期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质复习讲义 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质复习讲义 考点目录 线面垂直的性质 面面垂直的性质 考点一 线面垂直的性质 【知识点解析】 1.线面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 线面垂直的性质 一条直线与一个平面垂直，该直线与该平面内任意一条直线垂直. 2.解题技巧 （1）证明两条直线平行新思路：若两条直线都垂直同一平面，直接得平行，不用找中位线、平行四边形。 （2）证明异面直线垂直万能方法：证一条直线垂直另一条直线所在平面，直接推出垂直。 （3）几何体找垂线：正方体、长方体侧棱垂直底面，可直接用来证底面内任意直线与侧棱垂直。 （4）已知线面垂直，可快速确定直角，结合勾股定理、三角形边长计算。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）如图，三棱柱中，，，.    (1)证明：； (2)若，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)取的中点，连接， 因为，所以⊥， 又，， 所以为等边三角形，故⊥， 又，平面，所以⊥平面， 又平面，所以；    (2)1 【分析】（1）作出辅助线，得到⊥，⊥，从而得到线面垂直，线线垂直； （2）由线面垂直得到三棱锥的高及长度，利用锥体体积公式进行求解 【详解】（1）略 （2）因为，故， 即为等边三角形，故， 由（1）知，为边长为2的等边三角形，故， 又，故，所以， 又⊥，且都在平面内， 所以⊥平面，故即为三棱锥的高， 其中， 三棱锥的体积为. 例2．（25-26高一下·河南·月考）如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且，． (1)求证：； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)因为点C在底面圆周上，是圆O的直径， 所以，即，     因为垂直于圆O所在的平面，平面，所以，     又，平面，平面，所以平面，     又平面，所以． (2) 【分析】（1）根据题意可得出，，利用线面垂直的判定定理得平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）方法一：过点A作，交于点H，通过证明平面得的长度即是点A到平面的距离，进而可求解；方法二：利用等积法，根据求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：如图，过点A作，交于点H， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，平面，平面，所以平面， 则的长度即是点A到平面的距离．     在中，，     由，即， 解得，即点A到平面的距离为．     方法二：由题可得．     设点A到平面的距离为h， 由题意知，即，     即，解得， 即点A到平面的距离为． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，正方形 是圆柱的一个轴截面，是下底面圆周上异于，的点. (1)证明：； (2)若该圆柱的表面积为，以正方形 为一个底面作正四棱台，该正四棱台的高为，且，求该正四棱台的体积. 【答案】(1)连接.由题意知，是圆柱的母线，则平面. 因为平面，所以. 又是底面圆的直径，所以. 因为，平面， 所以平面.又平面，所以 . (2)28 【分析】（1）要证，只需证明直线垂直直线所在平面即可. （2）利用圆柱的表面积求出正方形的面积，然后由棱台的体积公式求出棱台的体积即可. 【详解】（1）略 （2）因为正方形是圆柱的轴截面， 设，所以该圆柱的表面积为， 解得，则. 由棱台的体积公式， 故该正四棱台的体积为. 变式2．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）是矩形平面外一点，分别是的中点，    (1)求证：平面， (2)若SD⊥平面，求证：⊥. 【答案】(1)如图，连接， 因为矩形中，为的中点，故与相交于点， 且为的中点， 是的中点，故， 因为平面，平面，所以平面；    (2)因为SD⊥平面，平面，所以⊥， 四边形为矩形，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥. 【分析】（1）作出辅助线，由线线平行得到线面平行； （2）先得到⊥，再结合矩形，证明线面垂直，得到结论 【详解】（1）略 （2）略 考点二 面面垂直的性质 【知识点解析】 1.面面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 面面垂直的性质 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 二、解题技巧 （1）立体几何作辅助垂线标准套路（高频） 已知两个平面垂直： ① 找到两平面交线； ② 在其中一个平面内，过目标点作交线的垂线； ③ 这条垂线垂直另一个平面，后续可用来证线线垂直、求距离、求二面角。 （2）求点到平面距离：利用面面垂直性质作出垂线，垂线段长度即为距离。 （3）证明线面垂直快速路径：先证两面垂直，再作交线垂线，直接得到线面垂直。 【例题分析】 例1．（24-25高一下·福建厦门·期中）在三棱柱中，四边形是菱形，，是的中点，平面平面．    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)由题目可知，四边形是菱形，，故为等腰三角形， 是的中点，根据等腰三角形三线合一性质，有， 又平面平面，交线为，且平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面， 又因为平面，则. (2) 【详解】（1）略 （2）由菱形性质及 ，得，故 . 在中，， ，由勾股定理得：， 在 中， ， ，由勾股定理得：. 根据线面垂直的判定定理：若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则称该直线与平面垂直. 因 平面，在平面上，故 ， 且，交于点，故 平面. 因此， 即为直线与平面所成的角， 在直角三角形 中：， 即直线与平面所成角的正切值为. 例2．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为4的菱形，，，分别是棱，的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：因为平面平面ABC，平面平面，且，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 因为平面，且，所以平面． (2)证明：取棱的中点F，连接， 因为E，F分别为棱的中点，所以， 由三棱柱的定义可知，则， 因为平面平面，所以平面． 因为D，F分别为棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，且，所以平面平面， 因为平面，所以平面． (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质，线面垂直的性质及判定即可证明； （2）根据线面平行的判定，面面平行的判定及性质即可证明； （3）过点E作，交于点H，结合（1）（2）得出点E到平面的距离为，即点D到平面的距离为． 【详解】（1）略． （2）略． （3）过点E作，交于点H， 因为四边形是边长为4的菱形，且，所以， 因为E是棱的中点，所以， 由（1）可知平面，则平面，即点E到平面的距离为． 由（2）可知平面，则点D到平面的距离为． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证平面平面． 【答案】(1)如图，取的中点为，连接，， 因为为的中点，所以，， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 又为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 故平面. (2)因为平面平面，平面平面， 又四边形为正方形，所以， 所以平面， 所以. 又因为，，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【分析】（1）取的中点为，连接，，利用三角形的中位线定理结合棱柱的性质可证得四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）根据四边形为正方形，平面平面，得出，再结合（1）中的平行关系得出，从而得出平面，根据平面与平面垂直的判定定理得出平面平面． 【详解】（1）略 （2）略 变式2．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)证明：直线平面； (2)设线段中点为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)由已知，在梯形中，，，所以， 又，所以， 取的中点，连接，易知四边形为正方形， 因为，可知， 所以，所以， 又因为翻折前，所以翻折后， 又因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 又，，且平面，所以直线平面. (2). 【分析】（1）根据面面垂直的性质，可证得，再根据线面垂直的判定定理，即可证明； （2）法一：运用等体积法，可求得点到平面的距离，进而可求得点到平面的距离，根据勾股定理，可求得，进而可求得直线与平面所成角的正弦值； 法二：运用直接法，在中过作，垂足为，根据几何关系，可求得点到平面的距离，根据勾股定理，可求得，进而可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）法一：设点到平面的距离为， 由（1）可知直线平面，所以点到平面的距离为， 因为翻折后，所以， 因为直线平面，所以，所以， 由（1）可知平面，所以，所以， 由，解得， 设点到平面的距离为，则由，解得， 又，所以， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为. 法二设点到平面的距离为， 在中过作，垂足为，下证平面． 由（1）可知平面，面，所以， 又，，平面 由（1）可知直线平面，所以， 在中，，， 设点到平面的距离为，则由，解得， 又，所以， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质复习讲义 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质复习讲义 考点目录 线面垂直的性质 面面垂直的性质 考点一 线面垂直的性质 【知识点解析】 1.线面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 线面垂直的性质 一条直线与一个平面垂直，该直线与该平面内任意一条直线垂直. 2.解题技巧 （1）证明两条直线平行新思路：若两条直线都垂直同一平面，直接得平行，不用找中位线、平行四边形。 （2）证明异面直线垂直万能方法：证一条直线垂直另一条直线所在平面，直接推出垂直。 （3）几何体找垂线：正方体、长方体侧棱垂直底面，可直接用来证底面内任意直线与侧棱垂直。 （4）已知线面垂直，可快速确定直角，结合勾股定理、三角形边长计算。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）如图，三棱柱中，，，.    (1)证明：； (2)若，，求三棱锥的体积. 例2．（25-26高一下·河南·月考）如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且，． (1)求证：； (2)求点A到平面的距离． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，正方形 是圆柱的一个轴截面，是下底面圆周上异于，的点. (1)证明：； (2)若该圆柱的表面积为，以正方形 为一个底面作正四棱台，该正四棱台的高为，且，求该正四棱台的体积. 变式2．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）是矩形平面外一点，分别是的中点，    (1)求证：平面， (2)若SD⊥平面，求证：⊥. 考点二 面面垂直的性质 【知识点解析】 1.面面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 面面垂直的性质 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 二、解题技巧 （1）立体几何作辅助垂线标准套路（高频） 已知两个平面垂直： ① 找到两平面交线； ② 在其中一个平面内，过目标点作交线的垂线； ③ 这条垂线垂直另一个平面，后续可用来证线线垂直、求距离、求二面角。 （2）求点到平面距离：利用面面垂直性质作出垂线，垂线段长度即为距离。 （3）证明线面垂直快速路径：先证两面垂直，再作交线垂线，直接得到线面垂直。 【例题分析】 例1．（24-25高一下·福建厦门·期中）在三棱柱中，四边形是菱形，，是的中点，平面平面．    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正切值． 例2．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为4的菱形，，，分别是棱，的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． (3)求点到平面的距离． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证平面平面． 变式2．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)证明：直线平面； (2)设线段中点为，求直线与平面所成角的正弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $