精品解析：河北衡水市枣强中学2025-2026学年高二下学期6月期末一考试数学试题

高二年级下学期期末一考试数学学科试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 则，即正态曲线关于直线对称， 所以， 又， 所以. 2. 某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知，，再利用二项分布求概率即可. 【详解】设答对的题目数量为，则， . 故选：A. 3. 现有一支200人的队伍，从中先选取50人组成A方队，再从剩下150人中选取100人组成B方队，则不同的排法总数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列数适用于有顺序要求的排法场景，分两步计算总排法数即可. 【详解】第一步：从200人中选取50人组成A方队，考虑站位顺序，共有种排法； 第二步：第一步选取后剩余人，从中选取100人组成B方队，考虑站位顺序，共有种排法； 根据分步乘法计数原理，总排法数为两步排法数的乘积，即. 4. 现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果： 30岁及以下 30岁以上 男 150 60 女 200 90 记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（ ） 附：，． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对列联表各位置数值赋值后代入卡方公式计算结果，再与临界值比较即可得到答案. 【详解】，， . 所以. 5. 东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设抽取到高二年级学生的人数为，则可取1，2，3，再分别求出对应概率并计算期望即可． 【详解】设抽取到高二年级学生的人数为，则可取1，2，3， ；， ， ． 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据式子的组成构造函数，利用导数研究函数的单调性进而比较大小. 【详解】因为，，， 考虑构造函数，求导得，， 当，当 所以函数在单调递增，在单调递减. 所以，，，而, 显然，, 所以. 7. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） 3 4 6 7 20 40 80 A. 5 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由表格可得， 因样本中心点满足回归方程， 即，解得. 当时，， 此时残差为. 8. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论甲、乙是否选择两个主题体验，求得，，结合条件概率公式即可得结果. 【详解】若甲体验儒家文化，则有： 当甲只选择一个主题体验，则不同的选法种数为； 当甲选择两个主题体验，则不同的选法种数为； 综上所述：不同的选法种数为，即； 若甲体验儒家文化且乙体验湖光山色，则有： 当甲、乙均只选择一个主题体验，则不同的选法种数为1； 当甲选择两个主题体验，乙只选择一个主题体验，则不同的选法种数为； 当甲只选择一个主题体验，乙选择两个主题体验，则不同的选法种数为； 综上所述：不同的选法种数为，即； 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】可通过二项展开式通项计算各次项系数，也可通过赋值法快速求解特定系数组合的值. 【详解】对于A，的系数仅来自的最高次项，即，故A正确； 对于B，令代入原式计算，得，故B正确； 对于C，，，，即，故C错误； 对于D，令代入原式，左边为，右边为，故，D正确. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若随机变量X，Y满足，则 B. 两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近1 C. 经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 D. 若事件M，N满足，，，则 【答案】AB 【解析】 【详解】选项A：根据方差的运算性质，对任意常数，有， 本题中，因此，A正确． 选项B：样本相关系数的绝对值常用来度量两个随机变量线性的相关程度，其绝对值越接近1，表示线性相关程度越强，B正确． 选项C：经验回归直线一定经过样本中心点，但不一定经过其中的样本数据点，C错误． 选项D：由条件概率性质，，因此，D错误． 11. 对于维向量，，，，二者夹角的余弦值现有一组点，设，，记，，已知这组点由最小二乘法所得的经验回归方程为和，若，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相关性强，则（ ） 附：，，，. A. B. 在上的投影向量为 C. D. 这组点的线性相关性弱 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据样本中心点过，再联立得到，对于B，在上的投影向量为，又即可判断；对于C，根据向量夹角的定义可得 ；对于D，由，再结合题意判断即可． 【详解】已知经验回归方程为和， 设， ，解得，则，故A正确； 在上的投影向量为， ， ， 而回归方程中，中，二者不相等， 因此投影向量为，B错误； 相关系数， ， 所以 ，C正确； 由回归方程中，中，， ， ， 所以这组点的线性相关性强，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量的分布列如表， 0 1 2 3 4 则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据分布列的性质求得，根据数学期望的计算公式求得 【详解】根据分布列的性质，所有概率之和为1，得,, 由离散型随机变量数学期望的定义， . 13. 已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量，且，若，，则________． 【答案】##0.45 【解析】 【分析】根据正态曲线对称的性质即可求解． 【详解】因为， 所以，则． 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则________． 【答案】##0.3125 【解析】 【分析】由题得出的递推式，构造等比数列求解即可． 【详解】由题意得，时，，即， 设，故， 所以，其中， 即是首项为，公比为的等比数列， 故，即， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某高中为研究学生课外阅读时间与视力健康的关联性，从全校的3000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到部分数据如表． 课外阅读时间 视力健康情况 合计 视力正常 视力不良 小时／天 35 60 小时／天 10 合计 100 （1）试估计全校学生中视力不良的学生人数； （2）补全列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的视力健康与课外阅读时间有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）1050 （2） 课外阅读时间 视力健康情况 合计 视力正常 视力不良 小时／天 35 25 60 小时／天 30 10 40 合计 65 35 100 认为学生的视力健康与课外阅读时间无关． 【解析】 【小问1详解】 由题可得课外阅读时间小时／天的学生中视力不良的有人， 所以估计全校学生中视力不良的学生人数为3000. 【小问2详解】 补全列联表： 课外阅读时间 视力健康情况 合计 视力正常 视力不良 小时／天 35 25 60 小时／天 30 10 40 合计 65 35 100 零假设为：学生的视力健康与课外阅读时间无关， .930＜， 所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为学生的视力健康与课外阅读时间无关． 16. 已知的展开式中，二项式系数之和等于1024．常数项为， （1）求的值； （2）第项的系数是第项系数的6倍，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出展开式的通项公式，利用常数项求出的值； （2）利用项的系数关系，结合组合数计算求得的值. 【小问1详解】 根据二项式性质，二项式系数之和为，由题知，得. 展开式的通项为： 常数项满足的指数为0，令，解得. 所以常数项为：. 由题意得，且，解得，即. 【小问2详解】 第项对应，系数为； 第项对应，系数为. 由题意得：， 整理得：， 由组合数性质可得：，代入得： 解得（符合的范围）. 17. 随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分X（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩为114分及以上的被认定为“卓越”等级． （1）若该芯片共生产了27000片，试估计其中测试成绩为80分及以上的芯片的数量；（结果四舍五入保留到整数） （2）从该批次芯片中随机抽取3片，记其中等级为“卓越”的芯片的数量为Y，求Y的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 【答案】（1）22716 （2） Y 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的性质求解即可； （2）首先求出，再根据二项分布可得分布列及数学期望. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以 ， 则， 所以估计该批次芯片中测试成绩为80分及以上的芯片的数量为22716； 【小问2详解】 因为，， 所以， 由题意得， Y的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 ． 18. 函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）当，时， （ⅰ）求的值域； （ⅱ）证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ），， ，偶函数， ，， ，偶函数， 由奇偶性知只要证明时即可． 即证当时，， 当时，由（ⅰ）， 考虑，， ， 单调递增，此时， 于是，即， 故只要证在时成立即可． 设，， 设，则， 由（ⅰ）函数在上单调递增， 所以在上单调递减，故， 故在上单调递减，即单调递减，又， 单调递减，，故， 综上． 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义确定切线斜率，即可求解； （2）（ⅰ）令，确定为偶函数，求导确定其在上的值域即可求解；（ⅱ）由的单调性，得到，进而证明在时成立即可． 【小问1详解】 ，， 又， 故曲线在处的切线方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）设，由于其是偶函数，故只需考虑其在时的情况． ，设，， 单调递增，于是，故在上单调递增， 而，， 可知在上单调递增， 结合偶函数的性质可得在上的值域为． （ⅱ）略 19. 某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响． （1）求甲在象棋比赛中积1分的概率； （2）记甲在活动中总得分为2的概率为，证明：p越大时，越大； （3）若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)利用n次独立重复试验中恰好k次成功”的二项分布模型求解； (2)利用全概率公式求解，再考虑其单调性； (3)全概率公式和条件概率公式的综合应用. 【小问1详解】 甲在象棋比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，共胜1场，故概率为． 【小问2详解】 证明：甲在游戏中总得分为2，设甲在比赛中得分为M，总分为N，易知M可能为1或2， 由全概率公式， 因为二次函数在上单调递增， 所以当p越大时，越大． 【小问3详解】 象棋比赛中在事件A发生的条件下，若B不发生，则存在乙、丙、丁中的某人在比赛中得两分，且在抽奖中得两分，并且甲在抽奖中得0分， A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， A与同时发生时，有， 由全概率公式， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下学期期末一考试数学学科试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 2. 某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 现有一支200人的队伍，从中先选取50人组成A方队，再从剩下150人中选取100人组成B方队，则不同的排法总数为（ ） A. B. C. D. 4. 现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果： 30岁及以下 30岁以上 男 150 60 女 200 90 记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（ ） 附：，． A. B. C. D. 5. 东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） 3 4 6 7 20 40 80 A. 5 B. C. 4 D. 8. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若随机变量X，Y满足，则 B. 两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近1 C. 经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 D. 若事件M，N满足，，，则 11. 对于维向量，，，，二者夹角的余弦值现有一组点，设，，记，，已知这组点由最小二乘法所得的经验回归方程为和，若，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相关性强，则（ ） 附：，，，. A. B. 在上的投影向量为 C. D. 这组点的线性相关性弱 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量的分布列如表， 0 1 2 3 4 则______. 13. 已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量，且，若，，则________． 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某高中为研究学生课外阅读时间与视力健康的关联性，从全校的3000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到部分数据如表． 课外阅读时间 视力健康情况 合计 视力正常 视力不良 小时／天 35 60 小时／天 10 合计 100 （1）试估计全校学生中视力不良的学生人数； （2）补全列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的视力健康与课外阅读时间有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知的展开式中，二项式系数之和等于1024．常数项为， （1）求的值； （2）第项的系数是第项系数的6倍，求的值． 17. 随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分X（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩为114分及以上的被认定为“卓越”等级． （1）若该芯片共生产了27000片，试估计其中测试成绩为80分及以上的芯片的数量；（结果四舍五入保留到整数） （2）从该批次芯片中随机抽取3片，记其中等级为“卓越”的芯片的数量为Y，求Y的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 18. 函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）当，时， （ⅰ）求的值域； （ⅱ）证明：． 19. 某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响． （1）求甲在象棋比赛中积1分的概率； （2）记甲在活动中总得分为2的概率为，证明：p越大时，越大； （3）若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $