精品解析：广东省佛山市顺德区第一中学2024-2025学年高二下学期期末模拟测试数学试题

2024-2025学年高二数学期末模拟测试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列中，，，则（ ） A. 510 B. 1024 C. 2046 D. 4094 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等式求出数列是等比数列，然后根据等比数列的前项和求出. 【详解】因为，， 令，则， 所以数列等比数列，首项为2，公比为2. 所以. 故选：C. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.2 C. 0.8 D. 0.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由正态分布的对称性可得，再由正态曲线的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且，则，即， 则. 故选：A 3. 已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出等差数列的通项公式，然后根据三角函数的周期性和已知集合的元素个数来分析的取值情况，进而求出的值. 【详解】根据已知条件，等差数列的通项公式为：. 根据三角函数的性质，. 这说明数列的周期为3. 因为集合，即有三个不同的值. 设时，；时，； 时，. 根据三角函数两角和公式可得： . . 则 故选：B. 4. 某中学推出了篮球､足球､排球､羽毛球､乒乓球共5门球类体育选修课供同学们选择，其中羽毛球火爆，只剩下一个名额，其余4门球类课程名额充足.现有某宿舍的四位同学报名选课，每人只选择其中的1门课程，四位同学选完后，恰好选择了3门不同球类课程，则不同的选课情况总共有（ ） A. 316种 B. 360种 C. 216种 D. 288种 【答案】D 【解析】 【分析】分选不选羽毛球两种情况讨论，再分别利用分步乘法原理计算报名情况，利用分类加法原理求和即得结果. 【详解】分两种情况讨论： 不选羽毛球，其余4门球类课程选3门，有种选法， 四人中有2人选择同1门课程，其余2人各自选1门课程，有种选法， 故报名的情况有种； 1人选羽毛球，则种选法，再从其余4门球类课程选2门课程，则种选法， 其余3人中选1人选一门课程，其余2人同选另1门课程，则种， 故报名的情况有种. 所以他们报名的情况总共有种. 故选：D 5. 已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 6. 的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 【答案】D 【解析】 【分析】原问题即为求展开式中的所有项的系数和，令，即可得答案. 【详解】解：展开式的通项公式为， 若展开式中的项不含z，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项， 令，可得所有不含z的项的系数之和为， 故选：D. 7. 已知在的二项展开式中，第项为常数项，若在展开式中任取项，其中无理项的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式中第项为常数项，求出的值，根据二项展开式确定展开式中有理项和无理项的项数，再利用超几何分布得出在不同取值下的概率，进而可求得的值. 【详解】在的二项展开式中，第项为常数项， 即为常数项， 由题意可得，解得， 所以，展开式通项为， 由可得，即展开式中有理项的项数为，无理项的项数为， 所以，随机变量的可能取值有、、、， ，，， ， 因此，. 故选：B. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，利用导数求其单调性可判断的大小，构造，利用导数求其单调性可得到，再构造可得到，即可得到答案 【详解】设， 则， 令，， 因为在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减， 由，所以， 所以当，所以在上单调递增， 当，所以在上单调递减， 又，， 从而即在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，即， 构建，则， 令，则， 当时，，则在单调递增， 所以，即， 故在上单调递增，则， 故在恒成立， 取，可得， 构造，则， 当时，，故在单调递增， 所以，所以当时， ，取，则， 综上所述得：，即. 故选：D. 【点睛】方法点睛： 对于比较实数大小方法： （1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断， （2）利用中间值“1”或“0”进行比较， （3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 某淘宝商家想通过软件广告推荐功能吸引潜在客户.为使广告能够精准投放达到利益最大化，随机抽取了200名在本店一季度消费过的客户数据，现统计如下： 按照年龄分为年轻人（<30岁）和非年轻人(30岁及以上)，若一季度内购买超过三次及以上就记为优质客户，其中非年轻人占比，通过数据可以得到结论（ ） 附：. 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A. 为了增加优质客户的比例，应向30岁以下人群投放广告 B. 有99.9%的把握认为是否为优质客户与年龄有关 C. 已知一位顾客是年轻人，则他是优质客户的概率是 D. 已知一位顾客仅购买一次，则他是非年轻人的概率是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图表中的数据求出年轻人和非年轻人的人数，列出列联表逐个分析判断即可 【详解】由题意可知抽取的年轻人为人，非年轻人为人， 抽取的优质客户有人，则非优质客户为80人，其中优质客户中年轻人有60人，非年轻人有60人，则列联表如下 优质客户 非优质客户 合计 年轻人 60 60 120 非年轻人 60 20 80 合计 120 80 200 对于A，优质客户中年轻人和非年轻人的人数相同，而年轻人的优质客户有，非年轻人的优质客户有，所以非年轻人购买力强，所以为了增加优质客户的比例，应向30岁以上人群投放广告，所以A错误， 对于B，因为，所以有99.9%的把握认为是否为优质客户与年龄有关， 对于C，因为年轻人共120人，其中优质客户60人，所以已知一位顾客是年轻人，则他是优质客户的概率是，所以C正确， 对于D，因为非优质客户80人中，非年轻人20人，所以已知一位顾客仅购买一次，则他是非年轻人的概率是，所以D错误， 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图像在处的切线斜率为 C. D. 有两个零点，且 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意直接求出的范围即可判断；求出导函数，进而求得即可判断B；求得即可判断C；易知的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D． 【详解】由题意，， 对于选项A，易知且，故选项A错误， 对于选项B，因为，则，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以，故选项C正确， 对于选项D，由选项可知，易知在和上单调递增， 因为， ， 所以，使得， 又因为，则，结合选项C，得， 即也是的零点，则，，故，故选项D正确， 故选：BCD. 11. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】,求出，利用可判断A，由可判断B，由条件概率公式可判断D. 【详解】由，因为，则， 所以，因为，所以，故A正确； 则，所以，故B错误； 由于，所以C正确； 由于，则，所以，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 若数列满足，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】当时, ，当时，利用即可求解. 【详解】由题意有：当时，，当时，由有， 所以， 即，所以数列从第二项起是以公比为的等比数列， 所以， 故答案为：. 13. 若函数，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】因为三角函数具有周期性，令，对函数求导数，研究导函数在区间内的符号，得到函数的单调性，求出最小值. 【详解】不妨设， 则在上的单调性如下表： x 0 + 0 - 0 + 极大 极小 ，，因为， 所以函数的最小值为. 故答案为：. 14. 甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为，，则_________，若第1轮甲得3分，则_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：分析出情况的概率，结合事件的含义求解即可，第二空，列举出具体的样本点，结合二项分布求解即可. 【详解】由题知每一轮甲得3分的概率为，得0分的概率为，得1分的概率为，所以； 若第1轮甲得3分，则对应的甲乙得分情况可能为 所以 ． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且为等差数列． （1）求的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，代入数据直接计算可得答案； （2）利用等差数列的性质可得，利用错位相减法求出，即证． 【小问1详解】 因为等差数列中，，又， 所以，即①， 因为为等差数列，所以， 令时，，即，则②， 结合①②，解出，则， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由题设得，即， 所以①， 则②， 由①-②得：， 所以， 因为，所以，所以，即证． 16. 某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成分的含量（单位：）与药效指标值（单位：）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验，统计得到一组数据（，2，⋯，20），其中，分别表示第次试验中这种药物成分的含量和相应的药效指标值，已知该组数据中与之间具有线性相关关系，且，，，，. （1）求关于的经验回归方程； （2）该公司要用与两套设备同时生产该种新药，已知设备的生产效率是设备的2倍，设备生产药品的不合格率为0.009，设备生产药品的不合格率为0.006，且设备与生产的药品是否合格相互独立. ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备生产的概率. 参考公式：，. 【答案】（1） （2）①0.008；② 【解析】 【分析】（1）根据公式求出和，可得关于的经验回归方程； （2）①利用全概率公式可求出结果；②根据贝叶斯公式求出一件合格品是设备生产概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果. 【小问1详解】 ，， 所以， ，所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 设事件表示“随机取一件药品来自设备生产”，事件表示“随机取一件药品来自设备生产”，事件表示“所抽药品为不合格品”， ①因为设备的生产效率是设备的2倍，所以，， ，， 所以， ②， 所以三件不合格品中至少有两件是设备生产的概率为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）结合锥体的体积公式及面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，即可求解. 【小问1详解】 因为底面为矩形，，所以， 设三棱锥的高为，又三棱锥的体积为， 所以，所以， 又侧面是等边三角形，且， 取的中点，连接，可得，从而为三棱锥的高， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 故由（1）可以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 3名同学去听同时举行的，，课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）. （1）记选择课外知识讲座的人数为随机变量，求的分布列与数学期望； （2）对于两个不相互独立的事件，，若，，称为事件，的相关系数. ①已知，证明； ②记事件“课外知识讲座有同学选择”，事件“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件，是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求. 【答案】（1）分布列见解析， （2）①证明见解析；②，不独立， 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据二项分布的概率公式求出分布列，再求出数学期望； （2）①依题意可得，再由条件概率公式即可证明； ②首先求出，，，根据相互独立事件的定义判断即可，再根据所给公式计算. 【小问1详解】 由题意每位同学选择课外知识讲座的概率均为，则， 即的可能的取值为， 所以，， ，， 所以分布列为： 所以； 【小问2详解】 ①因为，且， 所以，又，， 即，而，所以成立； ②事件不相互独立， 事件课外知识讲座有同学选择，则事件课外知识讲座没有同学选择， 由（1）可知， 所以， 事件：至少有两个课外知识讲座有同学选择，则事件：有一个课外知识讲座有同学选择， 所以，所以. 事件：至少有两个课外知识讲座有同学选择且课外知识讲座有同学选择， 分为两种情况，一种是三个课外知识讲座都有同学选择； 另一种是两个课外知识讲座都有同学选择且课外知识讲座有同学选择， 此时或者是没有同学选择，故按照、分组即可， 故，所以，即事件不相互独立， 所以， 化简得. 【点睛】关键点点睛：第二问的①关键是所给公式的应用，结合条件概率公式即可证明，②关键是分析事件、、所包含的基本事件数. 19. 已知，函数，. （1）当时，求的极值； （2）若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1）答案见解析； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，再分和讨论即可； （i）转化得有解，再设，求导后再对分类讨论，最后利用隐零点法即可得到其范围； （ⅱ）分析得表示原点与直线上的动点之间的距离，再等价转化为证明，再设新函数并多次求导即可证明. 【小问1详解】 时，， 当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值. 当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增， 函数的极小值是，无极大值. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，因为函数存在零点，故有解， 若，此时无解，所以，有解，， ①若单调递增，此时不存在零点； ②若，令，，， 由零点存在定理可知存在， 所以在上为减函数，在上为增函数， 故，解得，故. （ⅱ）因为函数存在零点，所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， ，所以， 时，要证，只需证， 解法一：即证. 令，则， 令，，故在上为增函数，故. 即在上为增函数， 故，故，即成立. 解法二：令,则， 令，得单调递减， 令，得单调递增， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学期末模拟测试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列中，，，则（ ） A. 510 B. 1024 C. 2046 D. 4094 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.2 C. 0.8 D. 0.1 3. 已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4. 某中学推出了篮球､足球､排球､羽毛球､乒乓球共5门球类体育选修课供同学们选择，其中羽毛球火爆，只剩下一个名额，其余4门球类课程名额充足.现有某宿舍的四位同学报名选课，每人只选择其中的1门课程，四位同学选完后，恰好选择了3门不同球类课程，则不同的选课情况总共有（ ） A. 316种 B. 360种 C. 216种 D. 288种 5. 已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 展开式中，所有不含z的项的系数之和为（ ） A 16 B. 32 C. 27 D. 81 7. 已知在的二项展开式中，第项为常数项，若在展开式中任取项，其中无理项的个数为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 某淘宝商家想通过软件广告推荐功能吸引潜在客户.为使广告能够精准投放达到利益最大化，随机抽取了200名在本店一季度消费过的客户数据，现统计如下： 按照年龄分为年轻人（<30岁）和非年轻人(30岁及以上)，若一季度内购买超过三次及以上就记为优质客户，其中非年轻人占比，通过数据可以得到结论（ ） 附：. 0.10 005 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A. 为了增加优质客户的比例，应向30岁以下人群投放广告 B. 有99.9%的把握认为是否为优质客户与年龄有关 C. 已知一位顾客是年轻人，则他是优质客户的概率是 D. 已知一位顾客仅购买一次，则他是非年轻人的概率是 10 已知函数，则（ ） A. 定义域为 B. 的图像在处的切线斜率为 C. D. 有两个零点，且 11. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数列满足，，则______． 13. 若函数，则的最小值是______． 14. 甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为，，则_________，若第1轮甲得3分，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且为等差数列． （1）求的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：． 16. 某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成分的含量（单位：）与药效指标值（单位：）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验，统计得到一组数据（，2，⋯，20），其中，分别表示第次试验中这种药物成分的含量和相应的药效指标值，已知该组数据中与之间具有线性相关关系，且，，，，. （1）求关于的经验回归方程； （2）该公司要用与两套设备同时生产该种新药，已知设备的生产效率是设备的2倍，设备生产药品的不合格率为0.009，设备生产药品的不合格率为0.006，且设备与生产的药品是否合格相互独立. ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备生产的概率. 参考公式：，. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 3名同学去听同时举行的，，课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）. （1）记选择课外知识讲座的人数为随机变量，求的分布列与数学期望； （2）对于两个不相互独立的事件，，若，，称为事件，的相关系数. ①已知，证明； ②记事件“课外知识讲座有同学选择”，事件“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件，是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求. 19. 已知，函数，. （1）当时，求的极值； （2）若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$