第30讲 复数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“复数”专题，依据课标要求覆盖复数的概念、四则运算及几何意义三大核心考点，对接高考评价体系中基础性与综合性考查要求，通过知识要点梳理与基础检测明确实部虚部辨析、模的运算等高频考点权重，归纳概念辨析、代数运算、几何意义应用等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题引领+技巧提炼+素养培养”的复习策略，如融入2025年全国卷复数虚部求解、除法运算等真题实例，提炼复数除法分母有理化、模的几何意义转化为距离问题等应试技巧，培养学生数学思维中的运算能力与推理意识，帮助学生熟练掌握答题方法提高得分率，教师可据此系统开展复习教学，实现高效备考。

第5章 平面向量、复数 第30讲 复 数 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用. 2.了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算. 3.了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和　 　，若b≠0，则a+bi为虚数，若　 　，则a+bi为纯虚数，i为虚数单位.  (2)复数相等:复数a+bi=c+di⇔　 　(a，b，c，d∈R).  (3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔　 　(a，b，c，d∈R).  (4)复数的模 向量的模叫做复数z=a+bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=  　.  a=0，b≠0 虚部 a=c且b=d a=c且d=-b 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 2.复数的四则运算 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; (4)除法: = = = =+i(c+di≠0). 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 3.三条性质 (1)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，in+in+1+in+2+in+3=0(其中n∈N*); (2)(1±i)2=±2i，=i，=-i; (3)z·=|z|2=||2，|z1·z2|=|z1|·|z2|，=，|zn|=|z|n. 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 【重要结论】 1.-b+ai=i(a+bi)(a，b∈R). 2.复数z的方程在复平面内表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，a和b为半径的两圆所夹的圆环; (2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆. 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 【基础检测】 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z=a-bi(a，b∈R)中，虚部为b.(　　) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　　) (3)在复平面内，原点是实轴与虚轴的交点.(　　) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　) (5)已知z=a+bi(a，b∈R)，当a=0时，复数z为纯虚数.(　　) × × √ √ × 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 教材改编 2.[必修2p73T6]已知复数z满足z(1+i)=2+3i，则在复平面内z对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A [解析] 因为复数z满足z(1+i)=2+3i， 所以z= = = = +i， 所以在复平面内z对应的点位于第一象限. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 3.[必修2p69例1]若复数z=m+1+(m-1)i为纯虚数，则m=　　　　.  -1 [解析] 由题意知解得m=-1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 4.[必修2p94T1]复数的共轭复数是　　　　.  -2+i [解析] = =-2-i，故其共轭复数是-2+i. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 5.已知复数z满足z(1+3i)=2i，则|z|=　　　　.  [解析] 由复数z满足z(1+3i)=2i，可得z= ， 则|z|= = = . 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 考点1 复数的有关概念 例1　(1)复数z=a+bi(a，b∈R)是(2+i)(1+2i)的共轭复数，则a+b=(　　) A.5 B.-5 C.5i D.-5i B [解析] ∵(2+i)(1+2i)=2+5i+2i2=5i=a-bi， ∴解得 因此，a+b=-5.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 (2)(多选)已知z1，z2是复数，是z2的共轭复数，下列说法正确的是(　 　) A.若|z1|=|z2|，则z1=±z2 B.若z1z2=0，则z1=0或z2=0 C.若z1是纯虚数，则<0 D.若z1-z2=0，则z1+∈R BCD [解析] 对于A:假如z1=1+i，z2=1-i，此时|z1|=|z2|=，但z1≠±z2，故A错误; 对于B:设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i， 所以z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2-b1b2+(a1b2+a2b1)i=0，所以 若a1=0，则b1=0或a2=b2=0，即z1=0或z2=0，同理a2=0时，也可得z1=0或z2=0; 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 若a2≠0，将a1= 代入第二个式子中得b1(+)=0.由a2≠0得b1=0，则a1=0，此时z1=0;故B正确; 对于C:假设z1=ai，a≠0是纯虚数， 此时=a2·i2=-a2<0，故C正确; 对于D:设z1=z2=a+bi，所以z1+=z2+=2a∈R，故D正确. 故选BCD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 [小结]求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 1.已知a为实数，复数z=a+i，若z·=2|z|，则|z|=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B [解析] 因为z=a+i，所以=a-i，则z·=a2+1，|z|=. 因为z·=2|z|，所以a2+1=2，解得a2=3，故|z|=2.故选B. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 2.(多选)关于复数z1，z2，下列说法正确的是(　　) A.= B.=+ C.若+=0，则z1=z2=0 D.若|z1+i|=|z1|+1，则z1为实数或纯虚数 BD [解析] 对于A，当z1=1+i时，=1-i，因为=-2i，=2i，所以≠，故A错误; 对于B，设z1=a+bi，z2=c+di，且a，b，c，d∈R， ==(a+c)-(b+d)i， +=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i， 所以=+，故B正确; 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 对于C，取z1=1，z2=i，满足+=0，但不满足z1=z2=0，故C错误; 对于D，因为|z1+i|=|z1|+1，|z1+i|=|a+(b+1)i|=，|z1|+1=+1， 所以=+1，化简可得b=，则a=0且b≥0， 此时z1为实数或纯虚数，故D正确. 故选BD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 考点2 复数的运算 例2　(1)已知复数z=(2+i)(1-i)，则|z|=(　　) A. B.2 C. D. D [解析] z=(2+i)(1-i)=2-2i+i-i2=3-i，故|z|==. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 (2)已知复数z满足(z-3)(1+i)=1-i，z=　　　　.  3-i [解析] 由(z-3)(1+i)=1-i可得，z-3= = = = = -i， 所以z=3-i. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 (3)(多选)已知虚数z1，z2是方程z3-8=0的两个不同的根，则下列说法正确的有(　　 ) A.+2z1+4=0 B.=z2 C.z1z2=4 D.|z1|=2 ACD [解析] A选项，z3-8=(z-2)(z2+2z+4)，令z2+2z+4=0，其中Δ=4-16=-12<0， 由于z1，z2为虚数，故z1，z2为z2+2z+4=0的两个根，则+2z1+4=0，A正确; B选项，z2+2z+4=0的两根为=-1±i，若z1=-1+i，z2=-1-i， 则==1-2i+3i2=-2-2i≠z2，B错误; C选项，由根与系数的关系得z1z2=4，C正确; D选项，由B选项，z1=-1+i或-1-i，均有==2，D正确.故选ACD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 [小结]复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可. (2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 3.已知i为虚数单位，设z=a+bi，a∈R，b∈R，若=1-i，则||=(　　) A.2 B. C.4 D.5 D [解析] 由=1-i，得a+2i=(1-i)(1+bi)，即a+2i=1+b+(b-1)i. 则由复数相等的充要条件得解得 所以z=4+3i，所以=4-3i，故||=5，选D. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 4.已知复数z满足z(1+i)=-i，则的虚部为(　　) A.-i B.1 C.-1 D.0 C [解析] 因为z(1+i)=-i，则z= = =，所以= ， = = = = =-i，所以复数的虚部为-1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 5.已知复数3+4i是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0(m，n∈R)的一个根，则m+n=(　　) A.-13 B.-1 C.19 D.31 C [解析] 由复数3+4i是方程x2+mx+n=0的根，得(3+4i)2+m(3+4i)+n=0， 即(-7+3m+n)+(24+4m)i=0，而m，n∈R，则 解得所以m+n=19. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 考点3 复数的几何意义 例3　(1)已知i为虚数单位，复数z满足z(1-i)=1+2i，则在复平面内复数z对应的点在(　　) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 C [解析] 复数z满足z(1-i)=1+2i，则z= = = -+i， ∴复数对应的点的坐标是，对应的点在第二象限.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 (2)(2025·湖南长沙·三模)已知复数z满足|z|=1，则|z-2i|的取值范围为(　　) A.[0，2] B.[1，3] C.[2，4] D.[1，9] B [解析] |z|=1表示z对应的点是以原点O为圆心的单位圆上的点， |z-2i|的几何意义表示单位圆上的点和(0，2)之间的距离， 点(0，2)到圆心的距离加上半径可得|z-2i|的最大值，减去半径可得|z-2i|的最小值，所以最大距离为2+1=3，最小距离为2-1=1，所以|z-2i|的取值范围为[1，3].故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 (3)(多选)已知复数z1，z2，z3满足:|z1|=|z2|=2，z3=z1+z2=+i，若z1在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为(　　) A.2z1+z2∈R B.|z1-z2|= C.z1z2=2+2i D.= -i AC 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 [解析] 设复数z1，z2，z3在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，O为坐标原点， 则复数z1，z2，z3在复平面内对应的向量为， 且===2，+==， 所以四边形OZ1Z3Z2为菱形，且∠Z1OZ3=， 又OZ3与x轴正半轴所成的角为， 所以OZ1与x轴正半轴所成的角为，所以Z1与Z3关于x轴对称， 所以z1=-i，则z2=2i，所以2z1+z2=2∈R，故A正确; 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 因为z1-z2=-i-2i=-3i，所以|z1-z2|==2，故B错误; z1z2=2i=2+2i，故C正确; = = =- - i，故D错误. 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 [小结]对复数几何意义的理解及应用 (1)复数z在复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观. 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 6.若复数3+4i与2-i分别表示向量与，则表示向量的复数为(　　) A.1+5i B.-1-5i C.5+3i D.-5-3i A [解析] 因为=-，已知对应的复数为3+4i，对应的复数为2-i， 所以对应的复数为(3+4i)-(2-i)， 又(3+4i)-(2-i)=3+4i-2+i=1+5i， 所以表示向量的复数为1+5i.故选A. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 7.(多选)已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是(　　) A.复数z=2-2i的虚部为-2 B.3+i>1+i C.|z|2=z2 D.若复数z满足|z|=1，则|z+2-i|的最小值为-1 AD 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 [解析] 对于A，由复数的定义可知复数z=2-2i的虚部为-2，故A正确; 对于B，因为两个复数不能比较大小，故B错误; 对于C，设z=a+bi，则|z|2=a2+b2，而z2=a2-b2+2abi， 故只有当b=0，即复数z为实数时，|z|2=z2成立，故C错误; 对于D，因为|z|=1，所以复数z所对应的点在以原点O为圆心的单位圆上， 又因为|z+2-i|=|z-(-2+i)|， 所以|z-(-2+i)|表示点A(-2，1)到单位圆上点的距离， 又因为点A(-2，1)到原点O的距离|OA|=， 所以|z+2-i|的最小值为-1，故D正确.故选AD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 8.复数z满足|z-1|+|z+1|=4，则|z|的取值范围是(　　) A.[，2] B.[1，2] C.[2，3] D.[1，] A [解析] 复数|z-1|+|z+1|=4表示复平面上的点Z到(1，0)和(-1，0)的距离之和是4，其轨迹是椭圆，则a=2，c=1，b==， |z|的几何意义是椭圆+ =1上的点到坐标原点的距离， 所以≤|z|≤2.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 走进高考 1.(2025·全国一卷)(1+5i)i的虚部为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.6 C [解析] 因为(1+5i)i=i+5i2=-5+i，所以其虚部为1，故选C. 2.(2025·全国二卷)已知z=1+i，则=(　　) A.-i B.i C.-1 D.1 A [解析] 因为z=1+i，所以 = = = =-i.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 3.(2025·上海)已知复数z满足z2=()2，|z|≤1，则|z-2-3i|的最小值是　　　　.  2 [解析] 设z=a+bi(a，b∈R)，∴=a-bi， 由题意可知z2=a2+2abi-b2==a2-2abi-b2，则ab=0， 又|z|=≤1，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Z(a，b)在以原点O为圆心的单位圆内部(含边界)的坐标轴上运动，如图所示即线段AB，CD上运动， 设E(2，3)，则|z-2-3i|=|ZE|，由图象可知|BE|=>|CE|=2，所以|ZE|min=2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 $