第五章 第35课时 平面向量的概念及线性运算 2027届高中数学一轮复习（通用版）

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量的概念及线性运算”专题，依据考试要求梳理了向量意义、几何表示、线性运算及共线定理等核心考点，通过教材典题改编与高考模拟题分析，明确概念辨析、线性运算几何意义、共线定理应用等高频题型分布，对接高考评价体系，构建系统复习框架。 课件亮点在于“以题引理激活思维+考点精研提升素养”策略，如通过三点共线问题（典例4）剖析向量共线定理的待定系数法，培养学生的推理能力与模型观念。提供二级结论速记及易错点警示，结合“巩固迁移”实战训练，帮助学生掌握线性运算技巧，教师可据此精准定位学情，助力高效备考冲刺。

第35课时 平面向量的概念及线性运算 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 1 [考试要求] 1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义． 2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义． 3．掌握向量线性运算的性质及其几何意义． 第35课时　平面向量的概念及线性运算 2 以题引理·激活思维 1．(人教A版必修第二册P5习题6.1T3改编)下列说法正确的是(　　) A．非零向量是两平行向量 B．若a∥b，b∥c，则a∥c C．若a与b都是单位向量，则a＝b D．若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 3 A　[易知A正确；若b＝0，a与c未必平行，故B错误；单位向量a与b的方向均不确定，故C错误；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任意两个向量都不能比较大小，故D错误．] 4 2．(湘教版必修第二册P13习题1.2T6改编)＝ (　　) A． D．0 D　[－()＝＝0． 故选D．] √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 5 3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T13改编)设e是单位向量，|＝3，则四边形ABCD是(　　) A．梯形　　B．菱形　　C．矩形　　D．正方形 B　[∵＝3e，＝－3e， ∴，∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵||＝3， ∴四边形ABCD是菱形． 故选B．] √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 6 4．(苏教版必修第二册P47复习题T17改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝_____________． 　[∵λa＋b与a＋2b共线， ∴存在实数μ，使得λa＋b＝μ(a＋2b)， ∴] 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 7 5．(人教B版必修第二册P142例1改编)已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为_____________． [2，6]　[当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．] [2，6] 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 8 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有____的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称__)． (2)零向量：长度为__的向量，记作0． (3)单位向量：长度等于________长度的向量． 方向 模 0 1个单位 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 9 (4)平行向量(共线向量)：方向____或____的非零向量．规定：零向量与任意向量____． (5)相等向量：长度相等且方向____的向量． (6)相反向量：长度相等且方向____的向量．零向量的相反向量仍是零向量． 相同 相反 平行 相同 相反 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 10 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 　三角形法则 平行四边形法则 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 11 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 减法 几何意义 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|； 当λ>0时，λa的方向与a的方向____； 当λ<0时，λa的方向与a的方向____； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 相同 相反 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 12 3．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________． b＝λa 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 13 [二级结论] 1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔)． 2．(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线(点O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1． 3．若G为△ABC的重心，则有 (1)＝0；(2))． 4．对于任意两个向量a，b，都有 (1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式)； (2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 14 1．解决与向量有关的概念问题，一是要紧扣大小和方向这两个关键要素，二是要注意零向量的特殊性． 2．向量加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”；向量减法的几何意义要求“共起点，连终点，指被减”． 3．a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用． 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 15 考点一　平面向量的概念 [典例1]　(多选)下列关于向量的说法正确的是(　　) A．若|a|＝0，则a＝0 B．若向量是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上 C．若a为非零向量，则与a同向 D．若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb 精研考点·提升素养 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 16 (2)(多选)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论正确的是(　　) A． B．共线 C．是相反向量 D．| √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 17 (1)AC　(2)ABC　[(1)对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确； 对于B，若向量是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在同一条直线上，故B错误； 对于C，a为非零向量，则与a方向相同，故C正确； 对于D，若a≠0，b＝0，则a∥b，此时不存在实数λ，使a＝λb，故D错误． 18 (2)对于A，因为EF＝BC＝CD，EF∥CD，所以，故A正确； 对于B，因为DE∥AB，所以共线，故B正确； 对于C，因为BD＝CD，所以是相反向量，故C正确； 对于D，，故D错误．故选ABC．] 名师点评：在平面向量中，共线向量又称作平行向量，注意与平面几何中的共线、平行的概念区分． 19 [巩固迁移] 1．a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是(　　) A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 20 C　[因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D．当a＝2b时，，故a＝2b是成立的充分条件．] 21 【教用·备选题】 若向量a，b满足|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列结论一定正确的是(　　) A．a＝0 B．存在实数λ，使得a＝λb C．存在实数m，n，使得ma＝nb D．|a－b|＝|a|－|b| √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 22 C　[当a≠0且b≠0时，由|a＋b|＝|a|＋|b|，可知a，b共线，且同向，故存在实数λ，使得a＝λb(λ>0)，令λ＝，其中m，n同号，即a＝b，即ma＝nb，则存在实数m，n，使得ma＝nb，当a≠0，b＝0时，选项A，B错误；当a＝0，b≠0时，|a－b|≠|a|－|b|，故D错误．故选C．] 23 考点二　平面向量的线性运算 考向1　向量加、减法的几何意义 [典例2]　若O是△ABC所在平面内的一点，且满足||，则△ABC的形状为(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 24 B　[＝()＋()＝， ∴||． 故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．] 25 考向2　向量的线性运算 [典例3]　(1)(2025·浙江嘉兴三模)在△OAB所在平面内，点C满足＝(　　) A． b C．－ b √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 26 (2)(2026·河南信阳模拟)如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC＝3BF，若，其中m，n∈R，则m＋n的值为(　　) A．1 B． √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 27 (1)C　(2)C　[(1)由向量的线性运算可知， )＝－b．故选C． (2)因为， ， 所以， 又， 所以m＝，n＝，故m＋n＝，故选C．] 28 名师点评：平面向量线性运算的求解策略 (1)共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用向量减法的几何意义，求首尾相连的向量的和用三角形法则． (2)在△ABC中，D为BC上一点，若． 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 29 [巩固迁移] 2．已知矩形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若(λ，μ为实数)，则λ2－μ2＝(　　) A．－ C． √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 30 A　[如图，在矩形ABCD中，)， 在△DAO中， ，所以λ＝，μ＝－，所以λ2－μ2＝．] 31 b　[如图，因为E为线段CD的中点， 所以．因为D为线段AB 的中点，所以 b．] 3．在△ABC中，D为线段AB的中点，E为线段CD的中点，设可用a，b表示为_____________． b 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 32 考点三　向量共线定理的应用 [典例4]　(1)(2025·江苏南通三模)已知e1，e2为平面内一个基底，＝5e1＋4e2，若A，B，D三点共线，则a的值为(　　) A．2 B．－2 C．0 D．1 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 33 (2)(2026·湖南长沙模拟)如图，在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于点M，N．设，则2m＋n的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 34 (1)A　(2)C　[(1)＝e1＋ae2，＝5e1＋4e2－(e1－4e2)＝4e1＋8e2＝4(e1＋2e2)， 因为A，B，D三点共线，∴a＝2．故选A． (2)连接AO，因为点O是线段BC上靠近点B的三等分点，则， 即＝2(， 又因为， 则， 因为M，N，O三点共线，故n＝1， 因此2m＋n＝3．故选C．] 35 名师点评：利用向量共线定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量是否共线的主要依据． (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔共线． 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 36 [巩固迁移] 4．(2026·江西赣州模拟)已知e1，e2为不共线向量，a＝ke1－2e2，b＝－e1＋e2，若a，b为共线向量，则k＝(　　) A．2 B．4 C．±1 D．±2 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 37 D　[因为e1，e2为不共线向量，且a，b为共线向量， 设a＝λb，又a＝ke1－2e2，b＝－e1＋e2， 则ke1－2e2＝λe1＋λe2， 故解得故选D．] 38 5．如图所示，已知G是△ABC的重心，过点G作直线分别与边AB，AC交于M，N两点，设的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 39 A　[延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点，∵G为△ABC的重心， ∴)＝)＝． ∵M，G，N三点共线，∴＝1，即＝3．故选A．] 40 一、单项选择题 1．如图，在正六边形ABCDEF中，＝(　　) A．0 B． D　[根据正六边形的性质，易得 ．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课后作业(三十五)　平面向量的概念及线性运算 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 2．(2025·河南新发展联盟三模)若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西60°方向，且|OA|＝|OB|＝2 km，则向量表示 (　　) A．从点O出发，朝北偏西60°方向移动2 km B．从点O出发，朝北偏西75°方向移动2 km C．从点O出发，朝北偏西60°方向移动2 km D．从点O出发，朝北偏西75°方向移动2 km √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 42 C　[以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意可得∠AOB＝180°－60°＝120°， 设，因为|OA|＝|OB|＝2 km，所以四边形OACB为菱形， 则∠AOC＝×120°＝60°，则△AOC为正三角形， 所以||＝2 km， 故向量表示从点O出发，朝北偏西60° 方向移动2 km．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 43 3．已知四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，记＝(　　) A．a－ b C．－ a－b 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ C　[a＋b． 故选C．] 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 44 4．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝5e1－4e2，若A，B，C三点共线，则实数k的值为 (　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 45 A　[法一：因为＝3e1＋2e2，＝4e1＋ke2，＝5e1－4e2， 所以＝(4e1＋ke2)－(3e1＋2e2)＝e1＋(k－2)e2， ＝(5e1－4e2)－(3e1＋2e2)＝2e1－6e2， 又A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ， 使得， 即e1＋(k－2)e2＝λ(2e1－6e2)， 所以故选A． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 46 法二：根据题意，设＋(1－x)， 则3e1＋2e2＝[4x＋5(1－x)]e1＋[kx－4(1－x)]e2， 因为e1，e2是平面内两个不共线的向量， 所以] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 47 5．已知P为△OAB所在平面内一点，且，则(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段AB的反向延长线上 D．点P在射线AB上 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ D　[由， 所以，所以点P在射线AB上．] 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 48 6．已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且＝3e1－6e2，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ C　[对于A，因为＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，不存在实数λ使得，故A，B，C三点不共线，故A错误； 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 49 对于B，因为＝e1＋2e2，＝3e1－6e2，不存在实数λ使得，故A，B，D三点不共线，故B错误； 对于C，因为＝－2e1＋4e2，＝3e1－6e2，则，故A，C，D三点共线，故C正确； 对于D，因为＝－3e1＋2e2，＝－()＝－(e1＋2e2＋3e1－6e2)＝－4e1＋4e2，不存在实数λ使得，故B，C，D三点不共线，故D错误．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 50 二、多项选择题 7．已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是 (　　) A．|| B．＝0 C． D．S△MBC＝S△ABC 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 51 BD　[如图，M为△ABC的重心，则＝0，A错误，B正确； ＝)＝，C错误； 由DM＝AD，得S△MBC＝S△ABC，D正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 52 8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则(　　) A． B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 53 ABC　[∵AB∥CD，AB＝2DC， ∴，故A正确； ∵，∴， ∴，又F为AE的中点， ∴，故B正确； ，故C正确； ，故D错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 54 三、填空题 9．已知a是单位向量，向量b满足|a－b|＝3，则|b|的最大值为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 4　[法一：设＝a，＝b，因为|a－b|＝3， 即||＝3，即||＝3， 所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上， 又a是单位向量，则||＝1， 故||的最大值为||＝1＋3＝4，即|b|的最大值为4． 4 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 55 法二：因为b＝a－(a－b)， 所以|b|≤|a|＋|a－b|＝1＋3＝4， 所以|b|的最大值为4．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 56 10．如图，在平行四边形ABCD中，，则a－b＝_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 －　[由题意可得，，所以a＝，b＝，所以a－b＝－．] － 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 57 四、解答题 11．(1)在任意平面四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，若，求λ的值； (2)已知非零向量，λ∈[0，＋∞)，画图并说明AQ是∠BAC的平分线． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 58 [解] (1)如图，取AB的中点M，CD的中点N，连接AC，BD，则有ME∥BD，FN∥BD， 且ME＝FN＝BD， 所以四边形MFNE为平行四边形， 则 ＝)＝)， 又，所以λ＝2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 59 (2)因为同向的单位向量， 如图，设， 则＝λ()，AM＝AN， 以AM，AN为邻边作平行四边形AMEN， 则，且平行四边形AMEN为菱形， 所以AE平分∠MAN，所以， 又A为公共点，所以A，E，Q三点共线， 所以AQ是∠BAC的平分线． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 60 12．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝b． (1)试用a，b表示； (2)证明：B，E，F三点共线． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 61 [解]　(1)在△ABC中，因为＝a，＝b， 所以＝b－a， ＝a＋(b－a)＝b， b． (2)证明：因为b， ＝－a＋b＝， 所以共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 62 13．在平面上有△ABC及其内部一点O满足关系式：S△OBC· ＝0，则O为△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 63 B　[记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC＝a·h2，S△OAC＝b·h3，S△OAB＝c·h1，因为S△OBC·＝0，则＝0，即a·h2·＝0，又因为a·＝0，所以h1＝h2＝h3，所以O是△ABC的内心．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 64 14．(多选)设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A．若 B．若，则M，B，C三点共线 C．若 D．若 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第35课时　平面向量的概念及线性运算 65 ACD　[A选项，)＝，A正确； B选项，假设M，B，C三点共线，则 ＝λ( ＋(1＋λ)，故当λ＝－2时，不一致，所以M，B，C三点不共线，B错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 66 C选项，根据＝λ()以及向量加法的平行四边形法则， 可知点M在直线AD上，又由＝(1－2μ)，可知点M在直线BC上，所以点M为边BC的中点，所以λ＝，1－2μ＝，即μ＝，所以λ＋μ＝，C正确； D选项，因为，且x＋y＝，所以3，其中3x＋3y＝1，不妨设，则点Q在直线BC上，由于△MBC与△ABC同底，而高之比等于MQ与AQ之比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的，D正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 67 谢 谢 ！ $