4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数概念、同角关系及诱导公式核心考点，依据高考评价体系梳理五年真题考查要求，明确“同角关系应用”“诱导公式化简”等高频考点权重，归纳数学文化、符号判断等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题实战+方法建模+素养渗透”，如以2022全国甲理“会圆术”题为例，解析三角函数概念在实际问题中的应用，培养数学眼光；通过“知tan求sin±cos”题型，训练方程思想与数学思维；设置“象限符号判断”易错点分析，提升数学语言表达。助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准规划复习，高效备战高考。

4.1　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 返回目录 五年高考 考点1　三角函数的概念和同角三角函数的基本关系 1.★★(数学文化)(2022全国甲理,8,5分)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上 的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图, 是以O为圆心,OA为半径的圆 弧,C是AB的中点,D在 上,CD⊥AB.“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式: s=AB+ .当OA=2,∠AOB=60°时,s= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     返回目录 解析　连接OC,如图.   ∵C是AB的中点,OA=OB=2, ∴OC⊥AB. 又∵CD⊥AB,∴D,C,O三点共线. ∵∠AOB=60°,OA=OB, ∴△AOB是等边三角形, 返回目录 ∴AB=2,OC= ,CD=2- , ∴s=2+ = ,故选B. 返回目录 2.★★(2023全国乙文,14,5分)若θ∈ ,tan θ= ,则sin θ-cos θ=_______. 　-      解析　如图,构造直角三角形ABC,其中AB=3,BC=1,B= ,则A=θ,AC= ,所以sin θ=  ,cos θ= ,所以sin θ-cos θ=- .   返回目录 3.★★★(2024新课标Ⅱ,13,5分)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan α tan β= +1,则sin(α+β)=_______. 　-      解析    tan(α+β)= = =-2 , ∴cos2(α+β)= = = = ,∵α为第一象限角,β为 第三象限角,∴α+β为第三象限或第四象限角或α+β的终边在y轴负半轴上, 又tan(α+β)<0,∴sin(α+β)=- =- . 返回目录 三年模拟 1.★(2026届山东大联考,4)在平面直角坐标系中,角α的顶点为坐标原点O,始边与x轴的 非负半轴重合,若角α的终边经过点 ,则cos α=( ) A.- 　　    B.- 　　    C. 　　    D.      C     解析　由题意得角α的终边经过点P ,|OP|=1,根据三角函数的定义得cos α= . 返回目录 2.★(2026届江苏兴化第一中学调研,4)已知角θ的终边在直线y=2x上,则 的值 为 ( ) A.- 　　    B.- 　　    C. 　　    D.      D     解析　因为角θ的终边在直线y=2x上,所以tan θ=2. 所以 = = = . 故选D. 返回目录 3.★(2026届重庆南开中学第三次质量监测,2)若cos α+sin α= ,则sin 2α= ( ) A. 　　    B.- 　　    C. 　　    D.      B     解析　由于cos α+sin α= ,则cos2α+sin2α+2sin α·cos α= ,即可得sin 2α=2sin α·cos α=- . 返回目录 4.★(2026届山东省实验中学二诊,3)已知tan α=-2,则 的值为 ( ) A.- 　　    B. 　　    C.-5　　    D.5     C     解析　由tan α=-2得 = = =-5.故选C. 返回目录 5.★(2026届重庆八中月考,2)已知扇形的圆心角为3 rad,面积为24,则该扇形的弧长为  ( ) A.6　　    B.6π　　    C.12　　    D.12π     C     解析　已知扇形圆心角θ=3,面积S=24,由扇形面积公式S= r2θ,可得24= r2×3,即r2=16, 解得r=4或r=-4(舍去),则弧长l=rθ=4×3=12,故选C. 返回目录 6.★(2026届湖北荆州中学月考,3)点P从(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1按顺时针方向运动  弧长到达Q点,则Q的坐标为 ( ) A. 　　    B.  C. 　　  D.      C     返回目录 解析　由题意得P点到达Q点经过的角为- , 则cos =- ,sin =- , 所以Q点的坐标为 . 故选C. 返回目录 7.★(2025届湖南长沙周南中学二模,3)已知tan α= ,则sin 2α+cos2α的值为 ( ) A. 　　    B.1　　    C. 　　    D.2     C     解析　因为tan α= ,所以sin 2α+cos2α= = = = .故选C. 返回目录 8.★★(2025届江苏启东中学调研,3)设 <α< ,sin α+cos α= ,则cos 2α= ( ) A.- 　　    B. 　　    C. 　　    D.-      A     返回目录 解析　因为sin α+cos α= , 所以(sin α+cos α)2=1+sin 2α=1- , 所以sin 2α=- <0, 因为 <α< ,所以 <2α< , 又因为sin 2α<0,所以π<2α< , 所以cos 2α=- =- , 故选A. 返回目录 9.★★(2026届黑龙江教育联合体联考,3)若α是第三象限角,且sin α-2cos α=1,则tan α=  ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析    sin α-2cos α=1两边同时平方得sin2α-4sin αcos α+4cos2α=1, ∵sin2α+cos2α=1,∴1-4sin αcos α+3cos2α=1,即4sin αcos α=3cos2α, ∵α是第三象限角,∴cos α≠0,4sin α=3cos α,即 = =tan α.故选B. 返回目录 10.★★(2026届四川绵阳第一次诊断,6)已知α为第二象限角,且tan(α-π)=k,则sin α=  ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.  A     解析　因为α为第二象限角, 所以tan(α-π)=tan[-(π-α)]=tan α=k<0,所以sin α= .故选A. 返回目录 三年模拟 考点2　诱导公式 1.★(2026届重庆巴蜀中学适应性月考,3)已知角α的终边经过点P ,则sin  的值等于 ( ) A.- 　　    B. 　　    C.- 　　    D.      C     解析　因为角α的终边经过点P ,所以cos α= ,sin =-cos α=- ,故选C. 返回目录 2.★(2025届湖北襄阳五中一模,3)已知cos = ,则sin = ( ) A.- 　　    B. 　　    C. 　　    D.-      A     解析　解法一    sin =sin  -  =-cos =- .【诱导公式八】 故选A. 解法二    sin =sin π+  =-sin  =-sin =-cos =- .【诱导公式二、五】 故选A. 返回目录 3.★★(2026届湖南长沙雅礼中学期中,4)已知cos = ,0<α<π,则sin =  ( ) A. 　　    B.- 　　    C. 　　    D.-      A     解析　因为0<α<π,所以 <α+ < , 又cos = >0,则 <α+ < , 则sin = = = , 则sin =sin =sin = .故选A. 返回目录 4.★★(2025届湖南长沙一中二模,6)已知α∈ ,且3cos 2α-sin α=2,则 ( ) A.cos(π-α)= 　　     B.tan(π-α)=  C.sin = 　　    D.cos =      B     返回目录 解析　由题意得3(1-2sin2α)-sin α=2, 解得sin α=- 或sin α= . 又α∈ ,所以sin α= , 则cos α=- =- , tan α= =- , 所以cos(π-α)=-cos α= , 返回目录 tan(π-α)=-tan α= , sin =cos α=- , cos =sin α= , 故A,C,D错误,B正确. 故选B. 返回目录 5.★★(2026届江苏江阴高级中学第一次月考,7)利用诱导公式可以将任意角的三角函 数值转化为0°~90°之间的三角函数值,下表是部分5°的奇数倍锐角的正切值(用字母 代替),则cos 2 210°=( )     B     α 5° 15° 25° 35° tan α m n p q A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.  解析    cos 2 210°=cos(6×360°+50°)=cos 50°=cos225°-sin225° = = = , 故选B. 返回目录 6.★★(2026届黑龙江齐齐哈尔质量检测,6)若cos(α+π)= ,且0≤α<π,则sin 的值 是 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.-      C     解析　因为cos(α+π)=-cos α= ,所以cos α=- =1-2sin2 ,因为0≤α<π,所以sin ≥0,则sin  = ,故sin =sin = .故选C. 返回目录 7.★★★(2025届广东茂名一中三模,5)已知sin = ,且0<x< ,则sin - cos 的值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C.0　　    D.-      A     返回目录 解析　∵0<x< ,∴- < -x< ,【确定 -x的范围,进一步确定cos 的值】 ∵sin = ,∴cos = = . ∴sin -cos =sin  -  -cos 【利用诱导公式化简】 =cos +cos  =2cos = . 故选A. 返回目录 8.★★★(2025届湖南长沙雅礼中学三模,5)已知α∈ ,β∈ ,且tan α+tan β=  ,则 ( ) A.2β-α= 　　    B.2β+α=  C.2α-β= 　　    D.2α+β=      D     返回目录 解析　因为tan α+tan β= ,所以 = ,【切化弦】 即sin αcos β=cos α-sin βcos α,整理得sin(α+β)=cos α, 即sin(α+β)=sin ,所以α+β= -α或(α+β)+ =π,【容易遗漏(α+β)+ =π的 情况】即2α+β= 或β= (舍去). 故选D. 返回目录 9.★★★★(2025届河北正定中学三模,8)已知 + =1,  + =1,则x+y= ( ) A.-1　　    B.1　　    C.-2　　    D.2     D     解析　∵sin 54°=cos 36°,sin236°+cos236°=1, ∴sin254°=cos236°=1-sin236°, 设a=sin236°,则sin254°=1-a, ∴  返回目录 即  由①得x= (a+2 025), 由②得x= (2 026-a), 两式联立得,y= , 将y的值代入x= (a+2 025)中得,x= , 返回目录 则x+y= + = =2. 故选D. 名师点睛　利用sin 54°=cos 36°及sin254°=cos236°=1-sin236°之间的关系得  (a=sin236°,sin254°=1-a)再通过消元法用a来表示x和y的值,化简 可求得x+y的值. 返回目录 10.★★(多选)(2026届湖南长沙长郡中学期中,9)若cos(π-α)=- ,则 ( ) A.sin(-α)= 　　     B.sin =-  C.cos(π+α)=- 　　    D.cos(α-π)=-      CD     返回目录 解析　由cos(π-α)=- 可得cos α= ,则sin α=± . A中,sin(-α)=-sin α=± ,不正确; B中,sin =cos α= ,不正确; C中,cos(π+α)=-cos α=- ,正确; D中,cos(α-π)=-cos α=- ,正确. 故选CD. 返回目录 11.★★(2026届山东泰安二中第一次月考,12)已知tan α=3,则 = ______. 2     解析      = = + tan α= + =2. 返回目录 12.★★(2025届湖南永州二模,12)已知cos = cos(α-π),则cos 2α+sin 2α=______. 解析　因为cos =-sin α, cos(α-π)= cos[-(π-α)]= cos(π-α)=- cos α, 所以-sin α=- cos α⇒tan α= , 所以cos 2α+sin 2α=cos2α-sin2α+2sin αcos α= = =  . 返回目录 13.★★★(2026届江苏高邮调研,12)已知sin α+cos α= ,则tan(α-π)+ =___ ____. 　-  解析    tan(α-π)+ =tan α+ = + = = , 【利用sin α+cos α与sin αcos α的关系求解】 因为sin α+cos α= ,所以(sin α+cos α)2= ,则1+2sin αcos α= ,即sin αcos α=- , 所以原式= = =- . 返回目录 14.★★★(2026届广东深圳宝安中学、中山一中联考,12)已知α是第一象限角,且cos  = ,则tan =_______. 　-      返回目录 解析　由题意可得cos =cos =-sin = ,即sin =- , 因为α是第一象限角, 所以2kπ<α< +2kπ,k∈Z, 则- +2kπ<α- < +2kπ,k∈Z, 所以cos >0,cos = = , 所以tan = =- . 返回目录 $