5.1平面向量的概念及线性运算 专题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量与复数核心考点，依据高考评价体系梳理了平面向量的概念及线性运算、基本定理与坐标运算、数量积，以及复数的运算与概念等考查要求。通过分析2022-2025年全国卷及新高考真题，明确平面向量线性运算、数量积及复数运算为高频考点，归纳选择填空为主的常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法提炼+素养培养”，如以2022新高考Ⅰ第3题为例，用三角形法则转化向量关系，培养学生数学思维。总结线性运算转化策略、共线定理待定系数法等突破方法，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺高考。

第1节　平面向量的概念及线性运算 2027 备考路径 考点 考题 考情分析 平面向量的概念与线性运算 2025全国1,第6题;2022新高考Ⅰ,第3题 1.平面向量每年必考,以选择题、填空题的形式出现,难度中等及以下,重点考查平面向量线性运算、数量积及相关的模、夹角、垂直、共线等问题,有时作为工具,渗透在解三角形、解析几何问题中进行考查. 平面向量基本定理与坐标运算 2025全国2,第12题;2022新高考Ⅰ,第3题;2021新高考Ⅰ,第10题 平面向量的数量积 2025全国2,第12题;2024新高考Ⅰ,第3题;2024新高考Ⅱ,第3题;2023新高考Ⅰ,第3题;2023新高考Ⅱ,第13题;2022新高考Ⅱ,第4题 考点 考题 考情分析 复数 2025全国1,第1题;2025全国2,第2题;2024新高考Ⅰ,第2题;2024新高考Ⅱ,第1题;2023新高考Ⅰ,第2题;2023新高考Ⅱ,第1题;2022新高考Ⅰ,第2题;2022新高考Ⅱ,第2题 2.复数几乎每年必考,以选择题的形式出现,侧重基础,难度较小,重点考查复数的运算以及共轭复数、模等复数有关的概念,有时对复数的几何意义也有所考查 课标解读　1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义,理解向量的几何表示和基本要素.2.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量的加、减运算,理解其几何意义.3.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教B版必修第二册6.1.1节练习B第3(3)题改编)“a与b不平行”是“a与b都不是零向量”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析 当a与b不平行时,a与b都一定不是零向量,因为零向量与任意向量共线;当a与b都不是零向量时,a与b可能平行,也可能不平行.故选A. 2.(人教B版必修第二册6.1.3节练习B第4题改编)已知|a|=5,|b|=2,则|a-b|的取值范围是(　　) A.(3,7) B.[3,7] C.[3,5] D.[2,7] B 解析 由不等式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,可得3≤|a-b|≤7.故选B. 3.(人教A版必修第二册6.2.3节练习第2题)点C在线段AB上,且,则=　　　　 =　　　　 . 　 　- 解析 由点C在线段AB上,且,可画出图形如图,设AC=5,则CB=2, ∴AB=7.∵同向,∴.∵反向,∴=-. 4.(人教A版必修第二册6.2.3节例8改编)已知a,b是两个不共线的向量,若向量b-ta与a-b共线,则实数t=　　　　　.  解析 由题意知,存在实数λ,使b-ta=λ(a-b),即(t+λ)a=(λ+1)b.因为a,b不共线, 所以t+λ=λ+1=0,解得t=. 知识梳理 1.向量的有关概念 (1)向量:既有　　　　又有　　　　的量叫做向量;向量的大小称为向量的　　　　(或称　　　).  (2)零向量:长度为　　　的向量叫做零向量,其方向是任意的,记作0.  (3)单位向量:长度等于　　　　　　　　的向量,叫做单位向量,与非零向量a共线的单位向量为±.  (4)平行向量(共线向量):方向　　　　　　　的非零向量叫做平行向量(共线向量),规定:零向量与任意向量平行.  (5)相等向量:长度　　　　且方向　　　　的向量叫做相等向量.  (6)相反向量:长度　　　　且方向　　　　的向量叫做相反向量.  大小 方向 长度 模 0 1个单位长度 相同或相反　 相等 相同 相等 相反 微点拨 1.注意0与0的区别,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0. 2.单位向量有无数个,它们的模相等,但方向不一定相同. 3.零向量和单位向量是两个特殊的向量,它们的模是确定的,但是方向不确定,因此在解题时要注意它们的特殊性. 4.任一组平行向量都可以平移到同一直线上. 微思考 向量平行与直线平行有何不同? 提示 向量平行与向量共线是完全相同的一个概念,指两个向量的方向相同或相反,亦即向量所在的直线可以平行,也可以重合;但直线平行不包含直线重合的情况. 2.平面向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法   三角形法则   平行四边形法则 交换律:a+b=b+a 结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 减法   三角形法则 — 数乘 |λa|=|λ||a|; 当λ>0时,λa的方向与a的方向　　　　;当λ<0时,λa的方向与a的方向　　　　;当λ=0时,λa=0  λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb(λ,μ为实数) 相同 相反 3.共线向量定理 　　　 不能漏掉这一条件 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得　　　　.  微点拨 三点共线的几个等价关系 (1)A,P,B三点共线⇔(λ≠0). (2)对于平面内任意一点O,若存在唯一的一对实数λ,μ,使得,且λ+μ=1,则A,P,B三点共线. (3)对于平面内任意一点O,若P,A,B三点共线,且不与点O共线,则一定存在唯一的一对实数λ,μ,使得,且λ+μ=1. b=λa 研考点•精准突破 考点一　平面向量的概念 例1　(多选题)下列结论不正确的有(　　) A.若a,b都是单位向量,则|a-b|=0 B.若a=-3b,则a,b是相反向量 C.若|a|=2,|b|=3,则“|a+b|=5”是“a,b是共线向量”的充分不必要条件 D.若A,B,C三点在一条直线上,则不是平行向量 ABD 考点一 考点二 考点三 解析 当a,b都是单位向量时,如果它们的方向不相同,那么a≠b,则a-b≠0,所以|a-b|≠0,故A不正确;当a=-3b时,向量a,b只是方向相反,但模不相等,因此不是相反向量,故B不正确;因为|a|=2,|b|=3,所以当|a+b|=5时,a,b方向相同,则a,b是共线向量,但当a,b是共线向量时,不一定有|a+b|=5,有可能|a+b|=1,所以“|a+b|=5”是“a,b是共线向量”的充分不必要条件,故C正确;当A,B,C三点在一条直线上时,一定是平行向量(共线向量),故D不正确.故选ABD. 考点一 考点二 考点三 规律方法　平面向量概念的几个关注点 (1)单位向量不一定相等; (2)相反向量的方向相反,并且模一定相等; (3)平行向量(共线向量)是指向量的方向相同或相反,其所在的直线可以平行,也可以重合; (4)当|a+b|=|a|+|b|或|a+b|=||a|-|b||时,向量a,b共线. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](2025·湖北咸宁模拟)下列四个说法正确的是(　　) A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b B.是平行向量 C.若是共线向量,则A,B,C,D四点共线 D.对于任意向量a,b,有|a+b|≥|a-b| B 解析 对于A,由|a|=|b|,得到a,b的模相等,但方向不确定,故A错误;对于B,的方向相反,所以两个向量是平行向量,故B正确;对于C,当是共线向量时,所在的直线平行或重合,所以A,B,C,D四点不一定共线,故C错误;对于D,当非零向量a与b方向相反时,|a+b|<|a-b|,故D错误.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点二　平面向量的线性运算 考向1　向量的线性运算 例2　(1)(2022·新高考Ⅰ,3)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m, =n,则=(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n B 解析 (方法1)因为BD=2DA,所以=2,即=2(), 所以=-2+3=-2m+3n.故选B. (方法2)因为BD=2DA,所以,于是=-2+3 =-2m+3n.故选B. 考点一 考点二 考点三 教考链接 (人教A版必修第二册习题6.3第1题)如图,在△ABC中,AD=. 解 =-a-b. )= a+b. 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)(2026·湖北宜昌期中)若G是△ABC的重心,D,E,F分别是边BC,AC,AB的中点,则下列结论正确的有(　　) A.=2 B. C.=0 D. AC 考点一 考点二 考点三 解析 如图,对于A,由于D是边BC的中点,所以,又,两式相加得2,故A正确;对于B,由于G是△ABC的重心,所以AG=2GD,于是=2,故B错误;对于C,由于F是边AB的中点,所以=2,而G是重心,所以GC=2GF,所以2=-,于是=-,所以=0,故C正确;对于D,由于E,F分别是边AC,AB的中点,所以),), 于是) =,故D错误.故选AC. 考点一 考点二 考点三 规律方法　平面向量的线性运算的求解策略 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2026·贵州毕节期末)如图,已知=3,△ABE,△EDC都是等边三角形,设=a,=b,则=(　　) A.2a+b B.2a+b C.2a-b D.2a-b A 解析 由已知可得=2, 所以+2=2a+b.故选A. 考点一 考点二 考点三 考向2　向量线性运算的应用 例3　(1)(2026·山东潍坊期中)在△ABC中,若点D在BC上,且,则△ABD与△ADC的面积之比等于(　　) A. B. C.4 D.3 D 解析 因为,所以 =-)=,于是=3,所以||=3||,所以△ABD与△ADC的面积之比等于3.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·全国1,6)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为(　　) 级数 名称 风速大小(单位:m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 图1 图2 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 A 考点一 考点二 考点三 解析 由题可知,视风风速为(0,2)-(3,3)=(-3,-1),船速为(3,3)-(2,0)=(1,3).因为船行风风速与船速大小相等,方向相反,则船行风风速为(-1,-3). 又视风风速是真风风速和船行风风速的和向量,所以真风风速为 (-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2),故真风风速大小为=2≈2.828.故选A. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](多选题)(2026·广东广州模拟)无人机的飞行速度、风速会影响其实际飞行轨迹.无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量,实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量,其为空速向量与风速对应的向量之和.无人机搭载的设备可监测线路缺陷,当无人机相对线路的横向偏移量(垂直线路方向的向量分量)超过2 m/s或纵向偏移量(沿线路方向的向量分量,其标准值为4 m/s)超过标准值1 m/s时,需调整飞行姿态.已知某区域风速稳定,某次无人机计划沿x轴正方向为线路巡检时,空速向量为(3,4)(单位:m/s),风速对应的向量为(1,-1)(单位:m/s),则(　　) A.地速向量的大小为5 m/s B.地速向量的方向与空速向量的方向相同 C.纵向偏移量与标准值无偏差 D.该无人机需要调整飞行姿态 ACD 考点一 考点二 考点三 解析 设空速向量为a,风速对应的向量为b,地速向量为c,则a=(3,4),b=(1,-1),所以c=a+b=(3,4)+(1,-1)=(4,3),所以|c|==5,所以地速向量的大小为5 m/s,故A正确;由a=(3,4),c=(4,3)可知地速向量的方向与空速向量的方向不相同,故B错误;由于纵向偏移量为4 m/s,与标准值无偏差,故C正确;因为横向偏移量为3 m/s,所以需要调整飞行姿态,故D正确.故选ACD. 考点一 考点二 考点三 考点三　共线向量定理及其应用 例4　[一题多变]设两个向量a与b不共线. (1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. 考点一 考点二 考点三 (1)证明 ∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b), ∴=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5. ∴共线. ∴A,B,D三点共线. (2)解 由a,b不共线,易知向量a+kb为非零向量. ∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb. ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a,b不共线, ∴k-λ=λk-1=0,解得k=±1. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式1](引进参数逆向设问)若将本例(1)中“=2a+8b”改为“=a+mb”,则当m为何值时,A,B,D三点共线? 解 =(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,即=4a+(m-3)b.由a,b不共线,易知=a+b为非零向量.若A,B,D三点共线,则存在实数λ,使=λ,即4a+(m-3)b=λ(a+b),所以解得m=7.故当m=7时,A,B,D三点共线. 考点一 考点二 考点三 [变式2](增加限制条件设问)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值? 解 由a,b不共线,易知向量a+kb为非零向量. 因为ka+b与a+kb反向共线, 所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),所以所以k=±1. 又λ<0,所以k=-1. 故当k=-1时,两向量反向共线. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用共线向量定理解题的方法 (1)若b≠0,则a∥b⇔a=λb是判断两个向量共线的主要依据,注意待定系数法和方程思想的运用. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线⇔共线. (3)若a与b不共线且λa=μb,则有λ=μ=0. 考点一 考点二 考点三 $