期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质复习讲义 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质复习讲义 考点目录 线面平行的性质 面面平行的性质 考点一 线面平行的性质 【知识点解析】 1.线面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 线面平行的性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 2.解题技巧 （1）核心使用场景：已知线面平行，求证线线平行（判定是由线线平行推线面平行，性质反向使用）。 （2）构造辅助平面套路： 已知 ，要找平面内与 平行的直线： ① 在直线 上取两点； ② 分别向平面 作连线，确定一个包含 的辅助平面； ③ 辅助平面与 的交线，就是和 平行的直线。 （3）求距离题型：线面平行，直接转化为直线上任意一点到平面的距离计算。 （4）立体几何求值（线段长度、相似比例）：利用 得到三角形相似，列比例式计算边长。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·河北雄安·期中）如图，在正方体中，F，P分别为棱，的中点. (1)设平面平面，求证：． (2)棱上是否存在一点M，使平面DBF?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 例2．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，在正方体中，过的截面与底面交于，，分别为，的中点． (1)证明：； (2)若为的中点，证明：平面平面． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·福建南平·期中）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 变式2．（25-26高一下·广东湛江·期中）如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积． 考点二 面面平行的性质 【知识点解析】 1.面面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 面面平行的性质 （1）两个平面平行，一个平面内的任意一条直线与另外一个平面平行. （2）两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 二、解题技巧 （1）证明线线平行优先思路：出现面面平行，直接作第三个截面，利用交线平行快速证线线平行，比中位线、平行四边形更简便。 （2）证明线面平行捷径：已知面面平行，只需说明直线在其中一个平面内，直接得出线面平行，无需再找中位线。 （3）长度计算： 两个平行平面截棱柱、棱锥，截面多边形相似，用相似比求边长、面积；夹在两面间平行线段直接等长。 （4）求面面距离：任取一个平面内一点，求该点到另一平面垂线段长度。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 例2．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）如图，在三棱锥中，，底面，，M是的中点，N是的中点，点Q在线段上，且． (1)求点到平面距离； (2)求证：平面． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图，直三棱柱的体积为4，D是的中点． (1)求证：平面； (2)已知为中点，已知平面与平面的交线为，试判断与的位置关系，并证明； (3)求的体积． 变式2．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，，，分别是，的中点，，． (1)求证平面； (2)若平面，求的值； 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质复习讲义 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质复习讲义 考点目录 线面平行的性质 面面平行的性质 考点一 线面平行的性质 【知识点解析】 1.线面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 线面平行的性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 2.解题技巧 （1）核心使用场景：已知线面平行，求证线线平行（判定是由线线平行推线面平行，性质反向使用）。 （2）构造辅助平面套路： 已知 ，要找平面内与 平行的直线： ① 在直线 上取两点； ② 分别向平面 作连线，确定一个包含 的辅助平面； ③ 辅助平面与 的交线，就是和 平行的直线。 （3）求距离题型：线面平行，直接转化为直线上任意一点到平面的距离计算。 （4）立体几何求值（线段长度、相似比例）：利用 得到三角形相似，列比例式计算边长。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·河北雄安·期中）如图，在正方体中，F，P分别为棱，的中点. (1)设平面平面，求证：． (2)棱上是否存在一点M，使平面DBF?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)如图，连接， 因为在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以． 方法一：因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． 方法二：因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以．所以． 方法三：在正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，则． (2)存在，且，理由如下： 取的中点G，连接AG，FG， 因为F，G分别为，的中点，所以，， 因为，，所以，， 所以四边形ABFG为平行四边形，所以， 设M为的中点，则，所以. 因为平面DBF，平面DBF，所以平面DBF， 故存在所求的点M，且. 【分析】（1）由题设得，再由线面平行的判定、性质定理或面面平行的性质定理证明结论； （2）取的中点G，连接AG，FG，易得，设M为的中点，从而得到，则，最后由线面平行的判定定理证得结论. 【详解】（1）略 （2）略 例2．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，在正方体中，过的截面与底面交于，，分别为，的中点． (1)证明：； (2)若为的中点，证明：平面平面． 【答案】(1)在正方体中，平面， 所以平面， 又为过的截面与底面的交线， 所以平面， 所以. (2)因为，由（1）得， 在中，F为的中点，所以E为的中点， 又M为中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 平面，所以平面, 又因为分别为的中点，所以, 平面，所以平面， ，平面， 所以平面平面. 【分析】（1）利用线面平行的性质直接得到线线平行； （2）利用线面平行证明面面平行. 【详解】（1）略 （2）略 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·福建南平·期中）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定性质推理得证. （2）利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理得证. 【详解】（1）由正方形，得，又平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）由正方形，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面， 由（1）知，所以平面. 变式2．（25-26高一下·广东湛江·期中）如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用面面平行的性质定理可证得结论成立； （3）分析可知该三棱锥为正四面体，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以是的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）由（1）可知平面 因为平面，平面平面，所以. （3）若三棱锥的各棱长均为， 则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形， 一个等边三角形的面积为，故该几何体的表面积为. 考点二 面面平行的性质 【知识点解析】 1.面面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 面面平行的性质 （1）两个平面平行，一个平面内的任意一条直线与另外一个平面平行. （2）两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 二、解题技巧 （1）证明线线平行优先思路：出现面面平行，直接作第三个截面，利用交线平行快速证线线平行，比中位线、平行四边形更简便。 （2）证明线面平行捷径：已知面面平行，只需说明直线在其中一个平面内，直接得出线面平行，无需再找中位线。 （3）长度计算： 两个平行平面截棱柱、棱锥，截面多边形相似，用相似比求边长、面积；夹在两面间平行线段直接等长。 （4）求面面距离：任取一个平面内一点，求该点到另一平面垂线段长度。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线证得平面. （2）通过证明平面平面，证得平面. 【详解】（1）如图： 连接，交于，连接， 由于分别是的中点，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）连接，由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于平面,平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 例2．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）如图，在三棱锥中，，底面，，M是的中点，N是的中点，点Q在线段上，且． (1)求点到平面距离； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)过点作，交于点，连接， 因为是的中点，， 由平行线分线段成比例得，即是的中点， 又是中点，因此，即； 结合已知，得，因此， 在中可得，因为，平面，平面，故平面； 因为，平面，平面，故平面， 又，且平面， 由面面平行判定定理得：平面平面， 因为平面， 因此平面. 【分析】（1）先由线面垂直判定定理证明平面，过作，交于点，再证明平面，是的中位线可得结论； （2）过点作，交于点，证明平面平面，由面面平行性质可得结论. 【详解】（1）因为底面，平面， 所以， 又，即， 且，平面， 所以 平面， 过作，交于点，由平面可知平面， 的长度即为点到平面的距离， 因为是中点，，所以是的中位线， 因此， 即点到平面的距离为； （2）略 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图，直三棱柱的体积为4，D是的中点． (1)求证：平面； (2)已知为中点，已知平面与平面的交线为，试判断与的位置关系，并证明； (3)求的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理得证； （2）由（1）中信息，利用线面平行的性质推理判断； （3）利用等体积法，结合柱体体积公式求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，为中点，连接，由D是的中点， 得，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面，因此平面； 由，得四边形为平行四边形，， 而，则四边形为平行四边形， 而平面，平面，因此平面， 又平面， 则平面平面，而平面， 所以平面. （2）； 由（1）知平面，而平面平面，平面， 所以. （3）依题意，平面， 则 ， 所以的体积为. 变式2．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，，，分别是，的中点，，． (1)求证平面； (2)若平面，求的值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一，根据构造面面平行，进而利用面面平行性质定理证明线面平行； 方法二，构造平行四边形，根据线线平行，证明线面平行； （2）根据线面平行的性质定理，得到线线平行，再求的值. 【详解】（1）证明一：取的中点为，连接，， ∵，、分别为、的中点；∴， ∵平面，平面，∴平面，又∵为的中点， ∴，∵平面，平面，∴平面， ∵，平面，∴平面平面， 又平面，∴平面． 证明二：取的中点为，过作交于， 取中点，连接，，，则，， ，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面； （2）连接交于点，连接． ∵平面，平面，平面平面， ∴，∴．又，∴，∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $