8.6.1-8.6.2·线面垂直的判定与性质+线面角【知识梳理+6个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【8.6.1-8.6.2·线面垂直的判定与性质+线面角】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求异面直线的夹角】 【练方法】 知识梳理 1异面直线夹角定义：过空间任一点分别作两条异面直线的平行线这两条平行线所成的锐角或直角 2取值范围：夹角为直角时称两条异面直线互相垂直 3核心方法：平移法将异面直线转化为相交直线再求平面角 4特殊情况：正方体中棱与面对角线体对角线的夹角常见为或 解题方法 1平移法： 中位线平移：利用三角形中位线平移异面直线构造相交直线 平行线平移：作已知直线的平行线使两线相交于一点 2三角形法：构造包含两条相交直线的三角形利用余弦定理计算夹角 3特殊模型法：正方体长方体中利用面对角线体对角线的关系直接求夹角 （2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．0 （25-26高三下·河南·月考）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：线面垂直有关的概念辨析】 【练方法】 知识梳理 1线面垂直定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直那么这条直线与这个平面垂直 2线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直那么这条直线与这个平面垂直 3线面垂直性质： 垂直于同一平面的两条直线平行 如果一条直线垂直于一个平面那么它与平面内的所有直线都垂直 4易混概念：线线垂直不一定线面垂直需满足与平面内两条相交直线都垂直 解题方法 1定义辨析：紧扣线面垂直的定义注意“任意一条直线”的条件 2定理辨析：验证判定定理的条件必须是“平面内两条相交直线”平行线不满足 3命题判断：利用线面垂直的定义和性质逐一分析命题的真假注意特殊情况 （25-26高一下·浙江宁波·期中）已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ）经典例题1例题 A．， B．， C．，， D．，，， （25-26高三下·湖南长沙·月考）（多选）设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则下列说法正确的是（   ）经典例题2例题 A．若或，则 B．若，则或 C．若或，则 D．若，则或 （25-26高一下·福建福州·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（   ）小试牛刀1 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （25-26高三下·上海·月考）已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（     ）.小试牛刀2 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．，，，则 （2026·江苏·一模）已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（   ）小试牛刀3 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【题型3：线面垂直的判定】 【练方法】 知识梳理 1判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直那么这条直线与这个平面垂直 2符号表示： 3其他判定方法： 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面那么另一条也垂直于这个平面 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个那么它也垂直于另一个平面 解题方法 1核心判定法：在平面内找两条相交直线分别证明已知直线与它们都垂直 利用等腰三角形三线合一证明垂直 利用勾股定理逆定理证明直角三角形得到线线垂直 2传递法：证明已知直线与一条垂直于平面的直线平行则线面垂直 3面面平行法：证明已知直线垂直于一个与目标平面平行的平面则线面垂直 （2026高三·全国·专题练习）已知正方体，求证：平面．经典例题1例题 （25-26高一下·浙江杭州·期中）在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点.经典例题2例题 (1)求证：平面； (2)证明：平面. （湖北孝感市2026届高三第二次统一考试数学试题）（多选）如图，四面体中，平面，，垂足为，，垂足为，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀1 A．若，则 B．若，则 C．若，则平面 D．若，则 （2026·河北·模拟预测）（多选）如图，已知直四棱柱的侧面为正方形，底面为长方形，，，分别为，，的中点，则下列结论错误的是（    ）小试牛刀2 A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 （2026高一·广东·专题练习）已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点.小试牛刀3 (1)求证： 平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 【题型4：线面垂直的存在性与计算】 【练方法】 知识梳理 1问题形式：判断是否存在点或直线使得线面垂直 2核心依据：线面垂直的判定定理与性质定理 3常见载体：棱柱棱锥正方体中的动点问题 4相关计算：线面垂直时直线与平面内所有直线都垂直可用于线线垂直的证明和角度计算 解题方法 1假设存在法：先假设存在满足条件的点或直线再利用线面垂直的判定定理找平面内的两条相交直线证明它们与已知直线都垂直 2几何构造法：利用等腰三角形直角三角形等几何特征找到满足线面垂直条件的点或直线 3验证：对找到的点或直线验证是否满足线面垂直的条件并进行相关计算 （2026高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面.经典例题1例题 （24-25高一下·河北承德·月考）已知，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点．经典例题2例题      (1)在棱上是否存在点，使？若存在，求的长；若不存在，说明理由． (2)已知点同时满足下列条件： ①平面；②平面. 请再写出与点M有关的两个结论：一个为“线面平行”，一个为“线面垂直”：________，________．（结论不要求证明） （24-25高二上·上海·月考）在长方体中，，，E为棱上一动点，小试牛刀1 (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． （24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，直三棱柱，，分别是，的中点，小试牛刀2 (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. （24-25高二下·河北石家庄·月考）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点M，N分别为和的中点.小试牛刀3    (1)若，求三棱柱的体积； (2)证明：平面； (3)请问当为何值时，平面，试证明你的结论. 【题型5：线面垂直的性质】 【练方法】 知识梳理 1性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面那么这两条直线平行 2推论： 如果一条直线垂直于一个平面那么它与平面内的所有直线都垂直 如果一条直线垂直于一个平面那么过这条直线的所有平面都与该平面垂直 3应用：证明线线平行线线垂直面面垂直 解题方法 1性质应用：利用线面垂直推出线线平行或线线垂直再解决相关问题 2平行证明：证明两条直线都垂直于同一个平面则两直线平行 3垂直证明：证明一条直线垂直于一个平面则它与平面内的所有直线都垂直 （25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且．经典例题1例题 (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． （2026高二上·北京·学业考试）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形.经典例题2例题 (1)求证：平面； (2)在直线上是否存在点，使得？说明理由. （2027高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点在上，记，若平面，则实数________．小试牛刀1 （25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证：小试牛刀2 （2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．求证：；小试牛刀3 【题型6：求直线与平面的夹角】 【练方法】 知识梳理 1线面角定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角 2取值范围：直线与平面垂直时夹角为直线与平面平行或在平面内时夹角为 3核心方法：找斜线在平面内的射影构造直角三角形利用三角函数求角 4关键步骤：过斜线上一点作平面的垂线垂足与斜足的连线即为射影 解题方法 1定义法： 过斜线上一点作平面的垂线找到垂足 连接斜足与垂足得到斜线在平面内的射影 在直角三角形中利用三角函数计算线面角 2特殊模型法：在正方体长方体中利用体对角线与底面的夹角棱与对角面的夹角等特殊关系直接求解 3等体积法：先求点到平面的距离再利用直角三角形关系求线面角的正弦值 （25-26高一下·浙江·期中）如图，在正三棱柱中，为的中点，.经典例题1例题 (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. （25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且.经典例题2例题 (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. （2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·河北沧州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，点满足.小试牛刀2 (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与底面所成角的正弦值. （24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点．小试牛刀3 (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 课后针对训练 一、单选题 1．（2026·黑龙江·一模）三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京怀柔·期中）设表示平面，表示直线，给出下列四个说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·期中）如图，在四棱台中，底面是平行四边形，过点的平面与棱，，分别交于，，（三点均不在棱的端点处），则直线与平面的位置关系一定是（    ） A．与平面相交 B．平面 C．平面 D．平面 4．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知在正方体中，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（25-26高二下·浙江·期中）正方体棱长为2，则（    ） A．与是异面直线 B．点到的距离为 C．与所成角为 D．与平面所成角为 6．（25-26高二上·湖南张家界·期末）如图，在矩形AEFC中，为EF的中点，分别沿AB、BC将翻折，使点E，F重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（   ）    A．三棱锥的体积为 B．PA与BC所成角的余弦值为 C．PA与平面PBC所成角的正弦值为 D．三棱锥的外接球半径为 7．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（    ） A．为正三角形 B． C．与底面所成角的正弦值为 D．点到平面的距离为 三、填空题 8．（25-26高三下·安徽·期中）在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 四、解答题 9．（2025高二下·湖南·学业考试）如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 10．（24-25高二上·贵州遵义·期中）如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：. 11．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 12．（25-26高二上·上海·期中）如图所示，在直三棱柱中，，若，    (1)设的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的大小. 13．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图所示的四棱锥中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面上． 14．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 15．（25-26高一下·浙江舟山·期中）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为底面圆上的点， ，，是母线的中点. (1)求证： (2)求证： 平面 (3)求四棱锥的体积及圆锥的表面积. 16．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【8.6.1-8.6.2·线面垂直的判定与性质+线面角】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求异面直线的夹角】 【练方法】 知识梳理 1异面直线夹角定义：过空间任一点分别作两条异面直线的平行线这两条平行线所成的锐角或直角 2取值范围：夹角为直角时称两条异面直线互相垂直 3核心方法：平移法将异面直线转化为相交直线再求平面角 4特殊情况：正方体中棱与面对角线体对角线的夹角常见为或 解题方法 1平移法： 中位线平移：利用三角形中位线平移异面直线构造相交直线 平行线平移：作已知直线的平行线使两线相交于一点 2三角形法：构造包含两条相交直线的三角形利用余弦定理计算夹角 3特殊模型法：正方体长方体中利用面对角线体对角线的关系直接求夹角 （2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解. 【详解】 如图，正方体中，为线段的中点，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形，， 异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，， ，即是直角三角形，， 即异面直线与所成角的余弦值为. （25-26高三下·河南·月考）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过补形，得到正六棱柱，继而得到即为直线与所成的角或其补角．设，从而得到为正三角形，故，从而得到所求. 【详解】如图，将直四棱柱补成正六棱柱， 连接，，显然， 则即为直线与所成的角或其补角． 设，则， 又， 则， 解得， 又， ， 则为正三角形，从而， 则直线与所成的角为． （2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得所成角的余弦值. 【详解】由于，所以， 设分别是的中点，连接，则， 所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角）， 在中，， 所以， 所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为. （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作交于，连接，可证得，得是与所成的角或其补角，由平行线性质求得，由余弦定理求得，从而得与所成的角. 【详解】 作交于，如图，连接，则， 又，所以，所以， 所以是与所成的角或其补角， 由，， 所以，，，所以， 在中，， 所以与所成角的余弦值为. （25-26高一上·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使，连接,可得（或其补角）就是异面直线 与所成的角. 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 【题型2：线面垂直有关的概念辨析】 【练方法】 知识梳理 1线面垂直定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直那么这条直线与这个平面垂直 2线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直那么这条直线与这个平面垂直 3线面垂直性质： 垂直于同一平面的两条直线平行 如果一条直线垂直于一个平面那么它与平面内的所有直线都垂直 4易混概念：线线垂直不一定线面垂直需满足与平面内两条相交直线都垂直 解题方法 1定义辨析：紧扣线面垂直的定义注意“任意一条直线”的条件 2定理辨析：验证判定定理的条件必须是“平面内两条相交直线”平行线不满足 3命题判断：利用线面垂直的定义和性质逐一分析命题的真假注意特殊情况 （25-26高一下·浙江宁波·期中）已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ）经典例题1例题 A．， B．， C．，， D．，，， 【答案】C 【分析】利用平面基本事实判断A；利用线面平行的判定判断B；利用面面垂直的性质，线面垂直的判定判断C；利用线面垂直的判定判断D． 【详解】对于A：由，，则，两个平面相交于一条直线，而不是一个点，故A错误； 对于B：由，，则可能有，或，故B错误； 对于C：由，，，则，故C正确；     对于D：由，，，，则可能有，或，或，故D错误． 故选：C （25-26高三下·湖南长沙·月考）（多选）设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则下列说法正确的是（   ）经典例题2例题 A．若或，则 B．若，则或 C．若或，则 D．若，则或 【答案】BC 【详解】对于A项，若或，此时与平面的交线的位置关系不确定 ， 可能与异面或平行，故A项错误； 对于B项，若，可能在平面或内，但是一定有或，故B项正确； 对于C项，若，因为，所以，由直线与平面垂直的性质，可得； 若，因为，同理可得，故C项正确； 对于D项，若，与平面的位置关系不确定，不一定垂直于或，故D项错误． （25-26高一下·福建福州·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（   ）小试牛刀1 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，由，可得可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由可得或，故B错误； 对于C，由，可得，又，则有，故C正确； 对于D，当是平面内两条互相垂直的直线，且时，满足，，但，故D错误. （25-26高三下·上海·月考）已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（     ）.小试牛刀2 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．，，，则 【答案】C 【详解】对于A，若，，则与平行，相交或者异面，故A错误； 对于B，若，，则可能在平面内，也可能与平面平行，故B错误； 对于C，，所以垂直于平面内的所有直线，若，则平面与平面相交，设交线为，在平面内作直线，根据面面垂直的性质定理可知，又因为，所以，而，所以，又因为，则，故C正确. 对于D，，，，可能在平面内，也可能与平面平行，故D错误. （2026·江苏·一模）已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（   ）小试牛刀3 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，，可能平行于平面，也可能(此时不平行于平面，)，故A错； 对于B，若，，直线，可能平行、相交或异面，故B错； 对于C，如果两平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，故C正确； 对于D，若，，直线与平面可能相交、平行或. 【题型3：线面垂直的判定】 【练方法】 知识梳理 1判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直那么这条直线与这个平面垂直 2符号表示： 3其他判定方法： 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面那么另一条也垂直于这个平面 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个那么它也垂直于另一个平面 解题方法 1核心判定法：在平面内找两条相交直线分别证明已知直线与它们都垂直 利用等腰三角形三线合一证明垂直 利用勾股定理逆定理证明直角三角形得到线线垂直 2传递法：证明已知直线与一条垂直于平面的直线平行则线面垂直 3面面平行法：证明已知直线垂直于一个与目标平面平行的平面则线面垂直 （2026高三·全国·专题练习）已知正方体，求证：平面．经典例题1例题 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证. 【详解】在正方体中，连接， 因为平面，平面，所以， 由正方形得， 而，平面，因此平面， 而平面，则， 同理，又，平面， 所以平面． （25-26高一下·浙江杭州·期中）在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点.经典例题2例题 (1)求证：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由是底面正六边形的中心，是的中点，通过构造中位线，找到平面内与平行的直线，利用线面平行的判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面的两条相交线。 【详解】（1）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心， 是的中点； 是的中点， 为的中位线，则； 平面，平面， 平面. （2）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心， ； ,，，即; 六棱柱是正六棱柱，底面； 底面，； ，平面； 平面，； 底面是正六边形，，， ； 底面，底面，； ，； ，，，，四边形为正方形； ，为正方形的对角线， ； ，，平面，平面，且， 平面. （湖北孝感市2026届高三第二次统一考试数学试题）（多选）如图，四面体中，平面，，垂足为，，垂足为，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀1 A．若，则 B．若，则 C．若，则平面 D．若，则 【答案】BC 【详解】选项A：与异面，则与不平行，故选项A不正确； 选项B：若，易得， 又，，则，所以，故选项B正确； 选项C与选项D： 因为平面，平面，所以， 又，，是平面内两条相交直线， 所以平面，又平面，故． 又，且，是平面内两条相交直线，所以平面． 又平面，故． 又，且，是平面内两条相交直线，所以平面．故选项C正确； 又平面，故． 若与也垂直，由、与共面，则与重合，故选项D不正确． （2026·河北·模拟预测）（多选）如图，已知直四棱柱的侧面为正方形，底面为长方形，，，分别为，，的中点，则下列结论错误的是（    ）小试牛刀2 A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABC 【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理及直四棱柱的性质逐项分析判断即可. 【详解】选项A：平面与平面为同一平面，故平面，故A错误； 选项B：易知，与不垂直，故与不垂直，故与平面不垂直，故B错误. 选项C：如图，连接，平面与平面为同一平面，因为与平面相交，所以与平面相交，故C错误. 选项D：因为直四棱柱的底面为长方形，所以，，，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以， 如图，连接，，易知，，故， 因为四边形为正方形，所以，则， 又平面，所以平面，故D正确. （2026高一·广东·专题练习）已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点.小试牛刀3 (1)求证： 平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，，证明，结合线面平行的判定定理即可求证； （2）首先证明面，可得，，结合线面垂直的判定定理即可求证； （3）利用由（2）可知平面，可得点到平面的距离为，根据点为的中点，从而得到点到平面的距离，利用即可求解. 【详解】（1）如图， 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，且为的中点， 又点为的中点，， 又平面，且平面， 平面. （2）直三棱柱满足，， 又点为的中点，且面，面， 所以，， 又，面， 平面. （3）由图可知， ，，， 又三棱柱为直三棱柱，且， . ，，点为的中点， 所以. 由（2）可知平面. 所以点到平面的距离为， 又点为的中点， 所以点到平面的距离为， . 【题型4：线面垂直的存在性与计算】 【练方法】 知识梳理 1问题形式：判断是否存在点或直线使得线面垂直 2核心依据：线面垂直的判定定理与性质定理 3常见载体：棱柱棱锥正方体中的动点问题 4相关计算：线面垂直时直线与平面内所有直线都垂直可用于线线垂直的证明和角度计算 解题方法 1假设存在法：先假设存在满足条件的点或直线再利用线面垂直的判定定理找平面内的两条相交直线证明它们与已知直线都垂直 2几何构造法：利用等腰三角形直角三角形等几何特征找到满足线面垂直条件的点或直线 3验证：对找到的点或直线验证是否满足线面垂直的条件并进行相关计算 （2026高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面.经典例题1例题 【答案】的中点 【分析】连接，证明当点是的中点时，平面. 【详解】如图，连接，则， 因为平面，又平面，所以. 又，平面. 所以平面，又平面，所以. 于是若平面，平面，则， 平面，又平面，所以. 又，平面，所以平面， 平面，所以，所以，， 所以， 因为是正方形，是的中点， 所以当且仅当是的中点时，， 即当点是的中点时，平面. （24-25高一下·河北承德·月考）已知，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点．经典例题2例题      (1)在棱上是否存在点，使？若存在，求的长；若不存在，说明理由． (2)已知点同时满足下列条件： ①平面；②平面. 请再写出与点M有关的两个结论：一个为“线面平行”，一个为“线面垂直”：________，________．（结论不要求证明） 【答案】(1)存在，2 (2)答案见解析 【分析】（1）利用全等的性质得到，利用线面垂直的性质得到，再利用线面垂直的判定定理得到面，进而证明结论，求解长度即可. （2）利用线面垂直的性质得到，结合线面平行的判定定理得到平面，利用正方形性质结合线面垂直的性质得到，，再利用线面垂直的判定定理证明平面即可. 【详解】（1）存在，当点为棱的中点时，可使. 理由如下：如图，过点作，交于点，连接，设，    因为为的中点，所以为的中点，所以， 因为，，所以，则， 因为，所以，即， 因为底面，所以底面， 因为面，所以. 又因为，面，所以面， 因为面，所以， 故当点为棱的中点时，可使，此时. （2）如图，作于，而平面，    因为面，所以， 因为面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为面，面，所以平面， 因为平面，面，所以， 由正方形性质得，，则， 因为面，，所以平面. （24-25高二上·上海·月考）在长方体中，，，E为棱上一动点，小试牛刀1 (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 【答案】(1)1； (2)存在，且. 【分析】（1）连接，交于，在面内过作，交于，根据线面平行的判定找到的位置，进而求线段长； （2）问题化为证面，进而求的位置，即可得线段长. 【详解】（1）连接，交于，在面内过作，交于， 由面，面，则面， 故与重合时，满足题设要求， 根据长方体的性质，易知是的中点，故，即所求是中点， 所以； （2）存在，且，理由如下， 要使恒成立，只需垂直于所在平面即可， 当面，而面，故， 此时，即， 所以，则，可得. （24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，直三棱柱，，分别是，的中点，小试牛刀2 (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点是的中点时，平面. 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行； （2）根据垂直关系的转化，转化为构造. 【详解】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. （24-25高二下·河北石家庄·月考）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点M，N分别为和的中点.小试牛刀3    (1)若，求三棱柱的体积； (2)证明：平面； (3)请问当为何值时，平面，试证明你的结论. 【答案】(1) (2)见解析 (3)时，平面，证明见解析. 【分析】（1）直接根据三棱柱体积计算公式求解即可； （2）利用中位线证明面面平行，再根据面面平行的性质定理证明平面； （3）首先设为，利用平面列出关于参数的方程求解即可. 【详解】（1）∵三棱柱的侧棱垂直于底面， 且，，， ∴由三棱柱体积公式得：； （2）证明：取的中点，连接，，    ∵，分别为和的中点， ∴，， ∵平面，平面， 平面，平面， ∴平面，平面， 又，∴平面平面， ∵平面，∴平面； （3）连接，设， 则由题意知，， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面，则平面， 因为平面，∴平面平面，平面平面， ∵，∴，又点是的中点，则平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，由线面垂直的判定定理只需即可， 又∵，∴， ∴，即， ∴，则时，平面. 【题型5：线面垂直的性质】 【练方法】 知识梳理 1性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面那么这两条直线平行 2推论： 如果一条直线垂直于一个平面那么它与平面内的所有直线都垂直 如果一条直线垂直于一个平面那么过这条直线的所有平面都与该平面垂直 3应用：证明线线平行线线垂直面面垂直 解题方法 1性质应用：利用线面垂直推出线线平行或线线垂直再解决相关问题 2平行证明：证明两条直线都垂直于同一个平面则两直线平行 3垂直证明：证明一条直线垂直于一个平面则它与平面内的所有直线都垂直 （25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且．经典例题1例题 (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)点M为线段上靠近C的四等分点， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （3）如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. （2026高二上·北京·学业考试）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形.经典例题2例题 (1)求证：平面； (2)在直线上是否存在点，使得？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)当点与点重合时，，理由见解析 【分析】（1）由题意得，由线面平行的判定即可求证平面； （2）由题意可得平面，由线面垂直的性质可得，所以当点与点重合时，得证. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以. 又平面平面， 所以平面. （2）在直线上存在点，使得，证明如下： 因为底面为正方形，所以， 因为平面，所以， 又平面，平面，，所以平面. 因为平面，所以. 所以当点与点重合时，. （2027高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点在上，记，若平面，则实数________．小试牛刀1 【答案】1 【分析】先证明平面，得​，再结合平面的条件，推导出，利用正方形性质确定为中点，求解． 【详解】由题意可得，，，，平面， 所以平面. 又平面， 所以，作交于点（如图）， 连接，，此时平面， 在矩形中，，所以四边形是正方形， 所以，. 又为的中点，所以为的中点，， 因为，所以． 故答案为：1． （25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证：小试牛刀2 【答案】证明见解析 【分析】应用菱形得出，，进而应用线面垂直判定定理得出平面即可得出所以，再应用平行四边形得出线线垂直. 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； （2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．求证：；小试牛刀3 【答案】证明见解析 【分析】用线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】证明：设的中点为，连接，连接，则， 又因为为等腰直角三角形，， ，又是正三角形， ， 又因为平面，则面，面， . 【题型6：求直线与平面的夹角】 【练方法】 知识梳理 1线面角定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角 2取值范围：直线与平面垂直时夹角为直线与平面平行或在平面内时夹角为 3核心方法：找斜线在平面内的射影构造直角三角形利用三角函数求角 4关键步骤：过斜线上一点作平面的垂线垂足与斜足的连线即为射影 解题方法 1定义法： 过斜线上一点作平面的垂线找到垂足 连接斜足与垂足得到斜线在平面内的射影 在直角三角形中利用三角函数计算线面角 2特殊模型法：在正方体长方体中利用体对角线与底面的夹角棱与对角面的夹角等特殊关系直接求解 3等体积法：先求点到平面的距离再利用直角三角形关系求线面角的正弦值 （25-26高一下·浙江·期中）如图，在正三棱柱中，为的中点，.经典例题1例题 (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得平面，进而可得，又，进而可得平面，可证结论； （2）由（1）可证，利用已知计算可得，可得，利用线面垂直的判定定理可证结论； （3）由（2）得为直线与平面所成的角，计算求解即可. 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面， 又平面，所以. 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，所以，可得， 因平面，故平面. （3）由（2）得平面，所以为直线与平面所成的角. 又，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 （25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且.经典例题2例题 (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）用勾股定理证明，再用等腰三角形中线得，进而再由折叠可得，再用线面垂直的判定定理可得； （2）先证平面，从而可得平面，进而可得与平面所成的角为，在直角三角形计算可得. 【详解】（1）因为，且，所以，. 又为的中线，所以. 因为，所以，所以. 由题意知，为的中线，所以. 而是沿折叠到点的位置，所以 因为，，且，且平面， 所以平面. （2）因为，，，所以平面. 又，所以平面，所以与平面所成的角为. 在中，，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值. （2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，计算得解. 【详解】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2026·河北沧州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，点满足.小试牛刀2 (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与底面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过平行线将异面直线的夹角转化为同一平面内相交直线的角，然后利用余弦定理求解即可； （2）根据向量关系得点P的位置，可得点到平面的距离为，利用余弦定理求得，然后根据线面角的定义求解即可. 【详解】（1）因为底面是边长为2的菱形，，所以， 因为底面，底面， 所以， 所以， 因为，所以异面直线与所成角为， 在中，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为点满足，所以点为的四等分点且靠近点C， 所以点到平面的距离为， 在中，，又， 所以， 所以， 所以直线与底面所成角的正弦值为. （24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点．小试牛刀3 (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 课后针对训练 一、单选题 1．（2026·黑龙江·一模）三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取BC中点F，连接，后可得或其补角即为直线与所成角，求出、、的长度后根据余弦定理得线线角的余弦值，注意线线角的余弦值非负. 【详解】 取BC中点F，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 2．（25-26高二上·北京怀柔·期中）设表示平面，表示直线，给出下列四个说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合线面平行、线面垂直的判定定理与性质定理逐一判断. 【详解】对于A：若，则与可能平行，也可能相交，也可能就在平面内，故A错误； 对于B：这是直线与平面垂直的性质定理：若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故B正确； 对于C：若，则可能在平面内，也可能与平行，故C错误； 对于D：若，则与可能平行，也可能垂直，也可能相交但不垂直，也可能就在平面内，故D错误. 故选：B. 3．（25-26高二上·北京·期中）如图，在四棱台中，底面是平行四边形，过点的平面与棱，，分别交于，，（三点均不在棱的端点处），则直线与平面的位置关系一定是（    ） A．与平面相交 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【分析】利用线面平行的性质定理并结合点、线、面基本性质即可判断. 【详解】因为四棱台侧棱交于一点，可设平面与平面交线为， 因为底面是平行四边形，所以，因为平面， 所以平面，又因为平面，平面平面，所以. 在梯形中，显然直线与直线既不垂直也不平行，因为平面，且， 则直线与既不平行也不垂直，则直线与有交点， 因为平面，则直线不垂直平面，故B错误； 因为直线与有交点，平面，所以直线与平面有公共点， 又因为点平面，所以与平面相交，故A正确； 则平面，不平行平面，故CD错误. 故选：A. 4．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知在正方体中，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以即为直线与所成的角， 设正方体的棱长为， 则，， 在中，， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 二、多选题 5．（25-26高二下·浙江·期中）正方体棱长为2，则（    ） A．与是异面直线 B．点到的距离为 C．与所成角为 D．与平面所成角为 【答案】ABD 【详解】因为平面，又平面且平面， 所以与是异面直线，故A正确； 设点到的距离为，由， 所以， 又， ， 所以，解得，故B正确； 因为，所以或其补角为异面直线与所成的角， 又因为是等边三角形，所以，故C错误； 因为是正方形，所以， 又因为平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 所以在平面内的射影为，为与的交点， 所以为直线与平面所成的角， 又，所以，故D正确. 6．（25-26高二上·湖南张家界·期末）如图，在矩形AEFC中，为EF的中点，分别沿AB、BC将翻折，使点E，F重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（   ）    A．三棱锥的体积为 B．PA与BC所成角的余弦值为 C．PA与平面PBC所成角的正弦值为 D．三棱锥的外接球半径为 【答案】ABD 【分析】证明平面，再根据即可判断A；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断C；利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D. 【详解】由题意可得，，又，平面PAC， 所以平面PAC， 在中，，AC边上的高为， 所以，故A正确； 对于B，在中，，， ， 所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，，设点A到平面PBC的距离为d， 由，得，解得， 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误；      由B选项知，，则， 所以的外接圆的半径， 设三棱锥外接球的半径为， 设外接球球心为，外接圆圆心为， 连接，可知平面， 又因为平面， 所以， 在直角三角形中， 可得：，所以， 即三棱锥外接球的半径为，故D正确. 故选：ABD． 7．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（    ） A．为正三角形 B． C．与底面所成角的正弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A：根据题意直接判断即可；对于B：设点A在底面的投影为，可知四边形是边长为1的正方形，进而可证平面，即可得结果；对于C：可知与底面所成角为，进而求解；对于D：转换顶点结合等体积法求点到面的距离即可. 【详解】对于选项A：因为侧面是正三角形，故A正确； 对于选项B：由题意可知：，， 则，可知. 设点A在底面的投影为，连接， 因为平面，平面，则， 且，，平面，则平面， 且平面，所以， 同理可得：， 可知四边形是边长为1的正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以，故B正确； 对于选项C：因为，， 可知与底面所成角为，其正弦值为，故C错误； 对于选项D：设点到平面的距离为， 因为，则，解得， 所以点到平面的距离为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 8．（25-26高三下·安徽·期中）在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 【答案】 【分析】过点B作于点P，连接，可证平面，即就是与截面所成的角，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点B作于点P，连接， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，即就是与截面所成的角， ，因为， ， 所以，整理得，得． 四、解答题 9．（2025高二下·湖南·学业考试）如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)点 为 的中点； (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解； （2）利用线面垂直的判定定理证得平面 ，可得，找到线面角为，从而求解. 【详解】（1）在正三棱柱中，取的中点为P,连接 , 因为 D 为 中点，所以 , 且， 所以四边形 为平行四边形，故 ， 又因为平面，平面， 所以平面，故P 为 中点. （2）设直线 与平面 所成的角为 ， 在正三角形 中， ，其中 为中点. 则，. 在正三棱柱中，平面 ，平面 ， 所以， 又因为，平面 ，平面 ， 所以平面 ，平面 ，所以. 所以为直线与平面所成的角； 则. 10．（24-25高二上·贵州遵义·期中）如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线性质可知，由线面平行的判定可证得结论； （2）根据线面垂直性质和正方形特征可证得，，根据线面垂直的判定与性质可证得结论. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 四边形是正方形，为中点， 又为中点，， 平面，平面，平面. （2）平面，平面，； 四边形为正方形，， ，平面，平面， 平面，. 11．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点， ， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 12．（25-26高二上·上海·期中）如图所示，在直三棱柱中，，若，    (1)设的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直； （2）由（1）易知即为求直线与平面所成的角，结合勾股定理及直角三角形性质可得解. 【详解】（1）取的中点，连接，，    由已知为直三棱柱，即平面， 且平面，则， 由，则且，，平面， 平面； （2）由（1）知平面，连结， 即为与平面所成的角， 在中， 由，得，， ， 所以，所以， 即与平面所成的角为. 13．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图所示的四棱锥中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面上． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）取中点，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用线面垂直的性质，结合勾股定理及球面的定义确定球心位置即可得证. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由为的中点， 得，由，得，则， 而，因此四边形为平行四边形，，又平面平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得，则， 由，得，而， 则，，，又，则， 而在同一个球面上，且，因此点为球心， 所以球心在平面上. 14．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得证； （2）取的中点，连接，即可得到平面，从而得到为直线与平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，， 则，所以， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，由（1）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，， 又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 15．（25-26高一下·浙江舟山·期中）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为底面圆上的点， ，，是母线的中点. (1)求证： (2)求证： 平面 (3)求四棱锥的体积及圆锥的表面积. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）应用平行四边形证明线线平行； （2）先应用平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可； （3）应用四棱锥体积公式计算，再应用圆锥侧面积公式加圆的面积计算求解. 【详解】（1）连接，因为 ，， 所以且，所以四边形 是平行四边形， 所以； （2）取中点，连接 ，因为 分别是中点，所以 ， 所以 ，所以四边形 是平行四边形， 所以 ，平面，平面， 所以平面； （3）圆锥的高 ，因为是母线的中点，所以四棱锥的高为 ， 取中点，连接，， 所以， 四棱锥的体积为 ， 圆锥的表面积为 . 16．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析. 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； （2）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （3）当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 1 学科网（北京）股份有限公司 $