上海市川沙中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试题

**基本信息** 试卷以现实情境为载体，通过分层设计考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，体现高中数学核心素养的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6/70|函数导数、立体几何、概率统计|结合环境监测数据考查数学建模，多问设计实现从运算能力到创新探究的梯度，呼应真题情境化命题趋势|

上海市川沙中学2025学年第二学期高一数学期末考试 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分． 2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、准考证号． 3．考试时间：90分钟． 一、填空题（本大题共12小题，满分36分，每小题3分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．） 1．已知，且，则_____． 2．已知复数满足，则_____ 3．已知圆锥的高为4，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为_____． 4．如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，则的面积为_____． 5．设，，则向量在方向上的投影向量的坐标为________． 6．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有________条． 7．已知正四棱柱，，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____． 8．如图所示，为梯形，，，，现在将这个图形绕着直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的体积是_______． 9．已知复数满足，则的最小值为___________． 10．如图所示，是某正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是_______． 11．已知平面向量，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则的最小值为_________． 12．如图，正方体绕直线旋转，直线旋转至直线则直线与直线所成角的大小为_______． 二、单选题（本大题共4小题，满分12分，每小题3分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分．） 13．已知，为非零向量，命题：和命题：，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知直线、和平面、，且，，则下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 16．如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线与垂直；②存在点、，使为等边三角形，则（ ） A．①、②均为真命题 B．①、②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分52分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．） 17．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分 已知向量与的夹角为，，，求： （1）： （2）若，求实数的值． 18（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分 已知，为虚数单位，复数 （1）当复数为纯虚数时，求的值； （2）已知，，当时，若是关于的方程的一个根，求与的值． 19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分 如图，四边形为长方形，平面，，． （1）若、分别是、的中点，求证：平面； （2）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 20．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分 已知函数（，）为奇函数，且的周期为． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：，，，．试确定的值，并求的值． 21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分 如图，在矩形中，，，是线段上的一动点，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段上． （1）当点与点重合时，证明：平面； （2）当点与点重合时，求二面角的余弦值； （3）设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $