平面向量的数量积课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量的数量积”核心考点，依据高考评价体系梳理了夹角、数量积运算、模与夹角求解、投影向量等考查要求。通过知识点清单系统整合定义、坐标表示及性质，结合高考真题分析明确数量积运算、模的计算等高频考点权重，归纳坐标法、定义法等常考题型。 课件亮点在于“真题变式+技巧建模+素养提升”的备考策略，如以2025届海南海口模拟题为例，示范利用数量积性质求模的“平方转化法”，培养学生数学思维与运算能力。特设易错点警示和极化恒等式等拓展技巧，助力学生掌握答题规律，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

5.2 平面向量的数量积 返回目录 知识清单 知识点1　平面向量的夹角   提醒　两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线; 两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线. 返回目录 知识点2　平面向量的数量积 1.平面向量数量积的概念   返回目录 2.平面向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则 (1)e·a=a·e=|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|; 当a与b反向时,a·b=-|a||b|. 特别地,a·a=|a|2或|a|=  . (4)cos θ= . (5)|a·b|≤|a|·|b|. 返回目录 3.平面向量数量积的有关结论 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ. 向量表示 坐标表示 向量a的模 |a|=  |a|=  a与b垂直 a⊥b⇔a·b=0 a⊥b⇔x1x2+y1y2=0 a与b的夹角 cos θ=  cos θ=  返回目录 知识拓展    1.极化恒等式:设a,b是平面内的两个向量,则有a·b= [(a+b)2-(a-b)2],极化恒 等式的几何意义是:在△ABC中,若AD是BC边上的中线,则 · =| |2-| |2. 2.向量与三角形结合问题 在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c. (1)在 =λ 的条件下,存在λ使得I为△ABC的内心; a +b +c =0⇔P为△ABC的内心. (2)| |=| |=| |⇔P为△ABC的外心. 返回目录 (3) + + =0⇔G为△ABC的重心. (4) · = · = · ⇔P为△ABC的垂心. (5)S△ABC= | || |sin A=  . 返回目录 知识点3　投影向量 设a,b是两个非零向量, =a, =b,过 的起点A和终点B,分别作 所在直线的垂线, 垂足分别为A1,B1,得到 ,我们称上述变换为向量a向向量b投影, 叫做a在b上的投 影向量.记a,b的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 =|a|cos θe= e.   返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)两个向量的夹角的范围是 . ( ) (2)由a·b=0可得a=0或b=0. ( ) (3)对于向量a,b,c,有(a·b)c=a(b·c). ( ) (4)若a·b=a·c,则b=c. ( )     ✕         ✕         ✕         ✕     返回目录 2.(易错题)已知向量a=(2,1),b=(1,2),若c是a在b上的投影向量,则c=_________. 返回目录 3.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a+b|=__________.     2      返回目录 4.(人教A版必修第二册P36练习T3改编)已知a=(- ,-1),b=(1, ),那么a,b的夹角θ=______. 150°     返回目录 考点清单 考点1　平面向量的数量积 典例1    (1)已知向量a= ,b= ,则a·(a+b)= ( ) A.0　　    B.1　　    C. 　　    D.2 (2)(2025届海南海口模拟,4)已知向量a,b满足a=(1,2),|b|= ,|a-2b|=3,则a·b= ( ) A.-2　　    B.-1　　     C.1　　     D.2     D         B     返回目录 解析    (1)|a|= =1,a·b= × + × =0,所以a·(a+b)=a2+a·b=1.故选B. (2)由a=(1,2),得|a|= ,由|a-2b|=3,得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=9, 又|b|= ,所以a·b=2.故选D. 方法总结　解决向量数量积运算问题的三种方法 1.定义法:已知向量的模、夹角或数量积时,可利用定义法求解. 2.坐标法:已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用坐 标法求解. 3.投影向量法. 返回目录 变式训练 1.(情境模型变式)已知向量a=(1,- ),向量b在a上的投影向量为- a,则a·b=  ( ) A.-2　　    B.-1　　     C.1　　    D.2     A 解析　由a=(1,- ),得|a|=2, 因为向量b在a上的投影向量为 a, 所以 =- ,解得a·b=-2.故选A. 返回目录 2.(关键元素变式)在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E为BC的中点,P为平面ABCD内一点, | |=1,则 · 的取值范围为 ( ) A.[-2,8]　　    B.[-2,2]　　     C.[-4,8]　　    D.[-4,2]     A     返回目录 解析　如图,建立平面直角坐标系,   则D(0,2),E(4,1), 因为| |=1,所以设P(cos θ,sin θ), 则 =(-cos θ,2-sin θ),  =(4-cos θ,1-sin θ), 可得 · =-cos θ(4-cos θ)+(2-sin θ)(1-sin θ)=3-(3sin θ+4cos θ)=3-5sin(θ+φ),其中cos φ=  ,sin φ= , 因为sin(θ+φ)∈[-1,1],所以 · 的取值范围为[-2,8]. 返回目录 考点2　平面向量数量积的应用 典例2    (1)(求向量的模)已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=( ) A.12　　    B.16　　    C.2 　　    D.4 (2)(求向量的夹角)(2026届河北冀州中学开学考,3)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,若向 量a在向量b上的投影向量为- b,则<a,b>= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.  (3)(求向量的投影向量)已知平面向量a=(2,2),a+2b= ,则b在a方向上的投影向量 为 ( ) A. a　　    B.- a　　         A         A         C     C. a　　    D.- a 返回目录 解析    (1)∵a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,∴|a+2b|= = =  =2 ,故选C. (2)向量a在向量b上的投影向量为 ·b=2cos<a,b>·b,由题意,知2cos<a,b>= - ,即cos<a,b>=- ,又0≤<a,b>≤π,则<a,b>= .故选A. (3)由a=(2,2),a+2b= 得b= ,则a·b=2.又因为|a|=2 ,所以b在a方向上的投影向 量为 a= a.故选A. 返回目录 解题技巧    1.求平面向量的模的方法 (1)公式法: ①a2=a·a=|a|2或|a|= ; ②若a=(x,y),则|a|= . (2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量的平行四边形法则或三角形法则作出向 量,再利用余弦定理等方法求解. 2.求平面向量夹角的方法 (1)定义法:利用向量数量积的定义,得cos<a,b>= ,其中向量a,b的夹角的范围为[0,π]. 返回目录 (2)坐标法:已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos<a,b>= . 3.求投影向量的方法 (1)b在a上的投影向量为|b|cos θ· (θ为a,b的夹角),a在b上的投影向量为|a|cos θ· . (2)b在a上的投影向量为 a,a在b上的投影向量为 b. 返回目录 变式训练 3.(关键元素变式)已知e1,e2是同一平面内的两个向量,其中e1=(2,3). (1)若|e2|= 且e1+e2与e2垂直,求e1与e2的夹角θ; (2)若e2=(2,1)且e1与e1+λe2的夹角为锐角,求实数λ的取值范围. 返回目录 解析    (1)由(e1+e2)⊥e2得(e1+e2)·e2=0,即e1·e2+ =0,所以e1·e2=- =- ,得cos θ=  =- ,又θ∈[0,π],所以θ= . (2)因为e1=(2,3),e2=(2,1),所以e1+λe2=(2,3)+λ(2,1)=(2+2λ,3+λ), 因为e1与(e1+λe2)的夹角为锐角,所以e1·(e1+λe2)>0且e1与(e1+λe2)不同向共线. 由e1·(e1+λe2)>0,得13+7λ>0⇒λ>- ,由e1∥(e1+λe2),得3(2+2λ)=2(3+λ),即λ=0,当λ=0时,e1与 (e1+λe2)同向共线,所以λ∈ ∪(0,+∞). 返回目录 $