精品解析：上海市上海大学市北附属中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

2025学年第二学期数学期中考试试卷 高一数学 （2026.4） 答题时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）． 1. 已知，其中为虚数单位，则 ______. 2. 函数的单调增区间是_______________. 3. 已知正方形的边长为1，那么____________． 4. 已知向量，，且，则实数______. 5. 已知，若为复数，且，，则______． 6. 若函数的最小正周期为，则的值是________． 7. 已知函数定义域为，值域为，则______． 8. 在复平面内，把复数对应的向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是___． 9. 若向量在向量上的投影向量为，且，则______. 10. 电流强度随时间变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是____________． 11. 已知向量，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________________． 12. 已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小取值为___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）. 13. 如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 14. 复数为实数是的（ ）条件 A. 充要条件； B. 充分非必要条件； C. 必要非充分条件； D. 非充分非必要条件． 15. 若(是虚数单位),则的最小值是（ ） A. B. C. D. 16. 对于函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期为；②若，则；③的图象关于直线对称；④在上是减函数，其中正确结论的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）． 17. 已知向量，夹角为，求： （1）； （2）； （3）. 18. 已知复数满足（其中为虚数单位），，若. （1）求复数； （2）求的取值范围. 19. 在平面直角坐标系xOy中，点. （1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数满足，求的值. 20. 已知． （1）求函数的单调减区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值； （3）说明函数的图象由图象怎么变换而来． 21. 设，函数的最小正周期为，且． （1）求和的值； （2）在给定坐标系中作出函数在上的图像； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期数学期中考试试卷 高一数学 （2026.4） 答题时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）． 1. 已知，其中为虚数单位，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数相等得到的值，从而求出的值. 【详解】已知，其中，则，， 因此. 2. 函数的单调增区间是_______________. 【答案】 【解析】 【详解】略 3. 已知正方形的边长为1，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的运算法则及向量的模计算即可. 【详解】根据向量运算法则可得， 又因为正方形边长为，因此，且， 又因为，根据模长公式可得， 因此. 4. 已知向量，，且，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直坐标表示可得答案. 【详解】因，则. 故答案为： 5. 已知，若为复数，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】对于复数，有，，则可求出复数的实部与虚部，进而求出. 【详解】设，由，则，， 所以，因此. 6. 若函数的最小正周期为，则的值是________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析： 考点：三角函数周期 【方法点睛】已知函数的图象求解析式 (1). (2)由函数的周期求 (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求. 7. 已知函数定义域为，值域为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据定义域和值域，结合余弦函数的图像与性质即可求得的值，进而得解. 【详解】因为，由余弦函数的图像与性质可得， 则， 由值域为可得， 所以， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了余弦函数图像与性质的简单应用，属于基础题. 8. 在复平面内，把复数对应的向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是___． 【答案】 【解析】 【分析】先根据旋转角确定旋转因子，利用复数乘法几何意义，将复数乘旋转因子得. 【详解】由题意可得：，旋转角， 旋转因子为：， 所以. 9. 若向量在向量上的投影向量为，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式求出，由得，代入向量夹角公式，即可得出答案． 【详解】在上的投影向量为， ，则，即 又，平方得，则 即． 故答案为：． 10. 电流强度随时间变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数图象求出函数的解析式，再将代入该函数解析式即可得出所求的电流强度. 【详解】由图象可知，，，最小正周期满足，. ，，函数， 将点代入该函数解析式得，得. ，，则，得， ，当时，， 故答案为. 【点睛】本题考查利用图象求函数的解析式，并利用三角函数解析式解决实际问题，利用图象求三角函数解析式的基本步骤如下： （1）求、：，； （2）求：根据图象得出最小正周期，可得出； （3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值. 11. 已知向量，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出与的坐标，利用两向量夹角为锐角等价于两向量数量积大于0且两向量不共线，列出不等式求解后取交集得到的取值范围. 【详解】已知，，则 ，， 由，可得，整理得，解得，  又两向量共线满足坐标关系 解得，此时，需舍去， 综上，的取值范围是. 12. 已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小取值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由条件确定当时，函数取得最大值，代入即可求的集合，从而得到的最小值. 【详解】由条件对任意的实数x都成立，可知是函数的最大值， 当时， 解得，又因，所以最小值为2. 故答案为：2 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）. 13. 如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中和中，根据向量三角形加法法则建立等量关系即可表示出. 【详解】解：由向量三角形加法法则可知，在中，， 在中，，又为的中点，为的中点， 所以，，因此， 又因为，所以. 14. 复数为实数是的（ ）条件 A. 充要条件； B. 充分非必要条件； C. 必要非充分条件； D. 非充分非必要条件． 【答案】A 【解析】 【分析】设，其中．分别证明“为实数”能推出“”，以及“”能推出“为实数”． 【详解】设则. 若为实数，则，所以. 因此，“为实数”是“”的充分条件． 反之，若，则. 由复数相等的充要条件，得. 所以，从而为实数． 因此，“为实数”也是“”的必要条件． 综上，“为实数”是“”的充要条件． 15. 若(是虚数单位),则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易得复数表示的点在单位圆上，而要求的值为单位圆上的点到复数表示的点的距离，由数形结合的思想可得答案． 【详解】解：由复数的几何意义可知：表示的点在单位圆上， 而|z−2−2i|表示该单位圆上的点到复数表示的点的距离， 由图象可知：的最小值应为点到的距离， 而 ，圆的半径为1， 故的最小值为， 故选D． 【点睛】本题考查复数的模长的最值，涉及复数的几何意义和数形结合的思想，属基础题． 16. 对于函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期为；②若，则；③的图象关于直线对称；④在上是减函数，其中正确结论的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 利用诱导公式以及倍角公式化简函数解析式，根据周期公式判断①；举反例判断②；根据正弦函数的对称轴判断③；根据正弦函数的单调性判断④. 【详解】解：根据题意得： 函数 ①根据周期公式可得：的周期为．所以①正确； ②，但是不满足，所以②错误； ③的所有对称轴为， 显然③正确； ④的单调减区间为，显然④正确， 则其中正确结论的个数为3． 故选：D 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的周期，对称轴，单调性，属于中档题. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）． 17. 已知向量，夹角为，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）10 （2）17 （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义计算．（2）利用数量积的分配律展开，再代入、及的值．（3）先求，再根据向量的模为非负数求出． 【小问1详解】 由平面向量数量积的定义，得. 所以. 【小问2详解】 由数量积的分配律及，得. 因此. 代入已知条件，得. 【小问3详解】 因为 所以. 所以. 因为向量的模为非负数，所以 18. 已知复数满足（其中为虚数单位），，若. （1）求复数； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用复数的除法运算得到答案； （2）利用共轭复数的定义和复数模的运算化简得到，解得答案. 【小问1详解】 已知复数满足，则. 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 又因为，，所以， 由于，得，化简得，解得， 因此的取值范围是. 19. 在平面直角坐标系xOy中，点. （1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数满足，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知，根据给的坐标可直接表示以AB、AC为邻边的对角线的向量坐标，然后利用坐标直接计算向量的模； （2）由已知，分别表示出，，带入给的关系式中，利用向量的数量积运算解方程即可. 【小问1详解】 由已知，设以线段AB、AC为邻边的平行四边形为， 所以，， 对角线，因此； 另一条对角线， 因此； 【小问2详解】 因为，所以，， 由，即， 解得． 20. 已知． （1）求函数的单调减区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值； （3）说明函数的图象由图象怎么变换而来． 【答案】（1）， （2）最大值为，最小值为 （3）方法一：先将图象向左平移个单位长度，得到的图象， 再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到的图象． 方法二：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到的图象， 再将图象左平移个单位长度，得到的图象． 【解析】 【分析】（1）先根据正弦的二倍角公式，及辅助角公式将化简为正弦型函数，进而结合正弦函数的单调区间求解即可； （2）结合（1），及正弦函数的闭区间最值求解即可； （3）根据三角函数图象的变换规则即可说明． 【小问1详解】 由， 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为，． 【小问2详解】 结合（1）有， 由，得，则， 所以， 所以的最大值为，最小值为． 【小问3详解】 方法一：先将图象向左平移个单位长度，得到的图象， 再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变， 得到的图象． 方法二：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变， 得到的图象， 再将图象左平移个单位长度，得到的图象． 21. 设，函数的最小正周期为，且． （1）求和的值； （2）在给定坐标系中作出函数在上的图像； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用最小正周期和解即可； （2）利用列表，描点画出图像即可； （3）由余弦函数的图像和性质解不等式即可. 【小问1详解】 ∵函数的最小正周期，∴． ∵， 且，∴． 【小问2详解】 由（1）知，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 在上的图像如图所示： 【小问3详解】 ∵，即， ∴， 则， 即． ∴的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $