3.2 导数与函数的单调性（精讲）-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数极值、最值核心考点，系统梳理极值定义、最值求法及注意事项，典型例题按不含参单调区间、导函数图象分析、含参单调性讨论等类型分层设计，通过知识复习、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建解题框架。 讲义采用分类突破策略，如典例六含参单调性讨论中，引导学生通过参数分类培养数学思维，设置从基础到综合的例题梯度，助力学生精准突破难点，提升逻辑推理与问题解决能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

3.2 导数与函数的极值、最值（精讲） 第一部分：知识复习 1．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 【注意】①对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．例如：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，当x0＝0时，f′(x0)＝0，但x0＝0不是f(x)的极值点；②区分极值与极值点． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [常用结论] 1．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． 2．单调函数无极值，区间端点一定不是极值点． 第二部分：典型例题 典例一：利用导数求函数的单调区间（不含参） 1．（25-26高二下·上海黄浦·期末）已知函数 (1)求函数在处的切线； (2)求函数的单调区间和极值（结果保留e）． 2．（25-26高二下·河南濮阳·期末）函数的单调递增区间为(    ) A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东广州·期中）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，求在内的单调性． 5．（25-26高二下·广东·期末）函数的单调递增区间为（　　） A．和 B． C． D． 6．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，其中，则的单调增区间为________． 典例二：导函数与原函数图象的单调性 7．（25-26高二下·上海长宁·期中）已知定义在上的函数图象如图所示，设的导函数为，则的解集为_____． 8．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ）    A． B． C． D． 9．（25-26高二下·江西抚州·期中）已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 10．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为______. 11．（25-26高二下·天津西青·期中）已知函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导数为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   典例三：已知函数在区间上单调 13．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）（多选）若函数在上存在单调递减区间，则的取值可以是（    ） A．1 B．0 C． D．－1 16．（25-26高二下·吉林·期中）函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（26-27高三·全国·一轮复习）若函数的单调递减区间是，则（    ） A． B． C．1 D．4 18．（25-26高二下·天津·阶段检测）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例四：已知函数在区间上存在单调区间 19．（25-26高二下·河南周口·期末）已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是(   ) A． B． C． D． 21．（25-26高二下·浙江·期中）若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·甘肃白银·期中）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是_________. 23．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高二下·北京·期中）已知函数，则满足函数在上存在递增区间的的一个值为___________. 典例五：已知函数在区间上不单调 25．（25-26高二下·重庆·期中）若函数 不单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（2026·安徽·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在处的切线l与y轴垂直，求的单调区间； (2)若函数在上不单调，求实数m的取值范围． 28．（25-26高二下·湖南·期中）已知函数，，若在上不单调，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高二下·北京丰台·期中）已知函数在区间上不单调，则的一个取值为___． 30．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知函数，若在上不单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 典例六：含参问题讨论单调性（一次型或可化为一次型） 31．（25-26高二下·重庆渝北·期中）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试讨论函数的单调性. 32．（25-26高二下·宁夏·期中）已知函数为实常数）. (1)若，求证：在上是增函数； (2)讨论函数的单调性； 33．（25-26高二下·山东枣庄·期中）已知，． (1)当时，讨论的单调性； 34．（25-26高二下·北京·期中）函数，其中． (1)讨论函数的单调区间； 35．（25-26高三下·江西景德镇·期中）设函数 (1)当时，求在点处的切线方程： (2)讨论的单调性： 36．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； 典例七：含参问题讨论单调性（二次型且可因式分解型） 37．（25-26高一下·西藏林芝·阶段检测）设函数. (1)讨论函数的单调性； 38．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； 39．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 40．（25-26高二下·四川泸州·阶段检测）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； 41．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性． 42．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）应用导数解决下列问题. (1)求椭圆在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 典例八：含参问题讨论单调性（二次型且不可因式分解型） 43．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； 44．（25-26高二下·四川内江·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； 45．（2026·山东泰安·模拟预测）已知正项数列中，，． (1)证明：； (2)已知． （i）讨论函数的单调性； 46．（25-26高二下·山东济南·期中）函数. (1)求的单调区间； 47．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； 48．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）已知函数 . (1)求函数的单调性； 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 导数与函数的极值、最值（精讲） 第一部分：知识复习 1．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 【注意】①对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．例如：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，当x0＝0时，f′(x0)＝0，但x0＝0不是f(x)的极值点；②区分极值与极值点． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [常用结论] 1．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． 2．单调函数无极值，区间端点一定不是极值点． 第二部分：典型例题 典例一：利用导数求函数的单调区间（不含参） 1．（25-26高二下·上海黄浦·期末）已知函数 (1)求函数在处的切线； (2)求函数的单调区间和极值（结果保留e）． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解． （2）由确定增区间，由确定减区间，然后根据极值的定义得极值． 【详解】（1）由求导得，则，又， 所以函数在处的切线方程为； （2）因， 由得或，由得， 所以函数的递增区间是和，递减区间是， 故该函数的极大值为，极小值为． 即的单调递增区间为和，单调递减区间为； 极大值为，极小值为． 2．（25-26高二下·河南濮阳·期末）函数的单调递增区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定函数定义域，再求导并解导数大于零的不等式，得到单调递增区间. 【详解】函数的定义域为， . 令，由，，得，即. 故函数的单调递增区间为. 3．（25-26高二下·广东广州·期中）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 求导得， 令，得，解得， 所以函数的单调减区间为. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，求在内的单调性． 【答案】在上单调递增，在上单调递减． 【分析】求导，利用导函数的符号确定函数的单调性. 【详解】因为，所以， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 5．（25-26高二下·广东·期末）函数的单调递增区间为（　　） A．和 B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为， ， 由，解得， 函数的单调递增区间为． 6．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，其中，则的单调增区间为________． 【答案】 【分析】求定义域，求导数，利用导数可得答案. 【详解】由，即，可得函数定义域为. 易知， 即在定义域内恒成立， 综上，的单调增区间为. 典例二：导函数与原函数图象的单调性 7．（25-26高二下·上海长宁·期中）已知定义在上的函数图象如图所示，设的导函数为，则的解集为_____． 【答案】 【分析】由图可得单调性，据此可得正负性，结合正负性可解不等式. 【详解】由图可得时，；，， 又由图可得在上单调递减，在上单调递增， 从而时，；时，， 则或， 对于，可得； 对于，可得； 综上可得的解集为：. 8．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过的单调性，判断的正负，即可求得的正负. 【详解】由图象可得， 在上单调递增，所以时，； 在上单调递减， 所以当时，； 当时，； 在上单调递增,当时，． 综上，的解集为． 9．（25-26高二下·江西抚州·期中）已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式不等式得或，根据图象的单调递增和递减区间，得到或的解集，分别求出两个不等式组的解集，得到原不等式的解集. 【详解】，或，即或. 由图可得，当或时，单调递增，则；当时，单调递减，则； 由，解得；由，解得. 不等式的解集为. 10．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为______. 【答案】 【详解】由可得：或， 由图可知当时，可得，则， 当时，可得，则， 所以的解集为：. 11．（25-26高二下·天津西青·期中）已知函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导数为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据函数的图像和导数的性质可知当的函数值下降时，， 故观察图像解得当时，的函数值下降，故. 12．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 典例三：已知函数在区间上单调 13．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合导数与单调性的关系条件可转化为在上恒成立，由此可求结论. 【详解】函数求导得， 已知在区间上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，求导得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 则是极小值点， ，， 在的上确界为3， ． 14．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 由题意可得在上恒成立， 即，在上恒成立， 令， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 15．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）（多选）若函数在上存在单调递减区间，则的取值可以是（    ） A．1 B．0 C． D．－1 【答案】AC 【分析】对函数求导得到，由函数在存在单调递减区间转化为在区间上有解，分离参数得有解，换元令转化为二次函数在上求值域，得其值域为，只需即且，据此判断和符合条件. 【详解】函数在上存在单调递减区间. 等价于在上有解.求导得. 由在上有解，得在上有解. 令，则. 该函数在上单调递减，最大值为，最小值为. 要使在上有解，只需，即且. 选项中和均满足且，故A、C正确. 16．（25-26高二下·吉林·期中）函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得在上恒成立，从而得在上恒成立，求出函数在上的值域，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 由题意可得在上恒成立， 所以，在上恒成立， 又因为在上单调递增， 所以， 所以的取值不大于函数在区间上的下确界，即， 所以实数的取值范围为. 17．（26-27高三·全国·一轮复习）若函数的单调递减区间是，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】先对函数求导，再根据单调递减区间与导数不等式解集的关系，利用韦达定理求参数． 【详解】解：易知，由题意知的解集为， 则与4是方程的两个根，故． 故选：A． 18．（25-26高二下·天津·阶段检测）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数在区间上单调递增，等价于导函数在此区间恒大于等于0，进而转化成参数小于等于某个函数恒成立，即求函数最值的问题. 【详解】解：由题意知，因为函数在上单调递增， 所以恒成立，即在区间上恒成立. 令，，则，当时，，所以， 因此在上单调递增，则，所以. 典例四：已知函数在区间上存在单调区间 19．（25-26高二下·河南周口·期末）已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过求导，将条件转化为导数在区间上有解，从而分离参数，构造函数，利用函数的单调性即可得到的取值范围． 【详解】由，则， 又在区间上存在单调递增区间， 则存在，使得，即，即成立， 令，，则， 所以在上单调递减，且， 所以要使在上有解，只需， 故的取值范围是． 20．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数存在减区间的问题转化为导数小于0的存在性问题，通过分离参数法，结合反比例函数的值域求解参数范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 函数在区间上存在减区间， 等价于存在，使得成立， 即在上有解. 当时，， 故，即实数的取值范围是. 21．（25-26高二下·浙江·期中）若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导得，转化为在上有解，最后分离参数即可. 【详解】函数，则 ， 因为在上存在单调递增区间，所以在上有解， 所以当时，有解， 令，而当时，令 ， 即为， 此时(此时)，所以， 故实数a的取值范围为. 22．（25-26高二下·甘肃白银·期中）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据函数单调性可得在上有解，即在上有解，令，利用导数求其最大值即可. 【详解】因为，所以， 由存在单调递减区间，所以在上有解， 即在上有解， 令，所以， 所以时，，所以在上单调递增， 时，，所以在上单调递减， 则，所以. 23．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为导函数在其定义域内有解，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，导函数为. 函数存在单调递增区间，等价于存在使得. 因为，所以等价于 . 即在上有解. 对配方得，在上单调递增，. 要使在上有解，只需. 因此的取值范围是. 24．（25-26高二下·北京·期中）已知函数，则满足函数在上存在递增区间的的一个值为___________. 【答案】写出内的任意一个值都可以 【详解】 函数在上存在单调递增区间，使得成立， 即成立. 令，则. 因为时，恒成立， 所以恒成立，单调递增. 因为，所以， 所以， 因为,所以实数的取值范围是. 所以写出内的任意一个值都可以 典例五：已知函数在区间上不单调 25．（25-26高二下·重庆·期中）若函数 不单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为在上有变号零点，结合二次函数的图象与性质分析即可求解. 【详解】函数的定义域为, , 令，解得：，且恒成立， 因为函数 不单调，则在上有变号零点， 则两个根和至少有一个在， 由于，则必在区间内，故，解得： 26．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究单调性，进而得，解出即可求解. 【详解】由题意得：，令， 所以，所以在单调递增，且，， 又因为在上不单调，所以，解得. 27．（2026·安徽·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在处的切线l与y轴垂直，求的单调区间； (2)若函数在上不单调，求实数m的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，递减区间为 (2) 【分析】（1）根据函数导数的几何意义，由切线斜率求出导数值，进而求出参数，再根据函数导数与函数单调性的关系，求出函数单调区间； （2）根据函数的单调性，判定函数导数值的情况，构造函数，根据函数零点情况，求出参数范围. 【详解】【小题1】由题意得， 故，解得， 则， 令，则， 令，解得， 故当时，，即在上单减； 当时，，即在上单增； 故恒成立， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以的单调递增区间为，递减区间为； 【小题2】由（1）知，， 在上不单调，即方程在上有变号解， 即在上有变号解，． 令，，则， 令，解得， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 时，，，在上单调递增，不符合题意，舍去． 当时，，当，， 故实数m的取值范围为． 28．（25-26高二下·湖南·期中）已知函数，，若在上不单调，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，转化为在上有变号零点，设，求得在上单调递增，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 要使得函数在上不单调，即在上有变号零点， 设，可得， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 29．（25-26高二下·北京丰台·期中）已知函数在区间上不单调，则的一个取值为___． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由，得， 令，解得或， 当时，；当时，；当时，； 即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由于函数在区间上不单调， 故，或，解得或， 故的一个取值可为0. 30．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知函数，若在上不单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，转化为在上有变号零点，设，求得在上单调递增，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 要使得函数在上不单调，即在上有变号零点， 设，可得， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 典例六：含参问题讨论单调性（一次型或可化为一次型） 31．（25-26高二下·重庆渝北·期中）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求时的函数值和导数值，再用点斜式得到切线方程即可； （2）通过求导后对参数分类讨论，根据导数的正负即可判断函数的单调区间. 【详解】（1）由函数，所以函数的定义域为，又， 所以，， 所以函数在点处的切线方程为：，即. （2）因为函数的定义域为，且， 令，得，即. 若，，为常数函数； 若，由，得，由，得； 若，由，得，由，得； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，为常数函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 32．（25-26高二下·宁夏·期中）已知函数为实常数）. (1)若，求证：在上是增函数； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数证明单调性即可； （2）求导，分、，结合导数的符号讨论单调性即可； 【详解】（1）由题可知函数的定义域， 因为，所以，所以， 令解得， 所以在上是增函数； （2）函数的定义域为， 所以， 当时，，即恒成立，所以在上单调递增； 当时，由得或（舍去）， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时在是增函数； 当时在上单调递减，在上是增函数； 33．（25-26高二下·山东枣庄·期中）已知，． (1)当时，讨论的单调性； 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导后讨论导数的正负即可； 【详解】（1）由题意知的定义域为， 当时，，     当时，，则在上单调递减，    当时，由，解得；由，解得． 即在上单调递增，上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 34．（25-26高二下·北京·期中）函数，其中． (1)讨论函数的单调区间； 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无递减区间； 时，递增区间为，递减区间为. 【分析】（1）先求导函数，再根据导函数正负判断单调区间； 【详解】（1）由题可知的定义域为，. 当时，恒成立，因此在上单调递增，无递减区间； 当时，令，解得. 时，，单调递增； 时，，单调递减. 综上，时，的单调递增区间为，无递减区间； 时，递增区间为，递减区间为. 35．（25-26高三下·江西景德镇·期中）设函数 (1)当时，求在点处的切线方程： (2)讨论的单调性： 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；在上单调递增. 【分析】（1）先求出函数表达式，再对其求导，根据导数的几何意义求出斜率，最后结合切点求出切线方程； （2）对函数求导，根据导数的正负性来讨论函数的单调性，对的取值范围进行分类讨论； 【详解】（1）解：由题意知，函数的定义域为， 当时，，则， 当时，，，则切点为，斜率， 所以切线方程为，即. （2）解：由题意得，， 当时，，则，所以在上单调递增； 当时，令，则， 两边同时取自然对数得，解得, 当时，，即，所以在上单调递减； 当时，，即，所以在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；在上单调递增. 36．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）对函数求导，并根据指数函数性质对的取值进行分类讨论得出函数单调性； 【详解】（1）易知， 当时，，此时函数在上单调递减； 当时，令，可得； 又因为为增函数， 所以时，，此时函数在上单调递减； 当时，，此时函数在上单调递增； 综上可得当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 典例七：含参问题讨论单调性（二次型且可因式分解型） 37．（25-26高一下·西藏林芝·阶段检测）设函数. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）先对函数求导，根据的取值分类判断导函数的正负，即得函数的单调性； 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，则，即函数在上单调递增； 当时，由得，由得， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 38．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)时，在单调递增，在单调递减； 时，在，单调递增，在单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，单调递增，在单调递减 【分析】（1）对函数求导，利用导数，按的取值范围分情况讨论函数的单调性； 【详解】（1）函数的定义域为， ， 若，则，，， 在上单调递增，在上单调递减， 若，令，则或， 当，即时，或，， 在，上单调递增，在上单调递减； 当，即时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当，即时，或，， 在，上单调递增，在上单调递减； 综上： 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减． 39．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2) 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间上单调递减；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）求导，确定函数单调区间，即可求解； （2）求导，通过，，，讨论导数符号即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 由，得， 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； （2）因为函数， 所以， （ⅰ）当时，若，则， 若，则， 若，则， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， （ⅱ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， （ⅲ）当时，，所以函数在区间上单调递减， （ⅳ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增. 40．（25-26高二下·四川泸州·阶段检测）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)当时，在上递减，在上递增； 当时，在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 【分析】(1)求导后判断导函数的正负进行讨论； 【详解】（1） 则， 当时，在上递减，在上递增； 当时，在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 41．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)答案见解析 【分析】（1）根据条件，求出的解，再由极值的定义即可求解； （2）根据条件得到，再对分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解. 【详解】（1）当时，，易知的定义域为， ，又恒成立， 当时，，当时，， 所以是的极小值点，极小值为，无极大值. （2）的定义域为，, 当时，恒成立，当时，，当时，， 当，由，得到或， 若时，，时，，时，， 若时，，此时恒成立，当且仅当时取等号， 若时，，时，，时，， 综上所述，当时，的减区间为，增区间为， 当时，的减区间为，增区间为， 当时，的增区间为， 当时，的减区间为，增区间为. 42．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）应用导数解决下列问题. (1)求椭圆在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)当，的增区间是，减区间是；当， 增区间是，无减区间；当，的增区间是，减区间是 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数与单调性分类讨论求解即可. 【详解】（1）显然椭圆在点处的切线方程就是 函数图象在处的切线方程， 因为，所以切线斜率是 ， 所以切线方程是； （2）定义域为， 当，，在上单调递增； 当，令，得或，令，得， 所以的增区间是，减区间是； 当，令，得或，令，得， 所以的增区间是，减区间是； 综上所述，当，的增区间是，减区间是； 当， 增区间是，无减区间； 当，的增区间是，减区间是. 典例八：含参问题讨论单调性（二次型且不可因式分解型） 43．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； 【答案】(1)，证明见解析 (2)当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． 【分析】（1）先对原函数求导，根据导数几何意义，利用处导数值等于0列方程求，再分析导数符号变化，证明导数无变号零点，得无极值点； （2）整理导数后分子为二次式，根据判别式取值分类讨论，依据导数正负判断单调性； 【详解】（1）对函数求导：​， 因为恒成立，故的符号由分子决定. 曲线在处切线斜率为，代入得： ，解得. 此时 ，故恒成立，仅处， 因此在上单调递减，无极值点. （2）对二次函数，判别式，分情况讨论： ①当时，，恒成立，故，在上单调递减； ②当时，的两根为​，​， 则当或时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． 44．（25-26高二下·四川内江·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； 【答案】(1)当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减. 【分析】（1）求导后分析分子的符号，分、、三种情况，讨论函数单调性； 【详解】（1）， 当时，. 在单调递增，在单调递减. 当且的判别式， 即时对恒成立， 在上单调递减. 当时，由得：， 解得：. 由可得：或， 在上单调递增， 在上单调递减. 45．（2026·山东泰安·模拟预测）已知正项数列中，，． (1)证明：； (2)已知． （i）讨论函数的单调性； 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 【分析】（1）构造函数并利用导数确定单调性，进而证明不等式. （2）（i）求出函数的导数，按分类讨论的符号即可； 【详解】（1）设函数，求导得 函数在上单调递减，，则当时，恒成立， 由，得，而，因此，数列单调递减， 所以 （2）（i）函数的定义域为，求导得， 设函数，， 当，即时，，，函数在上单调递增； 当，即时，有两个不相等实根，， 函数对称轴，，，则， 当或时，，，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增， 在上单调递减. 46．（25-26高二下·山东济南·期中）函数. (1)求的单调区间； 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）对函数求导并利用判别式得出导函数零点，求出相应区间上的单调性即可； 【详解】（1）函数，定义域为，则 因为，设 ， 则令得，， 当时，单调递增， 当时,单调递减， 当时，单调递增， 综上所述的单调递增区间为， 单调递减区间为； 47．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上递减，在上递增. 【分析】（1）求出的定义域，求出，利用基本不等式得到，故分别按照和这两种情况讨论求解，当时，令，即，求出此方程的两个根，；利用韦达定理得到，解出和的解，从而得到的单调性. 【详解】（1）的定义域为，， ，当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，， 则，所以在上单调递增； 当时，令，即， 则的两个根为，； 又，则， 则的解为或，的解为， 则在上单调递增，在上递减，在上递增； 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增， 在上递减，在上递增. 48．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）已知函数 . (1)求函数的单调性； 【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增 【分析】（1）由题意得，求导，分，，和四种情况讨论求得函数的单调区间； 【详解】（1）由已知， 当时，令的图象开口向下，且， 所以时，，即，则在上单调递增， 时，，即，则在上单调递减； 当时，，则， 所以时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减； 当时，的图象开口向上，且， 或时，，即， 则在上单调递增， 时，，即， 则在上单调递减. 当时，的图象开口向上，且且不恒为0， 此时，即，则在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $