2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务十六 ·同角三角函数基本关系与诱导公式 课件

这是一份高一数学期末复习课件，聚焦同角三角函数基本关系与诱导公式，包含主干知识梳理（平方关系、商数关系、诱导公式表格）、微思考、常用结论，基础检测与能力达标分层练习，以学习支架形式系统整合知识点。 资料特色突出核心素养，通过“奇变偶不变”微思考培养抽象能力，弦切互化（例1）、和积转换（例2）等题目训练运算推理，诱导公式表格与规律方法总结助力数学语言表达，帮助学生夯实基础提升解题能力，为教师教学提供清晰框架与实用素材。高一学生处于初高中数学思维过渡阶段，需强化公式应用与逻辑推理，该资料通过分层设计助力期末复习高效突破重点难点。

高一数学期末复习课程 任务十六·同角三角函数基本关系与诱导公式 一、主干知识梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=　　　;  同角即角相同,与角的表现形式无关 (2)商数关系:tan α=　　  (α≠+kπ,k∈Z). 1 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α 　 　  -sin α sin α 　 　  　 　  余弦 cos α -cos α 　 　  -cos α 　 　  　 　  口诀 奇变偶不变,符号看象限 正切 tan α 　 　  -tan α 　　   — — -sin α cos α cos α cos α sin α -sin α tan α -tan α 微思考　诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限.如何理解这里的“奇”与“偶”和“变”与“不变”以及“符号看象限”? 提示 ①“奇”“偶”指的是“k+α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数;“变”“不变”指的是函数名称的变化,如果k是奇数,函数名称就要变化,正弦变余弦、余弦变正弦;如果k是偶数,函数名称不变. ②“符号看象限”中的“象限”指的是将α看作锐角时,角k+α(k∈Z)的终边所在的象限. 二、基础检测 1.sin 1 665°的值为(　　) A.- B. C.- D. A 2.已知cos α=-,且α为第三象限角,则sin α=(　　) A. B.- C.- D. C 3.已知tan α=3,则=　　　　. 2 解析:∵tan α=3,=2. 4.已知sin α=,则=　 　. 解析:原式==sin α= 5.已知tan α=,α∈,则cos α的值是　　　　　. -　 解析:由tan α=,可得, 又sin2α+cos2α=1,可得cos2α+cos2α=1,解得cos2α=, 因为,所以cos α=- 6.已知sin,那么cos α=(　　) A.- B.- C. D. C 解析:sin=sin=sin=cos α=故选C. 7.已知cos,且|φ|<,则tan φ=(　　) A.- B. C.- D. C 解析:由已知可得,cos=-sin φ=,所以sin φ=- 因为|φ|<,所以cos φ>0,cos φ=所以tan φ==-故选C. 8.若tan θ=-2,则=　　　　　. 解析:因为tan θ=-2, 所以 三、能力达标 ①.同角三角函数基本关系及其应用 例1 (1)已知tan θ=,则=(　　) A.　　　　B.2　　　　 C.　　　　D.6 A “弦”“切”互化 解析:因为tan θ=, 所以 = 故选A. (2)已知sin α=-,则13cos α+12tan α=　　　　　. ±7 解析:因为sin α=-<0且sin α≠-1,所以α是第三或第四象限角. ①若α是第三象限角,则cos α=-=-=-, 所以tan α=,此时,13cos α+12tan α=13+12=-7. ②若α是第四象限角,则cos α=, 所以tan α==-,此时,13cos α+12tan α=13+12=7. 及时练1：(1)已知tan α=2,则sin2α+cos 2α=(　　) A.- B. C. D. D 解析 因为sin2α+cos 2α=故选D. (2)在平面直角坐标系xOy中,角θ的终边经过点(1,2),则cos2θ+sin 2θ=　　　. 1 解析 (方法一)由三角函数的定义可知sin θ=, cos θ=, 所以cos2θ+sin 2θ=cos2θ+2sin θcos θ=()2+2=1. (方法二)因为角θ的终边经过点(1,2),所以tan θ==2, 所以cos2θ+sin 2θ==1. (3)已知=5,则cos2α+sin 2α等于(　　) A.B.-C.-3 D.3 A 解析:由=5,得=5,可得tan α=2, 则cos2α+sin 2α=cos2α+sin αcos α= 例2 (1)已知sin α-cos α=,α∈,则=(　　) A.- B. C.- D. D “和”“积”转换 解析:由题意可得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,整理得sin αcos α=>0, 又因为,所以,即sin α>0,cos α>0, 所以sin α+cos α>0.