2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务十八 ·三角恒等变换 课件

这是一份高一数学期末复习课件，聚焦三角恒等变换，包含主干知识梳理、常用方法、常用结论、基础检测及能力达标模块。通过步骤化梳理变换流程，归纳常值代换等六种方法，结合基础题与综合题，构建从知识到应用的学习支架。 资料以核心素养为导向，通过“找差异-抓联系-促转化”三步培养数学思维，结合辅助角公式应用、给值求值等实例提升推理与应用能力，分层练习助力学生掌握化简、求值、求角技巧。为教师提供系统复习资源，帮助高一学生巩固基础，提升期末备考效率，适应高中数学学习节奏。

高一数学期末复习课程 任务十八·三角恒等变换 一、主干知识梳理 1.三角恒等变换的三个步骤 2.三角恒等变换常用方法 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如:1=sin2x+cos2x=tan等. (2)弦切互化:tan θ=,sin θ=tan θcos θ(θ≠+kπ,k∈Z)等. (3)降幂扩角:sin θcos θ=sin 2θ,sin2θ=,cos2θ=等. (4)升幂缩角:1+cos θ=2cos2,1-cos θ=2sin2等. (5)引入辅助角:asin θ+bcos θ=sin(θ+φ),这里辅助角φ所在象限由a,b的符号确定,φ角的值由tan φ=确定. (6)项的分拆:如sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x等. 1.已知cos θ=,且270°<θ<360°,则sin=(　　) A. B.- C. D.- A 二、基础检测 解析:∵270°<θ<360°,∴135°<<180°, ∴sin故选A. 2.已知f(x)=sin2x-(x∈R),则f(x)的最小正周期是　　　　　. π 解析:f(x)=sin2x-=-, 故f(x)的最小正周期T==π. 3.已知函数y=3sin x+4cos x,则它的最小正周期是　　　　　,最大值是　　. 2π 5 解析:y=3sin x+4cos x=5(sin x+cos x)=5sin(x+φ),其中cos φ=,sin φ=, 所以最小正周期T=2π,函数最大值是5. 4.函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为(　　) A. B. C.π D.2π B 解析:y=sin4x+cos2x= cos 4x+,故最小正周期T=,故选B. 5.已知cos 2α=,α∈,则sin α=(　　) A. B.- C. D. A 解析:,∴sin α>0,∴sin α=故选A. 6.已知α为锐角,若sin α=,则cos2=(　　) A. B. C. D. A 解析:已知α为锐角,若sin α=, 则cos α=, 所以cos2故选A. 7.函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是　　　　　. 2 解析:f(x)=sin x-cos x=2sin(x-), 当x∈[0,π]时,x-[-],当x-时,即x=时,f(x)max=2. ①.三角函数式的化简 例1 (1)化简的结果是(　　) A.cos 10° B.sin 10° C.2sin 10°+cos 10° D.2cos 10°-sin 10° D 三、能力达标 解析:原式= =cos 10°+cos 10°-sin 10°=2cos 10°-sin 10°.故选D. (2)化简的值为(　　) A.-2 B.2 C.-1 D.1 D 解析:== ==1,故选D. (3)化简:=　　 　　. cos 2x 解析 原式= = =cos 2x. 及时练1： (1)化简2cos2α-(tan α+)×sin 2α=　　　　　. cos 2α 解析:2cos2α-sin 2α =cos 2α+1-sin αcos α =cos 2α+1-(sin2α+cos2α)=cos 2α. (2)化简:(-tan)(1+tan αtan)=　　　　;  解析 原式=()(1+) = (3)化简：-2cos(α+β)=　　　　. 　 解析 原式= = = = = ②.三角函数式的求值 例2 (1)已知α为锐角,cos α=,则sin=(　　) A. B. C. D. D 解析:因为α为锐角,也为锐角, 由半角公式得sin 给值求值 (2)已知sin,则sin 2α=(　　) A.- B. C.± D.- A 解析:因为sin 2α=-cos(+2α)=-[1-2sin2(+α)]=2sin2(+α)-1=2×()2-1=- (3)若已知cos,θ∈,则sin的值为　　　　　. -　 解析:因为θ∈(0,), 所以θ+(). 又因为cos(θ+)=,所以sin(θ+)=, 所以sin 2(θ+)=2sin(θ+)cos(θ+)=2, cos 2(θ+)=2cos2(θ+)-1=-,sin(2θ-)=sin[2(θ+)-] =sin 2(θ+)cos-cos 2(θ+)sin(-)-(-)=- 及时练2：(1)设sin 20°=m,cos 20°=n,化简=(　　) A. B.- C. D.- A 解析 因为sin 20°=m,cos 20°=n, 所以 故选A. (2)已知α∈(-,0),且cos 2α=sin(α+),则sin 2α=(　　) A.- B. C.-1 D.1 C 解析 ∵cos 2α=sin(α+)=(sin α+cos α), ∴cos2α-sin2α=(cos α+sin α)·(cos α-sin α)=(cos α+sin α), ∴(cos α+sin α)(cos α-sin α-)=0,∴cos α+sin α=0或cos α-sin α=, 由cos α+sin α=0两边平方可得1+sin 2α=0,即sin 2α=-1; 由cos α-sin α=两边平方可得1-sin 2α=,即sin 2α=, ∵α∈(-,0),∴2α∈(-π,0),∴sin 2α<0,∴sin 2α=-1. 例3(1):=(　　) A.1 B. C. D. B 解析: == 给角求值 (2):=(　　) A.-3 B.-6 C.3 D.6 A 解析 = == ===-3 及时练3 求值: (1); (2)sin 50°(1+tan 10°). 解:原式==-=-=-1. 解:原式=sin 50°·(1+)=sin 50° =sin 50°=1. 例4 (1)已知α,β∈(0,π)且tan α=,cos β=-,则α+β=(　　) A. B. C. D. B 给值求角 解析:∵α,β∈(0,π)且tan α=,cos β=-,可知α为锐角,β为钝角,故sin β>0, sin β=,tan β==-3 ,,∴α+, ∴tan(α+β)==-1,∴α+β= (2)已知α,β∈(0,),cos(α-β)=,tan αtan β=,则α+β=(　　) A. B. C. D. A 解析 因为cos(α-β)=,tan αtan β=, 所以解得 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=, 又α,β∈(0,),所以α+β∈(0,π),所以α+β=故选A. (2)通过求角的某种三角函数值来求角,其关键是选取函数,若选取不当,容易导致多解或错解,函数的选取一般遵循以下原则: ①已知正切函数值,选正切函数; ②已知正弦、余弦函数值,选正弦函数或余弦函数;若角的范围是(0,),选正弦、余弦均可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是(-),选正弦较好. 及时练4：(1)已知sin α=,cos β=,且α,β为锐角,则α+2β=　　　　　. 　 解析:因为sin α=,且α为锐角,所以cos α= 因为cos β=,且β为锐角,所以sin β=, 则sin 2β=2sin βcos β=2,cos 2β=1-2sin2β=1-2, 所以cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β= 因为,,所以α+2,故α+2β= (2)已知≤α≤π,π≤β≤,sin 2α=, cos(α+β)=-,则β-α=(　　) A. B. C. D. C 解析 由π,得2α≤2π,又sin 2α=>0,故<2α<π,cos 2α=- 因为<α<,π,所以<β-α<<α+β<2π, 又cos(α+β)=-<0,故<α+β<,sin(α+β)=-所以cos(β-α)=cos[(β+α)-2α] =cos(β+α)·cos 2α+sin(β+α)sin 2α=-(-)+(-)=-, 故β-α=故选C. ③.三角恒等变换的综合应用 例5、已知向量m=,n=(2cos α,2sin α),0<α<π. (1)若m∥n,求的值; (2)若|m+n|=|n|,求sin的值. 解:(1)因为m∥n,所以-2sin α=2cos α,所以sin α=-cos α, 所以tan α=-, 则原式==3+ (2)因为|m+n|=|n|,且m+n=(2cos α-,2sin α+), 所以, 整理得2sin α-2cos α+1=0,所以4sin=-1,即sin=- 因为0<α<π,所以α-,又因为sin<0,所以α-, 所以cos,所以sin=sin[] =cossin 及时练5：已知函数f(x)=2cos2(x-)+2sin(x-2 024π)cos x-. (1)求函数y=f(x)图象的对称轴; (2)已知25f(m-)=14,m∈[),求sin 2m的值. 解 (1)f(x)=2cos2(x-)+2sin(x-2 024π)cos x- =2sin2x+2sin xcos x- =2sin xcos x-(1-2sin2x) =sin 2x-cos 2x=2sin(2x-), 由2x-+kπ(k∈Z),得函数y=f(x)图象的对称轴为直线x=(k∈Z). (2)由题意可得f(m-)=,即sin(2m-)=,又m∈[),则2m-[,π),即cos(2m-)<0,所以cos(2m-)=-=-,故sin 2m=sin[(2m-)+]=sin(2m-)cos+cos(2m-)sin(-)+(-)=- 任 务 完 成 $