精品解析：江苏南通市启东市第一中学2025-2026学年高一上学期第一次素质检测数学试题

2025-2026年度第一学期第一次素质检测 高一数学试卷 （考试时间150分钟，试卷满分150分，命题人） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若关于的方程和的解集分别为，，且，则（ ）． A. 21 B. 8 C. 7 D. 6 6. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 下列各结论中正确的是（    ） A. “”是“”的充要条件 B. 函数的最小值为2 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 是假命题，则实数a的取值范围是或 11. 设正实数满足，则（    ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知集合，若集合有8个子集，则实数的取值范围为________________． 13. 设，，，则的最小值为__________. 14. 已知函数的最大值为0，关于的不等式的解集为，则___________；的值为____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）求； （2）求，． 16. 已知集合， （1）在 ，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足          时，求t的取值范围. （2）若，求t的取值范围. 17. 已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 （1）求函数的零点； （2）解关于x的不等式． 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度第一学期第一次素质检测 高一数学试卷 （考试时间150分钟，试卷满分150分，命题人） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见数集，结合交集运算，可得答案. 【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以． 故选：D. 2. “，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】解：因为命题“，”是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题即，， 故选：D. 3. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合. 【详解】依题意，集合，而，则， 由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为. 故选：B 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为，若，由不等式的性质知，，即可以推出， 若，则有，所以，得到，即可以推出， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 5. 若关于的方程和的解集分别为，，且，则（ ）． A. 21 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到2是两个方程的根，代入两方程，求出参数，即可求出结果. 【详解】因为，所以2是两个方程的根， 所以，， 解得，，所以． 故选A 【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数的问题，熟记集合交集的概念即可，属于常考题型. 6. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得b＝3a，c＝－4a，再由基本不等式计算即可得出结论． 【详解】由的解集为可知， 1和是方程的两个实数根，且a＜0， 由根与系数的关系可得，即可得，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立； 因此． 故选：D． 7. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 8. 命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出原命题为真命题的充要条件，再根据题意，找到为其范围真子集的选项即得. 【详解】由命题“对，”为真命题，可知在上恒成立， 当时可得，当时不等式可化为：， 设， ① 因在上单调递减，故，则，故得； ②又因在上单调递减，在上单调递增，故， 则有，故得. 综上，可得，即命题“对，”为真命题等价于， 依题意需使选项的范围是的真子集，故C正确. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由作差法结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，，因符号无法确定，故无法判断与大小，故A错误； 对于B，，显然，则，故B正确； 对于C，，因，则， 得，故C正确； 对于D，，因，，则 ，故D正确． 故选：BCD 10. 下列各结论中正确的是（    ） A. “”是“”的充要条件 B. 函数的最小值为2 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 是假命题，则实数a的取值范围是或 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A,,故“”是“”的充要条件，A正确， 对于B, ,当且仅当取等号，但无实数根，故等号取不到，因此2不是的最小值，B错误， 对于C，是的真子集,故“”是“”的充分不必要条件，C错误， 对于D, 由于 是假命题，故，则或，故D正确. 11. 设正实数满足，则（    ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABC：利用基本不等式运算求解即可；对于D：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为正实数满足. 对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知集合，若集合有8个子集，则实数的取值范围为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可知集合中包含3个元素，结合，即可得出实数的取值范围. 【详解】解：因为集合有8个子集，所以集合中包含3个元素， 所以，所以， 则实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 设，，，则的最小值为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值． 【详解】由，得，得 ， 等号当且仅当，即时成立． 故所求的最小值为． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 14. 已知函数的最大值为0，关于的不等式的解集为，则___________；的值为____________. 【答案】 ①. 0 ②. . 【解析】 【分析】由二次函数的性质可得，由题意可得和是方程的两个根，设，则，再结合根与系数的关系可求得结果. 【详解】因为函数的最大值为0， 所以， 因为关于的不等式的解集为， 所以和是方程的两个根， 设，则，， 所以， 所以， 因为，所以解得， 故答案为：0，. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）求； （2）求，． 【答案】（1） （2），或. 【解析】 【分析】（1）解不等式得集合A和B，再由交集的定义求； （2）根据集合的补集交集和并集的运算，直接求解即可； 【小问1详解】 ， ， 所以． 【小问2详解】 因为，, 所以， 又，所以． 由（1）知， 所以或. 16. 已知集合， （1）在 ，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足          时，求t的取值范围. （2）若，求t的取值范围. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）将问题转化为，即可对讨论求解， （2）对分空集和非空集合，即可根据交集的定义求解. 【小问1详解】 若选 ，则, 若②，则， 若选③，则， 因此不论选哪一个条件，都需要满足， 接下来求解， 若时，则，解得， 若时，则，解得， 综上可得， 【小问2详解】 当时， 若时，则，解得， 若时，或，解得， 综上可得或. 17. 已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 （1）求函数的零点； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）1和2 （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理可得，令求解即可； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【小问1详解】 因为不等式的解集为或， 可知与是方程的两个实数根，且， 则，解得：，， 令，解得或， 所以函数的零点为1和2. 【小问2详解】 由（1）知不等式即为，即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意把代入式中可求值； （2）将代入方程可求解； （3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 原方程可化为： 即： ，即，解得：． 【小问3详解】 ，当且仅当，即时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $