2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务十五·弧度制及任意角的三角函数 课件

这是一份高一数学期末复习课件，围绕“弧度制及任意角的三角函数”展开，包含主干知识梳理、基础检测、能力达标练习及规律方法总结，为学生提供系统的复习支架。 资料特色在于知识体系清晰，通过表格梳理概念、公式推导及实例解析，如象限角集合表示、扇形面积最值计算，培养学生数学抽象与逻辑推理能力，帮助学生夯实基础，也为教师教学提供结构化复习方案。高一学生处于初高中知识过渡阶段，需重点掌握抽象概念与逻辑推理，本资料通过分层练习与方法总结，助力学生巩固核心知识，适应高中数学学习要求。

高一数学期末复习课程 任务十五·弧度制及任意角的三角函数 一、主干知识梳理 1.任意角的概念 定义 平面内一条射线绕着　　　　从一个位置旋转到另一个位置所成的图形  分类 按旋转方向 　　　　、　　　　、　　　　  按终边位置 　　　　　　、轴线角  终边相 同的角 所有与角α终边相同的角,可构成一个集合S={β|β=α+2kπ,k∈Z} 端点 正角 负角 零角 象限角 2.弧度制 定义 长度等于　　　　　　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号 rad表示,读作弧度  公式 角α的弧度数公式 |α|=　　   角度与弧度的换算 1°=　　 　 rad;1 rad=　 　  弧长公式 弧长l=　 　  扇形面积公式   利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度 S=lr=　 　  半径长 　 ()° |α|r |α|r2 [知识深化] 有关弧度制的注意点: (1)角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. (2)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是0<θ<2π,实际问题中注意根据这一范围进行取舍. 3.任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),那么sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0). (2)任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x,y)是角α终边上异于原点O的任一点,其到原点O的距离为r,则 sin α=,cos α=,tan α=(x≠0). (3)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦,如图.（首先判断α所在象限,再应用符号规律就可判断三角函数值符号） [知识深化] 当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线都变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0; 当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角α的余弦值为0,正切值不存在. 二、基础检测 1.角-863°的终边所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 解析:-863°=-2×360°-143°,-863°和-143°的终边相同,故-863°的终边在第三象限. 2.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A.2kπ+135°(k∈Z) B.k·360°+(k∈Z) C.k·360°+135°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z) C 解析:与的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确. 3.已知α是第一象限角,那么是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第二象限角 D.第一或第三象限角 D 解析:易知2kπ<α<+2kπ,k∈Z,故kπ<+kπ,k∈Z, 所以是第一或第三象限角. 4.一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角等于　　　弧度. 解析:由题意,这条弦与圆的相应两条半径组成等边三角形, 所对的圆心角是60°,即弧度. 5.已知sin A>0且tan A<0,则角A的终边在第　　　象限. 二 解析:因为sin A>0,所以角A的终边在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上.因为tan A<0,所以角A的终边在第二或第四象限上,所以角A的终边在第二象限. 6.已知角θ的终边经过点P(-12,5),则sin θ+cos θ=　　　. - 解析:由三角函数的定义可得 sin θ+cos θ==- 7.已知角α终边上一点P(1,y),若cos α=,则y的值为(　　) A. B.2 C.± D.±2 D 解析:由角α终边上一点P(1,y),得r=, 因此cos α=, 解得y=±2,所以y的值为±2.故选D. 8.已知扇形的弧长为2π,面积为3π,则扇形所在圆的半径为　　　　　. 3 解析:令扇形所在圆的半径为r,依题意,2π·r=3π,所以r=3. 三、能力达标 ①象限角及终边相同的角 例1 (多选)下列说法正确的是(　　) A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α=2kπ,k∈Z} B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α=90°+kπ,k∈Z} C.第三象限角的集合为{α|π+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z} D.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为-675°和-315° AD 解析:选项A显然正确;选项B中,终边落在y轴上的角的集合为{α|α=+kπ,k∈Z|,角度与弧度不能混用,故错误;选项C中,第三象限角的集合为{α|π+2kπ<α<+2kπ,k∈Z},故错误;选项D中,所有与45°角终边相同的角可表示为β=45°+k·360°,k∈Z,令-720°≤45°+k·360°<0°(k∈Z),解得-k<-(k∈Z),从而当k=-2时,β=-675°;当k=-1时,β=-315°,故正确.故选AD. (2)若α是第二象限角,则(　　) A.-α是第一象限角 B.是第三象限角 C.+α是第二象限角 D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上 D 解析 由α是第二象限角,可得+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z. 对于A,可得-π-2kπ<-α<--2kπ,k∈Z,此时-α是第三象限角,所以A错误; 对于B,可得+kπ<+kπ,k∈Z,当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角,所以B错误; 对于C,可得2π+2kπ<+α<+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<+α<+2(k+1)π,k∈Z,所以+α是第一象限角,所以C错误; 对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z, 所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上,所以D正确.故选D. (2)转化法:先将已知角化为2kπ+α(α∈[0,2π),k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角. 3.判断角或nα(n∈N*)所在象限的方法步骤 (1)将角α的范围用不等式表示(含有k,k∈Z); (2)在不等式两边同除以n或乘n(n∈N*); (3)对k进行分类讨论,确定或nα的终边所在象限. [提醒]注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α的终边逆时针旋转180°可得角α+180°的终边,类推可知α+k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角. 及时练1 (1)把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是(　　) A.- B.- C. D. A 解析:∵-=-2π-, ∴-与-是终边相同的角,且此时是最小的. (2)集合{α|kπ+≤α≤kπ+,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) C 解析 当k=2n(n∈Z)时,2nπ+2nπ+(n∈Z),此时α的终边和的终边一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+2nπ+π+(n∈Z),此时α的终边和的终边一样.故选C. (3)已知角θ在第二象限,且=-sin,则角在(　　) A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限 C.第三象限 D.第四象限 C 解析:∵角θ是第二象限角,∴θ∈(2kπ+,2kπ+π),k∈Z, (kπ+,kπ+),k∈Z,∴角在第一或第三象限. 又=-sin,∴sin<0,∴角在第三象限. ②.扇形的弧长及面积公式的应用 例2 已知一扇形的圆心角为α(α>0),弧长为l,周长为C,面积为S,半径为r. (1)若α=35°,r=8 cm,求扇形的弧长; (2)若C=16 cm,求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 解:(1)α=35°=35 rad= rad,扇形的弧长l=αr=8=(cm). (2)(方法一)由题意知2r+l=16, ∴l=16-2r(0<r<8),则S=lr=(16-2r)r=-r2+8r=-(r-4)2+16, 当r=4 cm时,Smax=16 cm2,l=16-2×4=8 cm,α==2, ∴S的最大值是16 cm2,此时扇形的半径是4 cm,圆心角α=2 rad. (方法二)S=lr=l·2r=16,当且仅当l=2r,即r=4 cm时,S的最大值是16 cm2. 此时扇形的圆心角α=2 rad. 及时练2：(1)已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l, (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长l; (2)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大? 解 (1)∵α=60°= rad,R=10 cm, ∴扇形的弧长l=αR=10=(cm). (2)由题意,得l+2R=20, ∴l=20-2R. ∴S扇=lR=(20-2R)R=-R2+10R=-(R-5)2+25. ∴当R=5 cm时,S扇有最大值25 cm2. 此时l=20-2×5=10(cm),α==2 rad. ∴当α=2 rad时,扇形的面积最大. (2)(多选)已知扇形的半径为r,弧长为l,若其周长为4, 则下列说法正确的是(　 　) A.若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为1 B.该扇形面积的最大值为1 C.当该扇形的面积最大时,其圆心角的弧度数为2 D.的最小值为9 ABC 解析:由题意知2r+l=4,扇形的面积S=lr,l=αr(α为扇形的圆心角的弧度数,α>0). 对于选项A,当r=1时,l=2,可得S=2×1=1,故选项A正确; 对于选项B,C,S=(4-2r)r=(2-r)r=-r2+2r=-(r-1)2+1,当r=1时,S取得最大值1,此时l=2,α=2,故选项B,C正确; 对于选项D,当r=1时,l=2,此时=2+<9,故选项D不正确.故选ABC. ③.三角函数的概念 例3 (1)在平面直角坐标系xOy中,若角α以原点为顶点,以x轴非负半轴为始边,其终边与单位圆交点的横坐标为,则α的一个可能取值为(　　) A.-60° B.-30° C.45° D.60° B 解析:依题意可得cos α=,则α=30°+k·360°,k∈Z或α=-30°+k·360°,k∈Z, 所以α的一个可能取值为-30°.故选B. 三角函数定义的应用 (2)(多选)已知角θ的终边经过点(2,-),且θ与α的终边关于原点对称,则下列结论正确的是(　 　) A.sin θ=- B.α为钝角 C.cos α=- D.点(tan θ,sin α)在第二象限 ACD 解析:因为角θ的终边经过点(2,-),所以sin θ=-,A正确; 因为θ与α的终边关于原点对称,所以角α的终边经过点(-2,),所以α为第二象限角,但不一定为钝角,B错误; cos α=-,C正确; 因为tan θ=-<0,sin α=>0,所以点(tan θ,sin α)在第二象限,D正确.故选ACD. 及时练3： (1)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以x轴的非负半轴为始边,终边关于原点O对称.若角α的终边与单位圆☉O交于点P(,-),则cos β=(　　) A. B.- C. D.- B 解析 因为角α与角β终边关于原点O对称,且角α的终边与单位圆☉O交于点P(,-),所以角β的终边与单位圆☉O交于点P'(-),故cos β=-故选B. (2)已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合, 终边经过点P(-4m,3m)(m≠0),则2sin α+cos α的值为　　　　　. 或-　 解析:由题意得,点P与原点间的距离r==5|m|, 所以sin α=,cos α=,当m>0时,sin α=,cos α=-,故2sin α+cos α=; 当m<0时,sin α=-,cos α=,故2sin α+cos α=- 例4 (1)(多选)若角α的终边经过点P(1,m)(m<0), 则下列各式一定为正的是(　　) A.sin α+cos α B.cos α-sin α C.sin αcos α D. BD 解析:因为角α的终边经过点P(1,m)(m<0),所以α为第四象限角, 则sin α<0,cos α>0,tan α<0. sin α+cos α的正负无法判断,cos α-sin α>0,sin αcos α<0,>0.故选BD. 三角函数值符号的判断 (2)已知角α的终边落在直线y=-3x(x<0)上,则=　　　　　. 2 解析:由角α的终边落在直线y=-3x(x<0)上, 所以角α的终边位于第二象限,可得cos α<0,sin α>0, 所以=1-(-1)=2. 及时练4(1)若>0,则θ为(　　) A.第一、二象限角 B.第二、三象限角 C.第一、三象限角 D.第一、四象限角 D 解析 因为>0,所以sin θ,tan θ同号, 在第一象限时sin θ>0,tan θ>0, 在第四象限时sin θ<0,tan θ<0, 所以θ是第一、四象限角.故选D. (2)设角α的终边不在坐标轴上,那么函数y= 的值域为　　　　. {1,-3} 解析 当α为第一象限角时,y=1-1+1=1, 当α为第二象限角时,y=1+1-1=1, 当α为第三象限角时,y=-1+1+1=1, 当α为第四象限角时,y=-1-1-1=-3. 所以函数的值域为{1,-3}. 任 务 完 成 $