专题4.3 线面、面面平行与垂直9大题型归纳（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.3线面、面面平行与垂直归纳（期中复习讲义） 内容导航 明。期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01线面关系辨析 题型02证明线面平行 题型03证明面面平行 题型04证明四点共面 题型05由平行关系确定存在性问题 题型06由平行关系确定动点轨迹 题型07证明线面垂直 题型08证明面面垂直 题型09由垂直关系确定存在性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 线面关系辨析 准确理解线线、线面、面面的平行与垂直 基础题型，常以选择题出现，考查对定理的 判定及性质；能正确判断命题真假并举例 准确记忆和反向理解，易错点在符号语言与 说明 图形语言的转换 证明线面平行 熟练掌握两种方法：由线线平行推出线面 高频考点，常出现在解答题第一问，辅助线 平行，或由面面平行推出线面平行；关键 的添加是难点，需要善于利用中点或平行四 是在面内找到一条与已知线平行的直线 边形找平行线 证明面面平行 掌握线面平行、面面平行的判定：一个面 中等难度，常与线面平行交替考查，注意必 内两条相交线都平行于另一个面；或通过 须是“两条相交直线”这一关键条件 垂直关系转化 1/22 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 证明四点共面 利用公理2及其推论：由三点确定一个平 基础题型，多在小题中出现，通过证明两直 面，证明第四点在该平面内；或证明两线 线平行或相交来说明四点共面 平行/相交确定共面 由平行关系确定 根据平行关系设出未知点坐标或比例，利 综合题型，常在解答题第二问出现，需结合 存在性问题 用线面平行或面面平行的性质建立方 几何特征与代数运算，注意分类讨论 程，求参数值或证明存在 由平行关系确定 分析动点满足的平行约束，转化为到定直 难度较高，常在压轴题中出现，需综合运用 动点轨迹 线或定平面的距离关系，确定轨迹形状 空间想象与解析几何思想 (多为线段、直线或平面区域) 证明线面垂直 掌握判定定理：线垂直于面内两条相交直 核心必考，是证明面面垂直的基础，需善于 线；常用方法有勾股定理逆定理、等腰三 在几何体中寻找垂直关系（如棱柱侧棱垂直 角形中线、菱形对角线等 底面) 证明面面垂直 掌握判定定理：一个面内有一条线垂直于 高频考点，常在线面垂直的基础上进一步证 另一个面；或通过计算二面角为90°证明 明，关键是找到其中一个面的垂线 由垂直关系确定 掌握利用垂直关系（线线垂直、线面垂直、综合题型，常在解答题第二问或第三问出现， 存在性问题 面面垂直)设出未知点坐标或比例，建立 需综合运用垂直判定定理与代数运算，考查 垂直方程求参数；能结合几何特征判断是 分类讨论与逻辑推理能力。 否存在满足条件的点，并说明理由 记·必备知识 昼知识点01证明线线平行 平面几何常用方法： 1、利用平行公理及推论：平行于同一直线的两直线平行（平行线的传递性）。 2、利用角的关系：同位角相等，则两直线平行：内错角相等，则两直线平行；同旁内角互 补，则两直线平行。 3、利用中位线性质：三角形的中位线平行于第三边；梯形的中位线平行于上下底。 4、利用平行四边形的性质：平行四边形的对边互相平行。 5、利用比例线段：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平 行于三角形的第三边。 立体几何中常用方法： 1、利用线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平 2/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 面的交线与该直线平行。 2、利用面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 平行。 3、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 4、利用空间向量：证明两条直线的方向向量共线（即存在非零实数入使得一个方向向量等 于另一个方向向量的入倍)。也可转化为计算向量夹角或证明向量共面且无交点。 昼知识点2线面平行的性颜与判定 一、判定定理（如何证明线面平行) 核心判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。（符号语言：若 ata,bcx,且a/b,则a//x) 其他判定方法： 1、利用面面平行的性质：如果两个平面互相平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 2、利用向量法（空间解析几何）：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（即点积为零）。 3、利用定义（反证法思路)：证明直线与平面没有公共点，通常通过反证法推出矛盾。 4、利用空间几何性质： 若一条直线平行于两个相交平面，则它平行于这两个平面的交线（此时该直线平行于交线所在的平面，若 直线不在该平面内)。 若一条直线垂直于平面的垂线，且不在该平面内，则该直线平行于该平面。 二、性质定理（己知线面平行能推出什么） 核心性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任意平面与该平面的交线与该直线平行。 (符号语言：若a//a,acB,anB=b,则a//b) 其他性质： 1、线面平行得到线线平行：一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内无数条直线平行（但并非与平面 内所有直线都平行，只与过其平行投影的直线平行)。 2、传递性相关：若一条直线平行于一个平面，则该直线平行于与该平面平行的所有平面（或说该直线与这 些平面无公共点，但未必在同一个平面内平行于它们内的所有直线)。 3、与距离的关系：若一条直线与一个平面平行，则直线上任意一点到平面的距离相等，这个距离称为直线 到平面的距离。 4、面面平行的基础：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行（这是面 面平行的判定定理之一，源自线面平行的性质)。 3/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同知识点03面面平行的性质与判定 一、 判定定理（如何证明两个平面平行） 核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 (若aca,bca,anb=P,且a∥B,b∥B,则a∥B) ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平 面平行。 (条件略严格，需注意对应关系) 1、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若ā∥Y,B∥Y,则a∥B) 2、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 3、向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量平行 二、性质定理（已知两个平面平行能推出什么） 核心性质定理： ①面面平行→线线平行：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行。 (若alB,Yn=a,YnB=b,则ab) ②面面平行→线面平行：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 (若alB,aca,则alB) 1、平行平面间的距离处处相等：两个平行平面间任意一点到另一个平面的距离都相等，这个距离称为两平 行平面间的距离。 2、平行平面截线段成比例：如果两条直线被三个平行平面所截，那么截得的对应线段成比例。 3、与角的关系：两个平行平面与同一个平面相交，所成的二面角相等。 局知识点4证明线线垂直的方法 平面几何常用方法： ①等腰三角形底边上的中线是高： ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角： ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质(a⊥&，bc&→a⊥b) ⑦平行线垂直直线的传递性(a1c,a//b→b⊥c), 立体几何常用方法： 4/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①利用线面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 ②利用三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。 三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直。 ③利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 ④利用异面直线垂直的定义：两条异面直线所成的角是90°，则这两条异面直线垂直。 ⑤利用空间向量：若两条直线的方向向量的数量积为零，则这两条直线垂直（适用于相交、平行、异面直 线)。 受知识点05线面垂直的性质与判定 一、 判定定理（如何证明线面垂直） 核心判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 其他判定方法： 利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 利用平行线的传递性：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 利用平面的法向量（向量法）：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的 向量都垂直。 二、性质定理（已知线面垂直能推出什么） 核心性质定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 其他性质： 线面垂直→线线垂直：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 与距离的关系 点到平面的距离：过点作平面的垂线，垂线段的长即点到平面的距离。 直线到平面的距离（当直线平行于平面时）：直线上任意一点到平面的距离。 平行平面间的距离：可转化为一个平面内一点到另一个平面的距离。 三垂线定理的基础：线面垂直是应用三垂线定理的前提条件（斜线在平面内的射影由垂足决定）。 确定唯一性：过一点有且只有一条直线与己知平面垂直。过一点有且只有一个平面与己知直线垂直。 局知识点06面面垂直的性质与判定 一、判定定理（如何证明两个平面垂直） 核心判定定理： 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 其他判定方法： 利用二面角定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 5/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 利用线面垂直性质：如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这 是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强) 利用平行关系：如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量互相垂直（即它们法向量的点积为零）。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 二、性质定理（己知两个平面垂直能推出什么） 核心性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 其他性质： 面面垂直→线面垂直：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（同 核心性质定理)。 传递性相关： 如果两个平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面（同上）。 与线线垂直的关系：如果两个平面垂直，那么在一个平面内任意一点向另一个平面作垂线，该垂线在第一 个平面内。 与距离的关系：如果两个平面垂直，那么在一个平面内到交线的距离等于到另一个平面的距离的线段，其 端点连线垂直于另一个平面。 唯一性： 过平面外一点有且只有一个平面与己知平面垂直。 过一条直线有无数个平面与已知平面垂直（只要平面包含该直线且垂直于已知平面）。 破·重难题型 它题型一 线面关系辨析 解|题|技|巧 :1、了解线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系；了解线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之 间的关系。 :2、了解平行与垂直的传递性 【典例1】(25-26高一下·全国·课后作业)给出下列四个命题： ①若平面a∥平面B,直线aca,直线bcB,则a1/b; ②若直线al∥直线b,直线a∥平面a,直线b∥平面B,则a∥B; ③若平面a∥平面B,直线aca,则a/1B; ④若直线a/平面a,平面a∥平面B,则a/1B. 6/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 其中真命题的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【典例2】(25-26高一下·全国·课后作业)设a,b是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列 选项正确的为(). A.若a∥b,bca,则a∥ B.若a⊥b,a⊥a,b⊥B,则a⊥B C.若aca,bca,a∥B,b∥B,则a∥B D.若o∥B,aca,bcB,则a∥b 【变式1】(25-26高一下，全国·课后作业)若a,b表示直线，a表示平面，下列命题中正确的有 (填序号). ①a⊥a,b/1a→a⊥b；②a⊥，a⊥b→b1a;③a/1a,a⊥b→b⊥a；④a⊥a,b⊥a→a/b; ⑤a⊥a,a/1b→b⊥a. 【变式2】(25-26高一下·全国·课后作业)对于直线m、n和平面o、阝，能得出a⊥阝的一个条件是() A.m⊥n,m/1a,n/1β B.m⊥n,a∩B=m,n⊥a C.ml∥n,n⊥a,m11B D.m/ln,m⊥，n⊥B 题型二 证明线面平行 答|题模板 1、根据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。 可以通过构造中位线来在平面上找这条与已知直线平行的直线。这类题中，通常会有中点的出现。 2、根据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。 可以通过构造平行四边形与平面上交线，则这条交线与已知直线平行。这类题中，通常会从平行线着手。 3、根据直线与平面平行的性质有，过直线的平面与平行平面的交线，直线与交线是平行的，从而找 到与直线平行的直线。 4、要证线面平行时，我们的目标可以从两方面出发，若能从平面里找到与已知直线平行的直线，则 可以通过线线平行证明线面平行，若这条直线不太好找，则可以通过己知直线构造一个与已知平面 平行的平面。方法为从己知直线出发，构造两条与己知平面平行的直线，从而构造一个平行平面。 【典例1】(25-26高一下·全国·课后作业)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形， ∠ACB=90°，EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF,M是线段AD的中点，求证：GMII平面 ABFE· 7/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 分 G 【典例2】(25-26高一下·全国课堂例题)如图，AB是圆0的直径，点C是圆0上异于A,B的点，P为平 面ABC外一点，E,F分别是PA,PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为I,试判断直线I与平面PAC 的位置关系，并加以证明 E B 【变式1】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，正三棱柱ABC-AB,C,中，E是AC的中点，求证：AB, /∥平面BEC,. B 【变式2】(2025高一全国.专题练习)如图，在RIAABC中，∠ABC=90°，点D,E分别在边AC,AB上， 且8E-写48，CD-4C,将ADE毙者0E旋转至&0E,连接48，C,F,G分别为线段4C, A'E的中点，M,N分别为线段CG,BF的中点，求证：MN/I平面BCDE, A E 卫题型三 证明面面平行 答|题模|板 1、核心判定定理： 8/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 (若ac,bc%,anb=P,且alB,b‖B,则c‖B) ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平 面平行。（条件略严格，需注意对应关系） 2、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若a‖Y,B‖Y,则a‖B) 3、 垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 4、向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量平行 【典例1】(25-26高一下·全国·课后作业)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，如图E、F、G、H、M、N分别 是相应棱的中点.求证：平面EFG/平面HMN. D B E 【典例2】(2026高三全国.专题练习)如图，正方体ABCD-AB,C,D中，M,N分别为AB,BC中点 D D (1)当点P在棱DD上运动时，是否都有MN//平面A,C,P,证明你的结论 (②)若P是DD的中点，若Q是BB,的四等分点，且B,Q=3QB,求证：平面MNQ/平面A,C,P 【变式1】(2025高一全国专题练习)如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，A,B,=A,D,CD,=CB,.若 E是棱BC的中点，过点E作平面a,使得平面a∥平面B,CD,在图中画出平面O截平行六面体所得的截 面；（不需写出作法和证明过程） 9/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A B 【变式2】(25-26高二上河北邢台月考)如图，几何体A8C-0EF为正三棱台，且D2=2A疤：点G满足 武=而+F苑 C A D (I)证明：AG∥平面CFEB. (2)若H为CE的中点，证明：平面BGH∥平面ADFC. 它题型四证明四点共面 答|题模板 1、四点组成两对相交直线，则它们共面（交于同一点或互相相交）。 2、若四点中能连出两条平行线，且四点都在由这两条平行线确定的平面内，则四点共面。 【典例1】(2026高三·全国.专题练习)如图所示，在平行六面体ABCD-A,BC,D,中，底面ABCD是边长 为3的菱形，44=4，∠D4AB=∠44B=∠44D=60,E,F分别在线段B,B和DD上，且8E=BB, DF-DD D A B D B 证明：A,E,C,F四点共面， 【典例2】(2025高三·上海专题练习)已知在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别为DC、CB,的中点， 10/22 专题4.3 线面、面面平行与垂直归纳（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01线面关系辨析 题型02证明线面平行 题型03证明面面平行 题型04证明四点共面 题型05由平行关系确定存在性问题 题型06由平行关系确定动点轨迹 题型07证明线面垂直 题型08证明面面垂直 题型09由垂直关系确定存在性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 线面关系辨析 准确理解线线、线面、面面的平行与垂直判定及性质；能正确判断命题真假并举例说明 基础题型，常以选择题出现，考查对定理的准确记忆和反向理解，易错点在符号语言与图形语言的转换 证明线面平行 熟练掌握两种方法：由线线平行推出线面平行，或由面面平行推出线面平行；关键是在面内找到一条与已知线平行的直线 高频考点，常出现在解答题第一问，辅助线的添加是难点，需要善于利用中点或平行四边形找平行线 证明面面平行 掌握线面平行、面面平行的判定：一个面内两条相交线都平行于另一个面；或通过垂直关系转化 中等难度，常与线面平行交替考查，注意必须是“两条相交直线”这一关键条件 证明四点共面 利用公理2及其推论：由三点确定一个平面，证明第四点在该平面内；或证明两线平行/相交确定共面 基础题型，多在小题中出现，通过证明两直线平行或相交来说明四点共面 由平行关系确定存在性问题 根据平行关系设出未知点坐标或比例，利用线面平行或面面平行的性质建立方程，求参数值或证明存在 综合题型，常在解答题第二问出现，需结合几何特征与代数运算，注意分类讨论 由平行关系确定动点轨迹 分析动点满足的平行约束，转化为到定直线或定平面的距离关系，确定轨迹形状（多为线段、直线或平面区域） 难度较高，常在压轴题中出现，需综合运用空间想象与解析几何思想 证明线面垂直 掌握判定定理：线垂直于面内两条相交直线；常用方法有勾股定理逆定理、等腰三角形中线、菱形对角线等 核心必考，是证明面面垂直的基础，需善于在几何体中寻找垂直关系（如棱柱侧棱垂直底面） 证明面面垂直 掌握判定定理：一个面内有一条线垂直于另一个面；或通过计算二面角为90°证明 高频考点，常在线面垂直的基础上进一步证明，关键是找到其中一个面的垂线 由垂直关系确定存在性问题 掌握利用垂直关系（线线垂直、线面垂直、面面垂直）设出未知点坐标或比例，建立垂直方程求参数；能结合几何特征判断是否存在满足条件的点，并说明理由 综合题型，常在解答题第二问或第三问出现，需综合运用垂直判定定理与代数运算，考查分类讨论与逻辑推理能力。 知识点01 证明线线平行 平面几何常用方法： 1、利用平行公理及推论：平行于同一直线的两直线平行（平行线的传递性）。 2、利用角的关系：同位角相等，则两直线平行；内错角相等，则两直线平行；同旁内角互补，则两直线平行。 3、利用中位线性质：三角形的中位线平行于第三边；梯形的中位线平行于上下底。 4、利用平行四边形的性质：平行四边形的对边互相平行。 5、利用比例线段：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 立体几何中常用方法： 1、利用线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 2、利用面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 3、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 4、利用空间向量：证明两条直线的方向向量共线（即存在非零实数λ使得一个方向向量等于另一个方向向量的λ倍）。也可转化为计算向量夹角或证明向量共面且无交点。 知识点02 线面平行的性质与判定 一、 判定定理（如何证明线面平行） 核心判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。（符号语言：若 ） 其他判定方法： 1、利用面面平行的性质：如果两个平面互相平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 2、利用向量法（空间解析几何）：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（即点积为零）。 3、利用定义（反证法思路）：证明直线与平面没有公共点，通常通过反证法推出矛盾。 4、利用空间几何性质： 若一条直线平行于两个相交平面，则它平行于这两个平面的交线（此时该直线平行于交线所在的平面，若直线不在该平面内）。 若一条直线垂直于平面的垂线，且不在该平面内，则该直线平行于该平面。 二、 性质定理（已知线面平行能推出什么） 核心性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任意平面与该平面的交线与该直线平行。（符号语言：） 其他性质： 1、线面平行得到线线平行：一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内无数条直线平行（但并非与平面内所有直线都平行，只与过其平行投影的直线平行）。 2、传递性相关：若一条直线平行于一个平面，则该直线平行于与该平面平行的所有平面（或说该直线与这些平面无公共点，但未必在同一个平面内平行于它们内的所有直线）。 3、与距离的关系：若一条直线与一个平面平行，则直线上任意一点到平面的距离相等，这个距离称为直线到平面的距离。 4、面面平行的基础：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行（这是面面平行的判定定理之一，源自线面平行的性质）。 知识点03 面面平行的性质与判定 一、 判定定理（如何证明两个平面平行） 核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 a⊂α,b⊂α,a∩b=P，且 a∥β,b∥β，则 α∥β） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。 （条件略严格，需注意对应关系） 1、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若 α∥γ,β∥γ，则 α∥β） 2、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 3、向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量平行 二、 性质定理（已知两个平面平行能推出什么） 核心性质定理： ①面面平行 ⇒ 线线平行：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行。（） ②面面平行 ⇒ 线面平行：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。（） 1、平行平面间的距离处处相等：两个平行平面间任意一点到另一个平面的距离都相等，这个距离称为两平行平面间的距离。 2、平行平面截线段成比例：如果两条直线被三个平行平面所截，那么截得的对应线段成比例。 3、与角的关系：两个平行平面与同一个平面相交，所成的二面角相等。 知识点04 证明线线垂直的方法 平面几何常用方法： ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质； ⑦平行线垂直直线的传递性（）． 立体几何常用方法： ①利用线面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 ②利用三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。 三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直。 ③利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 ④利用异面直线垂直的定义：两条异面直线所成的角是90°，则这两条异面直线垂直。 ⑤利用空间向量：若两条直线的方向向量的数量积为零，则这两条直线垂直（适用于相交、平行、异面直线）。 知识点05 线面垂直的性质与判定 一、 判定定理（如何证明线面垂直） 核心判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 其他判定方法： 利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 利用平行线的传递性：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 利用平面的法向量（向量法）：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂直。 二、 性质定理（已知线面垂直能推出什么） 核心性质定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 其他性质： 线面垂直 ⇒ 线线垂直：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 与距离的关系 点到平面的距离：过点作平面的垂线，垂线段的长即点到平面的距离。 直线到平面的距离（当直线平行于平面时）：直线上任意一点到平面的距离。 平行平面间的距离：可转化为一个平面内一点到另一个平面的距离。 三垂线定理的基础：线面垂直是应用三垂线定理的前提条件（斜线在平面内的射影由垂足决定）。 确定唯一性：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。 知识点06 面面垂直的性质与判定 一、 判定定理（如何证明两个平面垂直） 核心判定定理： 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 其他判定方法： 利用二面角定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 利用线面垂直性质：如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强） 利用平行关系：如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量互相垂直（即它们法向量的点积为零）。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 二、 性质定理（已知两个平面垂直能推出什么） 核心性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 其他性质： 面面垂直 ⇒ 线面垂直：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（同核心性质定理）。 传递性相关： 如果两个平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面（同上）。 与线线垂直的关系：如果两个平面垂直，那么在一个平面内任意一点向另一个平面作垂线，该垂线在第一个平面内。 与距离的关系：如果两个平面垂直，那么在一个平面内到交线的距离等于到另一个平面的距离的线段，其端点连线垂直于另一个平面。 唯一性： 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直。 过一条直线有无数个平面与已知平面垂直（只要平面包含该直线且垂直于已知平面）。 题型一 线面关系辨析 解｜题｜技｜巧 1、了解线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系；了解线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的关系。 2、了解平行与垂直的传递性 【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间中线线、线面、面面位置关系和性质逐项判断即可得出结论. 【详解】对于①，若平面平面，直线，直线，则直线与直线无公共点， 故直线与直线平行或异面，①错； 对于②，若直线直线，直线平面，直线平面，则平面、平行或相交，②错； 对于③，若平面平面，直线，则，③对； 对于④，若直线平面，平面平面，则或，④错. 故选：A. 【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项正确的为（ ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系进行判定. 【详解】在A选项中，若，，根据位置关系可得或，故A错误， 在B选项中，若，，则或， 又，所以，故B正确， 在C选项中，若，，，， 根据面面平行的判定定理，因为缺少是相交直线的条件， 不能推出，故C错误， 在D选项中，若，，， 两个平行平面内的直线可能异面，不一定平行， 所以或异面，故D错误. 【变式1】（25-26高一下·全国·课后作业）若表示直线，表示平面，下列命题中正确的有________（填序号）． ①，；②，；③，；④，；⑤，． 【答案】①④⑤ 【详解】对于①，若，，则，故①正确； 对于②，由，，可以得出 或，故②错误； 对于③，由，，可以得出，,或与相交，故③错误； 对于④，若，，则，故④正确； 对于⑤，若，，则，故⑤正确. 【变式2】（25-26高一下·全国·课后作业）对于直线m、n和平面、，能得出的一个条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用平面垂直判定定理，逐一分析各选项中直线与平面的关系是否可以推导出. 【详解】对于A，当垂直相交且同时平行于时，可能有的情况，所以A错误； 对于B，如下图，当，，，不一定得到，所以B错误； 对于C，过直线作平面与平面交于直线，如下图， ∵，，，∴， ∵，，∴，∴， 又，从而得到，故C正确； 对于D，由，可得，而，故可得，即D错误. 故选：C. 题型二 证明线面平行 答｜题｜模｜板 1、根据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。可以通过构造中位线来在平面上找这条与已知直线平行的直线。这类题中，通常会有中点的出现。 2、根据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。可以通过构造平行四边形与平面上交线，则这条交线与已知直线平行。这类题中，通常会从平行线着手。 3、根据直线与平面平行的性质有，过直线的平面与平行平面的交线，直线与交线是平行的，从而找到与直线平行的直线。 4、要证线面平行时，我们的目标可以从两方面出发，若能从平面里找到与已知直线平行的直线，则可以通过线线平行证明线面平行，若这条直线不太好找，则可以通过已知直线构造一个与已知平面平行的平面。方法为从已知直线出发，构造两条与已知平面平行的直线，从而构造一个平行平面。 【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理判断即可. 【详解】证明：因为，，，，所以，. 又，所以. 如图，连接. 在中，是线段的中点，所以，. 又，， 所以且，所以四边形为平行四边形，因此. 又因为平面，平面，所以平面. 【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】直线//平面，证明见解析 【分析】利用线面平行的判定、性质推理判断并证明. 【详解】直线平面，证明如下： 分别是的中点，得， 又平面，且平面，则平面， 而平面，且平面平面，因此， 又平面，平面，所以平面. 【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，正三棱柱中，是的中点，求证：//平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用中位线定理在平面内找到与平行的直线，再通过线面平行判定定理完成证明即可. 【详解】如下图，连接，设与交于点，连接， 因为三棱柱是正三棱柱，所以四边形是矩形， 矩形的对角线互相平分，因此是的中点， 已知是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，可得， 又平面，平面，所以平面. 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，，点分别在边上，且，，将绕着旋转至，连接，，分别为线段，的中点，分别为线段的中点，求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】方法1：构造面面平行，利用面面平行的性质，证明线面平行； 方法2：构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明； 方法3：构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明. 【详解】证法1：如图: 记的中点为，连接． 因为分别为，的中点， 所以∥． 又因为分别为的中点， 所以∥，所以∥． 又因为平面，平面，所以∥平面， 同理可得∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 又因为平面，所以∥平面． 证法2：如图，连接并延长，交于点，连接， 因为分别为，的中点，所以∥. 所以为中点. 所以，所以为的中点. 又为中点，所以∥. 又平面，平面，所以∥平面. 证法3：如图： 记的中点为，分别记的中点为，连接， 因为为中点，所以∥，且. 因为为中点，所以∥，且. 因为为中点，所以∥且. 同理可得：∥且. 所以∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥，平面，平面, 所以∥平面. 题型三 证明面面平行 答｜题｜模｜板 1、核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 ，且 ，则 ） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。（条件略严格，需注意对应关系） 2、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若 ，则 ） 3、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 4、向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量平行 【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，如图E、F、G、H、M、N分别是相应棱的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】 连接、，证明平面，再分别证明平面和平面，从而得到平面平面． 【详解】 连接、可知，，，且，平面， 平面，又平面， ． 同理，，平面， 平面． 同理平面 ∴平面平面． 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）如图，正方体中，M，N分别为AB，BC中点． (1)当点P在棱上运动时，是否都有平面，证明你的结论． (2)若P是的中点，若Q是的四等分点，且，求证：平面平面. 【答案】(1)当点P在棱上运动时，都有平面，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接AC，运用中位线定理和平行公理，证得，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）取的中点F，连接PF，，取的中点E，连接AE，运用中位线定理和平行四边形的判定和性质，证得，再由线面平行的判定定理可得平面，结合平面，再由面面平行的判定定理即可得证． 【详解】（1）证明： （1）当点P在棱上运动时，都有平面. 证明如下：连接AC，在正方形ABCD中，MN为的中位线， 可得， 由正方体的截面性质可得四边形为矩形，则，可得， 平面，平面，则平面. （2）证明：取的中点F，连接PF，，取的中点E，连接AE， 由，，可得， 即四边形为平行四边形，可得， 由E为的中点，且，可得Q为BE的中点，且， 四边形为平行四边形，可得，即有， 平面，平面，则平面， 又平面，，则平面平面. 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，.若是棱的中点，过点作平面，使得平面平面，在图中画出平面截平行六面体所得的截面；（不需写出作法和证明过程） 【答案】作图见解析 【分析】作出辅助线，六边形即为所作的截面，并根据中位线进行证明. 【详解】取的中点，的中点，的中点，的中点，的中点，顺次连接，六边形即为所作的截面，如图， 理由如下：因为为的中位线，所以， 同理可得， 而，故， 面，面，则面，同理面， 且都在面，故截面平面，则六边形即为所作的截面 【变式2】（25-26高二上·河北邢台·月考）如图，几何体为正三棱台，且，点满足． (1)证明：平面． (2)若为的中点，证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量运算性质得为的中点，连接，先用向量法证得为平行四边形，然后利用平行四边形性质及线面平行的判定定理证明即可． （2）连接，利用线面平行的判定定理证得平面，再利用平行四边形性质及线面平行的判定定理证得平面，进而利用面面平行的判定定理证明即可． 【详解】（1）因为，所以为的中点． 连接．因为，所以， 则为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面． （2）连接．因为分别为的中点，所以， 又平面平面，所以平面． 因为为的中点，，所以， 所以为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面． 因为，所以平面平面． 题型四 证明四点共面 答｜题｜模｜板 1、四点组成两对相交直线，则它们共面（交于同一点或互相相交）。 2、若四点中能连出两条平行线，且四点都在由这两条平行线确定的平面内，则四点共面。 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，. 证明：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量的方式，在平行六面体中，用基底的方式分解，根据长度关系，，最终证明，即可证明四点共面； 【详解】在中，， 在平行六面体中：且 又因为，，所以， 则有，即四点共面. 【典例2】（2025高三·上海·专题练习）已知在正方体中，分别为、的中点，，．求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】先证明平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面. 【详解】证明：因为是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以在一个平面内，即四点共面． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】通过证明即可证明，，，四点共面. 【详解】连接， 在长方体中， ∵∴四边形是平行四边形， ∴， 又因为，分别为棱，的中点，所以， 所以， 所以，，，四点共面. 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，过作于，连接，，依次证明，，即可证明，，，四点共面，最后由即可得证； 【详解】取中点，过作于，连接，， 则，，， 所以四边形是平行四边形，， 由得，， 又，，，所以，，，四点共面， 又，所以，，，四点共面. 题型五 由平行关系确定存在性问题 答｜题｜模｜板 将“存在动点使平行关系成立”转化为： 1、轨迹是直线或平面，找交点或交线 2、平行具有传递性，过定点作已知平行线/面 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知四棱柱的底面为菱形． (1)求证：平面∥平面； (2)在直线上是否存在点P，使∥平面？ 【答案】(1)证明见解析 (2)存在 【分析】（1）利用线面平行进而证明面面平行； （2）延长线段构造平行四边形，再通过线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）由四棱柱的性质知，∥， 平面，平面，∥平面． 同理∥平面， ，平面，且， ∴平面∥平面． （2）在直线上存在这样的点P，使∥平面． ∥∥且，∴四边形为平行四边形， ∥．在的延长线上取点P，使，连接， ∥且，∥且， ∴四边形是平行四边形，∥， ∥，平面，平面， ∥平面． 【典例2】（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点在侧棱上满足． (2)存在，． 【分析】（1）直线在平面内运动，将平面转化成平面内的限制条件，就可以限制点的位置． （2）构造平面平面，利用面面平行的判定定理可说明点的位置. 【详解】（1）如图，连结，交于点，连结．显然为的中点．    若平面， 因为平面，平面平面， 所以，所以为的中点． 因为，所以． 又当时，有，从而平面． 所以点在侧棱上满足． （2）如图，取的中点，连结．    由（1）知为的中点， 所以，而平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面． 所以侧棱的中点符合题意，此时． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点．线段上是否存在点，使得平面？ 【答案】存在 【分析】取中点，连接，连接，连接，借助面面平行的判定定理得平面平面，再利用面面平行的性质定理得平面，即得答案. 【详解】存在，为中点，证明如下： 取中点，连接，连接，连接， 因为为中点， 则是的中位线，， 因为平面，平面，所以平面， 因为 所以是直角梯形的高，， 因为平面，平面，所以平平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． 【变式2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面.    (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)在棱CD上是否存在点H，使得平面平面PBC？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在.请说明理由. 【答案】(1),证明见解析 (2)证明见解析 (3)H为中点时，证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可. （3）利用线线平行可证平面， 平面，进而由面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）.证明如下： 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面.    （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面.    题型六 由平行关系确定动点轨迹 答｜题｜模｜板 过已知直线上一点作平面的平行平面，该平面与动点所在的平面的交线即为动点轨迹 【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【答案】在中点与中点连线上 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在平面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， 【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 【答案】/ 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 【变式1】（2026高三·上海·专题练习）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 【答案】/ 【分析】利用面面平行判定定理可证明平面平面，即可得平面，所以即为点的轨迹，求出的长即可. 【详解】如图，取上靠近的三等分点，的中点，连接，， 则在正方形中，可得. 又平面，平面，所以平面. 又因为分别是的中点，所以，且， 可知四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 因为平面，， 所以平面平面. 又点在侧面内，且平面， 所以即为点的轨迹，. 故答案为： 【变式2】（25-26高二上·上海·月考）如图，在棱长为2的正方体中，分别为正方形，的中心，点在正方形内（含边界）运动，若直线与平面无交点，则点所形成的轨迹长度为______． 【答案】/ 【分析】延长分别到，使，取正方形的中心，的中点，连接，交平面于，可证得平面，延长交于，则为点P所形成的轨迹，过作于，过作于，利用，可求出，从而可求出的长即可. 【详解】因为直线与平面无交点，所以平面DEF， 所以需要在平面上找一点，设为，使平面平面， 延长分别到， 使， 取正方形的中心，的中点，连接，交平面于， 因为在正方体中，F，O分别为正方形，的中心， 所以，， 所以四边形为平行四边形，可得， 因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以∥平面， 延长交于，则为点P所形成的轨迹， 所以点P所形成的轨迹经过点O， 过作于，过作于， 则，所以， 所以，得，所以， 所以. 故答案为： 题型七 证明线面垂直 答｜题｜模｜板 1、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 2、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 4、在建系中使用，证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂直。 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由平面，得到，再结合，即可求证； （2）过点A作于点D，通过证明平面，得到即为点A到平面的距离，进而可求解. 【详解】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． （2）如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 【典例2】（25-26高一·全国·假期作业）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据垂直关系的转化，结合平行线的性质，转化为证明，，即可证明线面垂直. 【详解】在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中， 由余弦定理可得：， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面. 【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】通过证明，，可得平面，进而可得，又，所以平面，所以，又因为，所以平面． 【详解】连接，取的中点，连接，，如图所示， 因为，为的中点，所以， 同理，，为的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面平面， 所以平面． 【变式2】（25-26高一·全国·假期作业）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的性质判定推理得证. 【详解】连接，延长交于点，由为底面圆的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又,且,平面，所以平面. 题型八 证明面面垂直 答｜题｜模｜板 1、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2、如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 3、如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强） 4、如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接，．由题意可证四边形为菱形，进而可得，又可得，进而可得平面，可证结论. 【详解】连接，．，，分别是，，的中点，且， ，且， ∴四边形为菱形，， 又，，， 又，．又，，平面， 平面，又平面， ∴平面平面． 【典例2】（25-26高一·全国·假期作业）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据正三棱柱的结构特点证明线面垂直，进而得到线线垂直. （2）根据棱柱的长度，先证，结合（1）的结论，可证平面，进而根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面平面. 又为正三角形，为中点，所以， 又平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）因为，，分别为的中点， 所以，，所以， 所以，所以， 由（1）可得，平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【变式1】（25-26高二上·北京怀柔·期中）已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由已知的线面垂直关系与圆上的垂直关系出发去推导； （2）由线面垂直推导出面面垂直. 【详解】（1）是圆的直径，是圆上一点，. 平面,平面, 又平面, 平面. 又平面, . （2）由题（1）可知平面, 又平面, 平面平面. 【变式2】（25-26高二上·江西·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，是的中点，是上靠近点的三等分点.证明：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设与交于点，连接，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）取中点，连接交于点，连接，证得，再由平面平面，证得平面，得到，证得平面，进而证得平面平面. 【详解】（1）证明：如图所示，设与交于点，连接， 因为底面是正方形，所以是中点， 又因为是中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面.    （2）证明：如图所示，取中点，连接交于点，连接， 因为，所以， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又因为平面，所以，所以， 因为，且，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面.    题型九 由垂直关系确定存在性问题 答｜题｜模｜板 一、垂直的唯一性： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直（当直线不垂直于已知平面时） 二、 线面垂直类问题 动点在面上使线面垂直：在平面上找两条相交直线与已知直线垂直 动点在线上使线面垂直：使直线垂直于平面内两条相交直线 三、 面面垂直类问题 动点在面上使面面垂直：在目标平面上找一条直线垂直于另一平面，该直线需经过动点（常转化为线面垂直问题） 动点在线上使面面垂直：在直线上取点，使该点与另一平面能确定垂线，通常有无数解（需其他条件约束） 【典例1】（25-26高一·全国·假期作业）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)垂直，证明见解析 【分析】（1）方法一：连接，利用线面平行的判定定理即可得证； 方法二：取的中点为，连接，利用面面平行的性质定理即可得证； （2）利用面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）方法一：连接，如图， 因为分别是的中点，所以 . 又平面平面， 所以 平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则 . 又平面平面， 所以 平面. 同理可证 平面， 因为平面， 所以平面 平面. 又平面，所以 平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下：因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知立方体底面棱的中点，在直线上是否存在一点，使得？说明理由. 【答案】存在，理由见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理得出知平面，再延长交延长线于点即可求解. 【详解】如图，分别取中点， 因为平面， 所以平面，所以平面， 平面，所以， 因为平面， 所以平面，所以平面， 平面，所以， 又因为平面， 所以平面. 延长交延长线于点，由于平面， 所以，由于为的中点，故， 所以在直线上存在一点，， 使得. 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）如图，在正四棱锥中，为底面正方形的中心，，为线段的中点，问：在棱上是否存在一点，使侧面？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】存在，为上靠近点的四等分点 【分析】取的中点，连结并延长交于点，根据条件得到，取的中点，有，利用线面垂直的判定和面面垂直的判断，可得平面平面，再利用面面垂直的性质，得平面，再取的中点，利用，即可求解. 【详解】取的中点，连结并延长交于点，设，． 因为是正四棱锥，为底面正方形的中心，则平面， 又，得，得到， 又，所以， 又，故为等边三角形， 取的中点，连结，则． 又因为，，，平面， 所以平面，又平面，故平面平面， 而平面，平面平面，，所以平面． 取的中点，因为，且，故四边形为平行四边形， 所以，从而平面，所以存在一点，使侧面，且为上靠近点的四等分点． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列命题：①，，，；②，，；③，；④内的任一直线都平行于.其中正确的命题是________. 【答案】③④ 【分析】根据面面平行的判定与性质判断即可. 【详解】由如果一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行，那么这两个平面平行可知，若与不相交，得不到，故①错误； 由面面平行的性质定理可知，与可以平行或异面，②错误； 由面面平行的性质定理即线面平行的判定定理可知③正确； 由面面平行的定义可知④正确. 2．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知两条不同的直线与两个不同的平面，下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间中的直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理，线面垂直的判定定理，线面平行的判定定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则与的位置关系不确定，可能平行、相交或，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则存在，使，又，所以，由面面垂直的判定定理得，故C正确； 对于D，若，则与相交、平行或异面，故D错误. 故选：C. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）在长方体中，点P，R分别为BC，上的动点，当点P，R满足什么条件时，平面？ 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，利用线面平行的判定，结合棱柱的几何特征求解. 【详解】 如图，当时，平面，理由如下： 在长方体中，由，得， 由，得四边形是平行四边形， 则，即，而平面，平面， 因此平面，所以当时，平面. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 【答案】为的中点，证明见解析 【分析】取的中点，连接，，设与交于点，结合图形，根据线面平行的性质定理得出，从而可证得是的中点，继而判断点在上的位置. 【详解】为的中点，证明如下： 取的中点，连接，， 设与交于点，易证且． 易知，，，共面， 因为平面，平面，且平面平面． 所以． 在平行四边形中，因为，且，所以是的中点， 所以点为的中点． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理即可证得. 【详解】过作与交于点， 过作与交于点，连接. 由已知条件，可知矩形与矩形全等. 因为，且， 所以， 所以，又， 则四边形为平行四边形，所以， 因为不在平面内，平面，所以平面. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据勾股定理可以计算出，根据余弦定理可以计算出，再次利用勾股定理可以计算出，继而可以证得，再由已知条件即可证明. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，，， 则，且，则， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. 2．（2025高三·全国·专题练习）在梯形ABCD中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图①）．将沿AC折起到位置，使得（如图②）．证明：平面平面ABC．    【答案】证明见解析 【分析】通过题干条件证明四边形DPBC为平行四边形，从而证明O为AC的中点，再利用线线垂直推出线面垂直，从而推出面面垂直. 【详解】因为在梯形ABCD中，， ，，P为AB的中点， 所以是正三角形，且，，则四边形DPBC为平行四边形， 所以，所以，所以，所以O为AC的中点， 又因为，所以，又，，平面ABC，平面，所以平面ABC， 又因为平面，所以平面平面ABC． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，平面平面，四边形与四边形都是直角梯形，且且分别为的中点． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)四点是否共面？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)四点共面，理由见解析 【分析】（1）运用中位线性质，结合平行四边形判定即可解； （2）运用中位线性质，结合平行线传递性，证明共面,进而得到四点共面. 【详解】（1）由题意知，由已知，可得． 又． 四边形为平行四边形． （2）四点共面．理由如下： 是的中点，， 则四边形为平行四边形,所以 由（Ⅰ）知，所以，故共面． 又点在直线上 所以四点共面． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 【答案】平行 【分析】根据面面平行的判定定理判断即可. 【详解】如图，分别取，，的中点，，，连接. 在正方体中，易知，. 因为，为中点，所以，，同理，， 所以，. 同理，，，，， 则平面与平面为同一平面. 因为，，且与相交，平面，与相交，，平面， 所以平面平面，即平面平面. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】先把平面展开图还原为四棱锥，由面面平行的判定可判断A；易知四个侧面两两相交，据此可判断D；再根据线面平行的判定判断BC即可． 【详解】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则， 又平面，平面， 所以平面． 同理可证平面， 又，，平面， 所以平面平面，故选项A正确； 平面，平面，平面，平面是四棱锥的四个侧面， 则它们两两相交，故选项D错误； ，平面，平面， 平面，同理平面，故选项B，C正确． 故选：ABC． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高三上·四川自贡·期末）在棱长为2的正方体中，棱，的中点分别为，，且点在侧面内，若平面，则点的轨迹长度为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先取的中点，证明线面平行得出面面平行即可得出平面，再根据轨迹应用勾股定理计算求解. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以是平行四边形， 所以平面，不在平面内，所以平面， 同理可得平面， 平面， 所以平面平面， 则当点在线段上时，平面， 所以点的轨迹长度为.    故选：C. 2．（2026·四川内江·二模）在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（   ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过，，，四点的球的半径最小值为 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设，球心，半径为，利用球的性质可得，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，易知， 又平面，平面，所以平面. 又是中点，所以，又平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，点是棱的中点， 则，所以C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为， 则，设，球心，半径为， 由，得到，解得，， 所以，又，且，所以当时，取到最小值，最小值为，故D正确. 3．（25-26高二上·北京·期中）如图，直三棱柱中，点为棱的中点， ．    (1)求证：平面； (2)判断是否存在经过的平面满足，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)不存在，理由见详解. 【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）假设存在经过的平面满足，推导出，与矛盾，进而可得出结论. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，    在三棱柱中，四边形为平行四边形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，故， 因为平面，平面，因此平面. （2）解：假设存在经过的平面满足，因为平面，则， 因为平面，平面，， ，、平面，平面， 平面，， 事实上，，，故为等腰直角三角形，且，矛盾. 因此，不存在经过的平面满足. 4．（2026·宁夏·一模）矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题：      (1)求四棱锥的体积. (2)求二面角的余弦值． (3)在上是否存在点使得平面? 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在，是线段上靠近点的三等分点 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理推出线面垂直，即得出棱锥的高，代入四棱锥的体积公式即得； （2）先证，平面，得，计算，从而证，得出为二面角的平面角，在中即得余弦值； （3）设交于点，可证，因此只要，就有，进而可得平面. 【详解】（1） 取的中点，连接，在原矩形中，因为，点为的中点，故，因为是等腰三角形，所以. 翻折后，因为平面平面，且平面平面， 根据面面垂直的性质定理得：平面，即是四棱锥的高， 又因为，所以， 又因为， 所以四棱锥的体积. （2）在矩形中，，， ，． 又平面平面，平面，平面平面 平面， 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． （3）存在．如图所示： 连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则． 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． 5．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点．    (1)求证：直线平面； (2)已知，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用线面垂直的性质和判定证明即可； （2）根据线面角的概念可知即为直线与平面所成角的平面角，利用勾股定理求出的边长即可得解； （3）构造平行四边形，由线面平行的判定定理得平面，确定. 【详解】（1）因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又是的直径，点是圆周上的点，所以， 因为，平面， 所以平面． （2）由（1）可知平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又因为，，所以， 因为，所以， 所以在中， 因为平面，所以， 在中， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． （3）在线段上存在点，使得平面，且， 理由如下： 取的三等分点为（靠近），在中过点作，， 则，且， 因为是中点，是中点，所以，且， 又，所以， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面, 故线段上存在点，使得平面，且.    1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $