5.3 平面向量的数量积及其应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量的数量积及其应用”专题，依据高考评价体系梳理了数量积运算、模、夹角、垂直四大核心考点，通过真题分析明确“坐标法运算”“模的计算”“垂直条件应用”为高频考点，归纳出基底法、坐标法等常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养培养”，如以2023新高考Ⅱ卷模的计算为例，提炼|a±b|=√(a²±2a·b+b²)公式法，培养数学思维与运算能力。设“易错警示”（如数量积不满足结合律）和“跟踪训练”，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准复习，提升备考效率。

第三节　平面向量的数量积及其应用 1 知识清单 1.向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝b，则________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． ∠AOB 返回导航 2 2．投影向量 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到叫做向量a在向量b上的 __________，记为________________. 　＝|a|cos θe 投影向量 返回导航 3 3．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量_______叫做 向量a与b的数量积，记作________． |a||b|cos θ a·b 返回导航 4 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝__________． 剖析　向量的数量积运算不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，也不满足消去律，即a·b＝a·c⇒ / b＝c. a·c＋b·c 返回导航 5 5．平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.   几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝________ 模 |a|＝________ |a|＝__________ x1x2＋y1y2 返回导航 6 夹角 cos θ＝________ cos θ＝______________ a⊥b的充要条件 a·b＝0 ____________   |a·b|与a||b|的关系   |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ x1x2＋y1y2＝0 返回导航 7 剖析　a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b. 返回导航 8 【常用结论】 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 返回导航 9 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的夹角的范围是.(　　) (2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　) (3)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) (4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　) × √ × × 返回导航 10 2．(人教A版必修二P36练习T2改编)已知a＝(2，3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，则a·(b＋c)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：B 解析：a·(b＋c)＝(2，3)·(－3，2)＝－6＋6＝0.故选B. 返回导航 11 3．(人教A版必修二P23习题T11(2))已知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－3，则|a＋b|＝(　　) A． B． C．23 D．26 答案：A 解析：|a＋b|＝＝＝＝.故选A. 返回导航 12 4．(人教A版必修二P21例13改编)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，当(a＋kb)⊥(a－kb)时，则实数k＝________． ± 解析：由题意知(a＋kb)·(a－kb)＝a2－k2b2＝9－16k2＝0，解得k＝±. 返回导航 13 命题点一　平面向量数量积的运算 例1 (1)(2026·河北多校联考)设A，B为平面直角坐标系xOy内两点，若＝(1，3)，＝(2，2)，则＝(　　) A．16 B．－16 C．4 D．－4 答案：B 解析：＝＝(3，5)，＝－＝(－2，－2)，故·＝(－2)×3＋(－2)×5＝－16.故选B. 返回导航 14 (2)如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，，则＝(　　) A．2 B． C．－2 D．－ 答案：C 返回导航 15 解析：由题设·＝()·()＝()·()＝··－·＝··－·＝×2×2××2×2×－22－×2×2×(－)＝－4＋1＝－2.故选C. 返回导航 16 学霸笔记：(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题． (2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解． 返回导航 17 跟踪训练　(1)(衔接·人教A版必修二P22练习T1改编)向量a，b满足|a|＝2，|b|＝4，向量a与b的夹角为，则a·(a＋b)＝(　　) A．0 B．8 C．4＋4 D．4－4 答案：A 解析：因为|a|＝2，|b|＝4，向量a与b的夹角为，所以a·b＝|a|·|b|cos 〈a，b〉＝2×4×(－)＝－4，所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4－4＝0.故选A. 返回导航 18 (2)(2026·江淮十校模拟)已知平面向量a＝(2，－2)，b＝(－1，3)，则向量a＋b在向量b上的投影向量为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由向量a＝(2，－2)，b＝(－1，3)，得a＋b＝(1，1)，|b|＝，则(a＋b)·b＝2，所以向量a＋b在向量b方向上的投影向量为·b＝b＝(－)．故选C. 返回导航 19 命题点二　平面向量数量积的应用 考向1　平面向量的模 例2 (链接·2023年新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝ ＝|2a－b|，则|b|＝________． 解析：由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3　①.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得3a2－6a·b＝0，结合①得3a2－3(a2＋b2－3)＝0，整理得b2＝3，所以|b|＝. 返回导航 20 真题探源　(源自人教A版必修二P61T13(2))已知正方形ABCD的边长为1，＝c，则|a＋b＋c|＝(　　) A．0 B．3 C． D．2 答案：D 解析：因为＝，所以|a＋b＋c|＝2|c|.又因为|a|＝|b|＝1，所以|c|＝，所以|a＋b＋c|＝2. 返回导航 21 学霸笔记：(1)公式法：利用＝及＝＋2；(2)几何法：利用向量的几何意义． 返回导航 22 考向2　平面向量的夹角 例3 (2026·通化模拟)已知向量a，b，c，满足a＋b＋c＝0，且|a|＝1，|b|＝＝，则a与c夹角的余弦值为(　　) A．－ B．－ C．－ D． 答案：C 返回导航 23 解析：由a＋b＋c＝0，得c＝－(a＋b)，则c2＝(a＋b)2，即c2＝a2＋ 2a·b＋b2，由|a|＝1，|b|＝，|c|＝，得3＝3＋2a·b，则a·b＝0，故 c·a＝－(a＋b)·a＝－a2－a·b＝－1，则a与c夹角的余弦值为cos 〈a，c〉＝＝＝－.故选C. 返回导航 24 学霸笔记：(1)定义法：利用＝求解，〈〉∈[0, π]； (2)坐标法：利用＝求解． 返回导航 25 跟踪训练　(2026·深圳模拟)已知平面向量a＝(4，3)，2a－b＝(2，－2)，则a与b夹角的余弦值为________． 解析：由于b＝2a－(2，－2)＝(6，8)，cos 〈a，b〉＝＝＝，故a与b夹角的余弦值为. 返回导航 26 考向3　平面向量的垂直 例4 (1)(链接·2024年新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：D 解析：因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2. 返回导航 27 (2)(链接·2025年全国Ⅱ卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝________． 解析：a－b＝(1，1－2x)，因为a⊥(a－b)，则a·(a－b)＝0，则x＋1－2x＝0，解得x＝1.则a＝(1，1)，则|a|＝. 返回导航 28 真题探源　(源自人教A版必修二P60复习参考题T8)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)．当(a＋λb)⊥a时，λ＝________． －1 解析：(a＋λb)⊥a⇒(a＋λb)·a＝(1＋λ，λ)·(1，0)＝1＋λ＝0，所以λ＝－1. 返回导航 29 学霸笔记：两个向量垂直的充要条件：⊥⇔＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(已知非零向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2))． 返回导航 30 命题点三　平面向量的实际应用 例5 (2025·全国Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．图①给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系． 级数 名称 风速大小(单位：m/s) 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.4～5.4 4 和风 5.5～7.9 5 劲风 8.0～10.7 ① 返回导航 31 解析：设真风风速为v1，船行风风速为v2，视风风速为v， 依题意得v＝(－3，－1)，v2＝(－1，－3)，且v＝v1＋v2， ∴v1＝v－v2＝(－3，－1)－(－1，－3)＝(－2，2)． 因此|v1|＝＝2<3.3， ∴该时刻的真风为轻风．故选A. 返回导航 32 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图②所示(风速的大小和向量的大小相同，单位：m/s)，则该时刻的真风为 (　　) A．轻风　　 B．微风 C．和风　　 D．劲风 答案：A 返回导航 33 学霸笔记：用向量方法解决实际问题的步骤： (1)把实际问题中的相关量用向量表示出来； (2)转化为向量问题的模型，通过向量的运算使问题得以解决； (3)把结果还原为实际问题． 返回导航 34 跟踪训练　(2026·宜昌模拟)某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港口的正北方向，已知河水的速度为向东2 m/s.若货船在静水中的航速为4 m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为(　　) A．2 m/s B．2 m/s C．4 m/s D．2 m/s 答案：B 返回导航 35 解析：设船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，船实际航行速度为v，则|v1|＝4，|v2|＝2，且v＝v1＋v2，设θ＝〈v2，v1〉，由船需要准确到达正北方向的B点，得v⊥v2，则v·v2＝(v1＋v2)·v2＝＝4×2cos θ＋22＝0，解得cos θ＝－，而0≤θ≤π，于是θ＝，|v|＝＝＝2，所以该船完成此段航行的实际速度为2 m/s.故选B. 返回导航 36 $