精品解析：河北定州中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（     ） A. B. C. D. 2. 设，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.35 C. 0.4 D. 0.45 3. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） 3 4 6 7 20 40 80 A. 5 B. C. 4 D. 4. 已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. 120 C. D. 240 5. 若，，，，则a，b，c，d中最小的是（ ） A. a B. b C. c D. d 6. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（ ） A. 方程有且仅有3个解 B. 方程有且仅有3个解 C. 方程有且仅有5个解 D. 方程有且仅有1个解 11. 对于维向量，，，，二者夹角的余弦值现有一组点，设，，记，，已知这组点由最小二乘法所得的经验回归方程为和，若，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相关性强，则（ ） 附：，，，. A. B. 在上的投影向量为 C. D. 这组点的线性相关性弱 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 13. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为X，则______． 14. 已知函数在上有最小值，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，二项式系数之和等于1024．常数项为， （1）求的值； （2）第项的系数是第项系数的6倍，求的值． 16. 某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系，随机抽取80名同学进行问卷调查，得到如下数据： 数学成绩 单日运动时间 不低于90分 低于90分 不小于30分钟 30 10 小于30分钟 10 30 （1）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩与单日运动时间是否有关； （2）为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这80人中抽取了运动时间分别为10，20，30，40（单位：分钟）的4位同学，他们的数学成绩分别为（单位：分）．记单日运动时间为，对应的数学成绩为，由这四组数据得到的经验回归方程为，求． 参考数据：． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值： （2）解不等式； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 18. 随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分X（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩为114分及以上的被认定为“卓越”等级． （1）若该芯片共生产了27000片，试估计其中测试成绩为80分及以上的芯片的数量；（结果四舍五入保留到整数） （2）从该批次芯片中随机抽取3片，记其中等级为“卓越”的芯片的数量为Y，求Y的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求在处的切线； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由，使得为假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足， 综上，. 2. 设，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.35 C. 0.4 D. 0.45 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以， 设，则，又， 所以， 因为，所以， 解得，所以. 3. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） 3 4 6 7 20 40 80 A. 5 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由表格可得， 因样本中心点满足回归方程， 即，解得. 当时，， 此时残差为. 4. 已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. 120 C. D. 240 【答案】D 【解析】 【分析】根据各项系数和得，再写出的展开式通项，结合乘积形式写出展开式中含项的系数. 【详解】由题意，时，所以二项式为， 其中的展开式通项为，， 所以，则，此时， ，则不是整数，故该项不存在， 综上，展开式中含项的系数为. 5. 若，，，，则a，b，c，d中最小的是（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】B 【解析】 【分析】先将，，，变换为：，，，，得到，设，，结合导数和作差法得到，得到，最后设，，利用导数比较和，即可得到，，，中最小值. 【详解】因为，，所以； 又， 所以， 设，， 则，当时，， 所以在上单调递增，则，即， 所以，即；则， 设，， 则， 令，，则， 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以， 则时，，所以在上单调递减， 所以有，即，则， 综上：， ，即，，，中最小的是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对进行变形得到，利用作差法比较和，从而构造函数，；比较和时，观察代数式的形式，从而构造函数，，是解决本题的关键. 6. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论甲、乙是否选择两个主题体验，求得，，结合条件概率公式即可得结果. 【详解】若甲体验儒家文化，则有： 当甲只选择一个主题体验，则不同的选法种数为； 当甲选择两个主题体验，则不同的选法种数为； 综上所述：不同的选法种数为，即； 若甲体验儒家文化且乙体验湖光山色，则有： 当甲、乙均只选择一个主题体验，则不同的选法种数为1； 当甲选择两个主题体验，乙只选择一个主题体验，则不同的选法种数为； 当甲只选择一个主题体验，乙选择两个主题体验，则不同的选法种数为； 综上所述：不同的选法种数为，即； 所以. 7. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用题设条件推出是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得的值. 【详解】因为奇函数，则，又因为偶函数，则， 则有，故得，即得， 故是函数的一个周期. 又为上的奇函数，故，解得， 则. 故选：C. 8. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增，等价于导函数在此区间恒大于等于0，进而转化成参数小于等于某个函数恒成立，即求函数最值的问题. 【详解】解：由题意知，因为函数在上单调递增， 所以恒成立，即在区间上恒成立. 令，，则，当时，，所以， 因此在上单调递增，则，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可得，结合对数函数的性质可判断A；取可判断B；利用1的妙用和基本不等式可判断C；结合可得，从而，即可判断D． 【详解】对于A，因为当且仅当时取等号， 所以，A正确； 对于B，取 则，B错误； 对于C， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，因为 所以，D正确． 故选：ACD. 10. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（ ） A. 方程有且仅有3个解 B. 方程有且仅有3个解 C. 方程有且仅有5个解 D. 方程有且仅有1个解 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择. 