精品解析：江苏省无锡市梁溪区市北高级中学 2025-2026学年高一上学期12月阶段测试数学试题

**基本信息** 高一数学阶段检测卷，以悬链线工程应用、赵爽弦图文化素材为情境，覆盖集合、函数、三角函数等核心知识，通过基础巩固-能力提升-创新应用梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算（题1）、充要条件（题2）|基础概念辨析，注重数学抽象| |多选|3/18|函数奇偶性（题10）、悬链线性质（题11）|综合概念判断，体现数学思维严谨性| |填空|3/15|扇形弧度数（题12）、赵爽弦图面积比（题14）|结合几何直观，渗透文化传承| |解答|5/77|三角函数运算（题15）、“k阶局部奇函数”新定义（题19）|梯度设计，创新题型呼应高考趋势，考查应用意识|

无锡市市北高级中学2025-2026学年第一学期 高一年级数学学科阶段检测卷 命题人：许奕 审题人：李适君 校对人：许奕 时间：120分钟 分值：150分 日期：2025.12 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上. 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. “ ”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知角，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若的解集为，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知且，若恒成立，则 的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 7. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，，对于任意的，当时，有.若，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的每6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 的最小值是2 B. “方程有一正一负根”的充要条件是“ ” C. 不等式的解集为 D. 命题“”的否定为“” 10. 已知定义在 上的函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数必为奇函数 B. 函数的图象与垂直于 轴的直线有且只有一个交点 C. 函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在 上是增函数 D. 若为偶函数，且在区间上是增函数，则函数在区间上是增函数且最小值是 11. 空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态.这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中 ， 为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（ ） A. 若 ，则为偶函数 B. 若， ，则函数的零点为0和 C. 若，则函数的最小值为2 D. 若为奇函数，且使成立，则 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在答题卷横线上. 12. 已知某扇形的周长是 ，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是______. 13. 当时，函数的最小值是_________． 14. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，直角三角形中较小的锐角为θ，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知是关于 的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 16. （1）计算：． （2）计算：． （3）已知 ，求的值． 17. 已知关于 方程 （1）若方程有两个根且都大于，求实数 的取值范围 （2）若方程至少有一个正根，求实数 的取值范围 18. 已知. （1）求函数的最小正周期和最大值，并求出 为何值时，取得最大值； （2）求函数在上的单调增区间； （3）若，求值域. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，其中k为整数，则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”. （1）已知函数，试判断是否为上的“2阶局部奇函数”？并说明理由； （2）若是上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围； （3）若，对任意的实数，函数恒为 上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市市北高级中学2025-2026学年第一学期 高一年级数学学科阶段检测卷 命题人：许奕 审题人：李适君 校对人：许奕 时间：120分钟 分值：150分 日期：2025.12 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上. 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先化简集合，然后求出交集即可. 【详解】， ， . 故选：A 2. “ ”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的概念即对数函数的定义域即可判断. 【详解】当时不能推出，而可以推出 ，所以 是必要不充分条件. 故选：C. 3. 已知角，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由，得， 又，所以. 故选：A. 4. 已知，若的解集为，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知函数的解集，再结合函数关于y轴对称得出图象. 【详解】由的解集为， 可知函数的大致图象为选项D中的图象， 又函数 与的图象关于y轴对称,可得出图象为C选项. 故选:C． 5. 已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二分法计算方法判断即可. 【详解】函数，， ，函数的零点在内； ，函数的零点在内； ，函数的零点在内. 故选：A 6. 已知且，若恒成立，则 的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求出，利用基本不等式求出的范围，求出 的范围，判断选项. 【详解】若，则， 故 ， 当且仅当，即取等号， 由恒成立，即， 则，故或. 故选：B. 7. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数和二次函数的单调性求解即可. 【详解】令，因为函数是单调递减的， 所以要求的单调递减区间，即求的单调递增区间. 要使函数有意义，则，即， 解得，所以的定义域为. 而，的单调递增区间为， 结合定义域，可得在上单调递增. 即的单调递减区间为， 故选：C. 8. 已知函数的定义域为，，对于任意的，当时，有.若，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目条件可变形为，构造函数，分析可知在上为增函数，把不等式等价变形为，根据函数单调性解不等式可得结果. 【详解】∵， ∴，即， 令，则任意的，有， ∴函数在上为增函数. ∵不等式可变形为，即， ∴， ∴，解得，即实数 的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把条件等价变形为，通过构造函数、分析函数的单调性可解不等式. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的每6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 的最小值是2 B. “方程有一正一负根”的充要条件是“ ” C. 不等式的解集为 D. 命题“”的否定为“” 【答案】BD 【解析】 【分析】分和 两种情况结合基本不等式即可判断A选项；方程有一正一负根的充要条件是， 解该不等式即可判断B选项；原不等式可化为，由分式不等式的方法求解可以判断C选项；由全称量词命题的否定可以判断D选项. 【详解】对于A，当 时， ，当且仅当 时取等号； 当时，有，当且仅当 时取等号， 所以只有当 时，的最小值才是2，故A错误； 对于B，方程有一正一负根的充要条件是， 解得 ，故B正确； 对于C，不等式等价于，即，即， 即为，解得，所以原不等式的解集为，故C错误； 对于D，“”的否定为“”故D正确. 故选：BD 10. 已知定义在 上的函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数必为奇函数 B. 函数的图象与垂直于 轴的直线有且只有一个交点 C. 函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在 上是增函数 D. 若为偶函数，且在区间上是增函数，则函数在区间上是增函数且最小值是 【答案】AB 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数的定义可判断B选项；举特例可判断C选项；利用函数单调性和奇偶性的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为 ， ，所以，函数必为奇函数，A对； 对于B选项，因为函数的定义域为 ， 所以，对任意的，都有唯一的与之对应， 所以，函数的图象与垂直于 轴的直线有且只有一个交点，B对； 对于C选项，若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数， 不妨取，直，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在 上不单调，C错； 对于D选项，因为函数为偶函数，且在区间上是增函数， 任取、且，则，则， 即， 所以，函数在区间上是减函数，且最小值为，D错. 故选：AB. 11. 空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态.这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中 ， 为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（ ） A. 若 ，则为偶函数 B. 若， ，则函数的零点为0和 C. 若，则函数的最小值为2 D. 若为奇函数，且使成立，则 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由奇偶性判断A，直接解出零点判断B，利用基本不等式求值域判断C，由奇函数求得，对不等式能成立，进行分离参数转化为求函数的最值得参数范围，从而判断D. 【详解】对于A，当 时，，函数定义域为， 又，所以为偶函数，故A正确； 对于B，若， ，， 令，整理得，即， 解得 ， ，所以函数的零点为0和，故B正确； 对于C，若，则， 当 时，，当且仅当，即时等号成立， 当 时，，当且仅当，即时等号成立； 所以，故C错误； 对于D，若为奇函数，则， 所以， 所以，则， 若使成立， 则， 若，则，， 所以，即能成立， 又， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，则 的最小值为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：对不等式恒成立或能成立问题，常用方法是分离参数，例如化为，然后求的最值，如果是恒成立，，如果是能成立，则，其他形式类推. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在答题卷横线上. 12. 已知某扇形的周长是 ，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是______. 【答案】2 【解析】 【分析】由扇形的周长和面积，可求出扇形的半径及弧长，进而可求出该扇形的圆心角. 【详解】设扇形的半径为，所对弧长为，则有，解得，故. 故答案为：2. 【点睛】本题考查扇形面积公式、弧长公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 13. 当时，函数的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 由，求得 的范围，再利用二次函数的性质求解． 【详解】当时，， 函数， ， ， 故当时，函数y取得最小值为， 故答案为：． 14. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，直角三角形中较小的锐角为θ，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】用三角函数表示直角三角形的两条直角边，得小正方形的边长为，由解出，即可求大正方形与小正方形的面积之比. 【详解】如图所示， 设大正方形边长为1，则，，小正方形的边长为， 由，两边同时平方得，， 所以， 则图中的大正方形与小正方形的面积之比为. 故答案为：5 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知是关于 的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）解方程，求出，利用同角三角函数关系式能求出结果． （2）由且，得，从而，再由，能求出结果． 【详解】（1）解方程，得，， 是关于 的方程的一个实根，且是第一象限角，则， （2），且， ，则，而， 则，故， 16. （1）计算：． （2）计算：． （3）已知 ，求的值． 【答案】（1）；（2） ；（3） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的性质，化简根式、分式指数幂为最简分数，进而计算求解； （2）根据对数的运算法则，对同底数对数合并化简，进而计算求解； （3）通过两次平方构造目标式，再整体代入分式求解． 【详解】（1）； （2） ； （3）已知，则 ，解得 ， ，则 ， ． 17. 已知关于 方程 （1）若方程有两个根且都大于，求实数 的取值范围 （2）若方程至少有一个正根，求实数 的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【小问1详解】 设二次函数 ，开口向上且对称轴 . 则 ， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得 . 因此，实数 的取值范围为 . 【小问2详解】 若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则 ，解得 ； 若方程所有实根非正，则，，解得 . 综上，方程无根或方程所有实根非正，则 或 ，即 . 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数 的取值范围 18. 已知. （1）求函数的最小正周期和最大值，并求出 为何值时，取得最大值； （2）求函数在上的单调增区间； （3）若，求值域. 【答案】（1），，时，的最大值为2；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）直接利用周期公式得到，再计算最值得到答案. （2）令，再计算交集得到答案. （3）得，得到值域. 【详解】（1），当， 即，时，的最大值为2. （2）令，得，， 设，，，所以， 即函数在上的单调增区间为. （3）由得， 根据正弦函数图象可知，所以. 【点睛】本题考查了三角函数的周期，值域，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，其中k为整数，则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”. （1）已知函数，试判断是否为上的“2阶局部奇函数”？并说明理由； （2）若是上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围； （3）若，对任意的实数，函数恒为 上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合. 【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程在上有解，列出方程，解方程即可； （2）由“1阶局部奇函数”的定义，列出方程，讨论方程成立并有解时参数的取值范围； （3）根据“k阶局部奇函数”的定义，转化对任意的实数，函数恒为 上的“k阶局部奇函数”，为对任意的实数恒成立问题，讨论二次项系数是否为零，不为零时讨论恒成立，再令，求解，即可. 【详解】（1）为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程在上有解，即：， 化简得：， 解得： 所以是上的“2阶局部奇函数”. （2）由是上的“1阶局部奇函数”， 且要满足，所以. 因为是上的“1阶局部奇函数”，等价于关于x的方程 在有解，即，化简得：， 所以， 又，所以. （3）因为恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程恒有解. 即，化简得：， 当 时，解得 ，所以 满足题意； 当时，，即：对任意的实数恒成立， 即对任意的实数恒成立， 令，是关于t的一次函数且为上的增函数 则，即：，解得：且 综上，整数k取值的集合. 【点睛】（1）考查对新定义概念的理解与辨析，考查转化与化归思想，中等难度；（2）考查方程有解问题求参数的范围，有一定难度；（3）考查函数与方程思想，函数恒成立问题，综合性较强，属于难题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $