江西省临川第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

临川一中2024-2025学年下学期第一次月考 高二年级数学试卷 一、单选题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的． 1. 若复数 满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 设 为等比数列 的前 项和，已知 ，则公比 （ ） A. 2 B. -2 C. D. 5. 已知，若表示向量的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为（ ） A. B. C. D. 6. 将编号为 的4个小球随机放入编号为 的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象如图所示，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的一个焦点，点为椭圆 内一点，若椭圆 上存在一点 ，使得，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共有3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. C. 已知一组数据：7、7、8、9、5、6、8、8，则这组数据的第30百分位数是8 D. 相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度越强 10. 已知数列的通项公式为，前 项和为，前 项积为．则下列结论中正确的是（ ） A. 既有最小值，又有最大值 B. 满足的 的值共有6个 C. 使取得最小值的 为7 D. 有最小值，无最大值 11. 已知抛物线的焦点为 ，准线为，过 的一条直线与交于 ， 两点，若点在上运动，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当 时，三点的纵坐标成等差数列 D. 当 时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列为递增数列，且，，则__________． 13. 小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为________． 14. 已知在棱长为4的正方体中，点是底面 内的动点，点 为棱 上的动点，且，则的最小值为________． 四、解答题：本大题共5小题，满分77分，解答时应写出必要的证明过程、文字说明或演算步骤． 15. 在三角形 中，角 所对的边分别为已知. （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若且，求的取值范围. 16. 为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查．数据显示200名消费者中，青年人共有125人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍：青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍． （1）完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 （2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数的分布列和期望． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图1，在直角梯形 中， 分别为 的中点，沿 将平面折起，使二面角 的大小为，如图2所示，设分别为 的中点， 为线段 上的动点（不包括端点）． （1）求证： ； （2）若直线与平面 所成角的正弦值是，求． 18. 已知数列是等差数列，，且，，成等比数列，，数列的前n项和为 （1）求数列的通项公式及数列的前n项和 （2）是否存在正整数m，n（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由. 19. 具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． （1）如图所示，已知“盾圆D”的方程为设“盾圆D”上的任意一点M到的距离为，M到直线的距离为，求证：为定值； （2）由抛物线弧，与椭圆弧所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点的直线与“盾圆E”交于A、B两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围． 临川一中2024-2025学年下学期第一次月考 高二年级数学试卷 一、单选题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本大题共有3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本大题共5小题，满分77分，解答时应写出必要的证明过程、文字说明或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ） 【16题答案】 【答案】（1）表格见解析；消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄有关； （2）分布列见解析；. 【17题答案】 【答案】（1）证明如下： 分别为 的中点， ． 平面 平面 ， 平面 ， ， 是二面角 的平面角， ． ， 为等边三角形， ． 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， . （2） 【18题答案】 【答案】（1） ， （2）存在，， 【19题答案】 【答案】 （1）证明：设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为，则． 当时，（），， 即； 当时，（），． 即；∴为定值． （2）或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $