度均为 ，运动时间为秒，若分别是的中点，且，当为顶点的四边形为矩形时， 的值为 _____． 三、简答题 19. 解方程：； 20. 解方程：． 21. 解方程： ． 22. 已知：如图，平行四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD上的点，且AE=CG，BF=DH． （1）写出与相反的向量； （2）写出与平行的向量； （3）在图中求作﹣．（不要求写出作法，只需写出结论即可．） 23. 如图，已知在梯形 中， ，，，，求证： ． 24. 在平行四边形 中，过点 作于点 ，点 在 上且，连接， ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，平分，求 的长． 25. 综合与探究 【模型建立】 （1）如图1，等腰 中， ，，直线ED经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，则根据______可证明； 【模型应用】 （2）如图2，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转 至直线，求直线的函数表达式； （3）在直线上是否存在一点C，使 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，正方形 边长为4，点 在边 上（点 与点 、 不重合），过点 作，垂足为 ，与边 相交于点 ． （1）求证：； （2）若 的面积为，求的长； （3）在（2）的条件下，取 ，的中点 ， ，连接 ，求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $