期末复习专题09 空间几何夹角与距离【5大题型+强化训练】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题09 空间几何夹角与距离 知识点1：空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 【注意】如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． 知识点2：异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直 线a′与b′ 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)空间两条直线所成角α的取值范围是 0°≤α≤90° ． 【注意】(1)两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关． (2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 求异面直线所成角的一般步骤 (1)作：根据所成角的定义，用 平移 法作出异面直线所成的角． (2)证：证明作出的角就是要求的角，其实质是证明线线平行，并指出所作的角就是要求的角． (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出． (4)结论：假如所构造的角的大小为α，若0°＜α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°＜α＜180°，则 180°－α 即为所求． 可用“一作二证三计算四结论”来概括．同时注意异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°． 知识点3：直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面 相交 ，但不与这个平面 垂直 ，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的 交点 ，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线 ，过 垂足 和 斜足 的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 90° ；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则 0°≤θ≤90° 【注意】直线与平面所成的角是这条直线与平面内任意直线所成的角中最小的角． 求直线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的 垂线 ，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是直线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的 直角三角形 中计算． 知识点4：空间中的距离问题 1．过一点作 垂直 于已知平面的直线，则该点与 垂足 间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度 叫做这个点到该平面的距离． 2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上 任意一点 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 任意一点 到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 【注意】由直线到平面的距离与平行平面间的距离的定义知，它们都可以转化为点到平面的距离． 空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． 知识点5：二面角的概念 1．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2．画法： 3．记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q． 4．二面角的平面角： (1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图． (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 【注意】1．二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的． 2．构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角的大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直． 求二面角的平面角的大小的步骤 (1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线． (2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角． (3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小． (4)结论． 考点一 空间中异面直线夹角的问题 考点二 空间中线面夹角的问题 考点三 空间中面面夹角(二面角)的问题 考点四 空间中点到面距离的问题 考点五 空间中线到面、面到面距离的问题 考点一 空间中异面直线夹角的问题 1．（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接,可得异面直线与所成角（或其补角）为,结合余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 2．（2026·福建泉州·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过中位线得到异面直线与所成角的平面角，根据题意结合余弦定理即可求解；或者将三棱锥扩充为正方体，得到异面直线与所成角的平面角，根据正方体的性质即可求解. 【详解】解法一：如图，分别取，，的中点，，，分别连结，，，，则， ，所以（或其补角）即为直线与所成角， 设，可得，，， ， 在中，由余弦定理可得，， 由于直线与所成角为锐角，故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 解法二：如图，把三棱锥扩充为正方体，直线与所成角即为直线与所成角， 因为为等边三角形，所以直线与所成角为， 即直线与所成角的余弦值为，故D正确. 3．（25-26高一下·湖南益阳·期中）在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正三棱柱补成直四棱柱，平移到即可解. 【详解】将正三棱柱补成直四棱柱， 使正三棱柱与正三棱柱全等， 则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）； 因为，， 所以， 所以. 4．（25-26高一下·江西南昌·期末）（多选）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得. 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 5．（25-26高二上·河北·阶段检测）在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分别取，中点，，可证为平行四边形，结合异面直线夹角的平面角可得平行四边形的各顶角，结合余弦定理可得. 【详解】 如图所示，分别取，中点，，连接，，，，， 则，，，，且，， 所以四边形为平行四边形， 又异面直线，夹角为， 或， 当时，在中由余弦定理得 ， 即； 当时，在中由余弦定理得 ， 即， 故选：D. 6．（2027高三·全国·专题练习）如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 【答案】1或 【分析】取一边中点构造中位线，将已知的两条异面直线所成角转化为三角形中的角，再利用余弦定理分两种情况求出所求线段的长度. 【详解】如图，取的中点，连接，，由题可知，，， ，．因为与所成的角为， 所以或，当时，为等边三角形，所以； 当时，由余弦定理得，， 所以．综上，或． 故答案为：或. 考点二 空间中线面夹角的问题 7．（2026·湖南株洲·模拟预测）如图，为圆锥底面直径，，若，则与圆锥底面所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】为圆锥底面直径,且，则是圆锥底面的圆心. 是圆锥的高，即圆锥底面，因此在底面的射影为， 所以与圆锥底面所成角为. 由题设，且，则是等腰直角三角形， 可得，即与圆锥底面所成角为 8．（2026·湖南株洲·模拟预测）在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． (1)求与面所成角的余弦值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据直棱柱和菱形对角线垂直，易证面，可得为与面所成的角，求出相应三角形的边长，即可求出的余弦值； （2）由（1）知面，即可得到线线垂直. 【详解】（1）解：由直四棱柱可知平面， 因为平面，所以， 四边形为菱形，则，又，所以， 又因为，平面，所以平面， 则为与平面所成的角， 由，， 由余弦定理可得， 所以，则， 在中，，所以， 在中，， 在中，， 所以在中，， 即与平面所成角的余弦值为； （2）由（1）知平面，又平面，所以. 9．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______. 【答案】 【分析】由线面角的定义作出平面角，根据等体积法求出到平面的距离，再由正弦的定义求出正弦值. 【详解】过点作平面的垂线，垂足为，连接， 则与平面所成角为， 因为，侧面是底角为的等腰梯形， 所以等腰梯形的高， 因为， 因为，设点B到面的距离为， 根据，即，解得， 所以与平面所成角的正弦值为. 10．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，求出正棱台的高，再由正棱台的体积公式，即可求解. 【详解】因为三棱台为正三棱台，且，， 则，， 如图，设和的中心分别为，连接，，， 则平面，，， 作平面交平面于点， 则即为直线与平面所成的角， 由几何体为正三棱台可知，点在上，且四边形为矩形， 所以，又，所以， 则棱台的体积为. 11．（25-26高三下·安徽·期中）在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 【答案】 【分析】过点B作于点P，连接，可证平面，即就是与截面所成的角，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点B作于点P，连接， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，即就是与截面所成的角， ，因为， ， 所以，整理得，得． 12．（2026·新疆·模拟预测）如图，在多面体中，四边形，均为矩形，，，点为线段上一点，且平面. (1)若平面，求证：点是的中点； (2)若直线与平面所成角的大小为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理，结合中位线性质即可得证； （2）根据线面夹角定义，结合等体积法，即可求得结果. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 平面，平面，平面平面， ， 在矩形中，点为线段的中点， 点是的中点. （2）平面， 为直线与平面所成的角， ， 又平面，， 故为等腰直角三角形， . 在中，，，， ， 且， . 考点三 空间中面面夹角(二面角)的问题 13．（2026·广东广州·三模）正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，，进而可得即为二面角的平面角，在中，利用余弦定理即可求解. 【详解】取的中点，连接， 因为四面体是正四面体，所以和都是等边三角形， 所以，， 因为平面，平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 设，则在中，，， 由余弦定理可得 所以二面角的余弦值是. 14．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分） (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作于点，再利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，继而得到为中点即可证明； （2）利用体积求出，作于点，作于点，连，利用线面垂直的判定定理和性质定理得到为二面角的平面角，再求解即可. 【详解】（1）作于点， ∵平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，所以， ，为中点． ，． ，，． （2），，为三棱锥的高， ， 作于点，作于点，连． 平面，平面， ． ，又，平面， 平面，平面， 所以． ，平面，， 平面，又平面， 所以，故为二面角的平面角． ，， ． 15．（25-26高一下·重庆·期中）在多面体中，底面为矩形，平面， (1)求直线与底面所成角的正弦值； (2)求二面角的正切值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）取的中点为，连接，可得就是直线与底面所成角，利用几何关系求解即可； （2）过作，垂足为，连接，可得就是二面角的平面角，利用几何关系求解即可； （3）把多面体补成为长方体，利用求解即可. 【详解】（1）取的中点为，连接，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，所以就是直线与底面所成角. 又底面为矩形， 在直角中， 直线与底面所成角的正弦值为； （2）设二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为 所以，因为平面，所以平面. 过作，垂足为，连接，所以就是二面角的平面角， 即，在直角中，，所以，所以 同理可得，所以 所以二面角的正切值为. （3）把多面体补成如图长方体 则. 所以. 16．（25-26高二上·山东淄博·期末）（多选）如图，在三棱锥中，二面角的大小为，且，分别为的中点，则（    ） A．异面直线与所成角为. B．. C． D．三棱锥的体积为 【答案】ABD 【分析】取的中点，记为，则是二面角的平面角，所以.根据异面直线所成角的定义，是异面直线与所成的角.所以判断A正确；由线面垂直的判定定理，证明平面，从而判断B正确；由线面垂直的判定定理，结合勾股定理，求出，判断C；求出三棱锥的体积，即可得三棱锥的体积，判断D. 【详解】取的中点，记为，连接，则∥，∥，所以是异面直线与成的角. 因为，所以. 所以是二面角的平面角，所以.所以A正确. 由平面，得平面. 因为平面，所以，所以B正确. 因为，所以，所以是正三角形. 取的中点，连接，则，且. 平面，所以平面. 取的中点，连接，则三点共线，且. 中，，所以 所以. 所以，所以C错误； 三棱锥的体积. 所以D正确. 故选：ABD. 17．（25-26高一下·湖北武汉·期末）（多选）如图，矩形中，为边AB的中点，将沿直线DE翻折成（平面BCDE）,若在线段上（点与不重合），则在翻折过程中，给出下列判断，其中判断正确的有（    ） A．当为的中点时，与平面垂直的直线必与直线MB垂直 B．存在某个位置，使 C．当四棱锥体积最大时，点到平面BCDE的距离为 D．当二面角的大小为时，异面直线与BE所成角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】取的中点，证得平面，又由， 证得平面，证得平面，故平面，可判定A正确；假设存在某个位置，使，连接，取的中点，连接，证得，进而可判定B错误；根据题意，得到平面平面时，此时四棱锥体积最大，可判定C正确；求得二面角—DE—B的平面角 ，得到，在中，利用余弦定理，可判定D正确. 【详解】对于A中，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面， 又因为分别为和的中点，所以， 同理可得平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 所以与平面垂直的直线必与直线垂直，所以A正确； 对于B中，假设存在某个位置，使，连接，取的中点， 连接，可得，又因为，， 所以平面，因为平面，所以，必有， 但，两者不等，所以不可能有DE，所以B错误； 对于C中，由是等腰直角三角形，则到的距离是， 当平面平面时，此时四棱锥体积最大， 点到平面的距离为，所以C正确； 对于D中，由，且，可得二面角—DE—B的平面角， 当二面角—DE—B的大小为时，即 ， 因为，所以为等边三角形，可得， 又由，所以异面直线与所成得的角， 即为直线与所成得的角，即， 则，所以D正确． 故选：ACD. 18．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则直线与直线的夹角余弦值为__________：二面角的平面角的正切值为__________. 【答案】 /0.5 【详解】 如图，连接. 由于，则为直线与直线所成的夹角. 因为平面，平面，故. 底面是边长为的正方形，因此，. 因为平面，在底面的投影为，所以与平面所成角. 在中，，得，则. 在中，，直线与直线的夹角余弦值为. 取中点，连接、. 等腰中，；等腰中，， 因此是二面角的平面角. ，，且平面，故. 在中，， 即二面角的平面角的正切值为. 考点四 空间中点到面距离的问题 19．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，结合勾股定理求解即可. 【详解】连接，交于，交于点，连接，，设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上，所以点即为点在平面上的射影， 即平面， 则即为点到平面的距离. 因为平面，所以. 正方形中，，即， 所以为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球的半径， 又三棱锥的外接球表面积为，则，解得， 所以. 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则. 在中，. 所以点到平面的距离为. 20．（2026·山西临汾·二模）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 【答案】 【分析】设到平面的距离为，根据，列出方程，即可求解. 【详解】在棱长为的正方体中， 由平面，即到平面的距离为，即三棱锥的高， 所以三棱锥的体积为， 设到平面的距离为， 由，可得, 所以， 因为，可得，解得， 所以点到平面的距离为. 21．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与交于点F，连接BF，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，再由等体积法求点面距离. 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 22．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．与所成角为45° C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】由线面平行的判定定理判断A；由异面直线所成角定义计算判断B；由三棱锥体积计算公式计算判断C；根据等体积法计算判断D. 【详解】对A选项，如图，连接，则为中点，    又为的中点，所以， 又平面平面， 平面，故A选项正确； 对B选项，由A可知，为与所成角或其补角， 由正方体性质可知，，故B选项正确； 对C选项，三棱锥的体积为 ，故C选项错误； 对D选项，设点到平面的距离为，则， ，，故D选项正确. 23．（2026·山西·二模）在三棱锥中，，且，，平面，若，，，四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知将棱锥补全为长方体，分析得到该长方体的外接球即为棱锥的外接球，结合长方体与其外接球的特征及等面积法求点面距离. 【详解】把三棱锥补成下图中的长方体，则球心在长方形上， 所以，而，则， 在中，其中表示点到的距离， 所以点到平面的距离就是点到的距离. 24．（25-26高二下·浙江·期中）（多选）正方体棱长为2，则（    ） A．与是异面直线 B．点到的距离为 C．与所成角为 D．与平面所成角为 【答案】ABD 【详解】因为平面，又平面且平面， 所以与是异面直线，故A正确； 设点到的距离为，由， 所以， 又， ， 所以，解得，故B正确； 因为，所以或其补角为异面直线与所成的角， 又因为是等边三角形，所以，故C错误； 因为是正方形，所以， 又因为平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 所以在平面内的射影为，为与的交点， 所以为直线与平面所成的角， 又，所以，故D正确. 考点五 空间中线到面、面到面距离的问题 25．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 26．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离等于1； B．直线到平面的距离等于1； C．平面到平面的距离等于1. D．点到平面的距离等于1 【答案】ABC 【分析】分别由平面、平面和平面、平面平面即可分析求解判断ABC；设点到平面的距离等于d，由即可求解判断D. 【详解】由正方体结构性质可知平面，所以点到平面的距离等于1，A正确； 由正方体结构性质可知，在平面外，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离等于点C到平面的距离， 又由正方体结构性质可知平面，所以直线到平面的距离为，B正确； 由正方体结构性质可知平面平面，平面且平面， 所以平面到平面的距离等于，C正确； 设点到平面的距离等于d，由题意可得， 所以，又， 所以由得，D错误. 故选：ABC 27．（2026高一·全国·专题练习）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 【答案】 【详解】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 28．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知正方体的棱长为1，则直线到平面的距离为________. 【答案】 【分析】利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面距离转化为点面距离求解即可. 【详解】连结，与交点为，    因为是正方形，则， 又平面，平面，则， 又，平面，则平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 故答案为： 29．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在梯形中，，平面，且. (1)求直线到平面的距离； (2)求点到直线的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为. 【答案】(1) (2) (3)存在 【分析】（1）将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，由线面垂直找到距离，解直角三角形求得距离； （2）利用垂直找到距离，解直角三角形求得距离； （3）设，由线面垂直得到距离，由距离为求得的值. 【详解】（1）作于，由平面，得， ，，平面，则， 又，平面，即的长为点到平面的距离， 也即直线到平面的距离，在等腰直角三角形中，， 直线到平面的距离为； （2） 作于，则的长即为点到的距离， 在中，，，， ， 即点到直线的距离为； （3） 在线段上存在一点，满足，使点到平面的距离为. 证明如下: 假设在线段上存在一点，使点到平面的距离为， 设， 过于，在中，， 可得，，则， 由（2）知，，若存在满足题意的，则只需平面即可， ，，在中，由余弦定理可得， 若，在中， 即，解得， 即在上存在一点，当时，， 又，，平面，得， 又，，平面， 即点到平面的距离为，满足条件. 故在线段上存在一点，满足，使点到平面的距离为. 30．（2025高二上·上海·专题练习）如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且ED⊥平面，点G是CD的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面平行的判定定理，需证明BF、BC均平行于平面AEG即可； （2）利用等体积法，令，即可求出距离． 【详解】（1）∵，是的中点，，即， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面，∴平面， ∵直角梯形与梯形全等，，， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面； （2）设点到平面的距离为， 平面，平面，故, 知， 由于直角梯形与梯形全等，故， 由，得， 即， ∵平面平面，∴平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 故平面与平面间的距离为． 1．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 所以即为异面直线与所成角或其补角， 设三棱锥棱长为， 则，， 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 2．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在长方体中，，因为，分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以， 因为为的中点，所以，所以，所以，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 3．（25-26高二下·江西南昌·期中）如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接，则 ， 为的中点，， 且，且， 四边形是平行四边形， ，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角， 因为平面，所以为直线与平面所成角， 则为直线与平面所成角， 设正方体的棱长为，， 是的中点，所以 ，， ， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 故选项C正确. 4．（25-26高一下·浙江宁波·期中）正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平面，可得即为直线与平面ABCD所成角，再进行分析即可确定正确答案. 【详解】连接， 在正方体中，平面， 对于平面，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABCD所成角， 设，则， 因为P是内（包括边界）的动点， , 当P与O重合时，最小， 此时最大， 当P与B重合时，最大， 此时最小， 所以.    5．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定正三棱锥底面中心的位置，结合图形确定侧面与底面所成二面角的平面角，再利用正弦的定义计算所求正弦值. 【详解】如图所示，正三棱锥顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，取中点，连接、， 由正三棱锥性质，，， 可知是侧面与底面所成二面角的平面角，且（棱锥的高），，为直角三角形. 由底面正三角形边长为，其高为，正三角形中心分高的比为， 可知中心到边的距离：. 在中：， 二面角的正弦值：. 6．（25-26高三上·吉林长春·月考）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角定义可知或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果. 【详解】连接，，取中点，连接， 四边形为矩形，，， 即为二面角的平面角，， 又，，，为等边三角形，； 分别为中点，，， 或其补角即为异面直线与所成角， ，， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 7．（25-26高一下·广东东莞·期中）（多选）如图，在棱长为4的正方体中，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．存在点P使得平面 B．存在点P使得平面 C．若P是的中点，则到平面的距离为 D．若直线与平面所成角的正弦值为，则 【答案】BC 【分析】A.根据正方体可知，与不垂直，即可判断A，B.根据线面平行的判断定理，即可判断B，C.利用等体积转化为点到平面的距离，D.首先设，利用等面积转化，以及根据几何关系，求点到直线的距离，再根据线面角的定义，即可判断. 【详解】A.在正方体中易知，与不垂直，故A不正确； B.因为，又平面并且平面，所以平面，故B正确； C.正方体中易知，，不在平面内，在平面内，所以平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离， 在正方体中，易知平面平面，且相交于， 所以到平面的距离即为到的距离， 又因为点P是的中点，所以点到直线的距离等于点到直线的距离， 又，，解得，故C正确； D.设（），所以， 因为平面，且平面，所以平面平面， 且平面平面，所以点和到平面的距离就是到的距离， 计算可得， 所以， 可得，所以直线与平面所成角的正弦为，所以，故D错误. 故选：BC 8．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）（多选）如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．，，，四点共面 【答案】BCD 【分析】对于A，取的中点为，连接，易得，结合，相交即可判断；对于B，由异面直线的概念即可判断；对于C，易知，则为直线与所成的角，再求角即可判断；对于D，连接，易知，再由平面确定定理即可判断． 【详解】解：对于A，取的中点为，连接，如下图所示： 由正方体性质可知，若直线与是平行直线， 则可得，，三点共线，显然这与，相交于点矛盾，故A错误； 对于B，易知平面，平面，直线，平面， 可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，连接，，如下图： 可得，故为直线与所成的角，而， 可得直线与所成的角为，故C正确； 对于D，连接，易知，可知，，，四点共面，故D正确． 9．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 【答案】/ 【分析】取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG，找到异面直线所成的角或其补角即，然后找线面位置关系，求相关线段长，再利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG， 则，且，，则就是异面直线与所成的角或其补角． 易知平面，所以平面，所以. 因为，，所以， 所以由勾股定理得， 又，， 所以在△中，由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为． 10．（2026高三·全国·专题练习）已知，分别是棱长为的正方体的棱，的中点，为面的中心，则到平面的距离为________，四棱锥的体积为________． 【答案】 【分析】结合几何图形，将点到平面的距离转化为线到面的距离，进而求解棱锥的高，再利用等体积法求解. 【详解】如图所示，连接，交于点，连接，，过点作于点．    因为，且平面，平面，所以平面． 所以到平面的距离就是到平面的距离． 易知平面平面， 又平面平面， 所以平面， 所以等于四棱锥的高． 因为， 所以． 所以 . 11．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）若两个平行平面之间的距离为6，一条直线与这两个平面分别交于A，B两点，线段AB与其中一个平面所成角为，则AB的长度为____________. 【答案】12 【分析】根据给定条件，利用线面夹角及面面距离的意义求解. 【详解】如图平面，，过作于，连接， 依题意，，所以， 所以AB的长度为12. 故答案为：12    12．（2026·重庆九龙坡·二模）将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 【答案】 【详解】如图，取中点，连接，则，，所以是所求二面角的平面角， 因为，， 在中，由余弦定理得， 所以，即二面角的大小为. 13．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 【答案】 【分析】运用等体积法变换三棱锥的顶点和底面解决问题。 【详解】因为四边形是边长为2的正方形，且， 所以，， 设点A到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点A到平面的距离为。 故答案为：. 14．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面． （2）取的中点，连接．    因为为中点，为中点，所以是的中位线， 故，且． 又底面，所以底面， 因此是在底面内的射影，即为直线与平面所成的角． 由题意，是的四等分点，，故． 又是中点，，故． 在中，． 在中，． 因此，． （ii）利用等体积法，设点到平面的距离为． 由(1)知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此，． 由(1)知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得． 15．（25-26高一下·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件得平面，从而，又，由此能证明平面． （2）由已知条件推导出平面，平面，由此能证明平面平面．由已知条件推导出为平行平面与之间的距离，由此能求出结果． 【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． （2）解：由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 16．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当平面平面时，棱锥体积最大，求出棱锥高即可得解； （2）过作于，连接，证明平面，得出即为直线与平面所成角，解直角三角形得解； （3）当三棱锥表面积最大时，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）要使三棱锥的体积最大，即点到平面的距离最大． 所以平面平面， 取中点，连接， 则，又为交线，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， ，，， （2），，,平面， 平面，由平面， ，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. （3）设， 则， 即① 令② ①②得 ， 取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， ，， 所以． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题09空间几何夹角与距离 知识清单 知识点1：空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OAJOA',OB]IO'B=∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B=180° B 0 图形语言 B 0 04 -A' B' 作用 判断或证明两个角相等或互补 【注意】如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等， 知识点2：异面直线所成的角 (I)定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a‖a,b'b,我们把直线ad与b'所成的角叫做 异面直线a与b所成的角（或夹角） (2)空间两条直线所成角a的取值范围是0°≤a<90°. 【注意】()两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关， (②)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 求异面直线所成角的一般步骤 (I)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角。 (②)证：证明作出的角就是要求的角，其实质是证明线线平行，并指出所作的角就是要求的角 (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. (4)结论：假如所构造的角的大小为α，若0°<a≤90°，则a即为所求异面直线所成角的大小；若90°<a<180°，则 180°-a即为所求。 可用一作二证三计算四结论”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<090°. 知识点3：直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直 斜线 线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足 射影 的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α 上的射影为直线AO 直线与平 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO: 面所成的 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的 角 角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为0，则0°≤090° 1/15 【注意】直线与平面所成的角是这条直线与平面内任意直线所成的角中最小的角. 求直线与平面所成角的步骤 (1)作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意 斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中己知量有关，才能便于计算. (2)证明：证明某平面角就是直线与平面所成的角. (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 知识点4：空间中的距离问题 1.过一点作垂直于己知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫 做这个点到该平面的距离. 2.一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 3.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行 平面间的距离。 【注意】由直线到平面的距离与平行平面间的距离的定义知，它们都可以转化为点到平面的距离. 空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离 (②)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点（等分点），转化为另一点到平面的 距离。 (③)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展（分割），以方便求底面积和高. 知识点5：二面角的概念 1.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角 的面 2.画法： B ·P 平卧式 直立式 3.记法：二面角a-1-B或二面角a-AB-B或二面角P-1-Q或二面角P-AB-Q 4.二面角的平面角： (I)在二面角α--的棱1上任取一点O,以点O为垂足，在半平面α和B内分别作垂直于棱1的射线OA和OB,则射线 OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图 B a (2)二面角的平面角a的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 【注意】1.二面角的大小与垂足O在1上的位置无关.一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的， 2.构成二面角的平面角的三要素：“棱上“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别 2/15 在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可.这三个要素决定了二面角的平面角的大小的唯 一性和平面角所在的平面与棱垂直. 求二面角的平面角的大小的步骤 (1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线. (②)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角、 (3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小. (4)结论 考点汇总 考点一空间中异面直线夹角的问题 考点二空间中线面夹角的问题 考点三空间中面面夹角（二面角）的问题 考点四 空间中点到面距离的问题 考点五空间中线到面、面到面距离的问题 考点突破 考点一空间中异面直线夹角的问题 1.(25-26高一下·北京期中)如图，在正方体ABCD-A,B,CD中，E为棱AB的中点，F为棱CC,的中点，则异 面直线A,E与B,F所成角的余弦值为() D D B 4 A.5 B D. 2.(2026福建泉州模拟预测)在三棱锥M-ABC中，MA⊥平面ABC,AB⊥BC,MA=AB=BC,则直线MB与 AC所成角的余弦值为() A.3 2 B.3 C.② 3 2 D.2 3/15 3.(25-26高一下·湖南益阳·期中)在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=A4,设AB,和BC所成的角为0，则CosQ的 值为() C A C A. 4 D.4 4.(25-26高一下·江西南昌期末)（多选）如图，四面体ABCD中，AC=3,BD=2,M,N分别为AB,CD的中 点若异面直线AC与BD所成角的大小为60，则MN的长为() C A.21 B.3 c.19 D. 2 2 2 2 5.(25-26高二上·河北阶段检测)在空间四边形ABCD中，AD=4,BC=6,点M,N分别是线段AB,CD的 中点，若异面直线AD与BC所成角为60°，则线段MN的长度为() A.√7 B.√19 C.2万 D.√7或√19 6.(2027高三全国.专题练习)如图所示，己知空间四边形ABCD中，AC与BD所成角为60°，且AC=BD=2, E,F分别为BC,AD的中点，则EF= C 考点二空间中线面夹角的问题 7.(2026湖南株洲模拟预测)如图，AB为圆锥底面直径，S0⊥AB,若S0=A0,则SA与圆锥底面所成角为() 4/15 S B A.30° B.45° C.60° D.90% 8.(2026湖南株洲模拟预测)在直四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD是菱形，边长为1，∠ADC=120°， DD=2,O为AC的中点. D A 、B Dk- (I)求D,C与面D,OD所成角的余弦值； (2)证明：D,O⊥AC. 9.(25-26高一下·重庆沙坪坝期中)三棱台ABC-AB,C上下底面为正三角形，AC=2A,C,=2,侧面AC,CA是底 角为45的等腰梯形，棱台的高为；，则AB与平面4CC,4所成角的正弦值为一 B A B 10.(25-26高三下·贵州遵义·阶段检测)已知正三棱台ABC-A,B,C中，AB=4,AB=1,且AA,与平面ABC所 成的角为45°，则该棱台的体积为() 21 A.4 B.21W2 c.21v5 21 4 4 D.2 11.(25-26高三下·安徽期中)在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=2,BC=V2,AA,=Q,面对角线BD与截面 AB,D所成的角为45°，则a= 5/15 12.(2026新疆·模拟预测)如图，在多面体ABCDMN中，四边形ABCD,ADMN均为矩形，AB=2AD=6, DM=5,点E为线段AB上一点，且DM⊥平面ABCD M E (I)若BMI/平面NDE,求证：点E是AB的中点； (Q若直线EM与平面ABCD所成角的大小为子求r:ow:aw 考点三空间中面面夹角（二面角）的问题 13.(2026广东广州三模)正四面体P-ABC中，二面角P-AB-C的余弦值为() 1 A.3 B.② 3 C.3 3 D. 14.(25-26高一下·浙江金华阶段检测)三棱锥P-ABC中，AC⊥BC,BC=2AC=4,PA=PB,面PAB⊥面 ABC,(坐标法不给分) B (1)证明：PA=PC; ②若=45，求二面角C-PB-4的正切值 3 15.(25-26高一下·重庆期中)在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形， BC=3,2BF=ED=AB=4,FB∥ED,ED⊥平面ABCD, E D B (I)求直线EF与底面ABCD所成角的正弦值； (2)求二面角E-AC-F的正切值； (3)求三棱锥F-ACE的体积. 6/15 16.(25-26高二上山东淄博期末)（多选）如图，在三棱锥A-BCD中，二面角A-CD-B的大小为？，且 AC⊥CD,BD⊥CD,AC=BD=L,CD=2,M,N分别为AD,BC的中点，则() M B D A,异面直线AC与BD所成角为贺 B.MN⊥CD C.AB=7 D.三棱锥A-BCD的体积为 6 17.(25-26高一下·湖北武汉·期末)（多选）如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2,E为边AB的中点，将ADE沿 直线DE翻折成△A,DE(A,平面BCDE),若M在线段AC上（点M与A,C不重合），则在ADE翻折过程中， 给出下列判断，其中判断正确的有() D A.当M为A,C的中点时，与平面ADE垂直的直线必与直线MB垂直 B.存在某个位置，使DE⊥A,C C.当四棱锥A-BCDE体积最大时，点4到平面BCDE的距离为 2 D,当二面角4-DE-B的大木为5时，异面直线4D与E所成角的余张值为子 18.(25-26高一下·天津滨海新区·期中)如图，长方体ABCD-A,B,CD,中，ABCD是边长为1的正方形，D,B与 平面ABCD所成的角为45°，则直线CD与直线DB的夹角余弦值为 :二面角C,-BD-C的平面角的正切 值为 7/15 D C A Bi B 考点四空间中点到面距离的问题 19.(25-26高一下·浙江期中)如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，将aACD沿直线AC折起至△ACP处， 使得点P在平面ABC上的射影在AE上.若三棱锥P-ABC的外接球表面积为8π，则P到平面ABC的距离为() O B A. B.9 c.8 D.1 3 20.(2026山西临汾·二模)在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点A到平面A,BD的距离为 21,(25-26高一下·安微阜阳期中)如图，在四棱台ABCD-ABCD,中，DD,⊥平面ABCD,两底面均为正方形， AB=6,DD=5,AB,=2,点E在线段BD上，且DE=5EB. D A B B (1)证明：D,E/平面A,BC. (2)求点B到平面ABC,的距离. 22.(25-26高下·黑龙江哈尔滨期中)（多选）如图，正方体ABCD-A,BCD,的棱长为1，且M,N分别为AC ,AB的中点，则下列说法正确的是() 8/15 A 0 C A2 D M B A.MNI∥平面ADD,A B.MN与AA所成角为45° C。三棱锥N-BCM的体积为： D.点A到平面48D的距离为 3 23.(2026山西二模)在三棱锥P-ABC中，AB=AC=√2，且AB⊥AC,PA=2,PA⊥平面ABC,若P,A ,B,C四点都在球O的表面上，则点P到平面OAB的距离为() A.2 B.3 C.3 D.25 3 3 24.(25-26高二下·浙江期中)（多选）正方体ABCD-A,B,CD,棱长为2，则() A.AB与B,C是异面直线 B.点A到BDA的距离为？月 C.BC与4C所城角为写 D.AB,与平面ABCD,所成角为 6 考点五空间中线到面、面到面距离的问题 25.(25-26高一下，全国课堂例题)如图所示，在长方体ABCD-ABCD中，AB=3cm,BC=2cm,BB'=1cm ,求： D' B ⊙ (I)点到平面B'BCC的距离： (2)直线A'D'与平面ABCD的距离； (3)平面ABB'A'与平面CDDC的距离. 26.(25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测)（多选)在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，下列说法正确的有() A.点A到平面B,C的距离等于1； B.直线DC到平面AB,的距离等于1； 9/15 C.平面DA到平面CB的距离等于1. D.点A到平面ADB的距离等于1 27.(2026高一·全国·专题练习)某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型 如图所示，EF∥平面ABCD,底面ABCD是边长为I8的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE 与BCF是等腰直角三角形，若EF=6,则EF到平面ABCD的距离为 F 28.(25-26高二上·上海阶段检测)己知正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为1，则直线AB,到平面ABC,D,的距离 为 29.(25-26高二上·上海阶段检测)如图，在梯形ABCD中， 25 AD1/BC,∠ABC=T,AB=BC=L,∠ADC=arccos 2,PA⊥平面ABCD,且PA=1. P B (I)求直线AD到平面PBC的距离： (2)求点A到直线PC的距离； (3)在线段AD上是否存在一点F,使得点A到平面PCF的距离为N6 30.(2025高二上·上海.专题练习)如图，直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，其中ABIICD∥EF, AD=AB=二CD=1,且ED⊥平面ABCD,点G是CD的中点. E D (I)求证：平面BCF/∥平面AG; 10/15 (2)求平面BCF与平面AEG的距离. 强化训练 1.(25-26高一下·江苏镇江·期中)在棱长均相等的三棱锥A-BCD中，E为棱AD的中点，则异面直线AB与CE所 成角的余弦值为() A. 6 B.3 C. 2.(25-26高一下·福建厦门期中)如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=3,BC=2,CC,=4,点E,F分别为 CC,AD的中点，则异面直线EF和AD所成角的余弦值为() D B A. V14 B.V70 C.3i4 D.2i4 14 14 14 14 3.(25-26高二下·江西南昌期中)如图，在正方体ABCD-A,B,CD中，E为BB的中点，则直线C,E与平面 ABCD所成角的正弦值为() D B E D A B A B.3 2 c.v5 D. 2V5 5 5 4.(25-26高一下浙江宁波期中)正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为1，若P在ABC内（包括边界）运动，则直 线D,P与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为( ) A [ √3√2 D 4’2 11/15 5.(25-26高一下·湖南衡阳期中)已知正三棱锥P-ABC的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成 的二面角的正弦值为() A.V57 19 B.3 C.4 4 D.3 19 3 6.(25-26高三上吉林长春·月考)如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，AB=2,AD=AF=1,且二面角 C-AB-F为60，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为() B E A.4 B c D0 7 7.(25-26高一下·广东东莞·期中)（多选)如图，在棱长为4的正方体ABCD-A,BC,D,中，P是线段CD上的动 点，则下列说法正确的是() D C B D C B A.存在点P使得AC,⊥平面BB,P B.存在点P使得AAII平面BB,P C.若P是CD的中点，则DD,到平面BBP的距离为4V5 5 D.若直线BD,与平面BB,P所成角的正弦值为 S,则DP=4 8.(25-26高一下·湖南衡阳期中)（多选)如图所示，在正方体ABCD-A,B,C,D1中，M,N分别为棱CD, CC的中点，则下列结论正确的是() 12/15 D M A D A.直线AM与BN是平行直线 B.直线BN与MB,是异面直线 C.直线MN与AC所成的角为60° D.M,N,B,A四点共面 9.(25-26高一下山东青岛期中)如图，在圆锥P0中，P0=4,B,C为圆0上的点，且0B=2,∠B0C=2 若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为 D B E 10.(2026高三·全国.专题练习)已知E,F分别是棱长为Q的正方体ABCD-A,B,C,D的棱AA,,CC的中点，O 为面AB,C,D,的中心，则O到平面B,EDF的距离为，四棱锥C-B,EDF的体积为 11.(25-26高三上·江苏南通·阶段检测)若两个平行平面之间的距离为6，一条直线与这两个平面分别交于A,B 两点，线段AB与其中一个平面所成角为30°，则AB的长度为 12.(2026重庆九龙坡·二模)将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使折起后BD=√6，则二面 角B-AC-D的大小为 13.(25-26高一下·广西南宁.期中)如图，AB,CD是圆柱上、下底面圆的直径，四边形ABCD是边长为2的正 方形，E是底面圆周上的一点，AE=1.则点A到平面DBE的距离为 D ---B 14.(25-26高一下·天津滨海新区·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD, 13/15 PA=AB=2,E为线段PB的中点 E C B (I)若F为线段BC上的动点，证明：AE⊥平面PBC: (2)若E为PB的中点，F是BC上靠近B的四等分点， (i)求EF和平面ABCD夹角的正弦值； (ii)求点P到平面AEF的距离 15.(25-26高一下·广东揭阳·期末)如图在直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠ABC=90°，BC=2,CC,=4,E是BB,上 的一点，且EB,=1,D、F、G分别是CC、B,C、AC的中点，EF与BD相交于H, G C B E A B (I)求证：B,D⊥平面ABD; (2)求平面EGF与平面ABD的距离。 16.(25-26高一下·浙江温州·期中)如图：等边三角形ABC和直角三角形ADC,∠ADC=90°，∠CAD=60, AD=1,△ABC绕AC翻折，使点B到达点P. B (I)求三棱锥P-ACD的体积最大值； (2)当AD⊥PC时，求直线AP与平面ADC所成角的正弦值； 14/15 (3)求三棱锥P-ACD表面积最大时，二面角P-AC-D的余弦值. 15/15