【详解】对于选项A：由数形结合可知：令, 或或; 令,, 因为，所以， 由数形结合可知：,都有一个根， 故方程有且仅有3个解，故选项A正确; 对于选项B：由数形结合可知：令, ;令， 因为，由数形结合可知：都有3个根， 方程有且仅有3个解，故选项B正确; 对于选项C: 由数形结合可知：令, 或或; 令,, 由题可知：，， 由数形结合可知，,各有三解， 故方程有且仅有9个解,故选项C错误； 对于选项D：由数形结合可知：令, ;令， 因为，所以只有1解， 故方程有且仅有1个解,故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数，则可得到函数的零点个数. 11. 对于维向量，，，，二者夹角的余弦值现有一组点，设，，记，，已知这组点由最小二乘法所得的经验回归方程为和，若，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相关性强，则（ ） 附：，，，. A. B. 在上的投影向量为 C. D. 这组点的线性相关性弱 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据样本中心点过，再联立得到，对于B，在上的投影向量为，又即可判断；对于C，根据向量夹角的定义可得 ；对于D，由，再结合题意判断即可． 【详解】已知经验回归方程为和， 设， ，解得，则，故A正确； 在上的投影向量为， ， ， 而回归方程中，中，二者不相等， 因此投影向量为，B错误； 相关系数， ， 所以 ，C正确； 由回归方程中，中，， ， ， 所以这组点的线性相关性强，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解． 【详解】由，则， 所以曲线在点处的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为． 设直线与曲线相切的切点为，且， 则，解得． 13. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为X，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设质点向右移动的次数为随机变量，则服从二项分布，建立最终位置与的线性关系，利用方差的性质求解. 【详解】设质点在次移动中向右移动的次数为，由题意可知，每次移动向右的概率为，且各次移动相互独立， 所以服从二项分布，即，则. 因为质点向右移动次，则向左移动次， 所以移动次后质点对应的数， 由方差的性质得. 14. 已知函数在上有最小值，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数在上的最小值，再分和两种情况讨论，求出在时的最小值即可. 【详解】因为在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以当时，， 当时，， 若，则时，， 要使在上有最小值，则； 若，则时，，而 此时在上有最小值，符合题意， 综上所述的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，二项式系数之和等于1024．常数项为， （1）求的值； （2）第项的系数是第项系数的6倍，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出展开式的通项公式，利用常数项求出的值； （2）利用项的系数关系，结合组合数计算求得的值. 【小问1详解】 根据二项式性质，二项式系数之和为，由题知，得. 展开式的通项为： 常数项满足的指数为0，令，解得. 所以常数项为：. 由题意得，且，解得，即. 【小问2详解】 第项对应，系数为； 第项对应，系数为. 由题意得：， 整理得：， 由组合数性质可得：，代入得： 解得（符合的范围）. 16. 某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系，随机抽取80名同学进行问卷调查，得到如下数据： 数学成绩 单日运动时间 不低于90分 低于90分 不小于30分钟 30 10 小于30分钟 10 30 （1）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩与单日运动时间是否有关； （2）为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这80人中抽取了运动时间分别为10，20，30，40（单位：分钟）的4位同学，他们的数学成绩分别为（单位：分）．记单日运动时间为，对应的数学成绩为，由这四组数据得到的经验回归方程为，求． 参考数据：． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）数学成绩与单日运动时间有关； （2） 【解析】 【分析】（1）先计算，再与临界值比较判断求解； （2）先计算样本中心点，再应用公式计算，最后代入样本中心点计算. 【小问1详解】 零假设：数学成绩与单日运动时间无关， ， 零假设不成立，故可认为根据小概率值的独立性检验，数学成绩与单日运动时间有关． 【小问2详解】 ， ， 于是， 于是． 17. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值： （2）解不等式； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义得，代入计算即可求； （2）由（1）得出解析式，结合指数函数性质解不等式即可； （3）借助（2）中解析式求出值域，利用换元法求出的值域，由题意得出，进而得出的取值范围. 【小问1详解】 函数中，， 因为为奇函数， 所以，即， 整理得，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，其定义域为， 由得，即， 整理得，解得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分X（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩为114分及以上的被认定为“卓越”等级． （1）若该芯片共生产了27000片，试估计其中测试成绩为80分及以上的芯片的数量；（结果四舍五入保留到整数） （2）从该批次芯片中随机抽取3片，记其中等级为“卓越”的芯片的数量为Y，求Y的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 【答案】（1）22716 （2） Y 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的性质求解即可； （2）首先求出，再根据二项分布可得分布列及数学期望. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以 ， 则， 所以估计该批次芯片中测试成绩为80分及以上的芯片的数量为22716； 【小问2详解】 因为，， 所以， 由题意得， Y的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 ． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求在处的切线； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）时，在单调递增，在单调递减； 时，在，单调递增，在单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，单调递增，在单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用分类讨论及导数的区间符号确定函数的单调性即可； （3）将问题化为的图象与直线有两个不同的交点，并应用导数研究函数性质，利用其图象分析参数范围. 【小问1详解】 当时，，则， 又，则， 切线方程为，即； 【小问2详解】 函数的定义域为， ∴， 若，则，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若，令，则或， 当，即时，或， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当，即时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当，即时，或，， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 综上： 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 ， 令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点， 所以，则 ， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，，大致图象如下， 要使的图象与直线有两个不同的交点，则，即， 所以a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $