广东佛山市2025-2026学年高二下学期数学期末临考模拟卷

**基本信息** 以咖啡优惠决策、卡特兰数列文化传承等现实与历史情境为载体，通过集合复数基础、数列导数能力、粒子运动创新的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、复数、向量、统计、导数|第8题咖啡优惠考查优化决策，体现应用意识| |填空题|3/15|二项式定理、切线方程、差扩充新定义|第14题差扩充结合数列项数与和，培养创新意识| |解答题|5/77|概率分布、立体几何、数列证明、卡特兰数列|第19题卡特兰数列关联文化传承，第18题导数证明考查逻辑推理|

广东省佛山市2025-2026学年下学期高二数学期末临考模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由或，， 所以. 2．已知复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，∴， 即， ∴，即的虚部是. 3．在中，点满足，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】如图，    . 4．在等差数列中， ， ，则公差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在等差数列中，由 ， ， 可得，，即，， 所以该数列的公差为. 5．将标有1，2，3，4的4个不同的西瓜分给甲、乙、丙3位同学，每位同学至少分到1个西瓜，则1号西瓜分给甲的不同分配方式共有（     ）种． A．36 B．24 C．12 D．10 【答案】C 【分析】需分成两种情况，情况一：甲仅得1号西瓜，剩余3个西瓜分给乙和丙；情况二：甲得1号西瓜和另一个，乙和丙各得1个西瓜. 【详解】情况一：甲仅得1号西瓜，剩余3个西瓜分给乙和丙：个； 情况二：从剩余3个西瓜选1个给甲，剩余2个西瓜分给乙和丙各1个：个. 两种情况相加，总共有12种分配方式. 6．已知变量 和 有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为 ，则（    ） 2 3 5 6 5 7 9 15 A．经验回归直线必过点 B． C．对应的样本点的残差为 D．当时，预测值 【答案】D 【分析】先求即可判断A，由即可判断B，求出的残差即可判断C，由回归方程求出即可判断D. 【详解】由题意得：， 所以经验回归直线必过点，故A错误； 由，故B错误； 所以，当时，， 所以对应的样本点的残差为，故C错误； 当时，，故D正确. 7．某海湾一固定点处大海水深d与时间t之间的关系为，则该处水位变化速度的最大值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用导数求瞬时速度，对求导即可得到最大值. 【详解】由，得， 则该处水位变化速度的最大值是. 故选：C. 8．咖啡产品的经营和销售如何在中国开拓市场是星巴克、漫咖啡等欧美品牌一直在探索的内容，而2018年至今中国咖啡行业的发展实践证明了以优质的原材料供应以及大量优惠券、买赠活动吸引消费者无疑是开拓中国咖啡市场最有效的方式之一.若某品牌的某种在售咖啡产品价格为30元/杯，其原材料成本为7元/杯，营销成本为5元/杯，且该品牌门店提供如下4种优惠方式：（1）首杯免单，每人限用一次；（2）3.8折优惠券，每人限用一次；（3）买2杯送2杯，每人限用两次；（4）买5杯送5杯，不限使用人数和使用次数.每位消费者都可以在以上4种优惠方式中选择不多于2种使用.现在某个公司有5位后勤工作人员去该品牌门店帮每位技术人员购买1杯咖啡，购买杯数与技术人员人数须保持一致；请问，这个公司的技术人员不少于（    ）人时，无论5位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利. A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】C 【分析】首先因为无论5位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利，转化为当最优的购买方式购买时门店照样盈利，先分析用哪种优惠方式是最优购买，因为，所以最优的购买方式是不包含原价购买任何一杯咖啡，故要想盈利必须按照优惠方式（3）和（4）售出20杯以上的咖啡才能盈利，后面再依次分析人数越多时何时品牌门店都能盈利即可得到答案． 【详解】解：由题意知，咖啡产品原价为 30 元杯，成本为 12 元杯， 优惠方式（1）免单购买，每购买1杯该品牌门店亏损12元； 优惠方式（2）每杯售价11.4元，每购买1杯该品牌店亏损0.6元； 优惠方式（3）和（4）相当于5折购买，每购买1杯该品牌门店盈利3元； 我们只需要考虑最优的购买方式，每位后勤工作人员能选择2种优惠方式， 必然包含优惠方式（1），可以免单购买5杯咖啡，该品牌门店因此亏损60元， 最优的购买方式是不包含原价购买任何一杯咖啡 ，说明只要用原价购买1杯咖啡，哪怕最大程度利用3.8折优惠，花费也一定会超过搭配使用（2）（4）优惠购买咖啡）， 故显然该品牌门店必须按照优惠方式（3）和（4）售出20杯以上的咖啡才能盈利， 故技术人员人数一定多于人； 技术人员在人时，免单购买5杯咖啡买5送5购买20杯咖啡折购买14杯咖啡，该品牌门店依旧亏损； 技术人员为30人时，最优购买方式为免单购买5杯咖啡十买5送5购买20杯咖啡十买2送2购买4杯咖啡折购买1杯咖啡， 该品牌门店盈利元； 由于 4， 故技术人员超过30人时，该品牌门店能保证持续盈利． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，，则下列选项正确的是（     ） A． B．的分布比的分布更集中 C． D． 【答案】AD 【分析】根据正态曲线的特点判断AB，根据正态曲线的对称性判断CD. 【详解】对于A，由可知，故A正确； 对于B，因为，所以的分布比的分布更分散，故B不正确； 对于C，因，则， 而,故C不正确， 对于D，由可知， 所以，故D正确． 10．已知数列的通项公式为，前项和为，前项积为.则下列结论中正确的是（    ） A．使的项有2项 B．满足的的值共有6个 C．既有最小值，又有最大值 D．有最小值，无最大值 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，因为为奇数， 所以只有当时，即或时，，故A正确； 对于B中，当时，满足； 当时，满足；当时，， 所以，满足时，，共有4个值，所以B不正确； 对于C中，由数列的通项公式为， 可得，当时，数列的各项小于1，且是单调递减数列； 当时，数列的各项大于1，且是单调递减数列， 所以，数列的最小项为，最大项为，所以C正确； 对于D中，由上述中的讨论，可得在中，只有和为负数，且， 所以存在最小值或，从第8项开始，为正数，结合， 可知随着的增大而增大，所以无最大值，所以D正确. 11．设函数，则（   ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】CD 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的极小值点，A错误； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，B错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，C正确； 对D，当时， ， 所以，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为_________（用数字作答）． 【答案】 【详解】 对于的展开式通项为，其中，，，，， 因此，， 所以，故展开式中的系数为. 13．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 【答案】 【分析】求出切线方程，设切线与曲线切于点，利用导数的几何意义以及点在切线上可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】对函数求导得，故曲线在处的切线斜率为， 所求切线方程为，即， 设直线与曲线切于点， 对函数求导得，所以曲线在点处的切线斜率为， 且点在直线上，所以有，解得. 14．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列2024，2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2，2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024，2026，-2，-2028，2026．设数列2024，2026经过第次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为________． 【答案】1013 【分析】通过该概念的性质求出为等比数列以及为等差数列并求出具体表达式，最后代入到中求解. 【详解】由题意，，， 所以， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，. 由题意，，， 即数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， .所以， . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台. (1)若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率； (2)若从中随机抽取2台，求这2台电脑中品牌台数的分布列. 【答案】(1) (2) 0 1 2 【分析】（1）法一：求得，利用条件概率公式求解即可；法二：，利用条件概率公式求解即可． （2）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列． 【详解】（1）设事件：第一次抽到品牌；设事件：第二次抽到品牌， 法一： ，则， 所以每次不放回抽取，在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率为． 法二：，则， 所以每次不放回抽取，在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率为． （2）设挑选2台电脑中品牌的台数为，的可能取值为0，1，2， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 16．（15分） 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，，，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：取中点，连接，已知为等边三角形，边长为4， 则，且，， 已知，，则四边形是矩形，，， ， ， 平面， 平面， 又平面， ．    (2) 【分析】（1）根据四棱锥的几何性质，利用线面垂直判断定理证明线面垂直，进而推出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量及向量，设直线与平面所成角为，利用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 故底面，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴， 垂直于平面的方向为轴，建立下图所示空间直角坐标系，    则， 设平面的法向量为， 因， 则，令，则， 又， 设直线与平面所成角为， 则． 17．（15分） 已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)因为，对一切正整数成立， 所以，即， 因为，，所以， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列． (2) (3) 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证； （2）结合（1）利用等比数列定义可得，然后利用累加法求解即可； （3）先得到，利用裂项相消法得到，进而得，即可求解以实数的最小值． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以通过累加得 ， 当 时，，满足上式， 综上所述，． （3）， 从而， 所以， 当无限增大，的值越来越趋近于0 且小于0，所以的值越来越趋近于且小于， 所以对任意正整数 ，不等式恒成立时，， 即实数的最小值为． 18．（17分） 已知函数，． (1)判断函数的单调性． (2)若方程有两个根． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)①②证明见解析 【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负判断函数的单调区间即可； （2）①将方程分离参数得，构造函数，由导数判断函数的单调性，从而得到最小值，即可求得的取值范围； ②先构造函数证明，再构造证得，结合的单调性推出，即，联立两步结论，代回原式即可完成不等式证明. 【详解】（1）因为，，所以． 由，得；由，得 所以函数在上单调递减，在上单调递增． （2）①方程，即，，则． 设，，则方程有两个根， 即函数的图象与直线有两个不同的交点． 因为，， 当时，， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以当时，函数取得极小值，也是最小值． 因为，当时，，当时，， 所以，即实数的取值范围是． ②证明：由①可知，， 则证不等式，即证， 转化为证． 令，，则． 令，则． 因为在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以当时，，当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以． 由①知，． 令，，则． 令，则． 因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以单调递增，所以． 所以当时，． 由①及题意可知，，所以． 因为且在上单调递减，所以， 所以，所以． 所以， 所以． 19．（17分） 数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圆密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，，，…，中，满足“对任意，，…，，都有”的数列的个数等于.已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为.记第秒末粒子回到原点的概率为. (1)求； (2)设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为. （i）假设粒子第1秒向右，求粒子在第6秒末第一次回到原点的概率； （ii）求.（用组合数表示） 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解； （2）（i）因为第1秒向右，且第6秒末第一次回到原点，所以第1秒到第5秒的位置始终大于0，第6秒位置为0。这要求第6步必须向左，因此第2到第5步中包含2个+1和2个−1，且其任意前k项和均非负，可利用题干给出的卡特兰数相关的组合结论计算符合条件的路径数，再结合概率公式求解； （ii）设事件A:粒子在第秒末第一次回到原点，事件B:粒子第1秒末向右移动一个单位，根据，结合的定义，即可求解 【详解】（1）第6秒末粒子回到原点，则说明向右移动和向左移动的次数相等，均为3次， 因为每次向左移动和向右移动的概率均为， 所以. （2）（i）第一步确定向右，要第一次回到原点在第6秒，需满足： ①第6步必为向左（总位移为0），去掉首尾两步后，中间第2~5步共4步，包含2个向右、2个向左； ②任意前步和都大于0，等价于中间部分任意前缀和非负，根据卡特兰数列结论，符合条件的排列数为第2个卡特兰数， 第一步已确定向右，剩余5步总共有种可能，因此所求概率为：. （ii）设事件A:粒子在第秒末第一次回到原点，事件B:粒子第1秒末向右移动一个单位. 所以， 记粒子往左移动一个单位为，粒子往右移动一个单位为，以下仅考虑事件AB. 设第秒末粒子的运动方式为，其中； 设粒子第秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1） 则粒子运动方式可用数列表示， 如：表示粒子在前4秒按照右、右、左、左的方式运动. 由粒子在第秒末第一次回到原点，可知数列的前项中有个1和个. 因为，所以， 所以粒子在余下秒中运动的位置满足， 即，， 所以粒子在余下秒中运动方式的总数为， 所以， 又因为， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省佛山市2025-2026学年下学期高二数学期末临考模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．在中，点满足，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．在等差数列中， ， ，则公差为（     ） A． B． C． D． 5．将标有1，2，3，4的4个不同的西瓜分给甲、乙、丙3位同学，每位同学至少分到1个西瓜，则1号西瓜分给甲的不同分配方式共有（     ）种． A．36 B．24 C．12 D．10 6．已知变量 和 有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为 ，则（    ） 2 3 5 6 5 7 9 15 A．经验回归直线必过点 B． C．对应的样本点的残差为 D．当时，预测值 7．某海湾一固定点处大海水深d与时间t之间的关系为，则该处水位变化速度的最大值是（   ） A． B． C． D．4 8．咖啡产品的经营和销售如何在中国开拓市场是星巴克、漫咖啡等欧美品牌一直在探索的内容，而2018年至今中国咖啡行业的发展实践证明了以优质的原材料供应以及大量优惠券、买赠活动吸引消费者无疑是开拓中国咖啡市场最有效的方式之一.若某品牌的某种在售咖啡产品价格为30元/杯，其原材料成本为7元/杯，营销成本为5元/杯，且该品牌门店提供如下4种优惠方式：（1）首杯免单，每人限用一次；（2）3.8折优惠券，每人限用一次；（3）买2杯送2杯，每人限用两次；（4）买5杯送5杯，不限使用人数和使用次数.每位消费者都可以在以上4种优惠方式中选择不多于2种使用.现在某个公司有5位后勤工作人员去该品牌门店帮每位技术人员购买1杯咖啡，购买杯数与技术人员人数须保持一致；请问，这个公司的技术人员不少于（    ）人时，无论5位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利. A．28 B．29 C．30 D．31 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，，则下列选项正确的是（     ） A． B．的分布比的分布更集中 C． D． 10．已知数列的通项公式为，前项和为，前项积为.则下列结论中正确的是（    ） A．使的项有2项 B．满足的的值共有6个 C．既有最小值，又有最大值 D．有最小值，无最大值 11．设函数，则（   ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为_________（用数字作答）． 13．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 14．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列2024，2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2，2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024，2026，-2，-2028，2026．设数列2024，2026经过第次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台. (1)若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率； (2)若从中随机抽取2台，求这2台电脑中品牌台数的分布列. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，，，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 18．（17分） 已知函数，． (1)判断函数的单调性． (2)若方程有两个根． ①求实数的取值范围； ②证明：． 19．（17分） 数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圆密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，，，…，中，满足“对任意，，…，，都有”的数列的个数等于.已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为.记第秒末粒子回到原点的概率为. (1)求； (2)设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为. （i）假设粒子第1秒向右，求粒子在第6秒末第一次回到原点的概率； （ii）求.（用组合数表示） 2 学科网（北京）股份有限公司 $