第5讲：线面、面面平行和垂直位置关系期中核心考点题型讲义【六大题型】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第5讲：线面、面面平行和垂直位置关系高频考点题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：线面、面面关系 · 考点二：线面平行的判定和性质 · 考点三：面面平行的判定和性质 · 考点四：线面垂直的判定和性质 · 考点五：面面垂直的判定和性质 · 考点六：线面关系的综合问题 【知识梳理】 知识点一：．四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 知识点二：直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. 3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识点三：．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 知识点四：面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 知识点五：直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． (2)范围：. 知识点六：．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【题型归纳】 题型一：线面、面面关系 【典例1】．（25-26高一下·福建福州·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，由，可得可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由可得或，故B错误； 对于C，由，可得，又，则有，故C正确； 对于D，当是平面内两条互相垂直的直线，且时，满足，，但，故D错误. 【变式1】．（2026·湖南常德·一模）若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】A 【分析】利用线面位置关系的判断及性质定理逐项分析即可. 【详解】选项A，若，，，， 根据面面垂直的性质定理可得：，故A选项正确； 选项B，若，， 则直线与直线可能平行，可能异面，故B选项不正确； 选项C，若，， 则直线与直线可能平行，可能相交，也可能异面，故C选项不正确； 选项D，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交（包括垂直），也可能异面，故D选项不正确； 故选：A. 【变式2】．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据空间直线与平面，直线与直线，平面与平面不同位置的定义，判定定理及性质定理，以及几何特征，逐项分析即可． 【详解】选项A，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确； 选项B，若，，， 则平面与平面可能平行，可能相交；故B选项不正确； 选项C，若，，，则，故C选项正确； 选项D，，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确； 故选：C. 题型二：线面平行的判定和性质 【典例2】．（24-25高一下·重庆南岸·期中）如图，四边形是平行四边形，点分别为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若，证明：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据中位线得到，从而证明出线面平行； （2）证明出四边形为平行四边形，故，所以平面，同理可得平面，证明出面面平行，由面面平行的性质得到线线平行. 【详解】（1）因为分别为线段的中点， 所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）因为四边形是平行四边形， 所以且， 点分别为线段的中点， 故且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为，即平面平面， 平面平面， 所以. 【变式1】．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点N为的靠近的三等分点，证明见解析 【分析】（1）取靠近的三等分点F，连接，只需证明即可； （2）取的靠近的三等分点N，连接，可以证明平面，由此即可得解. 【详解】（1）如图，在上取靠近的三等分点F，即，连接， ， ∴，. ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）存在，点N为的靠近的三等分点.证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 【变式2】．（24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）利用正棱锥的性质及面积公式可求答案； （2）利用线面平行的性质得到线线平行，利用中位线可证结论； （3）利用面面平行的判定和性质得到平面，结合平行线段性质可得结论. 【详解】（1）因为，所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形， 因为，所以侧面积为， 所以正四棱锥的表面积为. （2）连接,交于，则为中点，连接； 因为直线平面，且平面平面， 所以， 因为为中点，所以P为棱SD的中点. （3）在侧棱SC上存在一点E，使得平面，满足. 理由如下:取SD的中点Q，连接BQ， 因为，所以，又为的中点， 在△中, ,又平面，平面，所以平面， 过Q作，交于，连接， 又平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面，又平面, 所以平面，由，得, 由，Q为SD的中点，得， 所以，即侧棱SC上存在一点E，当满足时, 平面PAC. 题型三：面面平行的判定和性质 【典例3】．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取PB的中点，连接，由题意可证得且，即证得四边形为平行四边形，再证得结论； （2）取BC的中点，连接，由题意可证得平面平面，由题意可证得重合，再求出的值． 【详解】（1）证明：取PB的中点，连接， 在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 而平面平面PBE， 平面； （2）存在满足条件的，且， 证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则， 由平面平面平面， 又平面平面， 又平面平面与重合， 即为BC的中点，．    【变式1】．（24-25高一下·山西忻州·期中）如图所示，正四棱锥S-ABCD中，，．    (1)求正四棱锥S-ABCD的体积； (2)若P为侧棱SD上的点，且，Q是SD的中点，E是侧棱SC上的点，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求得正四棱锥S-ABCD的高，利用锥体的体积公式求解即可； （2）通过线面平行的判定定理及面面平行的判定定理即得. 【详解】（1）由题意，在正方形ABCD中，，所以． 在正四棱锥S-ABCD中，， 所以正四棱锥S-ABCD的高为， 所以正四棱锥S-ABCD的体积为； （2）由题意及（1）得， 连接BD交AC于点O，连接OP，如图所示， ∵，Q是SD的中点， ∴，， ∴点P是QD的中点， 由几何知识得，点O是BD的中点， 在△BDQ中，，， ∵，，∴， 在△SCP中，，又，， 所以， ∵，，， ∴．    【变式2】．（24-25高一下·山东·期中）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点. (1)求证：平面； (2)已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于， （i）求证：； （ii）求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得出结论； （2）（i）根据线面平行的性质定理证明即可； （ii）利用面面平行的判定定理可证明平面平面，再由其性质可得结论. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）（i）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面， 所以. （ii）连接，如下图： 易知，显然平面，平面，所以平面； 同理可得，即平面； 又，所以平面平面， 又因为平面， 所以平面. 题型四：线面垂直的判定和性质 【典例4】．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面平面，求证：平面． 【详解】（1）连接，交于，如下图所示： 因为底面是正方形，故为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）∵平面，平面∴， 又∵在正方形中，， ，，平面， ∴平面， 又∵平面，∴， ∵，为中点，故， 又，且平面PCB，平面， ∴平面 （3）在正方形中，有， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为面，平面平面，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 【变式1】．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点. (1)求证：； (2)若平面交于点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得出线线垂直，所以通过证明平面可证明. （2）根据线面垂直的判定定理，要证明线面垂直，可通过垂直于平面的两条相交直线可证明，即. 【详解】（1）因为矩形，平面， 所以. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面. 又平面，所以. （2）因为矩形，平面， 所以. 因为，平面，所以平面； 因为，所以平面. 又平面，所以. 由（1）知平面，因为平面交于点，可得平面. 所以，又，平面； 所以平面. 【变式2】．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图，正方形ABCD中平面是等腰直角三角形，， (1)求证：； (2)设线段CD，AE的中点分别为P，M，求证：平面BCE. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）若为的中点，连接，得，根据已知及线面垂直的性质得、，再利用线面垂直的判定有平面，进而得，即可证结论； （2）若为的中点，连接，易得，，利用线面平行的判定证平面，平面，最后由面面平行的判定和性质证明结论. 【详解】（1）若为的中点，连接，结合题设易知为正方形，即， 由是等腰直角三角形，，则， 由平面，平面，则， 又都在平面内，则平面， 由平面，则，结合，有； （2）若为的中点，连接，又分别为的中点， 所以，， 由平面，平面，则平面， 同理可得平面，且都在平面内， 所以平面平面，平面，故平面BCE. 题型五：面面垂直的判定和性质 【典例5】．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【详解】（1）连结交于，连结， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边行，则为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，， 因为平面，平面， 所以平面； （2）在正三棱锥柱中，且， ，，所以四边形是正方形，所以， 因为分别是的中点，所以是的中位线， 所以，又因为，所以， 在正三棱柱中平面，平面，所以， 在正三角形中，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【变式1】．（23-24高一下·江苏·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． (1)证明：平面平面； (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由空间中垂直关系的转化可证平面，故可证平面平面； （2）由线面平行的判定定理可证平面，再由线面平行的性质定理可证. 【详解】（1）因为底面，平面，所以． 因为为正方形，所以，             又因为，平面，平面， 所以平面．                            因为平面，所以． 因为，为线段的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以平面平面． （2）因为底面为正方形，所以 又∵面，平面，∴平面， 又因为平面，平面平面，所以. 【变式2】．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点. (1)求证: ∥平面; (2)求证: 平面⊥平面; (3)在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面?若存在，求 若不存在，说明理由. 【详解】（1）在正方形中，E、M分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面⊥平面，且交线为，，平面， 所以CD⊥平面，由于平面，所以平面⊥平面. （3）存在，当N为中点时，平面⊥平面， 证明如下：连接，交于点O，连接. 因为∥，并且 ，所以四边形为平行四边形， 所以. 又因为为中点，所以. 因为平面⊥平面，平面平面， 又平面，由已知可得， 所以平面，  所以⊥平面. 又因为平面，所以平面⊥平面. 所以存在点N，使得平面⊥平面，且 题型六：线面关系的综合问题 【典例6】．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （3）如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 【变式1】．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用等腰三角形性质可得，再由面面垂直性质定理可得结论； （2）由锥体体积公式直接计算可得结果； （3）利用面面平行判定定理可证明平面平面，再由其性质可证明当时，满足题意. 【详解】（1）因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2）在直角三角形中， ∵，∴，∴． 又三角形的面积 由（1）知，平面， 所以三棱锥的高为． 所以. （3）过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示：    因为平面，平面， 所以平面． 又因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． 【变式2】．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值. 【详解】（1）∵，平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，，平面，平面， ∴平面平面. （2）由（1）知：平面平面. 又平面平面，平面平面， ∴. （3）∵，∴点是的中点. ∵，∴，∴点是的中点，. ∵，且三棱锥各棱长均为1，∴， ∴，，，. ∵点在上，∴，解得. ∵，∴. ∴， . 由（2）知：，∴，∴，使得， 即.由平面向量基本定理可得，解得. 综上所述，的值为. 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高一下·广东·期中）如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 【答案】D 【详解】∵直线，且，所以，由，则； 又因为且. 所以. 所以与的交线必通过点和点. 2．（2026·湖南永州·二模）已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据线线、线面和面面的基本关系即可下结论. 【详解】如图，， 若，则与相交或异面，不一定垂直； 若，则不一定成立.    所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】由线在面内时的反例可排除ABC，由面面垂直的性质作辅助线可证明D正确. 【详解】A选项，当时，不成立，故A错误； B选项，当时，可以符合，而不符合，故B错误； C选项，当时，不成立，故C错误； D选项，设，； 在内过上一点P作直线， 又因为，且， 则，又因为，所以； 再作直线，同理可得； 由于与相交于，，故D正确； 故选：D 4．（24-25高一下·天津·期末）已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】利用空间线面的位置关系逐个判断即可. 【详解】因为，，所以，A正确； 若，，则或，B不正确； 因为，，，所以， 因为，，，根据线面平行的性质定理，所以，又，所以，C正确； 因为，，所以，D正确. 故选：B 5．（24-25高一下·湖北武汉·期末）设a，b表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若a，b是两条平行直线，且，则 B．若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线 C．若，则 D．若a，b是两条异面直线，且，则 【答案】D 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理，结合举例，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对A：若a，b是两条平行直线，且，则或，故A错误； 对B：若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线可能相交，如a，b是异面直线，在直线上取一点，在直线上取两点、，连接，，则与相交于点，并非异面直线，故B错误； 对C：若，则与平面的关系不能确定，故C错误； 对D：如图： 过直线作平面，且，因为，所以， 又因为，，所以， 因为，是异面直线，所以直线、不平行，又， 所以，为相交直线，设交点为， 又，所以，故D正确. 故选：D 6．（24-25高一下·广东佛山·期中），是两个平面，m，n是两条直线，则（   ） A．如果，，那么 B．如果，，m，n是异面直线，那么n与相交 C．如果，，那么 D．如果，n与相交，那么m，n是异面直线 【答案】C 【分析】根据线面位置关系及线线位置关系判断各个选项. 【详解】如果，，那么或相交或异面，A选项错误； 如果，，m，n是异面直线，那么n与相交或平行，B选项错误； 如果，，那么无交点，所以，C选项正确； 如果，n与相交，那么m，n是异面直线或相交直线，D选项错误； 故选：C. 7．（24-25高一下·广东·期中）如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过线线平行得到线面平行，再利用线面平行的性质得到线线平行，进而得到线段成比例，结合是上靠近的三等分点即可求得结果. 【详解】设平面与交于点，连接交于点，连接， 平行六面体中， ∵∥，平面，平面， ∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴∥， 又是上靠近的三等分点，∴ ∵平面，平面， ∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴∥，∴ 所以. 故选：C. 二、多选题 8．（25-26高一下·浙江杭州·期中）关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（    ） A．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B．若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 【答案】BD 【详解】平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面，所以A错误； 若直线不平行于平面且，则直线与平面相交，所以平面内不存在与平行的直线，所以B正确； 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条有可能在平面内，就不与平面平行，所以C选项错误； 若直线与平面平行，根据线面平行的定义，可得直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，所以D正确. 9．（24-25高一下·河南郑州·期中）下列关于平行的说法正确的是（   ） A．空间中平行于同一条直线的两直线平行 B．a、b、c是空间中的三条直线，若且，则 C． D． 【答案】AD 【分析】利用公理4判断A；举例说明判断B；面面平行的性质判断C；利用线面平行的判定判断D. 【详解】对于A，空间中平行于同一条直线的两直线平行，A正确； 对于B，直三棱柱的侧棱垂直于底面两边所在直线，B错误； 对于C，若，则或是异面直线，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 10．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 【答案】AD 【分析】利用线面平行的判定定理可判断A选项；推导出，可判断D选项；结合图形可判断B选项；结合A选项可判断D选项. 【详解】对于A选项，在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，故平面，A对； 对于D选项，连接、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 又因为，所以，故、、、共面，D对； 对于B选项，根据已有分析可知点在平面内，所以与平面有交点，因此B错； 对于C选项，由A选项可知，点在平面外，C错. 故选：AD. 11．（24-25高一下·福建福州·期中）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（   ） A．与平行 B． C．与是相交直线 D．与是异面直线 【答案】BD 【分析】把平面图还原正方体，由正方体的结构特征判定A与B；由相交直线的定义判断C，由异面直线的定义判断D． 【详解】将正方体的展开图还原为正方体，如图所示， 可得与是异面垂直，A错误； 与平行，B正确； 平面ADNE，平面ADNE，平面ADNE， 由异面直线定义可得，与是异面直线，C错误； 与是异面垂直，D正确. 故选：BD. 12．（24-25高一下·广东·期中）在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，给出的四个结论，正确的是（） A．对于任意的点， B．存在点，使得平面 C．存在点，使直线与直线共面 D．存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值 【答案】ABD 【分析】对于A，由面面平行的性质定理可得；对于B，当点为的中点时，有平面；对于C，易知直线与直线是异面直线；对于D，利用侧面展开图可求解最短周长. 【详解】对于A，因为平面平面， 平面平面， 平面平面， 由面面平行的性质定理得，故A正确； 对于B，当点为的中点时，有平面，证明如下： 由A可知，当点为的中点时，为的中点， 此时，，故四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，不论点在何位置，直线与直线永远为异面直线， 故直线与直线不可能共面，故C错误； 对于D，由A可知，同理可知，故四边形为平行四边形， 所以四边形的周长， 将矩形绕棱向内旋转90度，使矩形和矩形共面， 连接交于点，如下图所示： 故存在唯一的点E，使得最小，此时截面四边形的周长取得最小值，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 13．（24-25高一下·湖南张家界·期中）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为____________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，作出平面截正四棱锥所得的截面，再借助余弦定理、三角形面积公式求解作答. 【详解】在正四棱锥中，连接，则，是正三角形，由的中点为E，得， 而，则，在中，， ，令平面与直线交于，连，则， ，即点在棱上，同理平面与棱相交，令交点为，连， 于是四边形为平面截正四棱锥所得的截面，由对称性知， 在中，，而， 在中，，由余弦定理得， 在中，，， 所以所得截面面积. 故答案为： 14．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，作出过点与平面平行的正方体截面，再求出截面周长即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，取的中点，连接， 由为的中点，得，四边形为平行四边形， 则，又，则四边形是平行四边形， ，于是，四边形是平行四边形， 而平面，平面，则平面，同理平面， 又平面，因此平面平面， 又平面，P在正方体表面上移动，于是点的轨迹是与正方体的交线， 所以P的轨迹长为. 故答案为： 15．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图甲，在梯形中，，，E、F分别为、的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是________． ①平面；②平面；③平面． 【答案】①③ 【分析】结合已知条件，利用线面平行的判定方法逐个分析判断即可. 【详解】对于①，因为，平面，平面， 所以平面，所以①正确， 对于②，延长到，使，连接，如图， 因为为的中点，所以， 因为与平面交于点，所以与平面不平行，所以②不正确； 对于③，连接交于，连接，如图， 因为，为的中点，所以， 因为，所以四边形为平行四边形，所以为的中点， 因为为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面，所以③正确， 故答案为：①③ 16．（24-25高一下·天津·期中）在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断： ①平面; ②平面; ③平面; 其中推断正确的序号是______________________________. 【答案】①③ 【分析】由已知可得，由线面平行的判定定理可判断①；由，与平面相交可判断②；由，根据线面平行的判定定理可判断③， 【详解】如图，连接， 对于①：因为在正方体中， ，，分别是，，的中点， 所以，因为，所以， 因为平面， 平面， 所以平面，故①正确； 对于②：因为，与平面相交， 所以与平面相交，故②错误； 对于③：因为，，分别是，，的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面，故③正确； 故答案为：①③ 四、解答题 17．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 18．（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 【详解】（1）证明：连接交于，连， 在三棱柱中，矩形中，，则， 因为分别为的中点，所以且， 因为为中点，所以且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）证明：因为底面，平面，所以， 因为∥，所以 因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 因为平面，所以， 因为在矩形中，为的中点， 所以， 因为底面，平面，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以，所以， 所以， 因为平面， 所以平面. 19．（24-25高一下·青海西宁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. (3)求证：平面平面. 【详解】（1）如图，连接，设，连接， 因为，，可得四边形是平行四边形， 则，又，则， 因为平面，平面，故平面； （2）由四边形是平行四边形，， 故四边形为菱形，则， 因平面，平面，则， 又，、平面，故平面； （3）由，则，又，故四边形是平行四边形， 故，又平面，平面，故平面， 又平面，，、平面， 故平面平面. 20．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在正方体中，M为的中点． (1)求证：平面； (2)若N为的中点，求证：平面平面； (3)求三棱锥与正方体的外接球半径之比． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，证明，利用线面平行的判定定理即可求证； （2）连接，证明，得平面，结合（1）由面面平行的判定定理即可求证； （3）将棱锥放入长方体中即可求外接球半径，在正方体中利用体对角线求出外接球半径即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 在正方体中，底面为正方形，所以为的中点， 又为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）连接，由（1）有平面， 由为中点，为中点， 所以，且， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面； （3）设正方体外接球半径为，所以外接球的直径为， 由，解得， 设三棱锥的外接球半径为， 分别取的中点，连接， 由， 所以三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 其外接球的直径等于长方体的对角线的长， 由， 所以，解得， 所以， 所以三棱锥与正方体的外接球半径之比. 21．（24-25高一下·天津东丽·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点. (1)求证： ； (2)求证：平面； (3)设与交于点，求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由，即可得到平面，从而得证； （2）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （3）依题意可得为的中点，且为的中点，即可得到，，从而得证. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，又底面是矩形，则， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）取的中点，连接，，因为、分别是、的中点， 所以且，又且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面； （3）因为为矩形，与交于点， 所以为的中点，且为的中点， 又、分别是、的中点， 所以，， 又平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 22．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为，的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由； (3)若为的中点，平面将四棱锥分为上下两个几何体，求下面的几何体与四棱锥的体积比. 【答案】(1)，证明见解析 (2)当为的中点时，平面平面，证明见解析 (3) 【分析】（1）先判断平面，进而根据线面平行的判定定理可证； （2）利用面面平行的判定定理可证. （3）将下面的几何体分为三棱锥和四棱锥，利用底和高之比可得体积比. 【详解】（1）由题意可知，又平面，平面，故平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）当为的中点时，平面平面，证明如下： 取的中点，连接， 在中，，又平面，平面， 故平面， 同理可证，平面，又平面，， 所以平面平面 （3） 连接，设到平面的距离为， 则 因为分别为的中点，故四边形的面积为 故下面的几何体的体积为 即下面的几何体与四棱锥的体积比为 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲：线面、面面平行和垂直位置关系高频考点题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：线面、面面关系 · 考点二：线面平行的判定和性质 · 考点三：面面平行的判定和性质 · 考点四：线面垂直的判定和性质 · 考点五：面面垂直的判定和性质 · 考点六：线面关系的综合问题 【知识梳理】 知识点一：．四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 知识点二：直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. 3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识点三：．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 知识点四：面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 知识点五：直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． (2)范围：. 知识点六：．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【题型归纳】 题型一：线面、面面关系 【典例1】．（25-26高一下·福建福州·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】．（2026·湖南常德·一模）若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【变式2】．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 题型二：线面平行的判定和性质 【典例2】．（24-25高一下·重庆南岸·期中）如图，四边形是平行四边形，点分别为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若，证明：． 【变式1】．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【变式2】．（24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 题型三：面面平行的判定和性质 【典例3】．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式1】．（24-25高一下·山西忻州·期中）如图所示，正四棱锥S-ABCD中，，．    (1)求正四棱锥S-ABCD的体积； (2)若P为侧棱SD上的点，且，Q是SD的中点，E是侧棱SC上的点，且，求证：． 【变式2】．（24-25高一下·山东·期中）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点. (1)求证：平面； (2)已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于， （i）求证：； （ii）求证：平面. 题型四：线面垂直的判定和性质 【典例4】．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面平面，求证：平面． 【变式1】．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点. (1)求证：； (2)若平面交于点，求证：平面. 【变式2】．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图，正方形ABCD中平面是等腰直角三角形，， (1)求证：； (2)设线段CD，AE的中点分别为P，M，求证：平面BCE. 题型五：面面垂直的判定和性质 【典例5】．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【变式1】．（23-24高一下·江苏·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． (1)证明：平面平面； (2)若平面平面，证明：. 【变式2】．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点. (1)求证: ∥平面; (2)求证: 平面⊥平面; (3)在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面?若存在，求 若不存在，说明理由. 题型六：线面关系的综合问题 【典例6】．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值. 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高一下·广东·期中）如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 2．（2026·湖南永州·二模）已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．（24-25高一下·天津·期末）已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 5．（24-25高一下·湖北武汉·期末）设a，b表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若a，b是两条平行直线，且，则 B．若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线 C．若，则 D．若a，b是两条异面直线，且，则 6．（24-25高一下·广东佛山·期中），是两个平面，m，n是两条直线，则（   ） A．如果，，那么 B．如果，，m，n是异面直线，那么n与相交 C．如果，，那么 D．如果，n与相交，那么m，n是异面直线 7．（24-25高一下·广东·期中）如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一下·浙江杭州·期中）关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（    ） A．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B．若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 9．（24-25高一下·河南郑州·期中）下列关于平行的说法正确的是（   ） A．空间中平行于同一条直线的两直线平行 B．a、b、c是空间中的三条直线，若且，则 C． D． 10．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 11．（24-25高一下·福建福州·期中）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（   ） A．与平行 B． C．与是相交直线 D．与是异面直线 12．（24-25高一下·广东·期中）在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，给出的四个结论，正确的是（） A．对于任意的点， B．存在点，使得平面 C．存在点，使直线与直线共面 D．存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值 三、填空题 13．（24-25高一下·湖南张家界·期中）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为____________. 14．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为__________． 15．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图甲，在梯形中，，，E、F分别为、的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是________． ①平面；②平面；③平面． 16．（24-25高一下·天津·期中）在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断： ①平面; ②平面; ③平面; 其中推断正确的序号是______________________________. 四、解答题 17．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 18．（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 19．（24-25高一下·青海西宁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. (3)求证：平面平面. 20．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在正方体中，M为的中点． (1)求证：平面； (2)若N为的中点，求证：平面平面； (3)求三棱锥与正方体的外接球半径之比． 21．（24-25高一下·天津东丽·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点. (1)求证： ； (2)求证：平面； (3)设与交于点，求证：平面平面 22．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为，的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由； (3)若为的中点，平面将四棱锥分为上下两个几何体，求下面的几何体与四棱锥的体积比. 2 学科网（北京）股份有限公司 $