第19讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“任意角和弧度制及任意角的三角函数”专题，依据课标要求梳理了角的概念推广、弧度与角度互化、三角函数定义三大核心考点。通过2024北京东城一模等真题分析明确象限角判断、扇形面积计算等高频题型，构建知识网络与解题框架，体现高考备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“真题训练+素养渗透”，如以扇形周长一定时面积最值问题为例，运用数学思维中的函数思想推导圆心角为2rad时面积最大，结合三角函数定义应用培养数学语言表达能力。特设易错点分析（如终边相同角集合符号书写），帮助学生掌握答题技巧，教师可依托此课件精准突破考点，提升复习效率。

第4章 三角函数、解三角形 第19讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.了解任意角的概念与弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2.理解任意角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着　 　从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.  (2)分类 (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}. 端点 正角 负角 零角 象限角 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于　 　的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位记作rad.  半径长 (2)公式 角α的弧度数公式 |α|=(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°= rad;②1 rad=° 弧长公式 弧长l= 扇形面积公式 S= = |α|r |α|r2 lr 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 3.任意角的三角函数 三角函数 正 弦 余 弦 正 切 定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 ，那么 ___叫做 的正弦， 记作 ___叫做 的余弦， 记作 _ _叫做 的正切， 记作 各象限 符号 Ⅰ Ⅱ - - Ⅲ - - Ⅳ - - 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 【基础检测】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.(　　) (2)角α 的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　) (3)不相等的角终边一定不相同.(　　) (4)若sin α=sin β ，则α 与β 的终边相同.(　　) (5)若α 为第一象限角，则sin α+cos α>1.(　　) × √ × × √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 2.[必修1p176 T11]一钟表的秒针长12 cm，经过25 s，秒针的端点所走的路线长为(　　) A.20 cm B.14 cm C.10π cm D.8π cm C [解析] 秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为×2π= ， 因此，秒针的端点所走的路线长为×12=10π(cm).故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 3.如果α的终边过点(2sin 30°，-2cos 30°)，那么tan α=　　　　.  - [解析] 由题意知，角α的终边过点(2sin 30°，-2cos 30°)，即点(1，-)， 根据三角函数的定义，可得tan α= = = -. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 4.[必修1p180 T3]设角θ的终边经过点P(4，-3)，那么cos θ-2sin θ=　　　　.  2 [解析] 由已知并结合三角函数的定义，得sin θ= -，cos θ= ，所以cos θ-2sin θ= -2×=2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 5.已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为　　　　.  12π [解析] ∵α=30°= ，l=αr，∴r= =12， ∴扇形面积S= lr= ×2π×12=12π. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 考点1 象限角及终边相同的角 例1　(1)如果角α与x+45°的终边相同，角β与x-45°的终边相同，则α与β的关系是(　　) A.α+β=0° B.α-β=0° C.α+β=k·360°(k∈Z) D.α-β=k·360°+90°(k∈Z) D [解析] 由题意α=(x+45°)+k1·360°(k1∈Z)，β=(x-45°)+k2·360°(k2∈Z)， ∴α-β=(k1-k2)·360°+90°=k·360°+90°(k∈Z).故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 (2)(2024·北京东城·一模)已知角α，β的终边关于直线y=x对称，且sin=，则α，β的一组取值可以是α=　　　　，β=　 　　　 .  (答案不唯一，符合题意即可) [解析] 因为角α，β的终边关于直线y=x对称， 所以α+β= +2kπ，k∈Z，则α= -β+2kπ， 因为sin= ，所以sin=sin=cos 2β= ， 所以2β= +2kπ或2β= -+2kπ，k∈Z， 解得β= +kπ或β= -+kπ，k∈Z， 取k=0，β的一个值可以为，α的一个值可以为. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 [小结]象限角的两种判断方法 (1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角. (2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 1.若α为第二象限角，则k·180°+α(k∈Z)的终边所在的象限是(　　) A.第二象限 B.第一、二象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限 D [解析] 因为α为第二象限角， 则2n·180°+90°<α<2n·180°+180°，n∈Z， 因此(2n+k)·180°+90°<k·180°+α<(2n+k)·180°+180°，n，k∈Z， 而2n为偶数，当k为奇数时，2n+k为奇数， 则k·180°+α(k∈Z)为第四象限角， 当k为偶数时，2n+k为偶数，则k·180°+α(k∈Z)为第二象限角， 所以k·180°+α(k∈Z)的终边所在的象限是第二、四象限.故选D. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 2.(2023·广东佛山·一模)若点A关于原点对称的点为B，写出θ的一个取值为　 　　　.  (答案不唯一) [解析] ∵A和B关于原点对称， ∴θ与-θ的终边在一条直线上，即θ= -θ+π，k∈Z， ∴θ= +kπ，k∈Z. 令k=0，得θ= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 考点2 弧度制、扇形的弧长和面积公式 例2　(1)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为　　　　 rad时，这个扇形的面积最大.  2 [解析] 由题意，得l+2R=20，∴l=20-2R. ∴S扇= lR= (20-2R)R=-R2+10R= -(R-5)2+25. ∴当R=5 cm时，S扇有最大值25 cm2. 此时l=20-2×5=10(cm)，α= = =2 rad. ∴当α=2 rad时，扇形的面积最大. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 (2)(2026高三·全国·专题练习)如图，在Rt△PBO中，∠PBO=90°，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧等分△POB的面积，且∠AOB=α，则=(　　) A. B. C.1 D.2 B 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 [解析] 设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2， 在Rt△PBO中，PB=rtan α，则△POB的面积为r·rtan α， 由题意得r·rtan α=2×αr2，即tan α=2α，则 = .故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 [小结]1.在弧度制下,l=|α|·r,S=lr,此时α为弧度.扇形面积公式lr=αr2,扇形中弦长公式2rsin,扇形弧长公式l=αr.在角度制下,弧长l=,扇形面积S=,此时n为角度,它们之间有着必然的联系. 2.在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形. 3.当扇形周长一定时,其面积有最大值,最大值的求法是把面积S转化为r的函数,函数思想转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 3.已知扇形的面积为10 cm2，半径为4 cm，则扇形的圆心角的弧度数为(　　) A. B. C. D. A [解析] 设半径为r，圆心角为α，则对应扇形面积S= r2α， 又S=10 cm2，r=4 cm，则α= = = ，故选A. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 4.(2024·四川南充·三模)如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形ABC，则该扇形ABC与圆O的面积比为　　　　.  [解析] 设圆O的半径为R，过点O作OD⊥AB于点D，如图， 则扇形的半径r=2Rcos 30°=R，所以扇形的面积S'= r2α= R2× = ， 圆的面积S=πR2，则扇形ABC与圆O的面积比为 = = . 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 考点3 任意角三角函数的定义及应用 角度1.应用三角函数的定义求值(范围) 例3　(1)设m>0，角α的终边经过点P(3m，-4m)，则sin α+2cos α的值等于(　　) A. B.- C. D.- A [解析] 由m>0，角α的终边经过点P(3m，-4m)，得sin α= = -， cos α= = ，所以sin α+2cos α= -+2× = .故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 (2)(2025高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线y=-x对称.若角α的终边与单位圆交点P的纵坐标为，则cos β=(　　) A. B.- C. D.- B 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 [解析] 由已知，角α的终边与单位圆交点P的纵坐标为，代入单位圆x2+y2=1， 可得x=±，∴P或P. ①若角α的终边在第一象限，则P，P关于y=-x的对称点P'是角β的终边与单位圆的交点，此时cos β= -; ②若角α的终边在第二象限，则P， P关于y=-x的对称点P'是角β的终边与单位圆的交点，此时cos β= -.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 [小结]用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解; (2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求解. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 角度2.三角函数值符号与角的象限判定 例4　(1)已知角α的终边经过点，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　) A.(-2，3] B.(-2，3) C.[-2，3) D.[-2，3] A [解析] ∵cos α≤0，sin α>0， ∴∴-2<a≤3.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 (2)已知α为第一象限角，且sin αcos β=cos αsin β+1，则β为(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 D [解析] 由题设sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=1，则α-β=2k1π+，k1∈Z， 所以α=2k1π++β，k1∈Z，而α为第一象限角， 所以2kπ<2k1π++β<2kπ+，k，k1∈Z， 则2(k-k1)π-<β<2(k-k1)π，k-k1∈Z， 所以2k2π-<β<2k2π，k2∈Z，即β为第四象限角. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 [小结]判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果角不能确定所在象限，那么就要进行分类讨论求解. 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 5.(2025·北京)已知角α为第二象限角，且=cos ，则角是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 A [解析] 因为角α为第二象限角，所以+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z)， 所以+kπ<<+kπ(k∈Z)，所以角是第一象限角或第三象限角. 又因为=cos，即cos>0，所以角是第一象限角，故选A. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 6.(2023·无锡·调考)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴， 若点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B [解析] ∵点P(sin α，tan α)在第四象限，∴sin α>0，tan α<0， ∴角α的终边在第二象限.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 7.(2025高三·全国·专题练习)已知角-的终边与单位圆交于点P(sin θ，cos θ)，则tan θ=(　　) A.- B.- C. D. B [解析] ∵角-的终边与单位圆交于点P(sin θ，cos θ)， ∴cos=sin θ= ，sin=cos θ= -，则tan θ= = - .故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 8.若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(-1，2)， 则sin α-cos α+tan α=　　　　.  [解析] 由已知得r==， 所以sin α-cos α+tan α= - + = - + = -2 = . 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 $