第27讲 平面向量的概念及线性运算 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量的概念及线性运算，依据课标要求覆盖向量概念、线性运算、共线向量定理等核心考点，通过表格对比向量概念与运算律，结合教材改编题和真题实例，明确线性运算几何意义、共线向量参数求解等高频考点，构建系统备考体系。 课件亮点在于“概念辨析+题型突破+素养提升”，如以共线向量定理应用为例，培养学生数学思维和逻辑推理能力，设置“易错陷阱警示”和“母题变式训练”，帮助学生掌握线性运算化简、参数求解等答题技巧，教师可利用其精准教学框架，助力学生高效冲刺高考。

第5章 平面向量、复数 第27讲 平面向量的概念及线性运算 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义;理解向量的几何表示. 2.掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义. 3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 4.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有______又有方向的量；向量的大 小叫做向量的______（或称____） 平面向量是自由向量 零向量 长度为___的向量；其方向是任意的 记作 单位向量 长度等于_________的向量 非零向量 的单位向量为 大小 长度 模 0 1个单位 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 名称 定义 备注 平行向量 方向______或______的非零向量 与任一向量______或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共 线向量 相等向量 长度______且方向______的向量 两向量只有相等或不等， 不能比较大小 相反向量 长度______且方向______的向量 的相反向量为 相同 相反 平行 相等 相同 相等 相反 续表 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和 的运算 ______________________ ________法则 _____________________________ ____________法则 （1）交换律： ______. （2）结合律： _________ __. 三角形 平行四边形 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 减法 求与 的相反 向量 的和的 运算叫做与 的差 ___________________________ ________法则 三角形 续表 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 数乘 求实数 与向 量 的积的运 算 （1） ； （2）当时， 的方 向与 的方向______； 当时，的方向与 的 方向______； 当 时， ； ； . 3.共线向量定理 向量<m></m>与<m></m>共线，当且仅当有唯一一个实数<m></m> ，使得<m></m>. 相同 相反 续表 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 【重要结论】 1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即+++…+=，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则= (+). 3.=λ+μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ+μ=1.(点O不在直线BC上) 4.若A，B，C是平面内不共线的三点，则++=0⇔P为△ABC的重心，= (+). 5.对于任意两个向量a，b，都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 【基础检测】 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.(　　) (2)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.(　　) (3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(　　) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b=λa，反之成立.(　　) (5)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　　) × √ × √ × 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 教材改编 2.[必修2p14例6]已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且=a，=b，则=　　　，=　　　　.(用a，b表示)  b-a -a-b [解析] 如图，==-=b-a，=-=--=-a-b. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 3.[必修2p16例8]已知a，b是两个不共线向量，向量b-ta与a-b共线，则实数t=　　　　.  [解析] 由题意知，存在实数λ，使得b-ta=λ（a - b）， 则解得t= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 4.[必修2p14例6]设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边靠近A点的三等分点，则(　　) A.=- + B.=- + C.= - D.= - - A [解析] 由题意可知:=+=-+= -+×= -+. 故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 5.化简:=　　　　.  a- b [解析] = = = a- b. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 考点1 平面向量的概念 例1　(1)下列命题正确的是(　　) A.单位向量都相等 B.模为0的向量与任意非零向量共线 C.平行向量不一定是共线向量 D.任一向量与它的相反向量不相等 B [解析] 对于A，单位向量模长相等方向不一定一致，故A错误; 对于B，零向量与任意非零向量共线，故B正确; 对于C，平行向量即共线向量，故C错误; 对于D，零向量与它的相反向量相等，故D错误.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 (2)在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，分别写出满足下列关系的向量: (ⅰ)是共线向量的有　　　　　，　　　　　;  (ⅱ)方向相反的向量有　　　　　，　　　　　;  (ⅲ)模相等的向量有　　　　　.  a和d e和b a和d b和e a，c，d [解析] (ⅰ)a∥d，e∥b，故a和d，e和b是共线向量. (ⅱ)a和d，b和e是方向相反的向量. (ⅲ)由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 [小结]向量有关概念的5个关键点 (1)向量:方向、长度. (2)非零共线向量:方向相同或相反. (3)单位向量:长度是一个单位长度. (4)零向量:方向没有限制,长度是0. (5)相等向量:方向相同且长度相等. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 1.(多选)下列说法正确的是(　　 ) A.向量与的长度相等 B.向量的模可以比较大小 C.共线的单位向量都相等 D.只有零向量的模等于0 ABD [解析] 对于A，因向量与是一对相反向量，长度相等，方向相反，故A项正确; 对于B，因向量的模是向量的长度，是一个非负数，故可以比较大小，故B项正确; 对于C，共线的单位向量的方向可以相同或相反，故它们可以是一对相反向量，故C项错误; 对于D，向量的模等于0即说明它是零向量，故D项正确.故选ABD. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 2.在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　) A.与共线 B.与共线 C.与相等 D.与相等 B [解析] 由题意可知，与不共线，A错误; 因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，故与共线，B正确; 因为CD与AE不平行，所以与不相等，C错误; 因为== -，D错误.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 考点2 平面向量的线性运算 角度1.向量加、减法的几何意义 例2　(1)化简:-+=(　　) A.2 B.2 C. D.0 D [解析] 根据向量减法运算律得-+=+=0.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 (2)+++=　　　　.  [解析] 根据向量加法运算律得+++=++=+=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 角度2.向量的线性运算 例3　如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2AD=2DC，=3=2，则下列表示正确的是(　　) A.= - + B.= + C.= - D.= - + B 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 [解析] 由AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2AD=2DC，则=2， 则=++= - -+= -，故A错误; 由=3=2， 则== (++)=++=++- = +，故B正确; =+= -=- - -= - - ，故C错误; =+=-++=- +，故D错误.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 角度3.根据向量线性运算求参数 例4　已知P为△ABC所在平面内一点，且满足=λ(+)，=(1-2μ)·(λ，μ∈R)，则λ+μ=(　　) A.- B. C. D.- C [解析] ∵=λ(+)，∴P在BC边的中线上， ∵=(1-2μ)，∴P在边BC上， ∴P为BC中点，∴λ=，1-2μ=，∴λ=， μ=，∴λ+μ= .故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 [小结]1.平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解. (2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来. 2.三种运算法则的要点 (1)加法的三角形法则要求“首尾连”,平行四边形法则要求“共起点”. (2)减法的三角形法则要求“共起点,连终点,指被减”. (3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算. 3.向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算,有了向量的线性运算,平面中的点、线段(直线)就可以利用向量表示,为用向量法解决几何问题(或用几何法解决向量问题)奠定了基础.对于用已知向量表示未知向量的问题,找准待求向量所在三角形,然后利用条件进行等量代换是关键,这一过程需要从“数”与“形”两方面来把握. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 3.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则+2+2+=(　　) A. B. C.2 D. A [解析] M是平行四边形ABCD的对角线的交点， 则= -= -， 所以+2+2+=+++++ =+=-=.故选A. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 4.在△ABC中，设=a，=b，若==，则=(　　) A.-a+b B.a+b C.-a+b D.a- b A [解析] 由+++=0， 则=---=-- +=-- (-)+ = - +=- a+b. 故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 5.在△ABC中，=2=2，若=λ+μ，则λ-μ=(　　) A. B.- C. D.- B [解析] ∵=2，∴=， 则=+=+=+(-)=+， 又∵=2，∴==+， 即:λ=，μ=，∴λ-μ= - = - . 故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 考点3 共线向量定理的应用 例5　设e1，e2是平面上两个不共线的向量，=2e1+ke2，=e1-e2，=3e1+2e2，若A，B，D三点共线，则k的值为　　　　　.  [解析] 由三点A，B，D共线，可得=λ，即-=λ(-)， 则代入已知条件得:e1-e2-2e1-ke2=λ(3e1+2e2-e1+e2)， 整理得:-e1-(k+1)e2=2λe1+3λe2， 因为e1，e2是平面上两个不共线的向量， 根据平面向量基本定理可得:解得k= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 例6　在△ABC中，点O在线段BC上，且OC=3OB，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若=m=n，则3m+n=　　　　　.  4 [解析] 连接AO，如图所示. 因为OC=3OB，所以==， 所以=+=+=+(-)=+. 因为=m=n， 所以=+. 因为M，O，N三点共线，所以+=1，则3m+n=4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 [小结]共线向量定理的3个应用 (1)证明向量共线:对于向量a,b,若存在实数λ,使a=λb,则a与b共线. (2)证明三点共线:若存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点共线. (3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 6.(多选)下列说法正确的是(　　 ) A.若ABCD为平行四边形，则= B.若a∥b，b∥c，则a∥c C.互为相反向量的两个向量模相等 D.++-=0 ACD 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 [解析] 对于A:若ABCD为平行四边形，则=，故A正确; 对于B:若b=0，则0与任何向量均平行， 可得a∥b，b∥c，但a，c不一定平行，故B错误; 对于C:相反向量:模长相等，方向相反的向量互为相反向量， 所以互为相反向量的两个向量模相等，故C正确; 对于D:因为++-=+=0，故D正确.故选ACD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 7.设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值为　　　　.  -8 [解析] 因为=e1+3e2，=2e1-e2， 可得=-=-= -e1+4e2， 又因为A，B，D三点共线，可设=λ，即2e1+ke2=λ(-e1+4e2)， 因为e1，e2不共线，可得解得k=-8. 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 8.已知点M为△ABC中BC边上的中点，点N满足=，过点N的直线与AB，AC分别交于P，Q两点，且设=x=y，则+的值为(　　) A.5 B.6 C.9 D.10 [解析] 根据题意，得==×(+)=(+)==+， ∵P，N，Q三点共线，∴+=1，即+ =10.故选D. D 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 $