2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务十九 ·三角函数的图象与性质 课件

这是一份高一数学期末复习课件，共49页，围绕三角函数的图象与性质展开，包含主干知识梳理（五点法作图、性质表格）、易错警示、常用结论、基础检测及能力达标（定义域、值域、周期性等题型）。 资料以核心素养为导向，通过表格对比三角函数性质培养数学思维，易错警示和规律方法帮助学生构建知识体系，例题与及时练结合提升应用能力。能助力学生巩固基础，教师可直接用于复习教学，提高效率。 高一学生处于初高中衔接阶段，需巩固三角函数基础，培养逻辑推理和数学表达能力，为后续学习奠定基础。

高一数学期末复习课程 任务十九·三角函数的图象与性质 一、主干知识梳理 1.五点法作正弦函数、余弦函数的图象 五个关键点的横坐标是相应函数的零点和极值点(最值点) (1)正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点: (0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0). (2)余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点: (0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1). 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 值域 　　 　  　　 　  R 周期性 2π 　　   　 　  奇偶性 　　　 　　  　　　 　　  奇函数 单调递 增区间 [2kπ-,2kπ+](k∈Z) 　　　 　 　  (kπ-,kπ+)(k∈Z) 单调递 减区间 [2kπ+,2kπ+](k∈Z) 　　　　 　  — 对称中心 (kπ,0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) 对称轴 方程 x=kπ+(k∈Z) x=kπ(k∈Z) — [-1,1] [-1,1] 2π π 奇函数 偶函数 [2kπ-π,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z) 易错警示： 1.判断三角函数的奇偶性,应首先判断函数定义域是否关于原点对称. 2.求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意ω的符号,只有当ω>0时,才能把ωx+φ看作一个整体,代入y=sin t的相应单调区间求解,否则将出现错误. 3.写单调区间时,不要忘记k∈Z. 1.函数y=1+cos x(x∈[0,2π])的简图是(　　) D 二、基础检测 2.函数y=tan 2x的定义域是(　　) A. B. C. D. D 3.下列关系式中正确的是(　　) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.cos 10°<sin 168°<sin 11° C 解析:sin 168°=sin(180°-168°)=sin 12°, cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°, ∴sin 11°<sin 12°<sin 80°, 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 4.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则ω=　　　　　. 2 5.函数y=cos,x∈的值域是　　　　. [-] 解析:由x∈[0,]得x+[),所以y=cos(x+)∈[-]. 6.函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为(　　) A. B. C.π D.2π B 解析:由题意可知,T=,所以函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为 7.函数f(x)=sin(x+)的图象的一条对称轴是(　　) A.x= B.x= C.x=π D.x= A 解析:令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ+,显然当k=0时x=,所以A正确; 其余选项均不存在整数k满足条件.故选A. 8.函数f(x)=sin x+cos x在区间上的最小值为　　　　　. 1 解析:f(x)=sin x+cos x=2sin(x+), ∵0≤x,x+,sin(x+)≤1, ∴1≤f(x)≤2,∴f(x)的最小值为1. 9.若函数y=cos(其中ω>0)的最小正周期是,则ω=　　 　　　. 10 解析:∵y=cos的最小正周期为,∴函数的周期T=,解得ω=10. 10.函数y=tan 3x的对称中心坐标是　 　　　　. (k∈Z) 解析:由3x=,k∈Z,得x=,k∈Z,即对称中心为 (k∈Z). 11.设函数f(x)=满足f(-x) =f(x),则f(φ)=　　　　. 0 解析:由函数f(x)=sin(2x+φ+)满足f(-x)=f(x)可知函数f(x)是偶函数, 所以φ+=kπ+,k∈Z,则φ=kπ+,k∈Z. 又|φ|<,所以φ=,故f(x)=sincos 2x.因此f(φ)=cos=0. 三、能力达标 ①.三角函数的定义域 例1 (1)函数y=的定义域为　　　 　　. {x|x+kπ,且x+kπ,k∈Z} 解析:要使函数有意义, 则即 故函数的定义域为{x|x+kπ,且x+kπ,k∈Z}. (2)函数y=lg(sin 2x)+的定义域为　 . [-3,-)∪(0,) 解析:由y=lg(sin 2x)+解得k∈Z, ∴-3≤x<-或0<x<,∴函数y=lg(sin 2x)+的定义域为[-3,-)∪(0,). 及时练1：(1)函数y=lg sin 2x+的定义域为　　　　　　　　. [-3,-)∪(0,) 解析 由 所以-3≤x<-或0<x< 所以函数y=lg sin 2x+的定义域为[-3,-)∪(0,). (2)函数f(x)=的定义域为(　　) A.[+2kπ,+2kπ](k∈Z) B.[+2kπ,+2kπ](k∈Z) C.[-+2kπ,+2kπ](k∈Z) D.[-+2kπ,+2kπ](k∈Z) C 解析 由题意,函数f(x)=有意义, 则满足2cos x-1≥0,即cos x 解得-+2kπ≤x+2kπ,k∈Z, 所以函数f(x)的定义域为x∈[-+2kπ,+2kπ](k∈Z). 故选C. ②.三角函数的值域(最值) 例2 (1)函数f(x)=sin x+cos x在区间[0,]上的最小值为(　　) A. B. C.1 D.2 C 解析:f(x)=sin x+cos x=2(sin x+cos x)=2sin(x+), 因为x∈[0,],所以x+[],则2sin(x+)∈[1,2], 所以f(x)在[0,]上的最小值为1.故选C. (2)函数f(x)=sin(2x+)-3cos x的最小值为　　　　　. -4 解析:f(x)=sin(2x+)-3cos x=-cos 2x-3cos x =-2cos2x-3cos x+1=-2(cos2x+cos x)+1=-2(cos x+)2+, 因为-1≤cos x≤1,所以当cos x=1时,函数f(x)取得最小值-4. 及时练2：(1) 已知函数f(x)=sin x+cos x+2sin xcos x+2,则(　　) A.f(x)的最大值为3,最小值为1 B.f(x)的最大值为3,最小值为-1 C.f(x)的最大值为3+,最小值为 D.f(x)的最大值为3+,最小值为3- C 解析:因为函数f(x)=sin x+cos x+2sin xcos x+2, 设sin x+cos x=sin(x+)=t,t∈[-], 则2sin xcos x=t2-1,所以y=t2+t+1=(t+)2+,t∈[-], 当t=-时,f(t)min=;当t=时,f(t)max=3+ (2)函数f(x)=sin2x+cos x-(x∈[0,])的最大值是　　　　. 1 解析 依题意,f(x)=sin2x+cos x-=-cos2x+cos x+=-(cos x-)2+1, 因为x∈[0,],所以cos x∈[0,1],因此当cos x=时,f(x)取最大值1. ③.三角函数性质有关的问题 例3 (1)(多选)下列函数中,最小正周期为π的是(　 　) A.y=cos|2x| B.y=|cos x| C.y=cos D.y=tan ABC 三角函数的周期性 解析:对于A,y=cos|2x|=cos 2x,所以它的最小正周期为=π,满足题意; 对于B,y=|cos x|的最小正周期为=π,满足题意; 对于C,y=cos的最小正周期为=π,满足题意; 对于D,y=tan的最小正周期为,不满足题意.故选ABC. (2)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T,若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　 　. 3 解析:因为f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),所以最小正周期T=, 因为f(T)=cos=cos(2π+φ)=cos φ=,0<φ<π, 所以φ=,即f(x)=cos, 又x=为f(x)的零点,所以++kπ,k∈Z,解得ω=3+9k,k∈Z, 因为ω>0,所以ωmin=3. (3)函数y=|sin 2x+|的最小正周期为(　　) A.π B.2π C. D.不能确定 A 解析 作出函数y=|sin 2x+|的图象如图所示,得到函数的最小正周期为π. 证明:y=f(x)=|sin 2x+|,所以f(x+π)=|sin 2(x+π)+|=|sin 2x+|=f(x), 所以函数的最小正周期为π. 及时练3: (1)函数f(x)=cos(x+)的最小正周期是(　　) A. B. C.π D.2π D 解析 依题意,f(x)的最小正周期T==2π.故选D. (2)函数f(x)=的最小正周期是(　　) A. B. C.π D.2π B 解析 因为f(x)==tan 2x,所以最小正周期T= (3)函数f(x)=|sin x|+|cos x|的最小正周期和最小值分别为(　　) A.,1 B. C.,1 D.π,1 C 解析 由题设,f(x)= k∈Z,所以f(x)的部分图象如下. 所以函数f(x)的最小正周期和最小值分别为,1.故选C. 例4 (1)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T,若<T<π, 且y=f(x)的图象关于点中心对称,则f=(　　) A.1 B. C. D.3 A 三角函数奇偶性与对称性 解析:因为<T<π,即<π,所以2<ω<3. 因为y=f(x)的图象关于点中心对称,所以b=2,且=kπ,k∈Z,解得ω=,k∈Z, 又2<ω<3,所以k=4,ω=,所以f(x)=sin+2, 所以f=sin+2=1. (2)函数f(x)=3sin+1,φ∈(0,π),且f(x)为偶函数,则φ=　　　,f(x)图 象的对称中心为　　 　. ,k∈Z 解析:若f(x)=3sin+1为偶函数, 则-+φ=kπ+,k∈Z,则φ=+kπ,k∈Z, 又∵φ∈(0,π),∴φ=f(x)=3sin+1=3cos 2x+1, 由2x=+kπ,k∈Z得x=,k∈Z, ∴f(x)图象的对称中心为,k∈Z. (3)已知函数f(x)=2sin(x+θ+),θ∈[-]是偶函数,则θ的值为(　　) A. B. C. D. C 解析 因为f(x)=2sin(x+θ+)是偶函数, 所以θ++kπ,k∈Z,即θ=+kπ,k∈Z, 又θ∈[-],所以k=0,θ=故选C. (4)函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心, 则ω的取值范围为(　　) A.(] B.(] C.(] D.(] C 解析 由x∈(0,1),得<ωx+<ω+,由f(x)的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心,得<ω+,所以<故选C. 及时练4：(1) (多选)设f(x)=2cos 2x,则(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期是 C.f(x)的图象关于直线x=对称 D.f(x)的图象关于点对称 AD 解析:∵f(x)=2cos 2x,∴f(x)为偶函数,最小正周期T==π,A正确,B错误; ∵f=2cos±2,∴f(x)的图象不关于直线x=对称,C错误; ∵f=2cos=0,∴f(x)的图象关于点对称,D正确. (2)若函数f(x)满足对于x∈R,f(+x)=f(-x),f(2+x)=-f(x), 则f(x)的解析式可能为(　　) A.sin(x+) B.cos(x+) C.4sin(πx+) D.2cos(x+) D 解析 因为f(+x)=f(-x),所以f(x)图象关于直线x=对称, 又f(2+x)=-f(x),则f(4+x)=-f(2+x)=-[-f(x)]=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数. 若f(x)=sin(x+),则最小正周期T==4,又f()=sin()=sin, 所以f(x)的图象不关于直线x=对称,故A错误; 若f(x)=cos(x+),则最小正周期T==4,又f()=cos()=cos, 所以f(x)的图象不关于直线x=对称,故B错误; 例5 (1)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则(　　) A.f(x)在上单调递减 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)在上单调递增 C 三角函数的单调性 解析:f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x, 令2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,得kπ≤x≤kπ+,k∈Z, ∴函数f(x)的单调递减区间为[kπ,kπ+](k∈Z). 同理,f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ](k∈Z).结合选项可知,C选项正确. (2)函数f(x)=sin的单调递减区间为　 　　　　. [kπ-,kπ+],k∈Z 解析:f(x)=sin(-2x)的单调递减区间是f(x)=sin(2x-)的单调递增区间. 由2kπ-2x-2kπ+,k∈Z,得kπ-x≤kπ+,k∈Z. 故所给函数的单调递减区间为[kπ-,kπ+],k∈Z. 三角函数单调性问题常见类型及求解策略 题型 解法 (1)已知三角函数式求单调区间 化简函数解析式为y=Asin(ωx+φ)(ω>0)或y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的形式,视“ωx+φ”为一个整体,根据y=sin x或y=cos x的单调区间列不等式求解 题型 解法 (2)已知函数解析式,讨论在给定区间上的单调性 方法一:先求出函数全部的单调区间,再给k取特定的整数值,得到在给定区间上的单调性; 方法二:从给定区间出发,得出ωx+φ的范围,对照y=sin x或y=cos x的单调区间,得到在给定区间上的单调性 (3)已知函数的单调区间求参数范围 方法一:求出函数的相应单调区间,令已知区间是所得单调区间的子集,列不等式(组)求解; 方法二:从给定区间出发,得出ωx+φ的范围,令该范围是函数y=sin x或y=cos x相应单调区间的子集,列不等式(组)求解 及时练6：(1)已知函数f(x)=2cos(x+),设a=f(),b=f(),c=f(), 则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c A 解析 由2kπ≤x+2kπ+π,k∈Z,得2kπ-x≤2kπ+,k∈Z, 所以f(x)的单调递减区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z), 所以f(x)在[-]上单调递减. 因为-,所以f()>f()>f(),即a>b>c. (2)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)在区间[- ]上单调递增, 且在区间[0,π]上只取得一次最大值,则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. B 解析:依题意,函数f(x)=2sin(ωx-),ω>0, 由x,得ωx-, 因为f(x)在区间上单调递增,所以----, 解得且,即0< 当x∈[0,π]时,ωx-[-,ωπ-], 因为f(x)在区间[0,π]上只取得一次最大值, 所以-,解得<,所以ω的取值范围是故选B. 任 务 完 成 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 正切函数的图象是由直线x=kπ+(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的 定义域 R R {x|x∈R,且 x≠kπ+,k∈Z} $