第29讲 平面向量的数量积及平面向量的应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量数量积及应用专题，依据课标要求梳理了数量积定义、性质、坐标运算及几何力学应用等核心考点，对接高考评价体系分析了数量积运算、模、夹角、垂直等高频考点权重，归纳坐标法、定义法等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题引领+方法归纳+素养提升”，如2025年全国二卷向量垂直题，通过坐标运算求模的技巧解析，培养学生数学思维（运算能力、推理意识）。采用“定义法-坐标法-转化法”突破数量积运算，设“易错警示”（如夹角锐角钝角的误区），帮助学生掌握得分技巧，教师可据此系统复习，提升备考效率。

第5章 平面向量、复数 第29讲 平面向量的数量积及平面向量的应用 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.两向量的夹角 已知非零向量a，b，作=a，=b，则∠AOB叫做a与b的夹角. a与b的夹角的取值范围是　 　.  当a与b同向时，它们的夹角为　　;当a与b反向时，它们的夹角为　　;当夹角为时，我们说a与b垂直，记作a⊥b.  [0，π] 0 π 2.向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量　 　叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|·cos θ.  规定:零向量与任一向量的数量积为0，即0·a=0. |a||b|cos θ 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 3.向量的投影及投影向量 已知两个非零向量a，b的夹角为θ，=a，=b，如图，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 4.平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量<m></m>，<m></m>，<m></m> 为向量<m></m>，<m></m>的夹角. 结论 几何表示 坐标表示 模 __________ 数量积 夹角 _ ____________ 的充要条 件 _______________ 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 结论 几何表示 坐标表示 与 的关系 （当且仅当 时等号成立） 5.平面向量数量积的运算律 （1）<m></m>； （2）<m></m>； （3）<m></m>. 续表 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 【重要结论】 1.平面向量数量积运算的常用公式 （1） ； （2） . 2.有关向量夹角的两个结论 已知向量， ， （1）若与的夹角为锐角，则；若，则与 的夹角为锐角或0； （2）若与的夹角为钝角，则；若，则与的夹角为钝角或 . 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 【基础检测】 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　) (2)由a·b=0可得a=0或b=0.(　　) (3)若a·b=a·c(a≠0)，则b=c.(　　) (4)两个向量的夹角的范围是[0，].(　　) (5)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角;若a·b<0，则a和b的夹角为钝角.(　　) √ × × × × 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 教材改编 2.[必修2p20T3]非零向量a，b，c满足a·b=a·c，a与b的夹角为，|b|=4，则c在a上的投影向量的长度为(　　) A.2 B.2 C.3 D.4 B [解析] 由a·b=a·c，可得|a||b|cos<a，b>=|a||c|cos<a，c>， 因为|a|≠0，所以|c|cos<a，c>=|b|cos<a，b>=4×cos =2， 所以c在a上的投影向量的长度为||c|cos<a，c>|=2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 3.[必修2p34例11]设a=(5，-7)，b=(-6，-4)，a，b的夹角为θ，则cos θ=　　　　.  - [解析] cos θ== = -. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 4.[必修2p34例10]已知△ABC的三个顶点分别为A(-1，-4)，B(5，2)，C(3，4)，则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 B [解析] ∵=(6，6)，=(-2，2)， ∴·=6×(-2)+6×2=0，即AB⊥BC， 又|AB|≠|BC|，∴△ABC是直角三角形. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 5.[必修2p21例13]已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，若(a+kb)⊥(a-kb)，则实数k=　　　　.  ± [解析] 由题意知(a+kb)·(a-kb)=a2-k2b2=9-16k2=0，解得k=±. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 考点1 平面向量数量积的运算 例1　(1)设向量a，b的夹角的余弦值为-，|a|=2，|b|=3，则(2a+3b)·b=(　　) A.-23 B.23 C.-27 D.27 B [解析] 由题知，a·b=2×3×=-2， 所以(2a+3b)·b=2a·b+3b2=2×(-2)+3×32=23.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 (2)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB， AD分别向外作正方形ABEF，ADMN，其中AB=2，AD=1， ∠BAD=，则·=　　　　.  0 [解析] 解法一:·=(+)·(+) =·+·+·+· =0+||·||cos+||||cos+0=-+=0. 解法二:以F为原点，FE，FA分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 则A(0，2)，C(2+，2+)，N(- ，2+)， 则=(2+)，=(- ，2+)，则·=-- ++ =0. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 ［小结］向量数量积的3种运算方法 方法 运用提示 适用题型 定义法 当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a|·|b|·cos θ 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题 坐标法 当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2 适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题 转化法 把要求数量积的两个向量转化为其他向量,再求数量积 适用于定义法、坐标法不能解决的问题 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 1.(2025·山东滨州·二模)在平行四边形ABCD中AD=2，AB=3，∠BAD=，点M在边AB上，且=，则·=(　　) A.2 B.3 C.-2 D.4 B [解析] 因为= ，所以=-=- =+= +， 所以·=· =+·- =||2+||·||cos - ||2 =22+×2×3× - ×32=3.故选B. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 2.已知点P是菱形ABCD所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且(+)·(+)的最小值为-8，则该菱形的边长为(　　) A. B. C.2 D.2 D [解析] 由AC⊥BD，可建立如图所示的平面直角坐标系， 设B(-a，0)，D(a，0)，A(0，b)，C(0，-b)，P(x，y)， 则=(-x，b-y)，=(a-x，-y)， =(-a-x，-y)，=(-x，-b-y)， 所以+=(a-2x，b-2y)，+=(-a-2x，-b-2y)， 则(+)·(+)=(a-2x)(-a-2x)+(b-2y)(-b-2y) =4x2+4y2-a2-b2≥-a2-b2=-AB2，故-AB2=-8，所以|AB|=2.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 考点2 平面向量数量积的应用 角度1.向量的模 例2　(1)(2025·黑龙江大庆·模拟预测)已知a，b均为平面上的单位向量，若(a+2b)⊥a，则|2a+b|=(　　) A. B. C. D. C [解析] 由题意知(a+2b)·a=0，a2+2a·b=0， 由|a|=1，|b|=1可得a·b=- ， 故|2a+b|====，故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 (2)已知向量a，b的夹角为=1，=2，在△ABC中，=2a+3b，=2a-b，=，则=(　　) A.2 B.2 C.2 D.6 A [解析] 因为向量a，b的夹角为=1，=2， 所以a·b=cos=1×2×=-1， 又因为=+=+=+=+=+=2a+b， 所以====2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 [小结]求解平面向量模的方法 ①写出有关向量的坐标,利用公式|a|=即可. ②利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解,|a|=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 角度2.向量的夹角 例3　(2025·广东揭阳·二模)已知平面向量a与b均为单位向量，|a+b|=，则a与a-2b的夹角为(　　) A. B. C. D. A [解析] 由已知|a+b|=，可得，(a+b)2=|a+b|2=3，即a2+b2+2a·b=3. 又平面向量a与b均为单位向量，所以a·b= . 所以a·(a-2b)=a2-2a·b=1-1=0， 所以a⊥(a-2b)，故所求夹角为.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 [小结]求平面向量的夹角的方法 ①定义法:cos θ= ,注意θ的取值范围为[0,π]. ②坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos θ=. ③解三角形法:可以把所求两向量放到三角形中进行求解. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 角度3.向量的垂直 例4　(1)已知向量a，b满足a=(1，)，b=(- )，若(a+b)⊥(a-λb)，则实数λ的值为(　　) A.2 B.4 C.2 D. B [解析] 由题意得a+b=，a-λb=， 若(a+b)⊥(a-λb)，则(a+b)·(a-λb)=+=0， 解得λ=4.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 (2)在△ABC中，点D在边AC上，且=3，||=λ||，若⊥(3-)，则λ=(　　) A. B.3 C.2 D.1 B [解析] 由题意知，=+=+ =+ (-)= + ， 则·(3-)=(+)·(3-)= ||2- ||2=0，即9||2=||2， 则||=3||，即λ=3.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 [小结]两个向量垂直的充要条件 1.a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|(其中a≠0,b≠0). 2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0(其中a≠0,b≠0). 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 角度4.向量的投影向量(长度) 例5　(2025·云南·三模)已知向量a，b满足|a|=2|b|=2，|a+b|=2，则a-b在a上的投影向量为(　　) A.a B.- a C.a D.- a A [解析] 由|a|=2，|b|=1，|a+b|=2，得(a+b)2=a2+2a·b+b2=4+2a·b+1=4， 则2a·b=-1，所以a-b在a上的投影向量为 ·= ·a= ·a= ·a= a.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 [小结]a在b方向上的投影向量与b共线，且应用公式·b求a在b方向上的投影向量. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 3.(2025·河北邯郸·二模)已知平面向量a=(-1，1)，b=(0，1)，若(a+λb)·(μa+b)=1(λ，μ∈R，λμ≠0)，则(　　) A. + = -1 B. + =1 C. + =-1 D. + =1 A [解析] (a+λb)·(μa+b)=(-1，1+λ)·(-μ，μ+1)=λμ+2μ+λ+1=1， ∴2μ+λ=-λμ，即 + = -1.故选A. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 4.(2025·江西·二模)设a，b为单位向量，a在b方向上的投影向量为b，则|2a-b|=(　　) A.1 B. C. D. D [解析] 由题意可得b=b，且|a|=|b|=1，则a·b=， 所以|2a-b|====. 故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 5.(2025·辽宁·二模)已知平面单位向量e1，e2满足|e1-e2|=1.设a=e1+e2，b=2e1-e2，向量a与b的夹角为α，则α的值是　　　　.  [解析] 由|e1-e2|=1得，-2e1·e2+=1⇒e1·e2=， a·b=(e1+e2)·(2e1-e2)=2+e1·e2-=， a2=+2e1·e2+=3，b2=4-4e1·e2+=3， 则cos α===，又α∈[0，π]，所以α=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 6.(2025·山东聊城·二模)△ABC中，BC=2，A=60°，则·的最大值为(　　) A.6 B.3+2 　 C.12 D.6+4 D [解析] 由正弦定理可得， = =4=2R，所以△ABC在以半径 为R=2的圆O上，则·=·，由向量数量积几何 意义及垂径定理可知:·=+·≤6+(·)max，当与同向时，·取得最大值4，所以·的最大值为6+4.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 考点3 平面向量的综合应用 角度1.平面向量与物理的结合应用 例6　如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上.已知物体M 的重力大小为20牛，且∠AOM=150°，当绳OB承受的拉力最小 时，角θ的值为(　　) A.45° B.60° C.90° D.120° C 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 [解析] 作出示意图，设与物体M重力平衡的力对应的向量为，则||=20， 以ON为对角线作平行四边形OPNQ，则=+，||是绳OB承受的拉力大小，由∠AOM=150°，得∠AON=30°，所以∠ONQ=∠AON=30°， △ONQ中，由正弦定理得 = ，即 = ，可得||=OQ= = ，结合0°<θ<180°，可知当θ=90°时，|| 达到最小值10. 综上所述，当角θ=90°时，绳OB承受的拉力最小. 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 [小结]用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 角度2.平面向量与三角的结合应用 例7　(2025·山东临沂·二模)已知sin α=2cos β，sin β=3cos α，若向量m=(tan α+tan β，tan(α+β))与向量n=(1，λ)互相垂直，则实数λ=(　　) A.- B. C.5 D. C [解析] 因为sin α=2cos β，sin β=3cos α，显然sin β，sin α，cos β，cos α均不为0， 所以 = ，即= ，所以tan α·tan β=6，所以tan(α+β)==-·(tanα +tan β)，因为向量m=(tan α+tan β，tan(α+β))与向量n=(1，λ)互相垂直， 所以m·n=tan α+tan β+λtan(α+β)=0，则tan α+tan β-λ(tan α+tan β)=0， 又tan α+tan β≠0，解得λ=5.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 7.长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度v1的大小为=10 km/h，水流的速度v2的大小为=4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ=(　　) A.- B.- C.- D.- B 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 36   [解析] 由题意知·v2=0，则v1·v2+=cos θ+=0， 因为=10，=4，即10×4cos θ+42=0，所以cos θ= - . 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 8.如图，圆O内接于边长为1的正方形ABCD，P 是弧BC(包括端点)上一点，则· 的取值范围是(　　) A. B. C. D. C [解析] 方法一:如图1，以A为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0). 设P(x，y)，则=(x，y).因为=(1，0)，所以·=x. 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 由题意知，圆O的半径r=.因为点P在弧BC(包括端点)上， 所以1≤x≤+，所以· 的取值范围是. 方法二:如图2，连接AC，CP.易知∠BAC=，设∠PAB=θ，0≤θ≤，则∠PAC=-θ. 由已知可得||=1，||=，∠APC=，所以||=||cos∠PAC=cos， 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 所以·=||||cos θ=coscos θ=cos θ =(cos θ+sin θ)cos θ=cos2θ+sin θcos θ = + = + sin. 因为0≤θ≤，所以≤2θ+≤，所以≤sin≤1， 所以1≤+sin≤，即· 的取值范围是. 名师导学第一轮总复习 高三数学 40 走进高考 1.(2025·全国二卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=　　　　　.  [解析] a-b=(1，1-2x)，因为a⊥(a-b)，则a·(a-b)=0，则x+1-2x=0， 解得x=1.则a=(1，1)，则|a|=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 41 2.(2025·天津)△ABC中，D为AB边中点，==a，=b，则=　　 　(用a，b表示)，若||=5，AE⊥CB，则·=　　 　.  a+b -15 [解析] 如图， 因为= ，所以-= (-)，所以=+. 因为D为线段AB的中点，所以= += a+b; 又因为||=5，AE⊥CB，所以==a2+a·b+b2=25，…….. ①， ·=·(a-b)=a2+a·b - b2=0，所以a2+3a·b=4b2， …….. ② 名师导学第一轮总复习 高三数学 42 由①②得a2+4a·b=180， 所以·=· = a2+a·b- b2=(a2+2a·b-8b2) = (a2+2a·b-2a2-6a·b)= (-a2-4a·b)= -15. 名师导学第一轮总复习 高三数学 43 $