精品解析：上海市南汇中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

上海南汇中学2025学年第二学期期中考试 高一数学 满分：100分 完成时间：90分钟 一、填空题：（本大题满分36分，每小题3分） 1. 已知为虚数单位，则 __________． 【答案】 【解析】 【详解】 2. 函数的最小正周期是_____________. 【答案】 【解析】 【详解】∵函数 的周期为， ∴函数的最小正周期， 故答案为 . 3. 已知点、，若点满足，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设点坐标为，则， ，因为， 所以 ，解得 . 4. 已知两点，则向量的单位向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】可知，所以 ， 所以的单位向量的坐标为. 5. 设，且为奇函数，则__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解. 【详解】由题意为奇函数，且定义域为 ， 则，则， 又，则. 当时，是奇函数， 故得. 故答案为：. 6. 已知均为非零向量，且，则向量与的夹角为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由平方化简可得，再求出，然后利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】设与的夹角为， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 故答案为： 7. 若直线是函数的一条对称轴，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦型函数图象在对称轴处取得最值的性质求解. 【详解】对于正弦型函数 ，其值域为 ，即最大值为，最小值为. 由正弦型函数的图象性质可知，函数图象的对称轴对应函数的最值点， 已知是的一条对称轴，因此在处取得最值，即 . 8. 函数，的值域是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知求得的范围，然后结合正弦函数性质得函数值域． 【详解】时，， 所以，即时，，又时，， 所以函数值域为． 9. 已知非零向量，，满足，．若为在上的投影向量，则向量，夹角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量投影向量的定义，结合已知条件求出两向量夹角的余弦值，再根据向量夹角的取值范围确定夹角大小. 【详解】设向量与的夹角为，， 根据平面向量投影向量的定义，在方向上的投影向量为. 代入，解得，结合，可得. 10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解，，再利用运算律转化求即可. 【详解】∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵, ,， 故答案为：. 11. 已知函数．若存在，使得 ，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数的解析式利用辅助角公式进行化简，根据题意分情况讨论，求解最大值即可. 【详解】因为， 则由题意 ，可得 或 ， 当 时，讨论如下， 令 ，解得 ， 而，则， 令 ，解得 ， 而，则， 若最大，则最大，最小即可， 则当，时，； 当 时，讨论如下， 令 ，解得 ， 而，则， 令 ，解得 ， 而，则， 若最大，则最大，最小即可， 则当，时，. 综上， 的最大值为． 12. 已知函数，、、为三个不同的平面向量，且 ．若 ，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得中有一个为0，一个为正，一个为负，令，设为，由题设可得所求表达式关于的表达式，据此可得答案. 【详解】由解析式及 ， 则全为0， 或中有一个为0，一个为正，一个为负. 若全为0，因为 ， 则、、两两垂直，这与、、为三个不同的平面向量矛盾. 则中有一个为0，一个为正，一个为负. 令，设 ， 如下图及题设可得，. 因此 . 因为，则， 则 . 所以所求范围是. 二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立； 当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立，故选B. 考点：复数概念，充要关系 14. 下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象及性质，判断函数周期和单调性，求出结果即可. 【详解】画出图象，如下图所示， 可知函数最小正周期为 且在区间上单调递减，所以A正确； 对于可知函数最小正周期为，所以B错误； 对于，可知函数在区间上单调递增，所以C错误； 画出图象，如下图所示， 可知函数在区间上单调递增，所以D错误； 故选：A. 15. 已知，，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最大值为1 C. 将的图象向左平移单位后得的图象 D. 将的图象向左平移单位后得的图象 【答案】D 【解析】 【分析】先根据诱导公式化简，再结合三角函数的性质，对四个选项逐个分析可选出答案. 【详解】由诱导公式，，， 所以， 对于A，最小正周期为，故A错误； 对于B，的最大值为，故B错误； 对于C，将的图象向左平移单位后得，故C错误； 对于D，将的图象向左平移单位后得，故D正确. 故选：D. 16. 如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形中线的向量表示计算即可. 【详解】设的中点为A， 则， 所以. 故选：D 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17. 已知为实数，向量，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意可得 ，化简得 ， 解得 ，或 . 【小问2详解】 由题意可得 ，解得 ，故， 因此， 故. 18. 已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位． （1）求复数； （2）设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）由是实数，是纯虚数，列出等式求解即可； （2）由，且与不共线，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 设复数， 由是实数知，即 ， 所以． 又因为是纯虚数，则为纯虚数， 即且， 所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 则， 所以，， 因为向量与的夹角为钝角， 所以，且与不共线， 即，且 解得且. 19. 某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆的半个圆弧（为此圆弧的中点）和直径构成，已知圆的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形；喷泉观景区的形状为．要求端点、均在直径上，端点、均在圆弧上．设． （1）试用分别表示矩形和的面积； （2）若在矩形两侧线段、 的位置架起两座观景桥，已知建造荷花池的总费用为10万元，建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用为每平方千米16万元．问：当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值． 【答案】（1）；，； （2）建造该景区总费用最低费用为（万元），此时. 【解析】 【分析】（1）由题可得关于表达式，据此可表示矩形 面积；连接 与交于点，用表示出，，据此可表示 面积； （2）由题可得关于观景区总费用的表达式，据此可得答案. 【小问1详解】 由题可得 ，则； 如图连接 与交于E，因为此圆弧中点，由圆弧对称性，可得 ， ， 从而，； 【小问2详解】 由（1）及题设可得：建造该景区总费用为：，. 令 ，则. 又，则. 从而 ， 因 在(]上单调递减，则， 则建造该景区总费用最低费用为（万元），此时. 20. 如图，在中，为线段 上一点（包含端点），且． （1）若，求、的值； （2）若，， ，且与的夹角为，求的值； （3）若，， ，且与的夹角为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量加减法法则及中点性质求解； （2）利用向量线性运算表示，结合数量积定义及运算律求解； （3）建立平面直角坐标系，利用坐标运算及二次函数性质求取值范围. 【小问1详解】 若，则， 整理得，即， 又， 所以； 【小问2详解】 若，则， 整理得，即， 所以 ， 因为 ， ，且夹角为， 所以 ， 代入得 ； 【小问3详解】 因为与的夹角为， 以为坐标原点， ，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，， 所以， 由，得， 所以， 则，， 所以  ， 因为为线段上一点，所以， 当时，取得最小值， 当或时，取得最大值， 所以的取值范围为. 21. 设向量，函数，则称函数为向量的友好函数，称向量为函数的友好向量． （1）设 ，且函数的友好向量为，求的单调增区间； （2）设 ，函数的友好向量为，且的最小正周期为 ，若在上恰有5个零点，求实数 的取值范围； （3）如果函数的定义域为 ，若对于任意 ，， ，，，分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”．现已知 ，且函数的友好向量为，记 ，当定义域为时，为“三角形函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意求出函数解析式，再利用整体代入法求解单调区间即可. （2）结合题意求出函数解析式，再利用正弦函数的性质求解参数范围即可. （3）由题意得到，再利用换元法并结合“三角形函数”定义分类列出不等式求解即得. 【小问1详解】 由题意得 ，且函数的友好向量为， 则 ， 令 ，解得 ， 可得的单调增区间为 . 【小问2详解】 由题意得函数的友好向量为， 则 ， 而的最小正周期为 ，得到 ，解得 ， 则 ，令 ， 解得 ，再列举出 时， 当 时，得到，当 时，得到， 当 时，得到，当 时，得到， 当 时，得到，当 时，得到， 而在上恰有5个零点，可得. 【小问3详解】 由题意得 ，且函数的友好向量为， 可得 ，而 ， 得到 ， 当时，可得， 依题意， 为“三角形函数”，当且仅当， 当 时， ，恒有 ， ， 满足，则 ； 当时， ，显然有 ， 由，得 ，解得 ，因此 ； 当时， ，必有 ，即 ， 由，得 ，解得，因此 ， 故实数的取值范围是 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海南汇中学2025学年第二学期期中考试 高一数学 满分：100分 完成时间：90分钟 一、填空题：（本大题满分36分，每小题3分） 1. 已知为虚数单位，则 __________． 2. 函数的最小正周期是_____________. 3. 已知点、，若点满足，则点的坐标为__________． 4. 已知两点，则向量的单位向量的坐标为__________． 5. 设，且为奇函数，则__________. 6. 已知均为非零向量，且，则向量与的夹角为____________． 7. 若直线是函数的一条对称轴，则__________． 8. 函数，的值域是___________． 9. 已知非零向量，，满足，．若为在上的投影向量，则向量，夹角的大小为______． 10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________． 11. 已知函数．若存在，使得 ，则的最大值为__________． 12. 已知函数，、、为三个不同的平面向量，且 ．若 ，则的取值范围是__________． 二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知，，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最大值为1 C. 将的图象向左平移单位后得的图象 D. 将的图象向左平移单位后得的图象 16. 如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17. 已知为实数，向量，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 18. 已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位． （1）求复数； （2）设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 19. 某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆的半个圆弧（为此圆弧的中点）和直径构成，已知圆的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形；喷泉观景区的形状为．要求端点、均在直径上，端点、均在圆弧上．设． （1）试用分别表示矩形和的面积； （2）若在矩形两侧线段、 的位置架起两座观景桥，已知建造荷花池的总费用为10万元，建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用为每平方千米16万元．问：当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值． 20. 如图，在中，为线段 上一点（包含端点），且． （1）若，求、的值； （2）若，， ，且与的夹角为，求的值； （3）若，， ，且与的夹角为，求的取值范围． 21. 设向量，函数，则称函数为向量的友好函数，称向量为函数的友好向量． （1）设 ，且函数的友好向量为，求的单调增区间； （2）设 ，函数的友好向量为，且的最小正周期为 ，若在上恰有5个零点，求实数 的取值范围； （3）如果函数的定义域为 ，若对于任意 ，， ，，，分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”．现已知 ，且函数的友好向量为，记 ，当定义域为时，为“三角形函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $