精品解析：福建厦门市三校2025-2026学年高三上学期期中联考数学试卷

厦门市三校2025-2026学年高三上学期期中联考 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“存在”的否定是 A. 不存在 B. 存在 C. 对任意的 D. 对任意的 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若a>b，c>d，则ac>bd B. 若ac>bc，则a<b C. 若a>b，c>d，则a﹣c>b﹣d D. 若，则a<b 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 数列的前项和为，则（ ） A. 存在最大值，且最大值 B. 存在最大值，且最大值为30 C. 存在最小值，且最小值 D. 存在最小值，且最小值为30 8. 已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且满足:，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角的余弦值为 B. 在方向上的投影向量为 C. 与垂直的单位向量的坐标为 D. 若向量与向量共线，则 10. 已知关于一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为或 D. 关于不等式恒成立，则的最小值为 11. ，下列说法正确的有（ ） A. 的减区间为 B. 的值域为 C. 若有3个零点，则 D. 若有5个零点，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数列的前n项和为，且满足，，则______. 13. 定义运算：，将函数的图象向左平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为 14. 设函数，若，则的取值范围是____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且. （1）求外接圆的半径； （2）若，求的面积. 16. 数列是公差为的等差数列，为其前项和，成等比数列． （1）证明：成等比数列； （2）设，求的值． 17. 设函数． (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值； (Ⅱ)若当时，恒有，试确定的取值范围； (Ⅲ)当时，关于x方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围． 18. 如图：在三棱锥中，是直角三角形，，点分别为的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 19. .已知双曲线的虚轴长为，右焦点为，点、分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线交双曲线的右支于、两点，设直线、的斜率分别为、，且． （1）求双曲线的方程： （2）当点在第一象限时，且时，求直线方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市三校2025-2026学年高三上学期期中联考 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定，再根据集合交集的定义求解. 【详解】由，解得，所以； 又由，解得，所以. 所以. 故选：B. 2. 命题“存在”的否定是 A. 不存在 B. 存在 C. 对任意的 D. 对任意的 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，可以直接写出答案来． 【详解】根据特称命题的否定是全称命题，得结论； 命题“存在x0∈R，使2x0≤0”的否定是 “对任意的x∈R，使2x＞0”． 故选D． 【点睛】本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，应记住“特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题”． 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若a>b，c>d，则ac>bd B. 若ac>bc，则a<b C. 若a>b，c>d，则a﹣c>b﹣d D. 若，则a<b 【答案】D 【解析】 【分析】运用不等式的性质，结合特殊值法，对选项注逐一判断正误即可. 【详解】选项A中，若，时，则成立，否则，若，则，显然错误，故选项A错误； 选项B中，若，，则能推出，否则，若，则，显然错误，故选项B错误； 选项C中，若，则，显然错误，故选项C错误； 选项D中，若，显然，由不等式性质知不等式两边同乘以一个正数，不等式不变号，即. 故选：D 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的两角和差公式，对已知条件进行平方处理，然后通过变形得到的值． 【详解】解：对两边平方，， 即①， 对两边平方，， 即②， ① +②得，， 即， 即， 则，解得 故选：C 5. 已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个向量共线的性质列方程可求得实数的值． 【详解】向量，不共线，且，，与共线， 所以存在实数，使得， 所以， 求得实数或． 故选：C． 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的性质逐个排除即可求解. 【详解】函数的定义域为，故排除A、B. 令 又，即函数为奇函数， 所以函数的图像关于原点对称，排除D 故选：C 【点睛】本题考查了函数图像的识别，同时考查了函数的性质，属于基础题. 7. 数列的前项和为，则（ ） A. 存在最大值，且最大值为 B. 存在最大值，且最大值为30 C. 存在最小值，且最小值为 D. 存在最小值，且最小值为30 【答案】B 【解析】 【分析】根据与的关系，可得，可知为等差数列，根据其单调性可解. 【详解】根据题意，， 当时，， 两式相减得：， 即，所以数列为以首项，为公差的单调递减等差数列， 则，所以， 可知存在最大值，为. 故选：B 8. 已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且满足:，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，可得出当直线与函数的图象有四个交点时的取值范围，根据图象得出，，并求出实数的取值范围，将代数式转化为关于的函数，利用双勾函数的基本性质求出的取值范围. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 由图象可知，当时，直线与函数的图象有四个交点， 由于二次函数的图象关于直线对称，则， 又，由题意可知，，，，可得， ，由，即，解得. ，令，则， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 当时，，当时，，所以，， 因此，的取值范围是，故选D. 【点睛】本题考查函数零点的取值范围，解题时要充分利用图象的对称性以及对数的运算性质得出一些定值条件，并将所求代数式转化为以某个变量为自变量的函数，转化为函数值域求解，考查化归与转化思想、函数方程思想的应用，属于中等题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角的余弦值为 B. 在方向上的投影向量为 C. 与垂直的单位向量的坐标为 D. 若向量与向量共线，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据夹角公式的坐标运算判断A；根据投影向量的计算公式判断B；设与垂直的单位向量的坐标为,根据平面向量的模及垂直向量的坐标运算判断C；根据共线定理判断D. 【详解】设与的夹角为，则，故A正确； 在方向上的投影向量为，故B错误； 设与垂直的单位向量的坐标为,则，解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误； 若向量与向量共线，设, 因为不共线，所以，解得，故D正确. 故选：AD. 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为或 D. 关于不等式恒成立，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次不等式的解法逐一判断即可. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以有，因此选项A正确， 因为，所以选项B正确； 由 或，因此选项C正确； 由， 可知代数式的正负性相同， 因此不等式的解集也是或， 于是有， 于是有， 因为，所以二次函数，随的增大而增大， 因此二次函数在时，没有最小值，因此选项D不正确， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据不等式恒成立，得到与的解集相同. 11. ，下列说法正确的有（ ） A. 的减区间为 B. 的值域为 C. 若有3个零点，则 D. 若有5个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的解析式，可画出函数草图，利用函数草图，可轻松判断ABC的真假；再结合分类讨论思想的应用，判断D的真假. 【详解】函数的草图如下： 由图象可知： 函数的减区间为和两个，不能用“并集”符号连接，故A错误； 函数值域为，故B正确； 若有3个零点，则，故C正确； 对D：结合函数草图：由或； 由或，解得：或或. 设，由题意方程有5个不同的根. 由， 若，则只有1解，且，此时方程有3个解； 若，则有2解，且或， 此时方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有6个解； 若，则有3解，且，，， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有7个解； 若，则有3解，且或或， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程有和两个解，所以方程有6个解； 若，则有3解，且，，， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程有1个解，所以方程有5个解； 若，则有2解，且或， 此时方程有，共2个解，方程有1个解，所以方程有3个解； 若，则有1解，且，此时方程至多有1个解. 综上：若有5个零点，则.故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数列的前n项和为，且满足，，则______. 【答案】1013 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，探讨数列的周期，再借助周期性求和. 【详解】因为，，所以 所以数列是以3为周期的周期数列，且， 所以. 故答案为：1013 13. 定义运算：，将函数的图象向左平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式求得f（x）＝2sin（x），平移后其对称轴为xm＝kπ，k∈Z．若为偶函数，m＝kπ（k∈Z），由此求得m的最小值． 【详解】由题意，知f（x）sinx﹣cosx＝2（sinxcosx）＝2sin（x）， 其图象向左平移m个单位后变为y＝2sin（xm），平移后其对称轴为xm＝kπ，k∈Z．若函数是偶函数， 则对称轴为x＝0，所以m＝kπ（k∈Z），故m的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，y＝Asin（ωx+∅）的图象变换规律，复合三角函数的对称性，属于中档题． 14. 设函数，若，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由得到恒成立，可得恒成立，分别令，，通过求导确定单调性，得出最值即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 要使得恒成立，即恒成立， 只需恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，且， 当时，，，函数单调递减， 当时，，，函数单调递增， 所以，从而， 则，又，得， 所以由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为，即， 设，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为1，即， 所以只需，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且. （1）求外接圆的半径； （2）若，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 分析】 （1）根据正余弦定理进行边角互化即可求解； （2）利用余弦定理建立等式，求解边长即可得出面积. 【详解】解：（1）依题意，， 由正弦定理得， 整理得， 所以， 因为，所以， 故所求外接圆半径； （2）因为， 所以由余弦定理， 得， 即， 解得或（舍去）， 所以. 【点睛】此题考查正余弦定理和面积关系的综合应用，关键在于熟记公式，准确计算. 16. 数列是公差为的等差数列，为其前项和，成等比数列． （1）证明：成等比数列； （2）设，求的值． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）要证明成等比数列，只需证明成立，根据等差数列满足成等比数列，得出，代入和中，计算后二者相等； （2）由（1）得，写出等差数列通项公式，写出，再用分组求和法求出数列的前项的和. 【小问1详解】 证明：因为数列是公差为的等差数列，成等比数列， 所以，， 所以，解得，或（舍去）， 又， 所以， 因为，， 所以均不为零， 所以成等比数列. 【小问2详解】 ,由（1）可知，所以， 所以， 所以 17 设函数． (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值； (Ⅱ)若当时，恒有，试确定的取值范围； (Ⅲ)当时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围． 【答案】（Ⅰ）在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数．，（Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导，并求出函数的极值点，列表分析函数的单调性与极值，从而可得出函数的单调区间与极小值和极大值； （Ⅱ）由条件得知，考查函数的单调性知，得知函数在区间上单调递减，于是得出，解该不等式组即可； （Ⅲ）将代入函数的解析式，利用导数研究该函数在区间上的单调性，将问题转化为解出不等式即可得出实数的取值范围． 【详解】（Ⅰ）． 令，得x＝a或x＝3a. 当x变化时，的变化情况如下表： x (－∞，a) a (a,3a) 3a (3a，＋∞) － 0 ＋ 0 － ↘ 极小 ↗ 极大 ↘ ∴在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数． 当时，取得极小值，； 当时，取得极大值，； （Ⅱ），其对称轴为. 因为，所以. 所以在区间上是减函数． 当时，取得最大值，； 当时，取得最小值， 于是有即.又因为，所以. （Ⅲ）当时，. ，由，即， 解得，即在上是减函数， 在上是增函数，在上是减函数． 要使在[1,3]上恒有两个相异实根，即在(1,2)，(2,3)上各有一个实根， 于是有即解得. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间、利用导数求解函数不等式恒成立以及利用导数研究函数的零点，解题时注意这些问题的等价转化，在处理零点问题时，可充分利用图象来理解，考查化归与转化、数形结合的数学思想，属于中等题． 18. 如图：在三棱锥中，是直角三角形，，点分别为的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）连结BD，根据题意可知BD⊥AC，EF∥AC，从而得到，又因为PB⊥面ABC，得到PB，利用线面垂直的判定定理，证得平面PBD； （Ⅱ）根据题意，建立适当的坐标系，根据题中所给的边长，确定对应点的坐标，分别求出两个平面的法向量，再由夹角公式求二面角的余弦值，从而求得结果. 【详解】（Ⅰ）证明：连接BD、在△ABC中，∠B=90°． ∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC． ∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC， ,又∵PB⊥面ABC，EF平面ABC,∴PB, 平面PBD； （Ⅱ）∵∴PB=BC=2 如图建立空间直角坐标系， 则E(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则 =(-1,2,0), =(-1,0,2) 设平面PEC的一个法向量为=（x，y，z）， 则 =0， =0 即 令x=2,得y=1,z=1 ∴=(2,1,1),由已知可得，向量=(2,0,0)为平面PBC 的法向量 ∴cos<,>== ， ∴二面角E-PC-B的余弦值为 ．. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值的问题，属于简单题目. 19. .已知双曲线的虚轴长为，右焦点为，点、分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线交双曲线的右支于、两点，设直线、的斜率分别为、，且． （1）求双曲线的方程： （2）当点在第一象限时，且时，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点，其中，利用点差法可得出，由已知条件可得出、的值，即可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，由两角差的正切公式以及已知条件分析得出，将此关系式代入韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程. 小问1详解】 解：设点，其中，则，可得， 易知、，则， 由已知，可得，，因此，双曲线的方程为. 【小问2详解】 解：由（1）可知，则点，易知、， 若直线与轴重合，此时直线交双曲线于、两点，不合乎题意， 设点、，设直线的方程为， 联立可得， 由题意可得，可得， 由韦达定理可得，， 因为过点的直线交双曲线的右支于、两点， 则，可得， ，可得， 因为点在第一象限，则 ， 同理可得 ， 因为，可得，因为，则， 所以，，可得，可得， ，解得， 所以，直线的方程为，即. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $