2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务十七 ·两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件

这是一份高一数学期末复习课件，聚焦两角和与差及二倍角的三角函数公式，包含主干知识梳理、知识深化、常用结论，通过基础检测和能力达标中的例题与及时练，构建从公式记忆到灵活应用的学习支架。 资料特色在于强化公式逆用与变形，结合拆角拼角技巧、辅助角公式误区警示等实例，培养学生数学思维中的推理与运算能力，通过符号表达发展数学语言，高一学生需巩固基础并掌握公式灵活应用，此资料助力其适应高中数学思维，也为教师提供系统复习框架和多样化教学资源。

高一数学期末复习课程 任务十七·两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、主干知识梳理 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α-β):cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β; (2)公式C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β; (3)公式S(α-β):sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β; (4)公式S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β; (5)公式T(α-β):tan(α-β)=; (6)公式T(α+β):tan(α+β)=. 2.辅助角公式 asin x+bcos x(a,b为常数)可以化为　　　　　　　　　　的形式,其中 sin φ=,cos φ=. 误区警示　辅助角公式实质上是两角和(差)正、余弦公式的逆用,一定要注意三角函数的名称及角φ的值,也可以化为cos(x-φ)的形式,此时cos φ=,sin φ=. sin(x+φ) 3.二倍角公式的正弦、余弦、正切公式 名称 公式 二倍角的正弦 sin 2α=　　　　　  二倍角的余弦 cos 2α=　　　　　　　　　　=　　　　=　　　　  二倍角的正切 tan 2α=　　　　  2sin αcos α cos2α-sin2α 1-2sin2α 2cos2α-1 [知识深化] 1.二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α=β的特殊情况. 2.对二倍角余弦公式进行变形可得降幂公式:sin2α=,cos2α=,其实质是用倍角的余弦值表示单角正弦值和余弦值的平方,从降幂公式可以看出,在降幂的同时,角扩大为原来的2倍,因此又称“降幂扩角公式”. 2.升幂公式:1±sin 2α=(sin α±cos α)2;1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α. 3.常用拆角、拼角技巧:例如,2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β; β==(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);+α=-(-α)等. 4.在非直角三角形ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. 5.若α+β=kπ+(k∈Z),则(1+tan α)(1+tan β)=2,反之也成立. 二、基础检测 1.已知α∈,sin α=,则tan=(　　) A. B.7 C.- D.-7 A 2.cos 40°sin 70°-sin 40°sin 160°=(　　) A.- B. C.- D. B 解析:cos 40°sin 70°-sin 40°sin 160° =cos 40°cos 20°-sin 40°sin 20°=cos(40°+20°)=cos 60°= 3.sin的值为(　　) A.0 B.- C.2 D. B 解析:sincos=2(sincos)=2sin()=2sin(-)=- 4.化简=(　　) A.2sin 3 B.2cos 3 C.-2sin 3 D.-2cos 3 A 解析:因为, 由<3<π, 所以sin 3>cos 3,sin 3+cos 3<0,所以原式=sin 3-cos 3+sin 3+cos 3=2sin 3. 5.已知sin(α-π)=,则cos 2α=　　　　. 解析:sin(α-π)=-sin α=, 故sin α=-,所以cos 2α=1-2sin2α=1-2 6.sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°为(　　) A.0 B. C.1 D. C 解析:由题得原式=sin 15°cos 75°+cos 15°·sin 75°=sin(15°+75°)=sin 90°=1. 7.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)为(　　) A.3 B.-3 C. D.- C 解析:tan(α-β)=,故选C. 8.已知cos θ=-,θ∈(0,π),则cos=　　　　　. - 解析:因为cos θ=-,θ∈(0,π), 所以sin θ=,所以cos=sin 2θ=2sin θcos θ=- ①.和、差、倍角公式的基本应用 例1 (1)已知,则tan=(　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- B 解析:因为, 所以tan α=1-,所以tan=2-1,故选B. 三、能力达标 (2)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　) A.-3m B.- C. D.3m A 解析:因为cos(α+β)=m, 所以cos αcos β-sin αsin β=m,而tan αtan β=2,所以sin αsin β=2cos αcos β, 故cos αcos β-2cos αcos β=m, 即cos αcos β=-m, 从而sin αsin β=-2m, 故cos(α-β)=-3m,故选A. (3)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　) A. B. C.- D.- B 解析:依题意,得 所以sin αcos β=,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=, 所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2 及时练1 (1)cos2-cos2=(　　) A. B. C. D. D 解析:因为cos=sin()=sin, 所以cos2-cos2=cos2-sin2=cos(2)=cos故选D. (2)已知θ∈,tan 2θ=-4tan,则=(　 ) A. B. C.1 D. A 解析:∵tan 2θ=-4tan, =-4,∴2tan2θ+5tan θ+2=0, ∴tan θ=-或tan θ=-2.,∴tan θ∈(-1,0), ∴tan θ=- ,故选A. ②.两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 例2 (1)的值为(　　) A. B. C.2 D.4 D 解析: == ===4.故选D. (2)若α,β为锐角,且α+β=,则(1+tan α)(1+tan β)=　　　. 2 解析:因为tan(α+β)=, 所以(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β =1+tan(α+β)(1-tan αtan β)+tan αtan β =1+tan(1-tan αtan β)+tan αtan β=2. 及时练2 (1)(多选)计算下列各式,结果为的是(　　) A.sin 15°+cos 15° B.cos215°-sin 15°cos 75° C. D. AD 解析:对于选项A,由辅助角公式得sin 15°+cos 15° =2sin(15°+45°)=2sin 60°=故A正确; 对于选项B,cos215°-sin 15°cos 75°=sin 75°cos 15°-sin 15°cos 75° =sin(75°-15°)=sin 60°=,故B错误; 对于选项C,,故C错误; 对于选项D,=tan(45°+15°)=tan 60°=,故D正确.故选AD. (2)已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,则cos(α-β)的值等于(　　) A.- B.- C.- D.- C 解析:sin α+sin β=sin2α+sin2β+2sin αsin β=,① cos α+cos β=cos2α+cos2β+2cos αcos β=,② ①+②,得2+2(sin αsin β+cos α·cos β)=cos(α-β)==-,故选C. 例3(1)tan 20°+tan 20°tan 40°=(　　) A.1 B. C. D.2 C ③.公式的变形 解析 因为=tan(45°-5°)=tan 40°, 且tan 60°=tan(20°+40°)=, 可得tan 20°+tan 40°=(1-tan 20°tan 40°), 所以tan 20°+tan 20°tan 40° =tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40° =(1-tan 20°tan 40°)+tan 20°tan 40°=故选C. (2)若α,β为锐角,且α+β=,则(1+tan α)(1+tan β)=　　. 2 解析 因为tan(α+β)=, 所以(1+tan α)(1+tan β) =1+tan α+tan β+tan αtan β =1+tan(α+β)(1-tan αtan β)+tan αtan β =1+tan(1-tan αtan β)+tan αtan β=2. 及时练3：(1)tan 13°+tan 32°+tan 13°tan 32°=(　　) A.tan 19° B.1 C.-tan 19° D.-1 B 解析 因为tan 45°=tan(13°+32°)==1, 所以tan 13°+tan 32°+tan 13°tan 32°=1,故选B. (2)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则(　　) A.tan(α+β)=-1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α-β)=1 C 解析 sin(α+β)+cos(α+β)=sin(α+β+) =sin[ (α+)+β]=sin(α+)cos β+cos(α+)sin β. 又sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,故sin(α+)cos β=cos(α+)sin β, 故sin(α+)cos β-cos(α+)sin β=0,即sin(α+-β)=0. 故sin(α-β+)=sin(α-β)+cos(α-β)=0.故sin(α-β)=-cos(α-β). 故tan(α-β)=-1.故选C. ④.角的变换问题 例3 (1)已知α,β∈(),若sin(α+)=,cos(β-)=,则sin(α-β)的值为(　　) A. B. C. D. A 解析:由题意可得α+(,π),β-(-,0),所以cos(α+)=-,sin(β-)=-, 所以sin(α-β)=-sin[(α+)-(β-)]=-+(-)×(-)=,故选A. (2)已知sin,α∈,则tan=　 　. -7 解析:因为α∈(,π),所以α+().因为sin(α+)=>0,所以α+(,π),所以cos(α+)=-=-=-, 所以tan(α+)==-, 所以tan(α-)=tan[(α+)-]==-7. 及时练4： (1)已知sin θ+sin(θ+)=1,则sin(θ+)=(　　) A. B. C. D. B 解析:因为sin θ+sin(θ+)=sin(θ+)+sin(θ+) =sin(θ+)cos-cos(θ+)sin+sin(θ+)cos+cos(θ+)sin =2sin(θ+)·cossin(θ+)=1,所以sin(θ+)= (2)已知α,β为锐角,tan(α+β)=-,cos β=,则sin α=　 . 　 解析:因为α,β为锐角,且tan(α+β)=-<0,所以α+β∈(,π), 所以联立 解得 sin β=,sin α=sin[(α+β)-β] =sin(α+β)cos β-sin βcos(α+β)=(-)= 任 务 完 成 $