上海市第四中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 上海市第四中学高一数学期末卷，以函数、数列、向量等核心知识为载体，通过玉兰种植面积优化、⊗变换等创新问题，考查数学眼光、思维与语言，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/42|函数周期、等差数列、复数纯虚数、解三角形余弦值|基础巩固，覆盖高频考点| |选择题|4/14|复数方程根、向量投影、新定义函数|能力辨析，结合新定义| |解答题|5/44|数列综合、向量与三角函数、扇形面积优化、⊗变换|创新应用，如玉兰种植情境考查建模，⊗变换培养逻辑推理|

2025学年第二学期高一数学期末试卷参考答案 总分：100分 考试时间：90分钟 一、填空题（共42分，1-6，每题3分；7-12，每题4分） 1.函数的最小正周期为　　． 【解析】函数的最小正周期为． 2.在等差数列中，，公差d=2， ． 【解析】因为等差数列中，，公差，，得 3.已知，则x=　　． 【解析】由题意得． 4.已知角满足，则　　． 【解析】． 5.已知i为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为 【解析】由题意得，解得，所以． 6.函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是，则 它的函数表达式为　　． 【答案】 7.已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则 【解析】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得或， 又数列为递增等比数列，所以，所以.【答案】C 8.在中，已知三边之比为，则该三角形最大角的余弦值为　　． 【解析】不妨设三边边长分别为、、， 则该三角形的最大角的余弦值为． 9.若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为　　． 【解析】因为， 所以，取线段的中点为， 可化为，即， 所以此平行四边形为矩形，所以，所以是直角三角形． 10．已知是等比数列，若、是方程的两个根，则 【解析】由韦达定理可知 ，所以， 因为是等比数列，其通项满足 ，公比的平方 （若则，不符题意）， 所以 与 同号，故 ,又因为 ， 综上可得 . 【解析】设公差为，则得，解得， ， 由，，即，∴取得最大值时，． 11.在平行四边形中，是边上的动点，则的最大值是　　． 【解析】设，因为， 所以． 又因为，所以． ， ， ， 则． 当时，取得最大值28． 12.在中，分别是角的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为　　． 【解析】因为， 所以由正弦定理得，整理得， 故， 因为，所以．，所以， 由题意得，因为三点共线， 设， 又三点共线，故，所以． 因为， 所以 ，于是， 两边平方化简得 ， 当且仅当时取等号，所以，即， 所以的最小值为． 二、选择题（共14分，13-14每题3分，15-16每题4分） 13.设复数和分别是方程的两个根，则　　 A． B． C． D． 【解析】，则，故选． 14．已知等差数列的前项和为，，且，则（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】B 【解析】由题意得，，其中分别是等差数列的首项和公差， 化简得，解得.所以.故选：B. 15．已知，其中的夹角为，则在方向上的投影为　　 A． B．1 C． D． 【解析】在方向上的投影为，故选． 16.对于实数，记表示不超过的最大整数，例如，． 已知，． 有下列三个命题：①是周期函数；②函数的图像关于对称；③方程有且仅有个实根． 则真命题的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】函数的定义域为； 因为， 所以为偶函数， 当时，， 当时，， 当时，是的周期，作出完整图像， 得在完整定义域上不是周期函数，故①错误； 显然函数的图像不关于对称， 因为，故②错误； 对于③，，显然是方程的一个根， 若方程有且仅有2个实根， 则方程有且仅有1个非零实根， 注意到，从而，当然也有， 所以当时，方程无解， 解， 那么当时，，此时无解， 当时，， 因为，此时，而， 所以此时即无解， 当时，，此时， 所以此时即无解， 当时，，此时， 当时，， 所以此时即无解， 当时，， ，所以此时即无解， 当时，， 所以此时即无解， 当时，， 所以此时即无解， 当时，，所以此时无解， 当时，， 所以此时即无解， 当时，， 所以此时即无解， 当时，， 所以此时即无解， 当时，， 所以此时即无解， 当时，，所以此时无解， 当时，， 所以此时即无解， 当时，， ，所以此时即无解， 当时，， 所以此时即无解， 注意到，当时，方程无解， 综上所述，方程无非零实数解，故③错误， 即真命题的个数为0个．故选． 三、解答题 17.已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且成等比数列： (1)求数列的通项公式； (2)设，求证数列是等比数列. 【解】（1）设等差数列的公差为，则， 依题意得：， 化简得，解得. 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 由，可得数列是等比数列， 且等比数列的首项为，公比为. 18.已知向量，记． （1）求函数的单调递增区间； （2）已知、、分别为内角、、的对边，，且，求的面积． 【解析】（1） ， 由， 解得， 所以函数的单调递增区间为． （2）， 因为，所以，所以， 所以，又，即， 解得或（舍去），从而． 19已知复数满足，的虚部为． （1）求复数； （2）设复数在复平面上对应的点分别为， 求：的值． [解] （1）设，则 . 所以或 （2）当时，，， 所以 所以 当时，，， 所以. 所以 20.“玉兰挺芳枝，幽兰出深谷；生长虽不同，气味各芬馥．”这是明代沈周赞美白玉兰的佳句．除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且． （1）当米时，求的长； （2）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值． 【解析】（1）由，故， 由余弦定理得， 即，即有， 即，故（负值舍去）或， 即； （2）由，故，又， 由正弦定理得，即， 则， 令， 则 ， 有最大值，此时，即，可取， 此时平方米． 21.对于平面向量，定义“变换”： ，其中，，表示、中较大的一个数，表示、中较小的一个数．若，则．记． （1）若，求及； （2）已知，将经过次变换后，最小，求的最小值； （3）证明：对任意，经过若干次变换后，必存在，使得． 【解析】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以或， 所以，， 即， 由题意得， ， 由规律分析得且， 由且可以得到的最大值为674，所以， 所以，此后进入循环， 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以最小时，的最小值为1349． （3）对当，时，当，时，当，时， 三种不同的情况进行分析， 当，时，显然存在，使得， 当，时，，即， 存在，使得． 同理，当，时，存在，使得． 当，时，若，则， 存在，使得． 若，设， 假设对任意，所以、均不为0． 因为、，所以． 如果，则， 如果，则，所以， 所以，即． 因为， 所以，所以， 与矛盾，故假设错误，存在，使得， 综上所述，对于任意，经过若干次变换后，必存在，使得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市第四中学2025学年第二学期高一数学期末试卷 总分：100分 考试时间：90分钟 一、填空题（共42分，1-6，每题3分；7-12，每题4分） 1.函数的最小正周期为　　． 2.在等差数列中，，公差d=2， ． 3.已知，则x=　　． 4.已知角满足，则　　． 5.已知i为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为 . 6.函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是，则 它的函数表达式为　　． 7.已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则 8.在中，已知三边之比为，则该三角形最大角的余弦值为　 　． 9.若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为　　． 10．已知是等比数列，若、是方程的两个零点，则 . 11.在平行四边形中，是边上的动点，则的最大值是　　． 12.在中，分别是角的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为　　． 二、选择题（共14分，13-14每题3分，15-16每题4分） 13.设复数和分别是方程的两个根，则　　 A． B． C． D． 14．已知等差数列的前项和为，，且，则（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 15．已知，其中的夹角为，则在方向上的投影为　　 A． B．1 C． D． 16.对于实数，记表示不超过的最大整数，例如，． 已知，． 有下列三个命题：①是周期函数；②函数的图像关于对称；③方程有且仅有个实根． 则真命题的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（共44分，8+8+8+8+12) 17.已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且成等比数列： (1)求数列的通项公式； (2)设，求证数列是等比数列. 18.已知向量，记． （1）求函数的单调递增区间； （2）已知、、分别为内角、、的对边，，且，求的面积． 19已知复数满足，的虚部为． （1）求复数； （2）设复数在复平面上对应的点分别为， 求：的值． 20.“玉兰挺芳枝，幽兰出深谷；生长虽不同，气味各芬馥．”这是明代沈周赞美白玉兰的佳句．除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且． （1）当米时，求的长； （2）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值． 21.对于平面向量，定义“变换”： ，其中，，表示、中较大的一个数，表示、中较小的一个数．若，则．记． （1）若，求及； （2）已知，将经过次变换后，最小，求的最小值； （3）证明：对任意，经过若干次变换后，必存在，使得． 学科网（北京）股份有限公司 $