因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=, 所以sin α+cos α=,所以故选D. (2)(多选题)设α∈(0,π),sin α+cos α=,则下列等式正确的是(　　) A.sin αcos α=- B.sin α-cos α= C.tan α= D.cos2α-sin2α=- BD 解析 因为sin α+cos α=,所以(sin α+cos α)2=sin2α+2sin αcos α+cos2α=, 即1+2sin αcos α=,所以sin αcos α=-,故A错误;又α∈(0,π),sin α>0,所以cos α<0,则α∈(,π),则tan α<0, 所以sin α-cos α=, 故B正确,C错误;cos2α-sin2α=(cos α+sin α)·(cos α-sin α)=(-)=-,故D正确.故选BD. 及时练2:(1)若α∈,cos 2α=,则sin α+cos α=(　　) A.1 B. C. D. C 解析:因为,所以2α∈(0,π),sin α>0,cos α>0, 又cos 2α=,所以sin 2α=,即2sin αcos α=, 所以sin α+cos α= =故选C. (2)(多选题)已知θ∈(0,),sin θ-cos θ=,则下列结论正确的是(　　) A.sin θ= B.sin θ+cos θ= C.tan θ= D.sin θcos θ= BD 解析 ∵θ∈(0,),sin θ>0,cos θ>0, (舍去), ∴sin θ+cos θ=,sin θcos θ=,tan θ=故选BD. ②.诱导公式及其应用 例3 (1)的值为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 B 解析:原式===-=-1.故选B. (2)已知sin=-,则sin+cos=　　　　　. - 解析:sin(-α)=sin[π-(+α)]=sin(α+)=-, cos(α-)=sin=sin(α+)=-,所以原式=- (3)化简:=　　　　　. cos α 解析 ==cos α. (4)已知cos(75°+α)=,α是第三象限角,则sin(195°-α)+cos(α-15°)的值 为　　　　. -　 解析 因为cos(75°+α)=>0,α是第三象限角, 所以75°+α是第四象限角,sin(75°+α)=-=- 所以sin(195°-α)+cos(α-15°)=sin[180°+(15°-α)]+cos(15°-α) =-sin(15°-α)+cos(15°-α)=-sin[90°-(75°+α)]+cos[90°-(75°+α)] =-cos(75°+α)+sin(75°+α)=-=- 1.诱导公式用法的一般思路 (1)化负为正,化大为小,化到锐角求值. (2)角中含有加减的整数倍时,用诱导公式去掉的整数倍. 2.常见的互余和互补的角 (1)常见的互余的角:-α与+α;+α与-α;+α与-α等. (2)常见的互补的角:+θ与-θ;+θ与-θ等. 3.求解与三角形内角有关的三角函数问题,要充分利用三角形内角和为π的性质进行转化. 及时练3： (1)已知tan(π-α)=-,且α∈,则的值为(　　) A.- B.- C. D. A 解析:tan(π-α)=-tan α= =- (2)(多选题)下列化简正确的是(　　) A.sin(2 023π-α)=sin α B.tan(α-2 023π)=-tan α C.sin(+α)=-cos α D.cos(-α)=sin α AC 解析 sin(2 023π-α)=sin(2 022π+π-α)=sin(π-α)=sin α,故A正确; tan(α-2 023π)=tan α,故B错误; sin(+α)=sin(6π-+α)=sin(-+α)=-sin(-α)=-cos α,故C正确; cos(-α)=cos(-α)=-sin α,故D错误.故选AC. ③.诱导公式与同角三角函数基本关系的综合应用 例4 (1)已知f(α)=,α≠,k∈Z. (1)化简f(α); (2)若β为第三象限角,且cos,求f(β)的值. 解:(1)f(α)= =cos α, ∴f(α)=cos α,,k∈Z. (2)∵cos=-sin β, ∴sin β=-,∵β为第三象限角, ∴cos β=-=-,∴f(β)的值为- (2)知角α为锐角,且2tan(π-α)-3cos(+β)+5=0, tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0, 则sin α=(　　) A. B. C. D. C 解析 由已知得消去sin β,得tan α=3, 所以sin α=3cos α,代入sin2α+cos2α=1,化简得sin2α=, 因为α为锐角,所以sin α= 及时练4 (1)若tan(π-x)=,则cos=(　　) A.±　 　　　B.±　 　　　C.-　 　　　D. A 解析:因为tan(π-x)=,所以tan x=-, 即cos x=-2sin x. 又sin2x+cos2x=1,解得sin2x=,所以cos=-sin x=± (2)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0, 则sin α的值是(　　) A. B. C. D. C 解析:由已知得 消去sin β,得tan α=3,∴sin α=3cos α. 又sin2α+cos2α=1,∴sin2α= ∵α为锐角,∴sin α=故选C. 任 务 完 成 $