精品解析：上海市徐汇中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

徐汇中学2023学年第二学期高一年级数学期末 2024.06 一､填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分） 1. 已知，且，则点在第__________象限. 2. 在正方形中，向量与向量的夹角是__________．（用弧度制表示） 3. 若为锐角，，则__________. 4. 已知复数，且复数满足，则在复平面内对应点位于第__________象限. 5. 已知，，若，则_________. 6. 已知数列是等比数列，且，，则__________． 7. 已知向量和，则在方向上的投影是__________. 8. 函数的部分图像如图所示，则 ______ . 9. 若复数满足，，且（为虚数单位），则的最小值为______． 10. 已知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值集合为______． 11. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是__________. 12. 定义：若，则称是函数的倍伸缩周期函数．设，且是的2倍伸缩周期函数．若对于任意的，都有，则实数m的最大值为__________ 二､选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 13. “”是“复数是纯虚数”的（ ）条件. A 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分又不必要 14. 在中，三边长是，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 15. 设函数(，，)的图象关于直线对称，且它的最小正周期为，则（       ） A. 的图象经过点 B. 在区间上是减函数 C. 的最大值为 D. 的图象的一个对称中心为 16. 已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的满足，则下列选项之中，不可能成立的为（ ） A. B. C. D. 三､解答题（本大题共有5题，满分48分） 17. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位. （1）求的值; （2）记复数，求复数的模. 18. 已知向量，，． （1）求函数的最大值及相应的值； （2）在中，角A为锐角，且，，，求边长． 19. 在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列. （1）求等比数列通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和的最大值. 20. 如图所示，是一块边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场． （1）设，长方形面积为S，试建立S关于的函数关系式； （2）当为多少时，S最大，并求最大值． 21. 平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中. （1）当时，试用表示； （2）当时，求的值； （3）当时，求的最小值. 四､附加题（本大题共有2题，满分10分，不计入总分） 22. 对于项数为10的数列，若满足（其中为正整数，），且，设，则的最大值为__________． 23. 对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，则下列3个命题中真命题的个数为__________. （1）函数是周期函数； （2）函数的图像关于直线对称； （3）方程有2个实数根. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 徐汇中学2023学年第二学期高一年级数学期末 2024.06 一､填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分） 1. 已知，且，则点在第__________象限. 【答案】二 【解析】 【分析】先根据两个条件得出的象限，再判断出的符号即可得到答案. 【详解】由，则在第二或第四象限； 又，所以在第二象限， 则，点在第二象限. 故答案为：二. 2. 在正方形中，向量与向量的夹角是__________．（用弧度制表示） 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据向量夹角的概念求解. 【详解】向量与向量的夹角是的补角，而， 故. 故答案为：. 3. 若为锐角，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求出余弦值，再结合诱导公式求值即可. 【详解】因为为锐角， 所以，则. 故答案为：. 4. 已知复数，且复数满足，则在复平面内对应的点位于第__________象限. 【答案】二 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算求解复数，再利用复数的几何意义即可判断点所在的象限. 【详解】 故z在复平面内对应的点位于第二象限. 故答案为：二. 5. 已知，，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标运算，求的值. 【详解】由题意得，，，，解得. 故答案为： 6. 已知数列是等比数列，且，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列性质若，则，化简已知条件即可求解. 【详解】根据等比数列的性质若，则，有，， 所以化为，即， 又因为，所以. 故答案为： 7. 已知向量和，则在方向上的投影是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】向量和，则有，， 所以在方向上的投影是. 故答案为：. 8. 函数的部分图像如图所示，则 ______ . 【答案】2. 【解析】 【分析】 由正切函数性质求得两点的坐标，然后计算数量积． 【详解】，，，，最小的正整数为，， ，，，，最小的正整数为，， ， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，解题关键是由正切函数性质求出两点坐标，然后计算． 9. 若复数满足，，且（为虚数单位），则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知关系求得变量关系，然后统一未知量，最后根据二次函数性质可得答案. 【详解】设=，， ，即， 化简得，， ∴， 根据二次函数性质可知，当时，取得最小值，此时，符合，， ∴的最小值为. 故答案为：. 10. 已知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知，在为奇数和偶数前提下，讨论为奇数和偶数时的取值，即可得出的取值. 【详解】由题知， 若为偶数，则，， 此时若为偶数，则，， 若为奇数，则，（舍去）； 若为奇数，则，， 此时若为偶数，则，， 若为奇数，则，（舍去）. 综上，所有可能的取值集合为. 故答案为： 11. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，由图可得点在上运动，取的最大值，当在上运动，取的最小值，求得相应最值即可. 【详解】分别过，作的垂线，垂足为，，且，， 因为点在正八边形上运动，所以在上的投影向量的起点为，终点在线段上移动， 则当点在上运动，取的最大值，为， 则当点在上运动，取的最小值，为， 所以的取值范围是 故答案为： 12. 定义：若，则称是函数的倍伸缩周期函数．设，且是的2倍伸缩周期函数．若对于任意的，都有，则实数m的最大值为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】确定函数解析式，得到时，，考虑和两种情况，得到不等式，解得答案. 【详解】依题意，， 当时，，则， 当时，，，，于是， 当时，恒成立；当时，，，即， 由，解得或，即或， 观察图象知，当时，恒有，依题意，， 所以实数m的最大值为. 故答案为： 二､选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 13. “”是“复数是纯虚数”的（ ）条件. A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分又不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数定义，得到a，b条件，可解. 【详解】复数是纯虚数，则.则“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件. 故答案为：A. 14. 在中，三边长是，若，则形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，由余弦定理即可判断. 【详解】，是最大边，即是最大角， ，， 由余弦定理，，为锐角， 为锐角三角形. 故选：A. 15. 设函数(，，)的图象关于直线对称，且它的最小正周期为，则（       ） A. 的图象经过点 B. 在区间上是减函数 C. 的最大值为 D. 的图象的一个对称中心为 【答案】D 【解析】 【分析】先利用题意得到，，得到，然后根据三角函数的性质对每个选项进行判断，即可得到答案 详解】解：由题设可得解得， 因为函数的图象关于直线对称， 所以，故，即， 又，故，则， 则当时，，排除答案A； 又因， 故当时，函数不是减函数，故排除答案B； 当时，函数的最大值是，应排除答案C； 由于，故的图象的一个对称中心为，故D正确， 故选：D． 16. 已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的满足，则下列选项之中，不可能成立的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，结合等比数列的通项和性质分析判断. 【详解】当时，则有： ①当，则为非零常数列，故符合题意，A可能成立； ②当，则为单调数列，故恒不成立，即且不合题意； 当时，可得，则有： ①当，若为偶数时，则； 若为奇数时，则； 故符合题意，B可能成立； ②当，若为偶数时，则， 且，即； 若为奇数时，则，且， 即；故符合题意，D可能成立； ③当，若，可得， ，则，可得，则，这与等比数列相矛盾， 故和均不合题意，C不可能成立. 故选：C. 三､解答题（本大题共有5题，满分48分） 17. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位. （1）求的值; （2）记复数，求复数模. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程化简，利用复数等于0，即实部和虚部都0，即可求解； （2）求出共轭复数，然后求出待求复数，利用复数模长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得:，即， 所以，所以，， 解得：，. 【小问2详解】 ，，， 所以. 18. 已知向量，，． （1）求函数的最大值及相应的值； （2）在中，角A为锐角，且，，，求边的长． 【答案】（1）最大值，此时，； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积坐标运算、二倍角公式以及辅助角公式求得函数的解析式，再由正弦函数的性质求解； （2）由（1）求出角的值，再利用正弦定理求出边的长作答. 【小问1详解】 依题意， 当，即时，取最大值. 【小问2详解】 由（1）及得：，即， 因，则，因此，，则， 而，有， 在中，由正弦定理得，， 所以边的长为. 19. 在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列. （1）求等比数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和的最大值. 【答案】（1） （2）当时，的最大值为25 【解析】 【分析】（1）设数列的公比为，由等差中顶和等比数列的通项公式列出方程组,结合题意求出的值,再代入等比数列的通项公式化简即可；(2)由（1）和题意化简，并判断出数列是等差数列，求出首项和公差，代入等差数列的前项和公式，再对进行配方，根据二次函数的性质求出它的最大值. 【小问1详解】 设数列的公比为， 因为成等差数列， 所以 即， 所以， 解得或（舍去）， 又，所以数列的通项公式． 【小问2详解】 由题意得，， 则，且， 故数列是首项为9，公差为的等差数列， 所以， 所以当时，的最大值为25. 20. 如图所示，是一块边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场． （1）设，长方形的面积为S，试建立S关于的函数关系式； （2）当为多少时，S最大，并求最大值． 【答案】（1），． （2）时，面积最大为 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义，结合图形直接表示即可； （2）令换元，然后由二次函数性质可解. 【小问1详解】 延长交于，设， 则，， ，． ，． 【小问2详解】 设， ，知，，， ． 当，即时，有最大值． 答：长方形停车场面积的最大值为平方米． 21. 平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中. （1）当时，试用表示； （2）当时，求的值； （3）当时，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件得，，由向量的线性运算即可求解； （2）由基底表示出，再求出，最后求模即可； （3）由基底表示出，，从而表示出，再利用求函数的最值的知识求出最小值． 【小问1详解】 由题意可得：， 当时，所以，. 【小问2详解】 因，则， 由（1）可得：， 当时，则，， 所以 因为， 所以， 所以 【小问3详解】 当时，，， 则，同理， 令， 当，2，3时，， 当时，上式有最小值为； 当 时，， 当，6，7时，，当时，上式有最小值为， 综上，的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据向量的线性运算得，即可结合数量积的运算求解. 四､附加题（本大题共有2题，满分10分，不计入总分） 22. 对于项数为10的数列，若满足（其中为正整数，），且，设，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得数列中相邻两项的差最大为，再根据数列的增减性计算即可. 【详解】因为， 所以或， 设， 则数列中相邻两项的差最大为， 要保证， 则数列的项有增有减， 假如中有个，增量最大为，则有项是减少的， 则必有，所以，则或， 取，取最大值，按最大连续增量计算， 有，即中有最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：说明数列中相邻两项的差最大为，数列的项有增有减，是解决本题的关键. 23. 对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，则下列3个命题中真命题的个数为__________. （1）函数是周期函数； （2）函数的图像关于直线对称； （3）方程有2个实数根. 【答案】1个 【解析】 【分析】由题意可得、均为偶函数，作出两函数的图象，可判断（1），（2）；分，，且，及或，求解（3）． 【详解】函数的定义域为R，， 所以为偶函数， 当时，， 当时，， 当时，， 因为为偶函数，所以函数的图象如下图所示： 因为，所以为偶函数， 由可知，在内，当，时，， 当，且，时，， 当或，时，， 则函数的图象如下图所示： 由图可知，不是周期函数，故（1）错误； 的图象不关于直线对称，故（2）错误； 因为当时，，， 所以， 不存在，使，故无解； 当，且，时，， 所以， 如图所示， 此时有一个解； 当或，时，， 所以， 综上，方程有2个实数根，故（3）正确． 所以真命题的个数为1个. 故答案为：1个. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是判断、均为偶函数，作出两个函数的图象，结合图象分析判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$