精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2024—2025学年下学期八年级数学期中试卷

华二附初2024学年第二学期八年级数学一起作业 （时间：90分钟） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 一般的，形如，（k，b为常数）的函数叫做一次函数，根据定义判断即可． 【详解】解：A．，符合一次函数的一般形式，符合题意； B．，自变量次数不为1，故不是一次函数，不符合题意； C．，不符合一次函数的一般形式，不符合题意； D．，不符合一次函数的一般形式，不符合题意； 故选：A． 2. 下列方程有实数解的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理方程和分式方程，根据二次根式的性质，解无理方程和分式方程的步骤，逐一进行计算并判断即可． 【详解】解：A、方程可变为， ∵， ∴无实数根；不符合题意； B、， ∵，解得：， ∴不等式组无解， ∴方程无实数根；不符合题意； C、， 两边平方，得：，解得：或， 经检验，是原方程的根，是原方程的增根，舍去； ∴方程有实数解，符合题意； D、 方程去分母，得：， 移项，得：，此方程无实数根， ∴原方程无实数根，不符合题意； 故选C． 3. 若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断a、b的符号，再一一判断即可解决问题． 【详解】∵一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0，故A错误； ，故B错误； a2＋b＞0，故C正确， a＋b不一定大于0，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数与不等式，解题的关键是学会根据函数图象的位置，确定a、b的符号，属于中考常考题型． 4. 下列关于向量的等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的模的定义，以及零向量的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了向量的模的定义，以及零向量的定义，熟练掌握平面向量的相关定义是解题的关键． 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的菱形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形、菱形、正方形的判定，利用特殊四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项错误，不符合题意； B．对角线相等的菱形是正方形，故选项错误，不符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形，故选项正确，符合题意； D．对角线垂直相等的平行四边形是正方形,故选项错误，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，已知正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，证得是等腰直角三角形是解题的关键. 根据正方形的性质得到, 求得根据等腰三角形的判定定理得到, 推出是等腰直角三角形，于是得到结论. 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， 故选: C. 二、填空题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分） 7. 直线的截距是____________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据截距的定义：直线y=kx+b中，b就是截距，即可得到答案． 【详解】解：令x=0，得y=-1， ∴直线y=2x-1的截距是-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数性质，熟记截距的定义是解题的关键． 8. 已知关于的方程是二项方程，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查高次方程，利用方程的项数得出方程不含一次项是解题的关键． 根据二项方程可得不含这一项解题即可． 【详解】解：∵方程是二项方程， ∴，即， 故答案为：． 9. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法—换元法，换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原． 根据换元法步骤进行化简即可． 【详解】解：设， 则原方程可化为： 整理，得 故答案为：． 10. 直线与平行，且经过（2，1），则+=____________． 【答案】6 【解析】 【详解】∵直线y=kx+b与y=−5x+1平行， ∴k=−5， ∵直线y=kx+b过(2,1)， ∴−10+b=1， 解得：b=11. ∴k+b=-5+11=6 11. 已知一次函数y＝（m＋2）x－（m＋3），y随x的增大而减小，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是_______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据y随x的增大而减小可知，根据图象与y轴的交点在x轴下方则，解不等式组即可求得m的取值范围． 【详解】一次函数y＝（m＋2）x－（m＋3）， y随x的增大而减小， ， 解得， 图象与y轴的交点在x轴下方， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图像的性质，根据增减性和与y轴的交点确定参数是解题的关键． 12. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 13. 某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时，如果设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是____． 【答案】1000（1+x）2=1331 【解析】 【详解】由于某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时设这三年中每年的增长率为x，那么第二年变为1000（1+x），然后依此类推即可列出方程． 解：∵企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，这三年中每年的增长率相同， ∴设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是 1000（1+x）2=1331． 14. 已知直线经过点，那么不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 不等式的解集为直线落在轴上方的部分对应的的取值范围． 【详解】解：∵直线经过点，如图所示， ∴不等式的解集为直线落在轴上方的部分对应的的取值范围， 即． 故答案为：． 15. 如图，在梯形中，，，已知，，那么梯形的中位线长是________（用含m、n的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，梯形中位线性质，勾股定理，正确作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 过点D作交于E，证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，然后由勾股定理，求得，从而求得，然后由梯形的中位线定理求解即可． 【详解】解：过点D作交于E，如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴梯形的中位线长， 故答案为：． 16. 如图，菱形中，，，，垂足分别为，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，含直角三角形的性质，及三角函数即可得出结果． 【详解】解：在菱形中，， ， ， ， ， 在中，， 同理，， ， ， 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含直角三角形的性质，及三角函数等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线与x轴交于点B，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，以此类推…，则点的纵坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据求出点B的坐标，得到，根据等边三角形的性质，分别求得的纵坐标，进而得到的纵坐标，可得点的纵坐标．本题主要考查了图形规律题，结合一次函数的性质，等边三角形的性质求解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与x轴交于点B， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 同理得， 把代入得，， ∴， ∴， ∴同理得， ……， ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 18. 如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握正方形与折叠的性质是解题的关键． 连接，先由勾股定理求出，再由折叠的性质可知：，，则，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，即可求解． 【详解】解：连接， ∴正方形中，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共58分） 19. 解方程：． 【答案】原方程的根是． 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边乘， 得， ， ， 解得，． 经检验：是原方程的根，是增根． ∴原方程的根是． 【点睛】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解题的步骤是解题的关键，注意检验． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 由，可得，整理得，然后计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，，， 检验，当时，，当时，， ∴方程的解为． 21. 解方程组： 【答案】， 【解析】 【分析】根据完全平方公式和平方根的性质，将二元二次方程组变换为二元一次方程组并求解，即可得到答案． 【详解】∵ ∴或 原方程组的解集为，． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，涉及完全平方公式、平方根、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式、二元一次方程组的性质，从而完成求解． 22. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设，． （1）试用向量，表示下列向量：＝　 　；＝　 　； （2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）． 【答案】（1）﹣，﹣﹣；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质以及三角形法则求解即可． （2）如图，延长BC到E，使得CE＝BC，则即为所求． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD，OA＝OC， ∴＝＝＝﹣， ＝＝﹣﹣． 故答案为：﹣，﹣﹣． （2）如图，延长BC到E，使得CE＝BC，则即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行，收费元，且；B品牌电动车骑行，收费元，且，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x之间的函数图象如图所示． （1）说明图中函数与图象的交点P表示的实际意义． （2）已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由． （3）请直接写出当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 【答案】（1）交点表示的实际意义是当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费都为8元 （2）选择品牌共享电动车会更省钱，理由见解析 （3）或35 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和函数图象是解题关键． （1）根据点的坐标为即可得交点表示的实际意义是当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费都为8元； （2）先求出王老师从家骑行到学校所需时间为，再结合函数图象可得当时，，由此即可得； （3）先利用待定系数法求出当时，，再分三种情况：，和，分别建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：因为点的坐标为， 所以交点表示的实际意义是当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费都为8元． 【小问2详解】 解：选择品牌共享电动车会更省钱．理由如下： ∵王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为， ∴王老师从家骑行到学校所需时间为， 观察函数图象可知，当时，， 所以选择品牌共享电动车会更省钱． 小问3详解】 解：将和代入得：， 解得， 则当时，， 当时，令，即，解得，符合题设； 当时，令，即，解得，不符合题设，舍去； 当时，令，即，解得，符合题设； 综上，当为或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 24. 如图，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过A作交的延长线于点F，连结． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，四边形的面积是30，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，得，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出，因为，证明四边形是平行四边形，因为，所以证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，得出，由四边形是菱形，得出，把代入计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是斜边上中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 由（1）知 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∵，菱形的面积是30， ∴ ∴ ∴． 25. 如图1，平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与直线交于点C．直线与y轴交于点D． （1）求点C，点D的坐标； （2）如图2，P为直线上的一个动点，当，求点P坐标； （3）如图3，P为线段上的一个动点，点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）联立两个解析式求出点坐标，令，求出的函数值，得到点坐标即可； （2）求出点坐标，设，根据，列出方程进行求解即可； （3）设，根据对称的性质，得到求出的坐标，进而求出的中点坐标，求出直线的解析式，联立直线和直线，求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：联立，解得：， ∴， 令，则：， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 设， ∵点C关于直线的对称点为， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴或， 当时，的中点坐标为：， ∵， ∴轴， ∴，此时，解得：， ∴， 当时，的中点坐标为：，即为点， 设直线与轴交于点，则：， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立：，解得：， ∴． 综上：或． 26. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接． 求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． （2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】（1）①详见解析；②1 （2）周长的最小值： 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质和菱形的性质可得，，，即可解答； ②过点作于点，交的延长线于点，“”可证，所以，即，由正方形的面积公式，即可解答； （2）先证四边形是正方形，利用勾股定理求出，，即可解答． 【小问1详解】 证明：①如图1中， 四边形是菱形， ，， 四边形是正方形， ，， ，， 又， 四边形是“直等补”四边形； ②如图1中，过点作于点，交的延长线于点， ， 四边形是矩形， ， 即， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ； 小问2详解】 周长的最小值：； 延长到点，过作于点， 四边形是“直等补”四边形，，， ， ，即， ，， ，， 四边形是矩形， ， 又，， ， 在和中，， ， ， 矩形是正方形， ，； ∵， 即当点C、P、三点共线时，的最小值是， 在中，，， ，； 在中，，， ， 周长的最小值为：； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华二附初2024学年第二学期八年级数学一起作业 （时间：90分钟） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1. 下列函数中，是一次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程有实数解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ） A B. C. D. 4. 下列关于向量的等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的菱形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是正方形 6. 如图，已知正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分） 7. 直线的截距是____________． 8. 已知关于的方程是二项方程，那么_________． 9. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是______． 10. 直线与平行，且经过（2，1），则+=____________． 11. 已知一次函数y＝（m＋2）x－（m＋3），y随x的增大而减小，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是_______________ 12. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 13. 某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时，如果设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是____． 14. 已知直线经过点，那么不等式的解集是________． 15. 如图，在梯形中，，，已知，，那么梯形的中位线长是________（用含m、n的式子表示）． 16. 如图，菱形中，，，，垂足分别为，，若，则________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线与x轴交于点B，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，以此类推…，则点的纵坐标是________． 18. 如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共58分） 19. 解方程：． 20. 解方程：． 21. 解方程组： 22. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设，． （1）试用向量，表示下列向量：＝　 　；＝　 　； （2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）． 23. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行，收费元，且；B品牌电动车骑行，收费元，且，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x之间的函数图象如图所示． （1）说明图中函数与图象的交点P表示的实际意义． （2）已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由． （3）请直接写出当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 24. 如图，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过A作交的延长线于点F，连结． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，四边形的面积是30，求的长． 25. 如图1，平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与直线交于点C．直线与y轴交于点D． （1）求点C，点D的坐标； （2）如图2，P为直线上的一个动点，当，求点P坐标； （3）如图3，P为线段上一个动点，点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，直接写出点P的坐标． 26. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，以菱形一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接． 求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． （2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上动点，请你直接写出周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$