第19讲 第2课时 利用导数证明不等式 课件——2027届高三数学一轮复习

第19讲 导数与不等式 / 第2课时 利用导数证明不等式 / 1 构造函数证明不等式:构造法证明不等式是指在证明与函数有关 的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数,利用函数的 单调性、极值、最值加以证明. （1）求最值型证明不等式：证明不等式 或 转化为证明或 ,进而 构造辅助函数 ，求其最值即可; 2 （2）主元思想证明不等式：对于多元不等式的证明，可以选择 其中一个元为主元，其他的元统统视为参数（常数），构造主元函 数，利用导数来证明； （3）构造双函数证明不等式：若直接构造函数求导,难以判断符 号,导函数的零点也不易求得,因此函数单调性与极值点都不易获得,则 可构造函数和 ,利用其最值求解. 3 探究点一 求最值型证明不等式 例1 [2025·山东烟台模拟] 已知函数 . （1）讨论 的单调性； ［思路点拨］对求导得，分和 两 种情况讨论 的单调性即可； 课 堂 考 点 探 究 4 解：，其定义域为 ， 则 . ①当时，,在 上单调递增. ②当时,若,则,在 上单调递增； 若，则,在 上单调递减. 综上，当时，在上单调递增; 当时， 在上单调递增，在 上单调递减. 课 堂 考 点 探 究 5 （2）证明：当时， . ［思路点拨］要证 ,只需证 , 结合（1）的结论得,即证恒成立,令 , ,利用导数求出 的最大值即可得证. 课 堂 考 点 探 究 6 证明：当时，要证 ， 只需证 ，由（1）得， ， 即证恒成立. 令 , ，则, 当 时,, 单调递增,当时,, 单调递减, 的最大值为，即， 恒成立，原命题得证. 课 堂 考 点 探 究 7 [总结反思] 求最值型证明不等式一般分下面两种情况:（1）先构造再证明,即先 直接利用左减右构造函数,再证明 或在区间上恒成立;（2）利用端点效应构造证明,即先求出其中一个函数的最大值,再证明 ,证明时可 以构造函数 . 课 堂 考 点 探 究 8 变式题 已知函数， . （1）求 的单调区间和极小值； 解：函数， ， 求导得 . 当时，,单调递增；当 时， ,单调递减；当时，, 单调递增； 当 时，,单调递减. 所以 的单调递增区间为,， 单调递减区间为,. 的极小值为 . 课 堂 考 点 探 究 9 （2）证明：当时， . 证明：当时，令 ， 求导得 ， 令， ， 求导得， 当且仅当 时等号成立， 所以函数在上单调递增，则 ， 所以,所以在 上单调递增， 所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 10 探究点二 主元思想证明不等式 例2 [2024· 全国甲卷] 已知函数 ． （1）求 的单调区间； ［思路点拨］求导，分类讨论 与0的关系，判断导函数的符号，从 而得出原函数的单调区间； 课 堂 考 点 探 究 11 解：由题可得，的定义域为， . 当时，恒成立，故在 上单调递减； 当时，若，则， 单调递增， 若，则， 单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为 ， 无单调递增区间；当时，的单调递增区间为， 单调递减区间为 . 课 堂 考 点 探 究 12 （2）若，证明：当时， 恒成立． ［思路点拨］利用主元思想，根据题设条件 将问题转化成证明 当时， 恒成立即可. 课 堂 考 点 探 究 13 证明：当,且 时, ，令， 要证 恒成立，只需证 恒成立. 易知， 令 ，则 . 显然在上单调递增，则 ， 即在 上单调递增， 故，即在 上单调递增， 故 ，得证. 课 堂 考 点 探 究 14 [总结反思] 根据条件，巧妙地利用 的范围进行放缩，消去一个“元”，大大简化了 问题的难度.选取适当的字母作为主元，往往可以起到化难为易的作用. 课 堂 考 点 探 究 15 变式题 已知函数 . （1）求 的单调区间； 解：由题可得, 当 时,恒成立,则的单调递增区间为 . 当时,关于的方程 的判别式 , 当时,方程的两根, , 可得当时，的单调递增区间为 , ,单调递减区间为 . 课 堂 考 点 探 究 16 当时，的单调递增区间为 . 当时，的单调递增区间为 , 单调递减区间为, . 课 堂 考 点 探 究 17 （2）若,求证：当时， . 证明： . 当时，令,,则 在 上单调递增，故 . 当时，要证,只需证 , 即证 . 课 堂 考 点 探 究 18 设, , 则 当 时，,故在 上单调递减； 当时，,故在 上单调递增. 所以当时，, 即当时， .故原不等式得证. 课 堂 考 点 探 究 探究点三 构造双函数证明不等式 例3 设函数,曲线在点 处的切 线方程为 . （1）求, 的值； ［思路点拨］根据导数的运算和导数的几何意义即可求得结果； 解：函数的定义域为 ， 由题意可得，，故， . 课 堂 考 点 探 究 20 （2）证明: . ［思路点拨］由（1）可得 的解析式，对要证的不等式进行变形， 构造两个函数，分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，进 而得证. 证明：由（1）知，， 又，故 等价于 . 设函数 ，则 . 课 堂 考 点 探 究 21 当时,,当时, ,故在上 单调递减,在上单调递增,故 的最小值为 . 设函数，，则 . 当时，，当时，， 故 在上单调递增，在上单调递减， 故 的最大值为 . 综上，当时，，即 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 当通过参变分离得到的函数直接求导比较复杂或无从下手时,可将待 证不等式进行变形,构造两个都便于求导的函数,即转变为两个函数之 间最值的比较,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目的. 课 堂 考 点 探 究 23 变式题 [2025·苏州模拟] 已知函数 . （1）讨论 的单调性； 解：由函数， 可得其定义域为 ，且 . 当时，，此时在区间 上单调递增； 当时，由，可得， 由 ，可得 ，此时在区间上单调递增， 在区间 上单调递减. 课 堂 考 点 探 究 24 （2）当时，证明：对任意的 ， 恒成立. 证明：当时,要证 ,只需证， 由（1）知，当时，在区间 上单调递增， 在区间上单调递减,所以 ,故 . 令 ， 则， 课 堂 考 点 探 究 25 当时，， 单调递减； 当时，， 单调递增. 所以，所以 . 综上,当时,对任意的, 恒成立. 课 堂 考 点 探 究 【备选理由】例1考查与三角函数相关的不等式证明,利用极值的条件消元； 例1 ［配例1、例2使用］已知函数 ，其 中 为自然对数的底数. （1）当时，判断函数在区间 上的单调性； 解：当时， ,则 ，显然在区间 上单调递增， 所以，即 ， 所以在区间 上单调递减. 教 师 备 用 习 题 27 （2）令，若函数在区间 上存在极值，设极值 点为，证明： . 证明：,则 . 因为在区间上存在极值点 ， 所以，可得 ， 此时，将 代入得 . 教 师 备 用 习 题 28 要证 ， 即证 ， 移项可得 . 设,， 因为 m所以,m所以 . 所以 得证. 教 师 备 用 习 题 例2 ［配例3使用］已知函数 ，证明：对 任意， . 证明：把代入不等式化简得 ,即证 . 令 ,则 ， 当时，, 单调递减； 当时，, 单调递增. 【备选理由】例2用到凹凸反转,构造两个单峰函数,比较最值证明不等式. 教 师 备 用 习 题 30 , ,当且仅当 时取等号. 令,则 , 当时，， 单调递增； 当时，, 单调递减. , 即,当且仅当 时取等号. , 成立，即原不等式得证. 教 师 备 用 习 题 作业手册 32 ◆ 基础热身 ◆ 1.已知函数 . （1）求函数在区间 上的最值; 解： , 当时, , 单调递增; 当时,, 单调递减. 又,, , 函数在区间上的最大值为 ,最小值为0. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 （2）当时,证明: . 证明:记 , ,则 . 当时,,单调递增; 当时,, 单调递减. 则的最大值为,因为, 所以 , 所以当时, . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 34 2.[2023⋅ 新课标Ⅰ卷] 已知函数 . （1）讨论 的单调性； 解：因为，所以定义域为， . 当时，，故 恒成立， 此时在 上单调递减； 当时，令，解得， 当 时，，则在上单调递减， 当 时，，则在 上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时, 在上单调递减,在 上单调递增. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 35 （2）证明：当时， . 证明：方法一：由（1）得， ， 要证，即证 ， 即证 . 令，则 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 36 令，可得 ；令，可得 . 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以， 所以 ，所以当时， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 37 方法二：令，则， 因为在 上单调递增，所以在 上单调递增， 又，所以当时，，当 时， ，所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以，即，当且仅当 时，等号成立. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 38 因为，当且仅当 ， 即 时，等号成立， 所以要证，即证 ， 即证 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 39 令 ，则 . 令，可得 ；令，可得 . 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以， 所以 ，所以当时， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ◆ 综合提升 ◆ 3.已知函数的图象在 处的切线方程是 . （1）求, 的值; 解：函数的定义域为,由已知得 , 则解得 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 41 （2）若函数,求 的单调区间与极值; 解：由题意得,则 . 当时,,单调递减, 当时, , 单调递增, 所以的单调递减区间为,单调递增区间为, 所以 的极小值为 ,无极大值. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 42 （3）证明: . 证明:要证,即证,只需证 . 令,则, 当时,, 单调递增, 当时,,单调递减,所以 . 由（2）知,当时,, 又 的最小值点与的最大值点不同, 所以,即 ,所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 43 4.[2025·日照一模] 已知函数 . （1）当时，讨论函数 的单调性. 解：函数的定义域为,， 令 ，得，令，得， 所以函数在 上单调递增，在 上单调递减. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 44 （2）当时，若曲线上的动点 到直线 距离的最小值为（ 为自然对数的底数）. ①求实数 的值； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 45 解：由（1）知. 设与直线 平行的直线与曲线相切于 点,由 ，得 ， 则，所以 ， 又 ， 所以切点的坐标为. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 46 由（1）可知，切点在直线 的上方， 所以，整理得 ， 设，则,所以，因为,所以 . 设,，则在 上恒成立. 所以在上单调递增.又因为所以 , 解得，所以方程只有一个解.故 的值为1. (也可构造 ) 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 47 ②求证： . 证明：当时，， 令 , ， 因为 ,所以在 上单调递增， 所以，所以 成立； 当时，要证 ， 只需证 ， 设, ， 则 ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 48 设,，则 , 当时，,, ， 所以 ,所以在 上单调递减， 所以，即, 所以 在上单调递减,所以 ， 即当时，成立. 综上，当 时， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5.已知函数, ． （1）讨论 的单调性； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 50 解：函数的定义域为 ，且 ．当时，对任意, 恒 成立，所以在区间 上单调递增； 当时，令，解得 ， 当时，,则在区间 上单调递增， 当时，,则在区间 上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增；当 时， 在区间上单调递增，在区间 上单调递减． 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 51 （2）当时，证明： . 证明：当时，因为，所以要证 ， 只需证，只需证 ， 只需证 ． 令，则， 当 时，, 单调递减， 当时，, 单调递增， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 52 所以,所以（当且仅当 时等号成立）,所以式成立,当且仅当 时,等号成立． 令，则在 上单调递增， 又, ， 所以存在，使得,所以 ． 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 课堂考点探究 例1（1） 当<m></m>时,<m></m>在<m></m>上单调递增;当<m></m>时,<m></m>在<m></m>上单调递增,在<m></m>上单调递减.（2）略 变式题（1）</m>的单调递增区间为<m></m>,<m></m>，单调递减区间为<m></m>,<m></m>.m></m>的极小值为<m></m>.（2）略 例2（1）当<m></m>时，<m></m>的单调递减区间为<m></m>，无单调递增区间；当<m></m>时，<m></m>的单调递增区间为<m></m>， 单调递减区间为<m></m>.（2）略 变式题（1）解：当<m></m>时，<<m></m>的单调递增区间为<m></m>.当<m></m>时，<m></m>的单调递增区间为<m></m>,<m> </m>,单调递减区间为<m></m>.当<m></m>时，<m></m>的单调递增区间为<m></m>. 当<m></m>时，<m></m>的单调递增区间为<m></m>,单调递减区间为<m></m>,<m></m>.（2）略 例3（1）<m></m>，<m></m>（2）略 变式题（1）由函数<m></m>，可得其定义域为<m></m>，且<m></m>. 当<m></m>时，<m><m></m>在区间<m></m>上单调递增；当<m></m>时，<m></m>在区间<m></m>上单调递增，在区间<m></m>上单调递减.（2）略 答 案 核 查 54 基础热身 1.（1）函数<m></m>在区间<m></m>上的最大值为<m></m>,最小值为0.（2）略 2.（1）当<m></m>时，<m></m>在<m></m>上单调递减；当<m></m>时，<m></m>在<m></m>上单调递减， 在<m></m>上单调递增.（2）略 综合提升 3.（1）></m>（2）<m></m>的单调递减区间为<m></m>,单调递增区间为<m></m>, <m></m>的极小值为<m></m>,无极大值.（3）略 4.（1）函数<m></m>在<m></m>上单调递增，在<m></m>上单调递减. （2）① 1 ②略 5.（1）当<m></m>时，<m></m>在区间<m></m>上单调递增；当<m></m>时，<m></m>在区间<m></m>上单调递增，在区间<m></m>上单调递减．（2）略 答 案 核 查 55 $