期末真题百练通关（解答题）-2025-2026学年沪教版五年级下学期

**基本信息** 聚焦五年级期末13大常考题型，以真题为载体，系统构建“问题情境-等量关系-模型应用”解题体系，强化小数运算与几何知识的逻辑关联，培养抽象能力与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |小数运算|5题|分段计费/归总问题：“基础量+变量”分步计算|从整数运算迁移，强化小数四则混合运算顺序| |方程应用|18题|和差倍/相遇问题：“设未知数+找等量关系”建模|从单未知数到复杂情境，逐步提升代数推理能力| |几何计算|27题|棱长/表面积/体积：公式应用（含无盖/拼接/排水法）|从一维棱长到三维体积，构建空间观念递进链|

小学数学：期太通关出 2025-2026下学期五年级期末解答真题百练通关（13大常考题型) 常考题型 题型1 小数四则混合运算 题型8 正方体的棱长 题型2 列方程解决含有一个未知数的问题 题型9 长方体的表面积 题型3 列方程解决和差倍问题 题型10 正方体的表面积 题型4 列方程解决相遇问题 题型11 长方体和正方体的体积和容积 题型5 列方程解决复杂的相遇问题 题型12 不规则物体的体积 题型6 列方程解决盈亏问题 题型13 长方体和正方体的综合计算 题型7 长方体的棱长 题型精炼 题型1 小数四则混合运算 王老师从家乘出租车去火车站，共付车费17.4元，王老师家到火车站的路程是多少千米？ 出租车收费标准 3千米以内（含3千米）收费3元，超过3千米的部分，每千米收费1.8元。 2.桃源非遗工坊制作木雕桃花挂件，原来一个挂件的材料成本是4.5元。为了让木雕花纹更 立体、表面更光滑，工坊改进制作工艺，每个挂件的材料成本增加了0.9元。原来准备做240 个挂件的材料，现在能做多少个？ 080●0年8g年●80●00e0000●年000●000。●080●00●●0C 小学数学：期未太通关 3.玩具厂在做玩具熊时改进了制作方法，信息如下： ①原来准备做180个玩具熊： ②原来做一个玩具熊用3.8元的材料： ③现在做一个玩具熊用0.6米的布： ④现在做一个玩具熊少用0.2元的材料。 求原来做这些玩具熊的材料现在可以做多少个？可以选择的信息是()（填序号）。 列式解答。 4.学校准备假期开展教室翻新工作，要给一间教室重新铺设地面。这间教室的地面是长8.8 米、宽64米的长方形，采购的地砖是边长0.8米的正方形款式。要把这间教室的地面完整铺 满，100块这样的地砖，够吗？ 5.菜市场租摊位收费实行分段计费：每月租金首5平方米按每平方米120元收费，超过5平 方米的部分，每平方米按105元收费。王阿姨租了一个8.5平方米的摊位，每月应付租金多少 元？ 题型2 列方程解决含有一个未知数的问题 6.一种饮料有两种规格的包装。大瓶容量1.5升，是小瓶容量的3倍多0.3升。小瓶的单价是 1.8元/瓶，大瓶的单价比小瓶的3倍贵0.4元/瓶。求小瓶的容量和大瓶的单价。 7.张阿姨和刘阿姨用20分钟合打一篇5000字关于中国选手高亭宇在这次亚冬会夺得冠军的 新闻稿件。张阿姨每分钟大约打140字，刘阿姨平均每分钟大约打多少字？ 8.甲乙两个工程队分别从两头同时开凿一个长3900米的隧道，甲队每天开凿65米，乙队每 天开凿的米数是甲队的2倍，多少天后隧道开通，两队相遇？（列方程解答） 9.光的速度是30万千米/秒，相当于1秒绕地球赤道约7圈还多2万千米。地球赤道的周长 大约多少万千米？（先写出等量关系再列方程解答） (1)等量关系： (2)列方程解答： 小学数学：期本太通关 10.目前，中国高铁里程位居世界第一。2023年我国高铁里程达到4.5万千米，比2013年高 铁里程的4倍多01万千米。2013年我国高铁里程是多少万千米？（写出数量关系，用方程解 答) 数量关系： 11.妈妈在超市买了1.3千克豆腐和3.8千克苹果，共花了45.56元。已知每千克豆腐6.4元， 那么平均每千克苹果多少元？ 12.书籍是人类进步的阶梯，承载智慧与文明。实验小学积极引导学生阅读文学名著，启迪心 灵，拓宽视野。学校图书馆购入了120本《西游记》，正好比购买《三国演义》的2倍还多出 8本。学校图书馆购入了多少本《三国演义》？（列方程解答） 题型3 列方程解决和差倍问题 13.淘气有大小两本集邮册，大集邮册中的邮票张数比小集邮册中的邮票张数多60张，并且 大集邮册中的邮票张数正好是小集邮册中邮票张数的4倍，这两本集邮册中分别有多少张邮 票？（列方程解答）。 小学数学：期本太通送。 14.如图，小哲买了一套学习用品共花了35元，已知一本笔记本的价钱是一支圆珠笔的4倍， 一本笔记本和一支圆珠笔各多少元？（列方程解决) 15.清明上河园是一座大型的历史文化主题公园，它的占地面积约为40.8公顷，其中陆地面 积大约是水域面积的2.4倍。清明上河园的陆地面积和水域面积约各有多少公顷？（列方程解 答) 16.古人云：读万卷书，行万里路。实验学校为了给孩子们提供了一个更广阔的阅读天地，在 校园楼道中摆放了一排书架，书架共有书540本，书架分为上、下两层，下层放的书的本数是 上层的14倍，上、下两层原来各放了多少本书？ 17.为绿化城市街道，市政公司三、四月份共投放花草3800盆，四月份投放的盆数是三月份 的4倍，三月份投放花草多少盆？（列方程解答） 小学数学：期本太通送 18.替山河妆成锦绣，把国土绘成丹青。绿水村植树造林，共种植了侧柏和杉树700棵，侧 柏棵数是杉树的2.5倍。侧柏和杉树各种植了多少棵？（列方程解答） 题型4 列方程解决相遇问题 19.甲、乙两地相距680千米，李叔叔和王叔叔分别开车同时从甲、乙两地出发，相向而行， 李叔叔开车的行驶速度是80千米时，他们出发经过4小时后在城固相遇，王叔叔开车的速度 是多少千米时？（列方程解答） 20.沈阳到天津的铁路全长是693千米，甲、乙两辆列车同时从两地相对开出，1.8小时后相 遇，甲列车平均每时行驶197千米，乙列车平均每时行驶多少千米？（列方程解答） 21.东西两站相距280千米，甲、乙两车分别从东西两站相向出发，甲车先行1小时，乙车才 出发，乙车行2.5小时后两车相遇。已知甲车每小时行42千米，乙车每小时行多少千米？（用 方程解) 每每香参而市年香年每后级而有●华每每参而带华场每参后有●华每每参香而标年华 小学数学：期本太通关 22.甲、乙两车同时从同一地点出发反向而行，甲车速度50千米时，乙车速度60千米/时， 几时后两车相距220千米？（先写出等量关系，再列方程解决问题） 题型5 列方程解决复杂的相遇问题 23.甲、乙两地相距840千米，一辆货车和一辆客车分别从甲乙两地同时相向开出，经过6 小时相遇。客车每小时比货车快14千米，两车的速度各是多少？ 24.两车同时从甲、乙两地相对开出，甲车每小时行48千米，乙车每小时行54千米，相遇时 两车离两地中点12千米，两车几小时相遇？（列方程解答）甲、乙两地相距多少千米？ 25.张阿姨和李阿姨两家相距1200米，为庆祝元旦，相约新壹城吃饭，新壹城在两家之间， 她们约好上午11时同时出发。经过8分钟她俩在新壹城门口碰面。李阿姨每分钟走72米，张 阿姨每分钟走多少米？ (1)阅读理解：知道了相距的路程、时间和()，求的是 (2)分析解答： ①画线段图分析数量关系。 ②等量关系式： ③列方程解答。 (3)回顾反思： 通过画线段图可以清楚地分析数量之间的( )关系，这里用到( )、( )和( 的数量关系来列方程。 级●多年参用带而香年每每8用泰●票年用每参带原年年每级用用●银8每象香而年华 小学数学期未太通关过 26.复兴号高铁列车与和谐号高铁列车同时从A城和B城相对开出，和谐号平均每小时行驶 270千米，复兴号的速度是和谐号速度的1.2倍。已知A、B两城相距1485千米，两车开出后， 经过多长时间相遇？（列方程解答） 27.妙妙去距离家4.6千米的图书馆借书，到地方后发现忘记带借书卡了，打电话和妈妈联系 后，妈妈给她送过来，妙妙也从图书馆出来去接妈妈。她们同时分别从家和图书馆出发，妈妈 骑自行车每分钟行0.4千米，妙妙步行，10分钟后两人相遇。妙妙每分钟步行多少千米？ 28,列方程解决问题：小丁丁每天早上7：59从家出发上学。如果每分钟走80米，那么正好 准时到校。如果每分钟走70米，则会迟到3分钟。小丁丁家离学校有多远？ 29.小芳家和小亮家相距300，他们分别从家门口出发，同时向相反方向走去。6.5分钟后两 人相距1080m。小芳平均每分钟走44m,小亮平均每分钟走多少米？ 小亮家 小芳家 小亮 小芳 300m 1080m 小学数学：期本太通关 30.A、B两座房屋相距360米，甲、乙两人分别从A、B两座房屋门口同时出发，甲从A向 西走，乙从B向东走，如图所示，4分钟后两人相距808米，甲每分钟走55米。乙每分钟走 多少米？（列方程解答） 360米 B 31.小巧和小亚两人各自从相距4千米的家出发，相向而行，小巧先出发5分钟后，小亚再出 发，小亚骑车每分钟行190米，小巧每分钟步行60米，小亚出发几分钟后两人相遇？ 题型6 列方程解决盈亏问题 32.一段长4800米的河道需要清淤。甲清淤队每天可清淤150米，乙清淤队每天可清淤170 米。两队同时从河道两端开始清淤，相向而行，多少天能完成清淤工作？（列方程解答） 33.爸爸的糖果数量是儿子的3倍，如果爸爸给儿子12颗，两人的糖果就同样多了。爸爸和 儿子原来各有多少颗糖果？ 参。而每垂●多每8。而象香●每参带级垂年每每8后泰象香多年参带原香年 小送葱学：期末太通关过 34.快递专用车的最大装载质量发生了新变化，原来的最大装载质量比现在的2倍少60千克。 己知原来的最大装载质量和现在的最大装载质量一共是480千克，那么现在的最大装载质量是 多少千克？（列方程解答） 35.蜀绣是中国刺绣传承时间最长的绣种之一，原来甲刺绣厂的绣娘人数是乙刺绣厂的4倍， 现从甲刺绣厂调40人到乙刺绣厂，则甲刺绣厂的绣娘比乙刺绣厂多1人。原来甲、乙刺绣 各有多少位绣娘？（列方程解答） 36.管理员把一些竹子分给若干只大熊猫。若每只大熊猫分15棵，则还多余10棵竹子：若大 熊猫的数量增加到原来的3倍还少5只，则每只大熊猫分6棵竹子还缺少8棵竹子。大熊猫有 多少只？竹子有多少棵？（列方程解答） 37.小胖带了一些钱去买彩纸，如果买9张，那么还剩下4.8元：如果买13张彩纸，那么正 好用完。彩纸多少钱一张？小胖带了多少钱？ 多年参而带带垂●每每级后而象香华多年参而带年香每每参。而象香●每香参。而期香 小学数学：期本太通关 题型7 长方体的棱长 38.用一根48厘米长的铁丝，围成一个长是5厘米、宽是4厘米的长方体框架。这个框架的 高是多少厘米？（铁丝没有剩余且接头处忽略不计） 39.爸爸的生日就要到了，天天买了爸爸最喜欢的茶叶作为生日礼物，并用彩带捆扎这个礼盒， 捆扎这个礼盒时打结处用了12厘米彩带。捆扎这个礼盒至少需要准备多少厘米长的彩带？ 12cm 40.张师傅把一个用铁丝制作的长4.5分米、宽4.5分米、高6分米的长方体灯笼框架改成了 一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼框架的棱长最长是多少分米？（接头处和损耗忽略不计） 41.为迎接五一劳动节，要在俱乐部的四周装上彩灯（地面的四边不装)。已知俱乐部的长 90米，宽55米，高20米，至少需要多长的彩灯线？ 小学数学：期太通关 题型8 正方体的棱长 42. 售货员阿姨给一个正方体礼品盒打上彩带（如图），礼品盒的棱长是20厘米，打结处的长 度是10厘米。一共需要多长的彩带？ 43.如图，捆扎一个正方体礼品盒用了50厘米长的丝带，其中打结处用了14厘米。这个正方 体礼品盒的棱长是多少厘米？ 44.一根铁丝正好可以折成一个长13厘米、宽6厘米、高11厘米的长方体框架，如果用这个 铁丝折成一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？ 45.李老师有一根80分米长的铁丝，围成一个正方体框架后还剩下8分米，这个正方体框架 的棱长是多少分米？ 46.用一根长铁丝刚好做成一个棱长6分米的正方体框架，若改做长8分米、宽5分米的长方 体框架，高是多少分米？ 小学数学：期本太通关 题型9 长方体的表面积 47.如图，淘淘想把3本完全一样的故事书包成一包。至少需要多少平方厘米的包装纸？（接 口处忽略不计) 2cm《故事书》 16cm 48.幼儿园新建了一个音乐室，长40米，宽25米，高3米，门窗一共是28平方米。要在音 乐室的墙壁和天花板上涂彩色颜料，涂色部分的面积是多少平方米？ 49.将两本长20厘米，宽15厘米，厚1厘米的数学课本包装在一起，共有()种不同的包 装方法，怎样包装最节省包装纸？ (1)请画出最节省包装纸的包装方法简图。 (2)计算至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处忽略不计） 50.学校要打造一个绿色生态劳动基地”，在一块长8米，宽6米的长方形土地上造一间高3 米的阳光房，四面墙壁和屋顶全部用铝合金支架和玻璃打造，每平方米的造价是1980元。这 个阳光房的造价至少需要多少元？ 小学葱学：期末太通关 51.美术课上，晶晶想把一个无盖的酸奶盒（如图)进行加工，变成漂亮、结实的杂物盒。（酸 奶盒的厚度不计)晶晶想把这个酸奶盒的里外都贴上一层彩纸（不计重合部分），至少需要多 少平方分米的彩纸？ 6cm 12cm 酸奶盒 25cm 52.只列综合算式，不计算。 一节长方体形状的通风管（如下图）长30分米，它的管口是边长2分米的正方形，如果做50 节这样的通风管，至少需要多少平方分米的铁皮？ 出风口 进风口 管口 题型10 正方体的表面积 53.将一个正方体的高减少3厘米，它的表面积就减少了72平方厘米，原来正方体的表面积 是多少平方厘米？ 54.王师傅要做一个棱长为60厘米的无盖正方体玻璃鱼缸，玻璃厂的报价是150元/平方米。 王师傅带了300元，够吗？ 小学数学：期本太通关 55.小青有若干根长度相等的吸管，总长为48厘米。她用这些吸管拼接成一个正方体的框架 (接口处忽略不计)，然后用包装纸把这个正方体框架的表面完全包起来，至少需要多少平方 厘米的包装纸？ 56.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地。自古以来，茶就被誉为中华民族的国饮。下面是 一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长度是158厘米（彩带打结处长30厘米）。做 这个礼品包装盒至少需要多少平方分米的纸板？ 57.一个长方体的底面是一个正方形，如果它的高增加3厘米，它的表面积就增加72平方厘 米，同时它又变成了一个正方体，求原来长方体的表面积是多少？ 题型11 长方体和正方体的体积 58.学校为庆祝六一儿童节，准备给每个班级发放礼品。现有一个长方体纸箱，长50厘米， 宽30厘米，高40厘米。礼品是边长为10厘米的正方体盲盒。这个长方体纸箱最多能装下多 少个这样的盲盒？（不考虑纸箱厚度） 40cm 10cm☑ 50cm 10cm 10cm 30cm 小学葱学：期末太通关 59.空心砖是一种常用建筑材料，内部有贯穿孔洞，具有减轻重量、节省材料、保温隔音等优 点。一种空心砖长250毫米、宽120毫米、高40毫米。内部有10个贯穿的正方体孔洞，制作 该砖的陶土每立方厘米重2.6克。制作一块空心砖需要陶土多少千克？（结果保留两位小数） 60.一块正方体石料棱长是6米，工人师傅在这块石料上挖出一个长5米、宽3.5米、深4米 的长方体凹槽后，就制成了一个石槽。这个石槽的质量是多少吨？（1立方米石料重2.5吨) 61.把一块棱长是1.2米的正方体钢材铸造成一个长8分米，宽5分米的长方体钢材。这个长 方体钢材的高是多少分米？ 62.一个长方体木料从中间锯开，正好锯成两个棱长6分米的正方体，这个长方体原来的体积 是多少？ 小学数学：期末太通关 63.科技展厅里有一个互动展台，展示阿基米德原理。工作人员正在演示一个实验：一个长方 体的玻璃缸，长8分米、宽7分米、高6分米，水深5分米。工作人员拿出一块棱长5分米的 正方体铁块，问同学们：如果竖直放入这块铁块，缸里的水会溢出多少升？” 题型12 不规则物体的体积 64.母亲节到了，李涵妈妈买了一个90克的实心纯银手镯送给李涵奶奶作为节日礼物。李涵 前两天正好阅读了阿基米德测皇冠体积的故事，也想用这个方法测试一下这个银手镯的体积。 他准备好实验器材，实验步骤如下： 第一步：准备一个棱长是4厘米的正方体容器。 第二步：往容器里倒入水，高度为3厘米。 第三步：把这个银手镯完全浸没在水中。 这时容器里的水面正好到容器口，且没有溢出，那么你认为这个银手镯的体积是多少立方厘 米？ 65.印章是一种雕刻和书法融合的传统艺术。一枚印章经雕刻后玉料减少，为了精准测量它的 体积，将其放入一个盛有水的棱长为1分米的正方体容器中，放入前水面高度为8厘米，放入 后水面刚好与容器齐平（完全浸没，水未溢出），那么印章的体积是多少立方厘米？ 小学数学：期未太通关 66.“藕，微甜而脆，开胃清热，可生食也可煮食”。萱萱为了学习凉拌藕片的做法，买了一些 藕。做凉拌藕之前，她想测量这些藕的体积，于是进行了如下操作： A,把藕慢慢地放入容器里，使其完全浸没在水中。 B.此时容器中的水溢出了400毫升。 C.准备一个棱长为20厘米（从里面量）的正方体容 器。 D.往容器里倒入一些水，这时水面高度是18厘米。 (1)将操作过程按顺序排列：( )( )→( )→( )(填字母)。 (2)请你计算这些藕的体积。 67.一个长方体鱼缸，长40厘米，宽25厘米，取出一块被浸没的珊瑚石后，水位从14.8厘 米下降到12厘米。现将长方体鱼缸里的水倒入新的正方体鱼缸，其棱长是50厘米。求珊瑚石 的体积是多少？正方体鱼缸水位是多少厘米？（损耗忽略不计） 68.天天的5G智能手表具备一定的防水功能。为了测试这块手表的体积以及手表的防水性能， 他做了如下实验：①先将一个棱长是8厘米的正方体铁块完全浸没到一个长方体水面上升了 3.2厘米；②再放入他的5G智能手表并完全浸没，水面又上升了0.15厘米（没有溢出）。天天 的5G智能手表的体积是多少立方厘米？ 8000年0年年08。●00e0000。年000●0●00●●080●●000年C 小学葱学：期末太通关心国 69.张华用排水法测量1颗玻璃球的体积，下面是他的测量记录。 ①选择一个正方体容器，从里面量，棱长是10厘米。 ②往这个容器中倒入一些水，测得水面的高度是7厘米。 ③把12颗完全相同的玻璃球轻轻地放入容器中，所有玻璃球都被水完全浸没。 ④再次测得水面的高度是8.8厘米。 根据上面的测量记录，请你计算出1颗玻璃球的体积是多少立方厘米？ 70.一块不规则的岩石完全浸没到底面积是45平方厘米的长方体玻璃缸中，此时液面高度是 18厘米，将岩石取出后，液面下降到17.5厘米，这块岩石的体积是多少？ 71.小明周末去商场购物，发现正在进行大促销，他看上了一个漂亮的无盖鱼缸，打算买下来。 店家告诉他，原价100元，如果朋友圈点赞人数大于等于25人时，可以半价购买，小明立刻 发了个朋友圈，邀请朋友们来帮他集赞，最后终于半价买下了一个长5分米，宽2分米，高3 分米的鱼缸，为了使鱼缸更美观，小明还看上了一块装饰用的珊瑚石，他发现当他把鱼缸内完 全浸没的珊瑚石拿出来后，水面从27厘米下降到了18厘米。 请根据以上信息选择一个合适的问题，并解答。 1号问题：小明买下的这个鱼缸，最终花了多少钱？ 2号问题：小明买的珊瑚石的体积有多少立方厘米？ 3号问题：小明把珊瑚石放入鱼缸后，最多还可以加入多少毫升的水？（玻璃厚度忽略不计） 我选择()号问题，我的解答： 小学数学：期杰太通关 72.小娅周末在家想学习自制珍珠奶茶。 步骤①：准备一个长方体的杯子，从里面量，长5厘米，宽4厘米，高15厘米： 步骤②：将250毫升的牛奶倒入杯子里； 步骤③：在杯子里放入50颗大小相同的珍珠”，浸没，此时正好满杯。 15cm .4cm 5cm (1)没放珍珠前，杯中倒入的牛奶的高度是多少？ (2)每颗珍珠的体积是多少立方厘米？ 题型13 长方体和正方体的综合计算 73.有两个无盖的长方体塑料水箱，甲水箱里装满水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长为 40厘米、宽为32厘米、水面高为20厘米：乙水箱长为30厘米、宽为24厘米、高为25厘米。 2cm 25cm 30cm 24cm (1)甲水箱的容积是多少立方厘米？ (2)在乙水箱开口处围一条宽为2厘米的标识带，标识带的面积是多少平方厘米？ (3)将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两个水箱水面高度一样，现在两个水箱的水面高度是多 少厘米？ 每每香参而年香华最每级而有●每每香参香年年香年号后象而有●华每香参香而年华 小学数学：期本太通送 74.王芳12周岁生日，小月送给她一个生日礼物，礼盒用一个长40厘米、宽30厘米、高10 厘米的长方体礼品盒包装，并用彩带扎好。（彩带接头处及其它长度共25厘米） (1)请计算所用彩带的长是多少厘米。 (②)做这个礼品盒需要多少平方厘米的硬纸板？（接头处忽略不计） (3)这个礼盒的体积是多少立方厘米？（忽略纸板的厚度） 75.某工厂要在平地上挖一个长12米、宽5米、深0.6米的长方体沉淀池。 ()挖这个沉淀池需要挖出多少方的土？（工程上1方=1立方米) (②)要在沉淀池的底面和四周内壁抹上防渗层，抹防渗层的总面积是多少平方米？ 76.如图是一个玻璃鱼缸（无盖），长、宽、高分别是12分米、8分米、10分米。 5 dm 10 dm 8 dm 12 dm (1)这个玻璃鱼缸占地面积是多少平方分米？ 。080000000●8●00●0080●0000年0000.00080●0。●●0 小学葱学：期末太通关 (2)做这个鱼缸需要多少玻璃？ (3)把一块长8分米宽6分米高4分米的铁块完全沉入水中，水面上升多少分米？ 77.造纸术是我国四大发明”之一。《天工开物》中记载竹子造纸需要经过取材、蒸煮、入帘、 压纸和烘干五个主要步骤。这种方法造出的宣纸质地柔韧，经久耐用，广受人们喜爱，被称为 "千年寿纸”。 (1)在“入帘环节要把煮烂的竹木浆倒入纸槽。长方体纸槽从里面量长12分米，宽10分米，高 5分米。这个纸槽最多能容纳多少升竹木浆？ (②)宣纸烘干后，为了运输过程中不受损坏，工匠制作了专门的木箱来装宣纸。如果这个长方 体木箱（有盖）长6分米，宽5分米，高7分米，制作这个木箱至少需要多少平方分米的木板 (木板的厚度不计)？ )0080●0000080。●0●0000。。0000000.00080●0。●●0 小学葱学：期末太通送 78.挖一个长8米，宽6米，深2米的蓄水池。 ()这个蓄水池的占地面积是多少平方米？ (2)如果给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分面积是多少平方米？ (3)若每立方米水重1吨，这个蓄水池最多能蓄水多少吨？ 79.聪聪非常喜欢研究数学问题。妈妈生日那天，聪聪从超市买来两个同样大小的礼品。通过 测量，他发现每个礼品的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、4厘米。聪聪想给妈妈一个惊喜， 准备将这两个礼品重叠起来，再用彩纸给表面包装起来写上妈妈生日快乐！”。 ()请帮聪聪算一算，这两个礼品所占的总空间是多大？ (2)如果按最节省彩纸的方法包装，至少需要多少平方厘米的彩纸？小学数学·期末大通关 2025-2026下学期五年级期末解答真题百练通关（13大常考题型） 常考题型 题型1 小数四则混合运算 题型8 正方体的棱长 题型2 列方程解决含有一个未知数的问题 题型9 长方体的表面积 题型3 列方程解决和差倍问题 题型10 正方体的表面积 题型4 列方程解决相遇问题 题型11 长方体和正方体的体积和容积 题型5 列方程解决复杂的相遇问题 题型12 不规则物体的体积 题型6 列方程解决盈亏问题 题型13 长方体和正方体的综合计算 题型7 长方体的棱长 题型精炼 题型1 小数四则混合运算 1．王老师从家乘出租车去火车站，共付车费17.4元，王老师家到火车站的路程是多少千米？ 出租车收费标准 3千米以内（含3千米）收费3元，超过3千米的部分，每千米收费1.8元。 2．桃源非遗工坊制作木雕桃花挂件，原来一个挂件的材料成本是4.5元。为了让木雕花纹更立体、表面更光滑，工坊改进制作工艺，每个挂件的材料成本增加了0.9元。原来准备做240个挂件的材料，现在能做多少个？ 3．玩具厂在做玩具熊时改进了制作方法，信息如下： ①原来准备做180个玩具熊； ②原来做一个玩具熊用3.8元的材料； ③现在做一个玩具熊用0.6米的布； ④现在做一个玩具熊少用0.2元的材料。 求原来做这些玩具熊的材料现在可以做多少个？可以选择的信息是（    ）（填序号）。 列式解答。 4．学校准备假期开展教室翻新工作，要给一间教室重新铺设地面。这间教室的地面是长8.8米、宽6.4米的长方形，采购的地砖是边长0.8米的正方形款式。要把这间教室的地面完整铺满，100块这样的地砖，够吗？ 5．菜市场租摊位收费实行分段计费：每月租金首5平方米按每平方米120元收费，超过5平方米的部分，每平方米按105元收费。王阿姨租了一个8.5平方米的摊位，每月应付租金多少元？ 题型2 列方程解决含有一个未知数的问题 6．一种饮料有两种规格的包装。大瓶容量1.5升，是小瓶容量的3倍多0.3升。小瓶的单价是1.8元/瓶，大瓶的单价比小瓶的3倍贵0.4元/瓶。求小瓶的容量和大瓶的单价。 7．张阿姨和刘阿姨用20分钟合打一篇5000字关于中国选手高亭宇在这次亚冬会夺得冠军的新闻稿件。张阿姨每分钟大约打140字，刘阿姨平均每分钟大约打多少字？ 8．甲乙两个工程队分别从两头同时开凿一个长3900米的隧道，甲队每天开凿65米，乙队每天开凿的米数是甲队的2倍，多少天后隧道开通，两队相遇？（列方程解答） 9．光的速度是30万千米/秒，相当于1秒绕地球赤道约7圈还多2万千米。地球赤道的周长大约多少万千米？（先写出等量关系再列方程解答） (1)等量关系： (2)列方程解答： 10．目前，中国高铁里程位居世界第一。2023年我国高铁里程达到4.5万千米，比2013年高铁里程的4倍多0.1万千米。2013年我国高铁里程是多少万千米？（写出数量关系，用方程解答） 数量关系：________________。 11．妈妈在超市买了1.3千克豆腐和3.8千克苹果，共花了45.56元。已知每千克豆腐6.4元，那么平均每千克苹果多少元？ 12．书籍是人类进步的阶梯，承载智慧与文明。实验小学积极引导学生阅读文学名著，启迪心灵，拓宽视野。学校图书馆购入了120本《西游记》，正好比购买《三国演义》的2倍还多出8本。学校图书馆购入了多少本《三国演义》？（列方程解答） 题型3 列方程解决和差倍问题 13．淘气有大小两本集邮册，大集邮册中的邮票张数比小集邮册中的邮票张数多60张，并且大集邮册中的邮票张数正好是小集邮册中邮票张数的4倍，这两本集邮册中分别有多少张邮票？（列方程解答）。 14．如图，小哲买了一套学习用品共花了35元，已知一本笔记本的价钱是一支圆珠笔的4倍，一本笔记本和一支圆珠笔各多少元？（列方程解决） 15．清明上河园是一座大型的历史文化主题公园，它的占地面积约为40.8公顷，其中陆地面积大约是水域面积的2.4倍。清明上河园的陆地面积和水域面积约各有多少公顷？（列方程解答） 16．古人云：读万卷书，行万里路。实验学校为了给孩子们提供了一个更广阔的阅读天地，在校园楼道中摆放了一排书架，书架共有书540本，书架分为上、下两层，下层放的书的本数是上层的14倍，上、下两层原来各放了多少本书？ 17．为绿化城市街道，市政公司三、四月份共投放花草3800盆，四月份投放的盆数是三月份的4倍，三月份投放花草多少盆？（列方程解答） 18．“替山河妆成锦绣，把国土绘成丹青。”绿水村植树造林，共种植了侧柏和杉树700棵，侧柏棵数是杉树的2.5倍。侧柏和杉树各种植了多少棵？（列方程解答） 题型4 列方程解决相遇问题 19．甲、乙两地相距680千米，李叔叔和王叔叔分别开车同时从甲、乙两地出发，相向而行，李叔叔开车的行驶速度是80千米/时，他们出发经过4小时后在城固相遇，王叔叔开车的速度是多少千米/时？（列方程解答） 20．沈阳到天津的铁路全长是693千米，甲、乙两辆列车同时从两地相对开出，1.8小时后相遇，甲列车平均每时行驶197千米，乙列车平均每时行驶多少千米？（列方程解答） 21．东西两站相距280千米，甲、乙两车分别从东西两站相向出发，甲车先行1小时，乙车才出发，乙车行2.5小时后两车相遇。已知甲车每小时行42千米，乙车每小时行多少千米？（用方程解） 22．甲、乙两车同时从同一地点出发反向而行，甲车速度50千米/时，乙车速度60千米/时，几时后两车相距220千米？（先写出等量关系，再列方程解决问题） 题型5 列方程解决复杂的相遇问题 23．甲、乙两地相距840千米，一辆货车和一辆客车分别从甲乙两地同时相向开出，经过6小时相遇。客车每小时比货车快14千米，两车的速度各是多少？ 24．两车同时从甲、乙两地相对开出，甲车每小时行48千米，乙车每小时行54千米，相遇时两车离两地中点12千米，两车几小时相遇？（列方程解答）甲、乙两地相距多少千米？ 25．张阿姨和李阿姨两家相距1200米，为庆祝元旦，相约新壹城吃饭，新壹城在两家之间，她们约好上午11时同时出发。经过8分钟她俩在新壹城门口碰面。李阿姨每分钟走72米，张阿姨每分钟走多少米？ (1)阅读理解：知道了相距的路程、时间和( )，求的是___________。 (2)分析解答： ①画线段图分析数量关系。 ②等量关系式：_________________。 ③列方程解答。 (3)回顾反思： 通过画线段图可以清楚地分析数量之间的( )关系，这里用到( )、( )和( )的数量关系来列方程。 26．复兴号高铁列车与和谐号高铁列车同时从A城和B城相对开出，和谐号平均每小时行驶270千米，复兴号的速度是和谐号速度的1.2倍。已知A、B两城相距1485千米，两车开出后，经过多长时间相遇？（列方程解答） 27．妙妙去距离家4.6千米的图书馆借书，到地方后发现忘记带借书卡了，打电话和妈妈联系后，妈妈给她送过来，妙妙也从图书馆出来去接妈妈。她们同时分别从家和图书馆出发，妈妈骑自行车每分钟行0.4千米，妙妙步行，10分钟后两人相遇。妙妙每分钟步行多少千米？ 28．列方程解决问题：小丁丁每天早上7：59从家出发上学。如果每分钟走80米，那么正好准时到校。如果每分钟走70米，则会迟到3分钟。小丁丁家离学校有多远？ 29．小芳家和小亮家相距300m，他们分别从家门口出发，同时向相反方向走去。6.5分钟后两人相距1080m。小芳平均每分钟走44m，小亮平均每分钟走多少米？ 30．A、B两座房屋相距360米，甲、乙两人分别从A、B两座房屋门口同时出发，甲从A向西走，乙从B向东走，如图所示，4分钟后两人相距808米，甲每分钟走55米。乙每分钟走多少米？（列方程解答） 31．小巧和小亚两人各自从相距4千米的家出发，相向而行，小巧先出发5分钟后，小亚再出发，小亚骑车每分钟行190米，小巧每分钟步行60米，小亚出发几分钟后两人相遇？ 题型6 列方程解决盈亏问题 32．一段长4800米的河道需要清淤。甲清淤队每天可清淤150米，乙清淤队每天可清淤170米。两队同时从河道两端开始清淤，相向而行，多少天能完成清淤工作？（列方程解答） 33．爸爸的糖果数量是儿子的3倍，如果爸爸给儿子12颗，两人的糖果就同样多了。爸爸和儿子原来各有多少颗糖果？ 34．快递专用车的最大装载质量发生了新变化，原来的最大装载质量比现在的2倍少60千克。已知原来的最大装载质量和现在的最大装载质量一共是480千克，那么现在的最大装载质量是多少千克？（列方程解答） 35．蜀绣是中国刺绣传承时间最长的绣种之一，原来甲刺绣厂的绣娘人数是乙刺绣厂的4倍，现从甲刺绣厂调40人到乙刺绣厂，则甲刺绣厂的绣娘比乙刺绣厂多1人。原来甲、乙刺绣厂各有多少位绣娘？（列方程解答） 36．管理员把一些竹子分给若干只大熊猫。若每只大熊猫分15棵，则还多余10棵竹子；若大熊猫的数量增加到原来的3倍还少5只，则每只大熊猫分6棵竹子还缺少8棵竹子。大熊猫有多少只？竹子有多少棵？（列方程解答） 37．小胖带了一些钱去买彩纸，如果买9张，那么还剩下4.8元；如果买13张彩纸，那么正好用完。彩纸多少钱一张？小胖带了多少钱？ 题型7 长方体的棱长 38．用一根48厘米长的铁丝，围成一个长是5厘米、宽是4厘米的长方体框架。这个框架的高是多少厘米？（铁丝没有剩余且接头处忽略不计） 39．爸爸的生日就要到了，天天买了爸爸最喜欢的茶叶作为生日礼物，并用彩带捆扎这个礼盒， 捆扎这个礼盒时打结处用了12厘米彩带。捆扎这个礼盒至少需要准备多少厘米长的彩带？ 40．张师傅把一个用铁丝制作的长4.5分米、宽4.5分米、高6分米的长方体灯笼框架改成了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼框架的棱长最长是多少分米？（接头处和损耗忽略不计） 41．为迎接“五一”劳动节，要在俱乐部的四周装上彩灯（地面的四边不装）。已知俱乐部的长90米，宽55米，高20米，至少需要多长的彩灯线？ 题型8 正方体的棱长 42．售货员阿姨给一个正方体礼品盒打上彩带（如图），礼品盒的棱长是20厘米，打结处的长度是10厘米。一共需要多长的彩带？ 43．如图，捆扎一个正方体礼品盒用了50厘米长的丝带，其中打结处用了14厘米。这个正方体礼品盒的棱长是多少厘米？ 44．一根铁丝正好可以折成一个长13厘米、宽6厘米、高11厘米的长方体框架，如果用这个铁丝折成一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？ 45．李老师有一根80分米长的铁丝，围成一个正方体框架后还剩下8分米，这个正方体框架的棱长是多少分米？ 46．用一根长铁丝刚好做成一个棱长6分米的正方体框架，若改做长8分米、宽5分米的长方体框架，高是多少分米？ 题型9 长方体的表面积 47．如图，淘淘想把3本完全一样的故事书包成一包。至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处忽略不计） 48．幼儿园新建了一个音乐室，长40米，宽25米，高3米，门窗一共是28平方米。要在音乐室的墙壁和天花板上涂彩色颜料，涂色部分的面积是多少平方米？ 49．将两本长20厘米，宽15厘米，厚1厘米的数学课本包装在一起，共有（    ）种不同的包装方法，怎样包装最节省包装纸？ （1）请画出最节省包装纸的包装方法简图。 （2）计算至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处忽略不计） 50．学校要打造一个“绿色生态劳动基地”，在一块长8米，宽6米的长方形土地上造一间高3米的阳光房，四面墙壁和屋顶全部用铝合金支架和玻璃打造，每平方米的造价是1980元。这个阳光房的造价至少需要多少元？ 51．美术课上，晶晶想把一个无盖的酸奶盒（如图）进行加工，变成漂亮、结实的杂物盒。（酸奶盒的厚度不计）晶晶想把这个酸奶盒的里外都贴上一层彩纸（不计重合部分），至少需要多少平方分米的彩纸？ 52．只列综合算式，不计算。 一节长方体形状的通风管（如下图）长30分米，它的管口是边长2分米的正方形，如果做50节这样的通风管，至少需要多少平方分米的铁皮？ 题型10 正方体的表面积 53．将一个正方体的高减少3厘米，它的表面积就减少了72平方厘米，原来正方体的表面积是多少平方厘米？ 54．王师傅要做一个棱长为60厘米的无盖正方体玻璃鱼缸，玻璃厂的报价是150元/平方米。王师傅带了300元，够吗？ 55．小青有若干根长度相等的吸管，总长为48厘米。她用这些吸管拼接成一个正方体的框架（接口处忽略不计），然后用包装纸把这个正方体框架的表面完全包起来，至少需要多少平方厘米的包装纸？ 56．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地。自古以来，茶就被誉为中华民族的国饮。下面是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长度是158厘米（彩带打结处长30厘米）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方分米的纸板？ 57．一个长方体的底面是一个正方形，如果它的高增加3厘米，它的表面积就增加72平方厘米，同时它又变成了一个正方体，求原来长方体的表面积是多少？ 题型11 长方体和正方体的体积 58．学校为庆祝六一儿童节，准备给每个班级发放礼品。现有一个长方体纸箱，长50厘米，宽30厘米，高40厘米。礼品是边长为10厘米的正方体盲盒。这个长方体纸箱最多能装下多少个这样的盲盒？（不考虑纸箱厚度） 59．空心砖是一种常用建筑材料，内部有贯穿孔洞，具有减轻重量、节省材料、保温隔音等优点。一种空心砖长毫米、宽毫米、高毫米。内部有10个贯穿的正方体孔洞，制作该砖的陶土每立方厘米重克。制作一块空心砖需要陶土多少千克？（结果保留两位小数） 60．一块正方体石料棱长是6米，工人师傅在这块石料上挖出一个长5米、宽3.5米、深4米的长方体凹槽后，就制成了一个石槽。这个石槽的质量是多少吨？（1立方米石料重2.5吨） 61．把一块棱长是1.2米的正方体钢材铸造成一个长8分米，宽5分米的长方体钢材。这个长方体钢材的高是多少分米？ 62．一个长方体木料从中间锯开，正好锯成两个棱长6分米的正方体，这个长方体原来的体积是多少？ 63．科技展厅里有一个互动展台，展示阿基米德原理。工作人员正在演示一个实验：一个长方体的玻璃缸，长8分米、宽7分米、高6分米，水深5分米。工作人员拿出一块棱长5分米的正方体铁块，问同学们：“如果竖直放入这块铁块，缸里的水会溢出多少升？” 题型12 不规则物体的体积 64．母亲节到了，李涵妈妈买了一个90克的实心纯银手镯送给李涵奶奶作为节日礼物。李涵前两天正好阅读了阿基米德测皇冠体积的故事，也想用这个方法测试一下这个银手镯的体积。他准备好实验器材，实验步骤如下： 第一步；准备一个棱长是4厘米的正方体容器。 第二步：往容器里倒入水，高度为3厘米。 第三步：把这个银手镯完全浸没在水中。 这时容器里的水面正好到容器口，且没有溢出，那么你认为这个银手镯的体积是多少立方厘米？ 65．印章是一种雕刻和书法融合的传统艺术。一枚印章经雕刻后玉料减少，为了精准测量它的体积，将其放入一个盛有水的棱长为1分米的正方体容器中，放入前水面高度为8厘米，放入后水面刚好与容器齐平（完全浸没，水未溢出），那么印章的体积是多少立方厘米？ 66．“藕，微甜而脆，开胃清热，可生食也可煮食”。萱萱为了学习凉拌藕片的做法，买了一些藕。做凉拌藕之前，她想测量这些藕的体积，于是进行了如下操作： A．把藕慢慢地放入容器里，使其完全浸没在水中。 B．此时容器中的水溢出了400毫升。 C．准备一个棱长为20厘米（从里面量）的正方体容器。 D．往容器里倒入一些水，这时水面高度是18厘米。 (1)将操作过程按顺序排列：( )→( )→( )→( )（填字母）。 (2)请你计算这些藕的体积。 67．一个长方体鱼缸，长40厘米，宽25厘米，取出一块被浸没的珊瑚石后，水位从14.8厘米下降到12厘米。现将长方体鱼缸里的水倒入新的正方体鱼缸，其棱长是50厘米。求珊瑚石的体积是多少？正方体鱼缸水位是多少厘米？（损耗忽略不计） 68．天天的5G智能手表具备一定的防水功能。为了测试这块手表的体积以及手表的防水性能，他做了如下实验：①先将一个棱长是8厘米的正方体铁块完全浸没到一个长方体水面上升了3.2厘米；②再放入他的5G智能手表并完全浸没，水面又上升了0.15厘米（没有溢出）。天天的5G智能手表的体积是多少立方厘米？ 69．张华用“排水法”测量1颗玻璃球的体积，下面是他的测量记录。 ①选择一个正方体容器，从里面量，棱长是10厘米。 ②往这个容器中倒入一些水，测得水面的高度是7厘米。 ③把12颗完全相同的玻璃球轻轻地放入容器中，所有玻璃球都被水完全浸没。 ④再次测得水面的高度是8.8厘米。 根据上面的测量记录，请你计算出1颗玻璃球的体积是多少立方厘米？ 70．一块不规则的岩石完全浸没到底面积是45平方厘米的长方体玻璃缸中，此时液面高度是18厘米，将岩石取出后，液面下降到17.5厘米，这块岩石的体积是多少？ 71．小明周末去商场购物，发现正在进行大促销，他看上了一个漂亮的无盖鱼缸，打算买下来。店家告诉他，原价100元，如果朋友圈点赞人数大于等于25人时，可以半价购买，小明立刻发了个朋友圈，邀请朋友们来帮他集赞，最后终于半价买下了一个长5分米，宽2分米，高3分米的鱼缸，为了使鱼缸更美观，小明还看上了一块装饰用的珊瑚石，他发现当他把鱼缸内完全浸没的珊瑚石拿出来后，水面从27厘米下降到了18厘米。 请根据以上信息选择一个合适的问题，并解答。 1号问题：小明买下的这个鱼缸，最终花了多少钱？    2号问题：小明买的珊瑚石的体积有多少立方厘米？    3号问题：小明把珊瑚石放入鱼缸后，最多还可以加入多少毫升的水？（玻璃厚度忽略不计） 我选择（    ）号问题，我的解答： 72．小娅周末在家想学习自制珍珠奶茶。 步骤①：准备一个长方体的杯子，从里面量，长厘米，宽厘米，高厘米； 步骤②：将毫升的牛奶倒入杯子里； 步骤③：在杯子里放入颗大小相同的“珍珠”，浸没，此时正好满杯。 (1)没放“珍珠”前，杯中倒入的牛奶的高度是多少？ (2)每颗“珍珠”的体积是多少立方厘米？ 题型13 长方体和正方体的综合计算 73．有两个无盖的长方体塑料水箱，甲水箱里装满水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长为40厘米、宽为32厘米、水面高为20厘米；乙水箱长为30厘米、宽为24厘米、高为25厘米。 (1)甲水箱的容积是多少立方厘米？ (2)在乙水箱开口处围一条宽为2厘米的标识带，标识带的面积是多少平方厘米？ (3)将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两个水箱水面高度一样，现在两个水箱的水面高度是多少厘米？ 74．王芳12周岁生日，小月送给她一个生日礼物，礼盒用一个长40厘米、宽30厘米、高10厘米的长方体礼品盒包装，并用彩带扎好。（彩带接头处及其它长度共25厘米） (1)请计算所用彩带的长是多少厘米。 (2)做这个礼品盒需要多少平方厘米的硬纸板？（接头处忽略不计） (3)这个礼盒的体积是多少立方厘米？（忽略纸板的厚度） 75．某工厂要在平地上挖一个长12米、宽5米、深0.6米的长方体沉淀池。 (1)挖这个沉淀池需要挖出多少方的土？（工程上1方＝1立方米） (2)要在沉淀池的底面和四周内壁抹上防渗层，抹防渗层的总面积是多少平方米？ 76．如图是一个玻璃鱼缸（无盖），长、宽、高分别是12分米、8分米、10分米。 (1)这个玻璃鱼缸占地面积是多少平方分米？ (2)做这个鱼缸需要多少玻璃？ (3)把一块长8分米宽6分米高4分米的铁块完全沉入水中，水面上升多少分米？ 77．造纸术是我国“四大发明”之一。《天工开物》中记载竹子造纸需要经过取材、蒸煮、入帘、压纸和烘干五个主要步骤。这种方法造出的宣纸质地柔韧，经久耐用，广受人们喜爱，被称为"千年寿纸”。 (1)在“入帘”环节要把煮烂的竹木浆倒入纸槽。长方体纸槽从里面量长12分米，宽10分米，高5分米。这个纸槽最多能容纳多少升竹木浆？ (2)宣纸烘干后，为了运输过程中不受损坏，工匠制作了专门的木箱来装宣纸。如果这个长方体木箱（有盖）长6分米，宽5分米，高7分米，制作这个木箱至少需要多少平方分米的木板（木板的厚度不计）？ 78．挖一个长8米，宽6米，深2米的蓄水池。 (1)这个蓄水池的占地面积是多少平方米？ (2)如果给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分面积是多少平方米？ (3)若每立方米水重1吨，这个蓄水池最多能蓄水多少吨？ 79．聪聪非常喜欢研究数学问题。妈妈生日那天，聪聪从超市买来两个同样大小的礼品。通过测量，他发现每个礼品的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、4厘米。聪聪想给妈妈一个惊喜，准备将这两个礼品重叠起来，再用彩纸给表面包装起来写上“妈妈生日快乐！”。 (1)请帮聪聪算一算，这两个礼品所占的总空间是多大？ (2)如果按最节省彩纸的方法包装，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 学科网（北京）股份有限公司 $小学数学·期末大通关 2025-2026下学期五年级期末解答真题百练通关（13大常考题型） 常考题型 题型1 小数四则混合运算 题型8 正方体的棱长 题型2 列方程解决含有一个未知数的问题 题型9 长方体的表面积 题型3 列方程解决和差倍问题 题型10 正方体的表面积 题型4 列方程解决相遇问题 题型11 长方体和正方体的体积和容积 题型5 列方程解决复杂的相遇问题 题型12 不规则物体的体积 题型6 列方程解决盈亏问题 题型13 长方体和正方体的综合计算 题型7 长方体的棱长 题型精炼 题型1 小数四则混合运算 1．王老师从家乘出租车去火车站，共付车费17.4元，王老师家到火车站的路程是多少千米？ 出租车收费标准 3千米以内（含3千米）收费3元，超过3千米的部分，每千米收费1.8元。 【答案】11千米 【分析】根据出租车收费标准，总车费由两部分组成：3千米以内的基础车费和超过3千米部分的额外车费。先用总车费减去基础车费，求出超过部分的车费；再除以每千米的单价，求出超过部分的路程；最后加上基础路程3千米，即为总路程。 【详解】（17.4－3）÷1.8＋3 ＝14.4÷1.8＋3 ＝8＋3 ＝11（千米） 答：王老师家到火车站的路程是11千米。 2．桃源非遗工坊制作木雕桃花挂件，原来一个挂件的材料成本是4.5元。为了让木雕花纹更立体、表面更光滑，工坊改进制作工艺，每个挂件的材料成本增加了0.9元。原来准备做240个挂件的材料，现在能做多少个？ 【答案】 200个 【分析】根据“单价×数量＝总价”计算出材料的总成本；然后根据“每个挂件的新成本＝每个挂件的原来成本＋每个挂件增加的成本”计算出改进工艺后每个挂件的新成本；最后根据“总价÷单价＝数量”求出现在能制作的挂件数量。 【详解】 （个） 答：现在能做200个。 3．玩具厂在做玩具熊时改进了制作方法，信息如下： ①原来准备做180个玩具熊； ②原来做一个玩具熊用3.8元的材料； ③现在做一个玩具熊用0.6米的布； ④现在做一个玩具熊少用0.2元的材料。 求原来做这些玩具熊的材料现在可以做多少个？可以选择的信息是（    ）（填序号）。 列式解答。 【答案】①②④；190个 【分析】现在做的个数＝材料的总费用÷现在做一个玩具熊需要的费用，材料的总费用＝原计划做的个数×原来做一个玩具熊需要的费用，现在做一个玩具熊需要的费用＝原来做一个玩具熊需要的费用－少用的费用，其中涉及到的信息有①原来准备做180个玩具熊；②原来做一个玩具熊用3.8元的材料；④现在做一个玩具熊少用0.2元的材料；根据已知信息列式为180×3.8÷（3.8－0.2）。 【详解】分析可知，可以选择的信息是①②④。 180×3.8÷（3.8－0.2） ＝180×3.8÷3.6 ＝684÷3.6 ＝190（个） 答：原来做这些玩具熊的材料现在可以做190个。 4．学校准备假期开展教室翻新工作，要给一间教室重新铺设地面。这间教室的地面是长8.8米、宽6.4米的长方形，采购的地砖是边长0.8米的正方形款式。要把这间教室的地面完整铺满，100块这样的地砖，够吗？ 【答案】够 【分析】长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，据此计算出教室地面的面积和1块地砖的面积，教室地面的面积÷1块地砖的面积＝需要的块数，与100块比较即可。 【详解】（8.8×6.4）÷（0.8×0.8） ＝56.32÷0.64 ＝88（块） 88块＜100块 答：100块这样的地砖够。 5．菜市场租摊位收费实行分段计费：每月租金首5平方米按每平方米120元收费，超过5平方米的部分，每平方米按105元收费。王阿姨租了一个8.5平方米的摊位，每月应付租金多少元？ 【答案】967.5元 【分析】用减法，求出超出5平方米的面积，再根据总价＝单价×数量，求出5平方米摊位收费和超出5平方米部分面积摊位的收费，再相加，即可解答。 【详解】120×5＋105×（8.5－5） ＝120×5＋105×3.5 ＝600＋367.5 ＝967.5（元） 答：每月应付租金967.5元。 题型2 列方程解决含有一个未知数的问题 6．一种饮料有两种规格的包装。大瓶容量1.5升，是小瓶容量的3倍多0.3升。小瓶的单价是1.8元/瓶，大瓶的单价比小瓶的3倍贵0.4元/瓶。求小瓶的容量和大瓶的单价。 【答案】0.4升；5.8元 【分析】本题包含两个独立的问题：求小瓶的容量和求大瓶的单价。 关于容量：已知大瓶容量为1.5升，且大瓶容量是小瓶容量的3倍多0.3升。这里小瓶容量是未知量，可以根据“小瓶容量×3＋0.3＝大瓶容量”这一等量关系列方程解答。 关于单价：已知小瓶单价是1.8元/瓶，大瓶单价比小瓶的3倍贵0.4元/瓶。这里小瓶单价是已知量，可以根据“小瓶单价×3＋0.4＝大瓶单价”这一数量关系直接列综合算式计算。 【详解】解：设小瓶的容量是x升。 3x＋0.3＝1.5 3x＝1.5－0.3 3x＝1.2 x＝1.2÷3 x＝0.4 1.8×3＋0.4＝5.4＋0.4＝5.8（元） 答：小瓶的容量是0.4升，大瓶的单价是5.8元。 7．张阿姨和刘阿姨用20分钟合打一篇5000字关于中国选手高亭宇在这次亚冬会夺得冠军的新闻稿件。张阿姨每分钟大约打140字，刘阿姨平均每分钟大约打多少字？ 【答案】110字 【分析】可用方程解决此题，根据工作效率×工作时间＝工作总量，设刘阿姨平均每分钟大约打x字，根据等量关系式：（张阿姨的工作效率＋刘阿姨的工作效率）×两人打字用的时间＝两人合打的字数，列出方程并解方程即可。 【详解】解：设刘阿姨平均每分钟大约打x字。 （x＋140）×20＝5000 （x＋140）×20÷20＝5000÷20 x＋140＝250 x＝110 答：刘阿姨平均每分钟大约打110字。 8．甲乙两个工程队分别从两头同时开凿一个长3900米的隧道，甲队每天开凿65米，乙队每天开凿的米数是甲队的2倍，多少天后隧道开通，两队相遇？（列方程解答） 【答案】20天 【分析】等量关系：两队每天开凿的长度之和×相遇时间＝隧道总长度。已知甲队每天开凿65米，乙队每天开凿的米数是甲队的倍，可先计算出乙队的速度。设天后两队相遇，根据等量关系列出方程求解即可。 【详解】解：设天后隧道开通，两队相遇。 乙队每天开凿：65×2＝130（米） （65＋130）x＝3900 195x＝3900 x＝3900÷195 x＝20 答：20天后隧道开通，两队相遇。 9．光的速度是30万千米/秒，相当于1秒绕地球赤道约7圈还多2万千米。地球赤道的周长大约多少万千米？（先写出等量关系再列方程解答） (1)等量关系： (2)列方程解答： 【答案】(1)赤道周长×7＋2＝30 (2)4万千米 【分析】（1）根据题干信息“光的速度是30万千米/秒，相当于 1 秒绕地球赤道约7圈还多2万千米”，可知光的速度的距离等于地球赤道周长的7倍加上2万千米。据此找出等量关系。 （2）设地球赤道的周长为x，根据找出的等量关系列出方程，求解即可得到地球赤道的周长。 【详解】（1）等量关系：赤道周长×7＋2＝30 （2）解：设地球赤道的周长大约万千米。 答：地球赤道的周长大约 4 万千米。 10．目前，中国高铁里程位居世界第一。2023年我国高铁里程达到4.5万千米，比2013年高铁里程的4倍多0.1万千米。2013年我国高铁里程是多少万千米？（写出数量关系，用方程解答） 数量关系：________________。 【答案】2013年的高铁里程×4＋0.1＝2023年的高铁里程；1.1万千米 【分析】2023年的高铁里程比2013年的高铁里程的4倍多0.1万千米，2013年的高铁里程×4＋0.1＝2023年的高铁里程，设2013年里程为x万千米，据此列方程解答。 【详解】数量关系：2013年的高铁里程×4＋0.1＝2023年的高铁里程。 解：设2013年我国高铁里程为x万千米。 4x＋0.1＝4.5 4x＋0.1－0.1＝4.5－0.1 4x＝4.4 4x÷4＝4.4÷4 x＝1.1 答：2013年我国高铁里程为1.1万千米。 11．妈妈在超市买了1.3千克豆腐和3.8千克苹果，共花了45.56元。已知每千克豆腐6.4元，那么平均每千克苹果多少元？ 【答案】9.8元 【分析】根据题意可得等量关系为：豆腐的总价＋苹果的总价＝一共花的钱。将苹果的单价设为元，根据总价＝单价×数量，分别表示出豆腐和苹果的总价，已知妈妈在超市买了1.3千克豆腐，豆腐的单价为6.4元，则豆腐的总价为元，苹果的数量为3.8千克，则苹果的总价为元，利用等量关系列方程求解。 【详解】解：设平均每千克苹果元。 答：平均每千克苹果9.8元。 12．书籍是人类进步的阶梯，承载智慧与文明。实验小学积极引导学生阅读文学名著，启迪心灵，拓宽视野。学校图书馆购入了120本《西游记》，正好比购买《三国演义》的2倍还多出8本。学校图书馆购入了多少本《三国演义》？（列方程解答） 【答案】56本 【分析】设学校图书馆购入了x本《三国演义》，根据题意，购买《三国演义》的本数×2＋8本＝购买《西游记》的本数，列方程：2x＋8＝120，解方程，即可解答。 【详解】解：设学校购入了x本《三国演义》。 2x＋8＝120 2x＋8－8＝120－8 2x＝112 2x÷2＝112÷2 x＝56 答：学校图书馆购入了56本《三国演义》。 题型3 列方程解决和差倍问题 13．淘气有大小两本集邮册，大集邮册中的邮票张数比小集邮册中的邮票张数多60张，并且大集邮册中的邮票张数正好是小集邮册中邮票张数的4倍，这两本集邮册中分别有多少张邮票？（列方程解答）。 【答案】80张；20张 【分析】根据数量关系式：大集邮册中的邮票张数－小集邮册中的邮票张数＝60，设未知数，列方程解答。 【详解】解：设小集邮册中有x张邮票，则大集邮册中有4x张邮票 4x－x＝60 （4－1）x＝60 3x＝60 3x÷3＝60÷3 x＝20 20×4＝80（张） 答：大集邮册中有80张邮票，小集邮册中有20张邮票。 14．如图，小哲买了一套学习用品共花了35元，已知一本笔记本的价钱是一支圆珠笔的4倍，一本笔记本和一支圆珠笔各多少元？（列方程解决） 【答案】笔记本：20元；圆珠笔：5元 【分析】设一支圆珠笔是x元，求倍数，用乘法，则一本笔记本是4x元；根据总价＝单价×数量，求出3支圆珠笔的价钱，即3x元，一本笔记本的价钱＋3支圆珠笔的价钱＝一共花的钱数，列方程：3x＋4x＝35，解方程，即可解答。 【详解】解：设一支圆珠笔是x元，则一本笔记本是4x元。 3x＋4x＝35 7x＝35 7x÷7＝35÷7 x＝5 一本笔记本：4×5＝20（元） 答：一本笔记本是20元，一支圆珠笔是5元。 15．清明上河园是一座大型的历史文化主题公园，它的占地面积约为40.8公顷，其中陆地面积大约是水域面积的2.4倍。清明上河园的陆地面积和水域面积约各有多少公顷？（列方程解答） 【答案】陆地面积约28.8公顷；水域面积约12公顷 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法。设水域面积约公顷，则陆地面积约为公顷，根据等量关系式：陆地面积＋水域面积＝总占地面积，列出方程，利用等式的基本性质求解。 【详解】解：设清明上河园的水域面积约有公顷，则陆地面积约有公顷。 陆地面积：（公顷） 答：清明上河园的陆地面积约有28.8公顷，水域面积约有12公顷。 16．古人云：读万卷书，行万里路。实验学校为了给孩子们提供了一个更广阔的阅读天地，在校园楼道中摆放了一排书架，书架共有书540本，书架分为上、下两层，下层放的书的本数是上层的14倍，上、下两层原来各放了多少本书？ 【答案】 上层36本书；下层504本书 【分析】设上层放了x本书，下层放的书是上层的14倍，即14x本，根据“上层本数＋下层本数＝总本数540本”列方程求解。 【详解】解：设上层原来放了x本书，则下层原来放了14x本书。 x＋14x＝540 15x＝540 15x÷15＝540÷15 x＝36 14×36＝504（本） 答：上层原来放了36本书，下层原来放了504本书。 17．为绿化城市街道，市政公司三、四月份共投放花草3800盆，四月份投放的盆数是三月份的4倍，三月份投放花草多少盆？（列方程解答） 【答案】760盆 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法。设三月份投放花草盆，则四月份投放花草盆。根据等量关系式：三月份投放盆数＋四月份投放盆数＝总盆数，列方程解答。 【详解】解：设三月份投放花草盆，则四月份投放花草盆。 答：三月份投放花草760盆。 18．“替山河妆成锦绣，把国土绘成丹青。”绿水村植树造林，共种植了侧柏和杉树700棵，侧柏棵数是杉树的2.5倍。侧柏和杉树各种植了多少棵？（列方程解答） 【答案】侧柏：500棵；杉树：200棵 【分析】设杉树种植了x棵，求倍数，用乘法，则侧柏种植了2.5x棵，侧柏种植棵数＋杉树种植棵数＝700棵，列方程，解方程即可解答。 【详解】解：设杉树种植了x棵，则侧柏种植了2.5x棵。 x＋2.5x＝700 3.5x＝700 3.5x÷3.5＝700÷3.5 x＝200 侧柏：2.5×200＝500（棵） 答：侧柏种植了500棵，杉树种植了200棵。 题型4 列方程解决相遇问题 19．甲、乙两地相距680千米，李叔叔和王叔叔分别开车同时从甲、乙两地出发，相向而行，李叔叔开车的行驶速度是80千米/时，他们出发经过4小时后在城固相遇，王叔叔开车的速度是多少千米/时？（列方程解答） 【答案】90千米/时 【分析】设王叔叔开车的速度是千米/时。根据相遇问题的公式可得出等量关系：（李叔叔开车的速度＋王叔叔开车的速度）×相遇时间＝甲乙两地的全程，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设王叔叔开车的速度是千米/时。 答：王叔叔开车的速度是90千米/时。 20．沈阳到天津的铁路全长是693千米，甲、乙两辆列车同时从两地相对开出，1.8小时后相遇，甲列车平均每时行驶197千米，乙列车平均每时行驶多少千米？（列方程解答） 【答案】188千米 【分析】根据相遇问题可得出等量关系：（甲车的速度＋乙车的速度）×相遇时间＝沈阳到天津的铁路全长，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设乙列车平均每时行驶千米。 （197＋）×1.8＝693 （197＋）×1.8÷1.8＝693÷1.8 197＋＝385 197＋－197＝385－197 ＝188 答：乙列车平均每时行驶188千米。 21．东西两站相距280千米，甲、乙两车分别从东西两站相向出发，甲车先行1小时，乙车才出发，乙车行2.5小时后两车相遇。已知甲车每小时行42千米，乙车每小时行多少千米？（用方程解） 【答案】53.2千米 【分析】两车相遇时，甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝两站的距离，根据此等量关系，设乙车每小时行x千米，列方程解答。 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 42×（1＋2.5）＋2.5x＝280 42×3.5＋2.5x＝280 147＋2.5x＝280 147＋2.5x－147＝280－147 2.5x＝133 2.5x÷2.5＝133÷2.5 x＝53.2 答：乙车每小时行53.2千米。 22．甲、乙两车同时从同一地点出发反向而行，甲车速度50千米/时，乙车速度60千米/时，几时后两车相距220千米？（先写出等量关系，再列方程解决问题） 【答案】2时 【分析】设两车行驶时间为未知数，根据“路程＝速度×时间”分别表示出甲、乙两车行驶的路程；因为两车反向而行，所以甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝两车相距的距离，据此列出方程并解答。 【详解】甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝两车相距的距离 解：设时后两车相距220千米，则甲车行驶的路程为千米，乙车行驶的路程为。 答：2时后两车相距220千米。 题型5 列方程解决复杂的相遇问题 23．甲、乙两地相距840千米，一辆货车和一辆客车分别从甲乙两地同时相向开出，经过6小时相遇。客车每小时比货车快14千米，两车的速度各是多少？ 【答案】货车速度63千米/时；客车速度77千米/时 【分析】设货车的速度为x千米/时，由“客车每小时比货车快14千米”可知，客车的速度＝货车的速度＋14，用含x的式子表示出客车的速度；根据路程＝速度×时间，由等量关系：货车行驶的路程＋客车行驶的路程＝840千米，列出方程并解答。 【详解】解：设货车的速度为x千米/时，则客车的速度为（x＋14）千米/时。 6x＋（x＋14）×6＝840 6x＋6x＋84＝840 12x＋84＝840 12x＝756 x＝63 x＋14＝63＋14＝77（千米/时） 答：货车的速度为63千米/时，客车的速度为77千米/时。 24．两车同时从甲、乙两地相对开出，甲车每小时行48千米，乙车每小时行54千米，相遇时两车离两地中点12千米，两车几小时相遇？（列方程解答）甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】4小时；408千米 【分析】根据题意，相遇时两车离中点12千米，说明乙车超过中点12千米，甲车距离中点还差12千米，因此乙车比甲车多行驶了2个12千米。等量关系：乙车的速度×相遇时间－甲车的速度×相遇时间＝相遇时两车的路程差，据此列出方程，并求解。 根据“速度和×相遇时间＝总路程”求出甲、乙两地的距离。 【详解】解：设两车小时相遇。 54－48＝12×2 6＝24 6÷6＝24÷6 ＝4 （48＋54）×4 ＝102×4 ＝408（千米） 答：两车4小时相遇，甲、乙两地相距408千米。 25．张阿姨和李阿姨两家相距1200米，为庆祝元旦，相约新壹城吃饭，新壹城在两家之间，她们约好上午11时同时出发。经过8分钟她俩在新壹城门口碰面。李阿姨每分钟走72米，张阿姨每分钟走多少米？ (1)阅读理解：知道了相距的路程、时间和( )，求的是___________。 (2)分析解答： ①画线段图分析数量关系。 ②等量关系式：_________________。 ③列方程解答。 (3)回顾反思： 通过画线段图可以清楚地分析数量之间的( )关系，这里用到( )、( )和( )的数量关系来列方程。 【答案】(1) 李阿姨的速度 张阿姨的速度 (2)①见详解 ②（张阿姨的速度＋李阿姨的速度）×相遇时间＝总路程 ③78米 (3) 相等 路程 速度 时间 【分析】（1）单位时间内走的距离叫做速度； （2）①线段图：画一条线段表示两家总距离1200米，左端点标李阿姨家，右端点标张阿姨家，中间新壹城位置把线段分为两段：用箭头表示李阿姨和张阿姨的行驶方向，左段平均分成8份，每一份表示李阿姨的速度，右段平均分成8份，每一份表示张阿姨的速度，整条线段标注总长1200米； ②相遇问题等量关系：两人的速度和×相遇时间=总路程； ③将所求量设为未知数，根据等量关系列方程解答即可； （3）线段图表示的数数量之间的相等关系，本题是行程问题中的相遇问题，行程问题中涉及的量有速度、时间和路程。 【详解】（1）本题中时间是以分钟为单位，每分钟走的距离是速度，所以知道了相距的路程、时间和（李阿姨的速度），求的是（张阿姨的速度）。 （2） ①根据分析，线段图如图： ②等量关系式：（张阿姨的速度＋李阿姨的速度）×相遇时间＝总路程 ③解：设张阿姨每分钟走米。 答：张阿姨每分钟走78米。 （3）通过画线段图可以清楚地分析数量之间的（相等）关系，这里用到（速度）、（时间）和（路程）的数量关系来列方程。 26．复兴号高铁列车与和谐号高铁列车同时从A城和B城相对开出，和谐号平均每小时行驶270千米，复兴号的速度是和谐号速度的1.2倍。已知A、B两城相距1485千米，两车开出后，经过多长时间相遇？（列方程解答） 【答案】2.5小时 【分析】和谐号速度×1.2＝复兴号速度，设经过x小时相遇，根据和谐号速度×相遇时间＋复兴号速度×相遇时间＝总路程，列出方程解答即可。 【详解】解：设经过x小时相遇。 270x＋270×1.2x＝1485 270x＋324x＝1485 594x＝1485 594x÷594＝1485÷594 x＝2.5 答：经过2.5小时相遇。 27．妙妙去距离家4.6千米的图书馆借书，到地方后发现忘记带借书卡了，打电话和妈妈联系后，妈妈给她送过来，妙妙也从图书馆出来去接妈妈。她们同时分别从家和图书馆出发，妈妈骑自行车每分钟行0.4千米，妙妙步行，10分钟后两人相遇。妙妙每分钟步行多少千米？ 【答案】0.06千米 【分析】已知总路程4.6千米，妈妈每分钟行0.4千米，相遇时间10分钟。设妙妙每分钟步行x千米，根据两人路程和等于总路程，列方程0.4×10＋10x＝4.6，解得求出x的值，即可解答。 【详解】解：设妙妙每分钟步行x千米。 0.4×10＋10x＝4.6 4＋10x＝4.6 4＋10x－4＝4.6－4 10x＝0.6 10x÷10＝0.6÷10 x＝0.06 答：妙妙每分钟步行0.06千米。 28．列方程解决问题：小丁丁每天早上7：59从家出发上学。如果每分钟走80米，那么正好准时到校。如果每分钟走70米，则会迟到3分钟。小丁丁家离学校有多远？ 【答案】 1680米 【分析】本题是关于行程问题中的列方程解应用题。解题的关键在于找到不变量，即小丁丁家到学校的距离是不变的。根据“路程速度时间”这一等量关系式，用含有未知数的式子表示出小丁丁在两种速度下的路程，根据两种情况下路程相等建立等量关系，列出方程求得时间，后再求得小丁丁家到学校的距离。直接设小丁丁每分走80米需要的时间为未知数。 【详解】解：设每分走80米需分钟，那么每分走70米需分钟。 （米） 答：小丁丁家离学校 1680 米。 29．小芳家和小亮家相距300m，他们分别从家门口出发，同时向相反方向走去。6.5分钟后两人相距1080m。小芳平均每分钟走44m，小亮平均每分钟走多少米？ 【答案】76米/分 【分析】解答这道题核心是根据“最终距离－初始距离＝两人6.5分钟走的路程和”。另外还需明确：路程＝速度×时间。题目中已知“小芳家和小亮家相距300m，6.5分钟后两人相距1080m。小芳平均每分钟走44m”，可以设小亮的速度为米/分，再根据等量关系列方程求解。 【详解】根据分析： 解：设小亮平均每分钟走米。 答：小亮平均每分钟走76米。 30．A、B两座房屋相距360米，甲、乙两人分别从A、B两座房屋门口同时出发，甲从A向西走，乙从B向东走，如图所示，4分钟后两人相距808米，甲每分钟走55米。乙每分钟走多少米？（列方程解答） 【答案】57米 【分析】设乙每分钟走米，用甲乙的速度求和，根据“路程＝时间×速度”，用速度和乘时间4分钟即可求出甲和乙走的距离，再加上A、B两座房屋相距的360米等于808米；由此即可列方程并求出乙每分钟走多少米。 【详解】解：设乙每分钟走米。 答：乙每分钟走57米。 31．小巧和小亚两人各自从相距4千米的家出发，相向而行，小巧先出发5分钟后，小亚再出发，小亚骑车每分钟行190米，小巧每分钟步行60米，小亚出发几分钟后两人相遇？ 【答案】14.8分钟 【分析】根据“速度×时间＝路程”，求出小巧先出发5分钟所走的路程。再根据“小巧先出发5分钟所走的路程＋两人速度和×相遇时间＝4千米”列方程解出相遇时间即可解答。 【详解】解：设小亚出发x分钟后两人相遇 4千米＝4000米 5×60＋（60＋190）x＝4000 300＋250x＝4000 300＋250x－300＝4000－300 250x＝3700 250x÷250＝3700÷250 x＝14.8 答：小亚出发14.8分钟后两人相遇。 题型6 列方程解决盈亏问题 32．一段长4800米的河道需要清淤。甲清淤队每天可清淤150米，乙清淤队每天可清淤170米。两队同时从河道两端开始清淤，相向而行，多少天能完成清淤工作？（列方程解答） 【答案】 15天 【分析】根据题意设x天能完成清淤工作，根据等量关系甲完成的米数加乙完成的米数等于4800米列方程解答即可。 【详解】解：设x天能完成清淤工作。 150x＋170x＝4800 320x＝4800 320x÷320＝4800÷320 x＝15 答：15天能完成清淤工作。 33．爸爸的糖果数量是儿子的3倍，如果爸爸给儿子12颗，两人的糖果就同样多了。爸爸和儿子原来各有多少颗糖果？ 【答案】爸爸36颗；儿子12颗 【分析】根据“爸爸的糖果数量是儿子的3倍”，可设儿子原来有颗，则爸爸原来有颗。根据“爸爸给儿子12颗，两人的糖果就同样多了”，可知爸爸原来的数量减12等于儿子原来的数量加12，据此列出方程求解。 【详解】解：设儿子原来有颗糖果，则爸爸原来有颗糖果。 3x－12＝x＋12 3x－x＝12＋12 2x＝24 2x÷2＝24÷2 x＝12 爸爸：12×3＝36（颗） 答：爸爸原来有36颗糖果，儿子原来有12颗糖果。 34．快递专用车的最大装载质量发生了新变化，原来的最大装载质量比现在的2倍少60千克。已知原来的最大装载质量和现在的最大装载质量一共是480千克，那么现在的最大装载质量是多少千克？（列方程解答） 【答案】180千克 【分析】根据题意，现在装载质量为单位“1”，可以设现在的最大装载质量是x千克，再根据等量关系：原来的最大装载质量＋现在的最大装载质量＝480kg，列方程解答即可。 【详解】解：设现在的最大装载质量是x千克。 2x－60＋x＝480 3x－60＝480 3x＝540 x＝180 答：现在的最大装载质量是180千克。 35．蜀绣是中国刺绣传承时间最长的绣种之一，原来甲刺绣厂的绣娘人数是乙刺绣厂的4倍，现从甲刺绣厂调40人到乙刺绣厂，则甲刺绣厂的绣娘比乙刺绣厂多1人。原来甲、乙刺绣厂各有多少位绣娘？（列方程解答） 【答案】 108位；27位 【分析】根据题意，原来甲厂人数是乙厂的倍，可设原来乙厂人数为，则甲厂人数为。调动人数后，甲厂减少人，乙厂增加人，此时甲厂比乙厂多人。根据“调动后甲厂人数调动后乙厂人数”这一等量关系列方程求解，求出乙厂人数后再计算甲厂人数。 【详解】解：设原来乙刺绣厂有位绣娘，则原来甲刺绣厂有位绣娘。 甲厂人数：（位） 答：原来甲刺绣厂有位绣娘，乙刺绣厂有位绣娘。 36．管理员把一些竹子分给若干只大熊猫。若每只大熊猫分15棵，则还多余10棵竹子；若大熊猫的数量增加到原来的3倍还少5只，则每只大熊猫分6棵竹子还缺少8棵竹子。大熊猫有多少只？竹子有多少棵？（列方程解答） 【答案】 16只；250棵 【分析】设原有大熊猫只，根据第一种分配方案，竹子总数可表示为（）棵；根据第二种分配方案，大熊猫数量变为（）只，竹子总数可表示为（）棵。根据“竹子总数相等”这一等量关系可列方程为，先化简，再根据等式的性质求出的值，即为大熊猫的只数，把的值代入中求出结果，即为竹子的棵数。 【详解】解：设大熊猫有只。 ＝ ＝240＋10 ＝250 答：大熊猫有16只，竹子有250棵。 37．小胖带了一些钱去买彩纸，如果买9张，那么还剩下4.8元；如果买13张彩纸，那么正好用完。彩纸多少钱一张？小胖带了多少钱？ 【答案】 1.2元 15.6元 【分析】设彩纸的单价为未知数，根据两种购买方案下小胖所带的总钱数不变这一关系可列出方程，通过解方程即可解答。 【详解】解：设彩纸元一张。      1.2×13＝15.6（元） 答：彩纸1.2元一张，小胖带了15.6元。 题型7 长方体的棱长 38．用一根48厘米长的铁丝，围成一个长是5厘米、宽是4厘米的长方体框架。这个框架的高是多少厘米？（铁丝没有剩余且接头处忽略不计） 【答案】3厘米 【分析】长方体有12条棱，包含4条长、4条宽和4条高。铁丝的长度即为长方体的棱长总和。根据公式“棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”先求出一组长、宽、高的和（即棱长总和除以4），再减去已知的长和宽，即可求出高。 【详解】48÷4－5－4 ＝12－5－4 ＝3（厘米） 答：这个框架的高是3厘米。 39．爸爸的生日就要到了，天天买了爸爸最喜欢的茶叶作为生日礼物，并用彩带捆扎这个礼盒，捆扎这个礼盒时打结处用了12厘米彩带。捆扎这个礼盒至少需要准备多少厘米长的彩带？ 【答案】76厘米 【分析】由图可知，长方体礼盒的长是12厘米，宽是8厘米，高是6厘米。捆扎礼盒的彩带总长＝两个长方体礼盒的长＋两个长方体礼盒的宽＋四个长方体礼盒的高＋打结用的12厘米。 【详解】12×2＋8×2＋6×4＋12 ＝24＋16＋24＋12 ＝40＋24＋12 ＝64＋12 ＝76（厘米） 答：捆扎这个礼盒至少需要准备76厘米长的彩带。 40．张师傅把一个用铁丝制作的长4.5分米、宽4.5分米、高6分米的长方体灯笼框架改成了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼框架的棱长最长是多少分米？（接头处和损耗忽略不计） 【答案】5分米 【分析】先根据“长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”求出长方体的棱长总和；正方体的棱长总和＝长方体的棱长总和，正方体的棱长＝正方体的棱长总和÷12。 【详解】 （分米） 答：这个正方体灯笼框架的棱长最长是5分米。 41．为迎接“五一”劳动节，要在俱乐部的四周装上彩灯（地面的四边不装）。已知俱乐部的长90米，宽55米，高20米，至少需要多长的彩灯线？ 【答案】370米 【分析】俱乐部形状为长方体，根据题意“地面的四边不装”，说明底面的2条长和2条宽不需要计算彩灯线。需要计算的棱包括顶面的2条长、2条宽以及竖直方向的4条高。将长、宽、高的数据代入计算即可求出总长度。 【详解】俱乐部长90米，宽55米，高20米，需要安装彩灯的棱长为2条长、2条宽和4条高。 （米） 答：至少需要370米的彩灯线。 题型8 正方体的棱长 42．售货员阿姨给一个正方体礼品盒打上彩带（如图），礼品盒的棱长是20厘米，打结处的长度是10厘米。一共需要多长的彩带？ 【答案】250厘米 【分析】需要彩带的长度＝棱长×12＋打结处彩带的长度。 【详解】20×12＋10 ＝240＋10 ＝250（厘米） 答：一共需要250厘米的彩带。 43．如图，捆扎一个正方体礼品盒用了50厘米长的丝带，其中打结处用了14厘米。这个正方体礼品盒的棱长是多少厘米？ 【答案】9厘米 【分析】观察图形可知捆扎处用了4条正方体的棱长，用“（50－14）÷4”即可求礼品盒的棱长。 【详解】（50－14）÷4 ＝36÷4 ＝9（厘米） 答：这个正方体礼品盒的棱长是9厘米。 44．一根铁丝正好可以折成一个长13厘米、宽6厘米、高11厘米的长方体框架，如果用这个铁丝折成一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？ 【答案】10厘米 【分析】先根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出这个长方体的棱长总和，再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长总和除以12即可求出正方体的棱长。 【详解】（13＋6＋11）×4 ＝30×4 ＝120（厘米） 120÷12＝10（厘米） 答：这个正方体的棱长是10厘米。 45．李老师有一根80分米长的铁丝，围成一个正方体框架后还剩下8分米，这个正方体框架的棱长是多少分米？ 【答案】6分米 【分析】先用总长度减去剩余长度，求出围成正方体框架实际消耗的铁丝长度。正方体有12条棱且长度相等，棱长总和等于棱长乘12，因此用消耗的铁丝长度除以12即可求得棱长。 【详解】（80－8）÷12 ＝72÷12 ＝6（分米） 答：这个正方体框架的棱长是6分米。 46．用一根长铁丝刚好做成一个棱长6分米的正方体框架，若改做长8分米、宽5分米的长方体框架，高是多少分米？ 【答案】5分米 【分析】铁丝的长度不变，即正方体的棱长总和等于长方体的棱长总和。先根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出铁丝的总长度，再利用长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出一组长、宽、高的和，再用和减去长和宽，即可求出高。 【详解】正方体的棱长总和：12×6＝72（分米） 长方体一组长、宽、高的和：72÷4＝18（分米） 长方体的高： 18－（8＋5） ＝18－13 ＝5（分米） 答：高是5分米。 题型9 长方体的表面积 47．如图，淘淘想把3本完全一样的故事书包成一包。至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处忽略不计） 【答案】1072平方厘米 【分析】当把上下两个面叠放在一起时，所需要的包装纸最少，这时包装纸的长为16厘米，宽为20厘米，高为2×3＝6（厘米），根据长方体表面积公式＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据即可求解。 【详解】2×3＝6（厘米） （16×20＋16×6＋20×6）×2 ＝（320＋96＋120）×2 ＝536×2 ＝1072（平方厘米） 答：至少需要1072平方厘米的包装纸。 48．幼儿园新建了一个音乐室，长40米，宽25米，高3米，门窗一共是28平方米。要在音乐室的墙壁和天花板上涂彩色颜料，涂色部分的面积是多少平方米？ 【答案】1362平方米 【分析】音乐室是一个长方体，需要涂色的部分包括四周的墙壁和上面的天花板，地面不需要涂色，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出5个面的面积，再减去门窗的面积即可求出涂色部分的面积。 【详解】40×25＋40×3×2＋25×3×2－28 ＝1000＋120×2＋75×2－28 ＝1000＋240＋150－28 ＝1240＋150－28 ＝1390－28 ＝1362（平方米） 答：涂色部分的面积是1362平方米。 49．将两本长20厘米，宽15厘米，厚1厘米的数学课本包装在一起，共有（    ）种不同的包装方法，怎样包装最节省包装纸？ （1）请画出最节省包装纸的包装方法简图。 （2）计算至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处忽略不计） 【答案】3；把两本课本的长和宽的面重合，此时最节省包装纸；（1）；（2）740平方厘米 【分析】两本数学课本包装在一起，有3种不同的包装方法： 方法一：将两本课本的长×宽的面重合； 方法二：将两本课本的长×厚的面重合； 方法三：将两本课本的宽×厚的面重合； 分别计算3种包装方法重合面的面积，找到最大的重合面的面积，当重合面的面积最大时，包装后的大长方体表面积最小，也就最节省包装纸，根据长方体表面积公式＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据即可求解。 【详解】根据分析可知，有3种包装方法； 长×宽的面重合的面积：20×15＝300（平方厘米）； 长×厚的面重合的面积：20×1＝20（平方厘米）； 宽×厚的面重合的面积：15×1＝15（平方厘米）； 300＞20＞15，长和宽面重合时，最节省包装纸。 此时长是20厘米，宽是15厘米，高是2厘米； 表面积：（20×15＋20×2＋15×2）×2 ＝（300＋40＋30）×2 ＝370×2 ＝740（平方厘米） 答：至少需要740平方厘米的包装纸。 50．学校要打造一个“绿色生态劳动基地”，在一块长8米，宽6米的长方形土地上造一间高3米的阳光房，四面墙壁和屋顶全部用铝合金支架和玻璃打造，每平方米的造价是1980元。这个阳光房的造价至少需要多少元？ 【答案】261360元 【分析】题中阳光房是一个长方体，四面墙壁和屋顶全部用铝合金支架和玻璃打造，只需要计算这个长方体侧面和上底面这个面的面积和。据此用（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，先求出需要材料的总面积，再根据“总价＝单价×数量”求出总造价。 【详解】（8×3＋6×3）×2＋8×6 ＝（24＋18）×2＋48 ＝42×2＋48 ＝84＋48 ＝132（平方米） 1980×132＝261360（元） 答：这个阳光房的造价至少需要261360元。 51．美术课上，晶晶想把一个无盖的酸奶盒（如图）进行加工，变成漂亮、结实的杂物盒。（酸奶盒的厚度不计）晶晶想把这个酸奶盒的里外都贴上一层彩纸（不计重合部分），至少需要多少平方分米的彩纸？ 【答案】14.88平方分米 【分析】先算出“前后、左右、底面，一共5个面”的面积之和，再将这5个面的面积之和乘2，最后把平方厘米换算成平方分米。 【详解】25×12＋25×6×2＋12×6×2 ＝300＋300＋144 ＝744（平方厘米） 744×2＝1488（平方厘米） 1平方分米＝100平方厘米 1488平方厘米＝14.88平方分米 答：至少需要14.88平方分米彩纸。 52．只列综合算式，不计算。 一节长方体形状的通风管（如下图）长30分米，它的管口是边长2分米的正方形，如果做50节这样的通风管，至少需要多少平方分米的铁皮？ 【答案】 【分析】通风管是通透的，没有上下两个底面，因此只需要计算长方体的侧面积。根据长方体侧面积＝底面周长×高（这里的“高”即通风管的长），底面周长＝边长×4。据此先求出一节通风管的侧面积再乘数量50节，求出共需的铁皮的面积。 【详解】2×4×30×50 ＝8×30×50 ＝240×50 ＝12000（平方分米） 答：至少需要12000平方分米的铁皮，列式为2×4×30×50。 题型10 正方体的表面积 53．将一个正方体的高减少3厘米，它的表面积就减少了72平方厘米，原来正方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】216平方厘米 【分析】 如图所示，将一个正方体的高减少3厘米，表面积减少上面小长方体4个侧面的面积，上面的小长方体上下底面是正方形，其它4个侧面是形状完全相同的长方形，先根据减少的表面积求出1个侧面的面积，再根据“”求出小长方体的长，即正方体的棱长，最后根据“”求出原来正方体的表面积。 【详解】72÷4÷3 ＝18÷3 ＝6（厘米） 6×6×6＝216（平方厘米） 答：原来正方体的表面积是216平方厘米。 54．王师傅要做一个棱长为60厘米的无盖正方体玻璃鱼缸，玻璃厂的报价是150元/平方米。王师傅带了300元，够吗？ 【答案】够 【分析】先根据1米＝100 厘米，把棱长单位从厘米换算成米。然后根据无盖正方体鱼缸的表面积公式：表面积＝棱长×棱长×5，求出鱼缸的表面积。再用表面积×玻璃的单价，求出制作鱼缸需要的总费用。最后把总费用和王师傅带的钱数进行比较，判断钱是否够用。 【详解】60厘米＝0.6米 0.6×0.6×5 ＝0.36×5 ＝1.8（平方米） 1.8×150＝270（元） 270＜300 答：王师傅带了300元够。 55．小青有若干根长度相等的吸管，总长为48厘米。她用这些吸管拼接成一个正方体的框架（接口处忽略不计），然后用包装纸把这个正方体框架的表面完全包起来，至少需要多少平方厘米的包装纸？ 【答案】96平方厘米。 【分析】正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6；吸管总长48厘米就是棱长总和48厘米，除以棱长总数12可求出正方体棱长，棱长代入正方体表面积公式可求出正方体表面积，即是至少需要的包装纸面积。 【详解】48÷12＝4（厘米） 4×4×6＝96（平方厘米） 答：至少需要96平方厘米的包装纸。 56．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地。自古以来，茶就被誉为中华民族的国饮。下面是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长度是158厘米（彩带打结处长30厘米）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方分米的纸板？ 【答案】15.36平方分米 【分析】观察可知，彩带长度包括8条棱长和打结处的长度，先用彩带总长度减去打结处的长度，再除以8，求出棱长，最后根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，即可解答；注意单位的换算。 【详解】158－30＝128（厘米） 128÷8＝16（厘米） 16×16×6 ＝256×6 ＝1536（平方厘米）    1536平方厘米＝15.36平方分米 答：做这个礼品包装盒至少需要15.36平方分米的纸板。 57．一个长方体的底面是一个正方形，如果它的高增加3厘米，它的表面积就增加72平方厘米，同时它又变成了一个正方体，求原来长方体的表面积是多少？ 【答案】144平方厘米 【分析】根据题意，长方体的底面是一个正方形则长方体的长和宽相等；增加的72平方厘米是4个完全相同的长方形的面积之和；用增加的面积除以4算出一个长方形的面积，再除以3算出长方形的长，也是长方体的长。这时长方体变成了正方体；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，算出正方体的表面积，再减去72平方厘米就是原来长方体的表面积。 【详解】72÷4÷3 ＝18÷3 ＝6（厘米） 6×6×6－72 ＝36×6－72 ＝216－72 ＝144（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是144平方厘米。 题型11 长方体和正方体的体积 58．学校为庆祝六一儿童节，准备给每个班级发放礼品。现有一个长方体纸箱，长50厘米，宽30厘米，高40厘米。礼品是边长为10厘米的正方体盲盒。这个长方体纸箱最多能装下多少个这样的盲盒？（不考虑纸箱厚度） 【答案】60个 【详解】由题可知长方体纸箱的长、宽、高都是正方体盲盒的长、宽、高的倍数，所以盲盒正好能装满长方体纸箱，根据长方体的容积公式：V＝abh，正方体的体积公式：V＝a3，用长方体纸箱的容积除以每个正方体盲盒的体积即可。 【解答】50×30×40÷（10×10×10） ＝1500×40÷1000 ＝60000÷1000 ＝60（个） 答：这个长方体纸箱最多能装下60个这样的盲盒。 59．空心砖是一种常用建筑材料，内部有贯穿孔洞，具有减轻重量、节省材料、保温隔音等优点。一种空心砖长毫米、宽毫米、高毫米。内部有10个贯穿的正方体孔洞，制作该砖的陶土每立方厘米重克。制作一块空心砖需要陶土多少千克？（结果保留两位小数） 【答案】 千克 【分析】先根据长乘宽乘高算出没有孔洞的空心砖的体积，正方体的棱长就是长方体的高，再用棱长乘棱长乘棱长算出一个孔洞的体积，再乘算出个孔洞的体积，用没有孔洞的空心砖的体积减去个孔洞的体积算出空心砖的体积，注意换算单位，进率是，再乘算出质量，最后换算单位，进率是，保留两位小数。 【详解】 （立方毫米） 立方毫米立方厘米 （千克） 答：制作一块空心砖需要陶土千克。 60．一块正方体石料棱长是6米，工人师傅在这块石料上挖出一个长5米、宽3.5米、深4米的长方体凹槽后，就制成了一个石槽。这个石槽的质量是多少吨？（1立方米石料重2.5吨） 【答案】365吨 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高。已知正方体的棱长为6米，长方体的长为5米、宽为3.5米、高为4米，利用公式分别求出正方体和长方体的体积后，用正方体体积减去长方体体积求出石槽的体积，最后用1立方米石料的重量乘石槽的体积求出石槽的重量。 【详解】 （立方米） （立方米） （立方米） （吨） 答：这个石槽的质量是365吨。 61．把一块棱长是1.2米的正方体钢材铸造成一个长8分米，宽5分米的长方体钢材。这个长方体钢材的高是多少分米？ 【答案】43.2分米 【分析】正方体钢材铸造成长方体钢材，体积保持不变。首先将正方体的棱长单位由米换算成分米，再利用正方体体积公式求出总体积，最后用“体积÷（长×宽）”求出长方体的高。 【详解】米分米 （立方分米） （分米） 答：这个长方体钢材的高是43.2分米。 62．一个长方体木料从中间锯开，正好锯成两个棱长6分米的正方体，这个长方体原来的体积是多少？ 【答案】432立方分米 【分析】长方体锯成两个棱长6分米的正方体，长方体体积＝两个正方体体积和，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此解答。 【详解】6×6×6×2 ＝36×6×2 ＝216×2 ＝432（立方分米） 答：这个长方体原来的体积是432立方分米。 63．科技展厅里有一个互动展台，展示阿基米德原理。工作人员正在演示一个实验：一个长方体的玻璃缸，长8分米、宽7分米、高6分米，水深5分米。工作人员拿出一块棱长5分米的正方体铁块，问同学们：“如果竖直放入这块铁块，缸里的水会溢出多少升？” 【答案】69升 【分析】放入铁块后，水和铁块的总体积超过缸的容积，则溢出水量为两者之和减去缸的容积，即溢出水量＝原水体积＋铁块体积－缸的容积。长方体的体积＝长×宽×高；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。1立方分米＝1升。据此解答。 【详解】5×5×5＋8×7×5－8×7×6 ＝25×5＋56×5－56×6 ＝125＋280－336 ＝405－336 ＝69（立方分米） 69立方分米＝69升 答：缸里的水会溢出69升。 题型12 不规则物体的体积 64．母亲节到了，李涵妈妈买了一个90克的实心纯银手镯送给李涵奶奶作为节日礼物。李涵前两天正好阅读了阿基米德测皇冠体积的故事，也想用这个方法测试一下这个银手镯的体积。他准备好实验器材，实验步骤如下： 第一步；准备一个棱长是4厘米的正方体容器。 第二步：往容器里倒入水，高度为3厘米。 第三步：把这个银手镯完全浸没在水中。 这时容器里的水面正好到容器口，且没有溢出，那么你认为这个银手镯的体积是多少立方厘米？ 【答案】16立方厘米 【分析】先用“棱长×棱长”求出容器的底面积；再用正方体容器的棱长减去原来水的高度，求出水面上升的高度；最后，用容器的底面积乘水面上升的高度，即可求出银手镯的体积。 【详解】（4×4）×（4－3） ＝16×1 ＝16（立方厘米） 答：这个银手镯的体积是16立方厘米。 65．印章是一种雕刻和书法融合的传统艺术。一枚印章经雕刻后玉料减少，为了精准测量它的体积，将其放入一个盛有水的棱长为1分米的正方体容器中，放入前水面高度为8厘米，放入后水面刚好与容器齐平（完全浸没，水未溢出），那么印章的体积是多少立方厘米？ 【答案】200立方厘米 【分析】把一个物体放入正方体中（水没有溢出），则物体的体积＝水面上升的体积。1分米＝10厘米。 【详解】1分米＝10厘米，10－8＝2（厘米） 10×10×2 ＝100×2 ＝200（立方厘米） 答：印章的体积是200立方厘米。 66．“藕，微甜而脆，开胃清热，可生食也可煮食”。萱萱为了学习凉拌藕片的做法，买了一些藕。做凉拌藕之前，她想测量这些藕的体积，于是进行了如下操作： A．把藕慢慢地放入容器里，使其完全浸没在水中。 B．此时容器中的水溢出了400毫升。 C．准备一个棱长为20厘米（从里面量）的正方体容器。 D．往容器里倒入一些水，这时水面高度是18厘米。 (1)将操作过程按顺序排列：( )→( )→( )→( )（填字母）。 (2)请你计算这些藕的体积。 【答案】(1) C D A B (2)1200立方厘米 【分析】（1）排水法求不规则物体的体积的原理是上升部分的水的体积等于物体的体积。操作顺序是先准备一个容器，在里面加水，再把物体放入水中，看水面上升多少。 （2）把藕放入水中后水溢出，所以藕的体积＝容器的容积－原有水的体积＋溢出的水的体积。容器的容积＝棱长×棱长×棱长，原有水的体积＝容器的长×宽×水的高度，溢出的水的体积单位要由毫升换算成立方厘米，1毫升＝1立方厘米。 【详解】（1）根据分析，操作顺序是C→D→A→B。 （2）容器的容积：20×20×20＝8000（立方厘米） 原有水的体积：20×20×18＝7200（立方厘米） 溢出的水的体积：400毫升＝400 立方厘米 8000－7200＋400＝1200（立方厘米） 所以藕的体积是1200立方厘米。 67．一个长方体鱼缸，长40厘米，宽25厘米，取出一块被浸没的珊瑚石后，水位从14.8厘米下降到12厘米。现将长方体鱼缸里的水倒入新的正方体鱼缸，其棱长是50厘米。求珊瑚石的体积是多少？正方体鱼缸水位是多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】2800立方厘米；4.8厘米 【分析】珊瑚石的体积等于水位下降部分的水的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入鱼缸的长、宽和水位下降高度（14.8－12厘米）即可计算；再用长×宽×现在水位求出长方体鱼缸内剩余水的体积，再将水的体积除以正方体鱼缸的底面积（棱长×棱长），求出正方体鱼缸的水位高度。 【详解】40×25×（14.8－12） ＝1000×2.8 ＝2800（立方厘米） 40×25×12÷（50×50） ＝12000÷2500 ＝4.8（厘米） 答：珊瑚石的体积是2800立方厘米，正方体鱼缸水位是4.8厘米。 68．天天的5G智能手表具备一定的防水功能。为了测试这块手表的体积以及手表的防水性能，他做了如下实验：①先将一个棱长是8厘米的正方体铁块完全浸没到一个长方体水面上升了3.2厘米；②再放入他的5G智能手表并完全浸没，水面又上升了0.15厘米（没有溢出）。天天的5G智能手表的体积是多少立方厘米？ 【答案】24立方厘米 【分析】根据排水法原理，物体完全浸没在水中时，水面上升部分的体积等于物体的体积。先根据正方体体积公式，求出正方体铁块的体积，接着用正方体铁块的体积除以第一次水面上升的高度，求出长方体水槽的底面积；再用水槽底面积乘第二次水面上升的高度，求出智能手表的体积。 【详解】8×8×8÷3.2 ＝512÷3.2 ＝160（平方厘米） 160×0.15＝24（立方厘米） 答：天天的5G智能手表的体积是24立方厘米。 69．张华用“排水法”测量1颗玻璃球的体积，下面是他的测量记录。 ①选择一个正方体容器，从里面量，棱长是10厘米。 ②往这个容器中倒入一些水，测得水面的高度是7厘米。 ③把12颗完全相同的玻璃球轻轻地放入容器中，所有玻璃球都被水完全浸没。 ④再次测得水面的高度是8.8厘米。 根据上面的测量记录，请你计算出1颗玻璃球的体积是多少立方厘米？ 【答案】15立方厘米 【分析】水面上升的体积就是玻璃球的总体积。先算出水面上升的高度，不规则物体的体积＝正方体容器的底面积×上升的高度，得到12颗玻璃球的总体积，最后除以12就能得到1颗玻璃球的体积。 【详解】8.8－7＝1.8（厘米） 10×10×1.8 ＝100×1.8 ＝180（立方厘米） 180÷12＝15（立方厘米） 答：1颗玻璃球的体积是15立方厘米。 70．一块不规则的岩石完全浸没到底面积是45平方厘米的长方体玻璃缸中，此时液面高度是18厘米，将岩石取出后，液面下降到17.5厘米，这块岩石的体积是多少？ 【答案】22.5立方厘米 【分析】根据题意，岩石完全浸没在水中，岩石的体积等于它排开水的体积。排开水的形状是一个长方体，其底面积等于玻璃缸的底面积，高等于放入岩石后液面高度与取出岩石后液面高度的差。利用长方体体积公式“体积底面积高”即可求出岩石的体积。 【详解】液面下降的高度：18－17.5＝0.5（厘米） 岩石的体积：45×0.5＝22.5（立方厘米） 答：这块岩石的体积是22.5立方厘米。 71．小明周末去商场购物，发现正在进行大促销，他看上了一个漂亮的无盖鱼缸，打算买下来。店家告诉他，原价100元，如果朋友圈点赞人数大于等于25人时，可以半价购买，小明立刻发了个朋友圈，邀请朋友们来帮他集赞，最后终于半价买下了一个长5分米，宽2分米，高3分米的鱼缸，为了使鱼缸更美观，小明还看上了一块装饰用的珊瑚石，他发现当他把鱼缸内完全浸没的珊瑚石拿出来后，水面从27厘米下降到了18厘米。 请根据以上信息选择一个合适的问题，并解答。 1号问题：小明买下的这个鱼缸，最终花了多少钱？    2号问题：小明买的珊瑚石的体积有多少立方厘米？    3号问题：小明把珊瑚石放入鱼缸后，最多还可以加入多少毫升的水？（玻璃厚度忽略不计） 我选择（    ）号问题，我的解答： 【答案】1号；50元 【分析】我选择1号问题，小明集赞达标后半价购买，半价即为原价的50%。 我选择2号问题，完全浸没的珊瑚石拿出后，下降的水的体积等于珊瑚石的体积，因此珊瑚石体积＝鱼缸底面积×下降水的高度。 我选择3号问题，小明把珊瑚石放入鱼缸后水面高度为27厘米，鱼缸剩余可装水的高度为30−27＝3厘米，可加水体积＝鱼缸底面积×剩余可装水的高度。 【详解】我选择（1）号问题，我的解答： 100×50%＝100×0.5＝50（元） 答：最终花了50元。 我选择（2）号问题，我的解答： 5分米＝50厘米 2分米＝20厘米 50×20×（27－18） ＝1000×9 ＝9000（立方厘米） 答：小明买的珊瑚石的体积有9000立方厘米。 我选择（3）号问题，我的解答： 5分米＝50厘米 2分米＝20厘米 50×20×（30－27） ＝50×20×3 ＝1000×3 ＝3000（立方厘米） 3000立方厘米＝3000毫升 答：最多还可以加入3000毫升的水。 72．小娅周末在家想学习自制珍珠奶茶。 步骤①：准备一个长方体的杯子，从里面量，长厘米，宽厘米，高厘米； 步骤②：将毫升的牛奶倒入杯子里； 步骤③：在杯子里放入颗大小相同的“珍珠”，浸没，此时正好满杯。 (1)没放“珍珠”前，杯中倒入的牛奶的高度是多少？ (2)每颗“珍珠”的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)厘米 (2)立方厘米 【详解】（1）先进行单位换算，因为毫升和立方厘米是等量单位，所以毫升可直接转换为立方厘米，作为牛奶的体积，根据长方体的体积公式：，那么，把数据代入公式就可以求出牛奶的高度。 （2）先计算杯子的总容积，因为放入珍珠后正好满杯，所以所有珍珠的总体积等于杯子总容积减去牛奶的体积，再用珍珠总体积除以珍珠数量，即可得到单颗珍珠的体积。 【解答】（1）毫升立方厘米 （厘米） 答：没放“珍珠”前，杯中倒入的牛奶的高度是厘米。 （2） （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：每颗“珍珠”的体积是立方厘米。 题型13 长方体和正方体的综合计算 73．有两个无盖的长方体塑料水箱，甲水箱里装满水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长为40厘米、宽为32厘米、水面高为20厘米；乙水箱长为30厘米、宽为24厘米、高为25厘米。 (1)甲水箱的容积是多少立方厘米？ (2)在乙水箱开口处围一条宽为2厘米的标识带，标识带的面积是多少平方厘米？ (3)将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两个水箱水面高度一样，现在两个水箱的水面高度是多少厘米？ 【答案】(1)25600立方厘米 (2)216平方厘米 (3)12.8厘米 【分析】（1）长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据计算； （2）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，标识带的面积等于长是30厘米、宽是24厘米、高是2厘米的长方体的前后、左右4个面的面积之和，根据长方体的表面积公式可知：标识带的面积＝长×高×2＋宽×高×2，据此列式计算； （3）长方体的体积＝长×宽×高，据此可知，要使两个水箱的水面高度一样，则要用水的体积除以甲、乙两个水箱的底面积之和，长方体的底面积＝长×宽，据此列式计算。 【详解】（1）40×32×20 ＝1280×20 ＝25600（立方厘米） 答：甲水箱的容积是25600立方厘米。 （2）30×2×2＋24×2×2 ＝60×2＋48×2 ＝120＋96 ＝216（平方厘米） 答：标识带的面积是216平方厘米。 （3）25600÷（40×32＋30×24） ＝25600÷（1280＋720） ＝25600÷2000 ＝12.8（厘米） 答：现在两个水箱的水面高度是12.8厘米。 74．王芳12周岁生日，小月送给她一个生日礼物，礼盒用一个长40厘米、宽30厘米、高10厘米的长方体礼品盒包装，并用彩带扎好。（彩带接头处及其它长度共25厘米） (1)请计算所用彩带的长是多少厘米。 (2)做这个礼品盒需要多少平方厘米的硬纸板？（接头处忽略不计） (3)这个礼盒的体积是多少立方厘米？（忽略纸板的厚度） 【答案】(1)205厘米 (2)3800平方厘米 (3)12000立方厘米 【分析】（1）观察可知，所用彩带是2条长的长度、2条宽的长度、4条高的长度和接头处的25厘米相加，即彩带长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋25，据此把数据代入计算。 （2）根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入计算即可。 （3）根据长方体体积＝长×宽×高，把数据代入计算即可。 【详解】（1）40×2＋30×2＋10×4＋25 ＝80＋60＋40＋25 ＝205（厘米） 答：所用彩带的长是205厘米。 （2）（40×30＋40×10＋30×10）×2 ＝（1200＋400＋300）×2 ＝1900×2 ＝3800（平方厘米） 答：做这个礼品盒需要3800平方厘米的硬纸板。 （3）40×30×10＝12000（立方厘米） 答：这个礼盒的体积是12000立方厘米。 75．某工厂要在平地上挖一个长12米、宽5米、深0.6米的长方体沉淀池。 (1)挖这个沉淀池需要挖出多少方的土？（工程上1方＝1立方米） (2)要在沉淀池的底面和四周内壁抹上防渗层，抹防渗层的总面积是多少平方米？ 【答案】(1)36方 (2)80.4平方米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，即可求出需要挖出土的体积； 根据长方体的表面积公式，用长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，即可求出抹防渗层的总面积。 【详解】（1）12×5×0.6＝60×0.6＝36（立方米）＝36（方） 答：挖这个沉淀池需要挖出36方的土。 （2）12×5＋（12×0.6＋5×0.6）×2 ＝12×5＋（7.2＋3）×2 ＝12×5＋10.2×2 ＝60＋20.4 ＝80.4（平方米） 答：抹防渗层的总面积是80.4平方米。 76．如图是一个玻璃鱼缸（无盖），长、宽、高分别是12分米、8分米、10分米。 (1)这个玻璃鱼缸占地面积是多少平方分米？ (2)做这个鱼缸需要多少玻璃？ (3)把一块长8分米宽6分米高4分米的铁块完全沉入水中，水面上升多少分米？ 【答案】(1)96平方分米 (2)496平方分米 (3)2分米 【分析】（1）鱼缸的占地面积即为长方体的底面积，根据公式“长×宽”计算即可。 （2）鱼缸无盖，只需要计算5个面的面积，即1个底面积加上4个侧面积（即长×宽＋长×高×2＋宽×高×2）。 （3）铁块完全沉入水中，水面上升的体积等于铁块的体积。先根据“长方体体积=长×宽×高”求出铁块体积，再根据“上升高度＝铁块体积÷鱼缸底面积”进行计算。 【详解】（1）12×8＝96（平方分米） 答：这个玻璃鱼缸占地面积是96平方分米。 （2）12×8＋12×10×2＋8×10×2 ＝12×8＋（12×10＋8×10）×2 ＝96＋（120＋80）×2 ＝96＋200×2 ＝96＋400 ＝496（平方分米） 答：做这个鱼缸需要496平方分米玻璃。 （3）铁块的体积： 8×6×4 ＝48×4 ＝192（立方分米） 水面上升的高度： 192÷（12×8） ＝192÷96 ＝2（分米） 答：水面上升2分米。 77．造纸术是我国“四大发明”之一。《天工开物》中记载竹子造纸需要经过取材、蒸煮、入帘、压纸和烘干五个主要步骤。这种方法造出的宣纸质地柔韧，经久耐用，广受人们喜爱，被称为"千年寿纸”。 (1)在“入帘”环节要把煮烂的竹木浆倒入纸槽。长方体纸槽从里面量长12分米，宽10分米，高5分米。这个纸槽最多能容纳多少升竹木浆？ (2)宣纸烘干后，为了运输过程中不受损坏，工匠制作了专门的木箱来装宣纸。如果这个长方体木箱（有盖）长6分米，宽5分米，高7分米，制作这个木箱至少需要多少平方分米的木板（木板的厚度不计）？ 【答案】(1)600升 (2)214平方分米 【分析】（1）求纸槽容纳浆的体积就是求长方体容积，将长12分米，宽10分米，高5分米代入长方体的体积公式算出体积，再根据1立方分米＝1升将立方分米转为升即可得到这个长方体纸槽的容积。 （2）求木箱用料是求有盖长方体的表面积，将长6分米，宽5分米，高7分米代入长方体的表面积公式即可计算。 【详解】（1）12×10×5 ＝120×5 ＝600（立方分米） 600立方分米＝600升 答：最多能容纳600升竹木浆。 （2）（6×5＋6×7＋5×7）×2 ＝（30＋42＋35）×2 ＝107×2 ＝214（平方分米） 答：至少需要214平方分米木板。 78．挖一个长8米，宽6米，深2米的蓄水池。 (1)这个蓄水池的占地面积是多少平方米？ (2)如果给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分面积是多少平方米？ (3)若每立方米水重1吨，这个蓄水池最多能蓄水多少吨？ 【答案】(1)48平方米 (2)104平方米 (3)96吨 【分析】（1）蓄水池的占地面积就是它的底面积，底面积＝长×宽； （2）抹水泥只需要抹底部和四周，一共5个面（不需要抹顶面），总面积＝底面积＋四个侧面的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2； （3）求蓄水的质量，先算蓄水池的容积（体积），将长、宽、高（深）代入体积公式：长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，用水的体积乘每立方米水的质量得到蓄水总质量。 【详解】（1）8×6＝48（平方米） 答：这个蓄水池的占地面积是48平方米。 （2）6×8＋（6×2＋8×2）×2 ＝48＋（12＋16）×2 ＝48＋28×2 ＝48＋56 ＝104（平方米） 答：抹水泥部分面积是104平方米。 （3）8×6×2＝96（立方米） 96×1＝96（吨） 答：最多能蓄水96吨。 79．聪聪非常喜欢研究数学问题。妈妈生日那天，聪聪从超市买来两个同样大小的礼品。通过测量，他发现每个礼品的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、4厘米。聪聪想给妈妈一个惊喜，准备将这两个礼品重叠起来，再用彩纸给表面包装起来写上“妈妈生日快乐！”。 (1)请帮聪聪算一算，这两个礼品所占的总空间是多大？ (2)如果按最节省彩纸的方法包装，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】(1)480立方厘米 (2)376平方厘米 【分析】（1）长方体的体积＝长×宽×高，据此算出1个礼品的体积，再乘2即可得到两个礼品所占的空间； （2）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分析题目，把2个小长方体拼成一个大长方体会减少2个相同的面，要节省彩纸，需要使拼成的大长方体的表面积最小，即把最大的面重叠，礼品最大的面是长×宽的面，据此可知，拼成的大长方体的长和宽都等于原来小长方体的长和宽，高等于小长方体高的2倍，据此代入公式求出彩纸的面积。 【详解】（1）10×6×4×2 ＝60×4×2 ＝240×2 ＝480（立方厘米） 答：这两个礼品所占的总空间是480立方厘米。 （2）4×2＝8（厘米） （10×8＋10×6＋8×6）×2 ＝（80＋60＋48）×2 ＝188×2 ＝376（平方厘米） 答：至少需要376平方厘米的彩纸。 学科网（北京）股份有限公司 $